鞅最优运输对偶

对于任意鞅测度Q，Q（ω∈Ohm : v（ω）=∞) = 0，我们得出结论，σQ（Gu）（A）=0。假设对于某些c∈ R、 γ∈ G和H=（τm，hm）m∈N∈ Hs，我们有c+γ（ω）+（H·X）（ω）≥A（ω）表示每个ω∈ Ohm. 然后，对于每个ω，γ（ω）=g（X（ω）），u（g）=0，γ（ω）=g（q）∈ Aq。因此，c+g（q）+（H·X）（q+bωn）≥ 1，每q∈ Q、 n个≥ 1、通过H（H·X）（q+bωn）=（H·X）tn（q+bω）对每个q的适应性。因此，limn→∞（H·X）（q+bωn）=limn→∞（H·X）tn（q+bω）=0。这意味着c+g（q）≥ 此外，g是连续的，u（g）=0。因此，c≥ 由于Φ（A；Is（Gu））是所有此类常数中最小的，我们得出结论，Φ（A；Is（Gu））≥ 1、AsA≤ 1，Φ（A；Is（Gu））=1。接下来，我们按照引理6.3来说明Φ（A；I（Gu））=0。的确，对于k≥ 2，定义Hk=（τkm，hkm）m∈N∈ hs如下所示。设τk=0，对于m≥ 1，通过τk2m递归定义停止时间-1（ω）：=inf{t>τk2m-2（ω）：ω（t）>ω（0）+k-1/3/2} ∧ 1，τk2m（ω）：=inf{t>τk2m-1（ω）：ω（t）<ω（0）+k-1/3/3} ∧ 1、对于m≥ 0，设置hk2m=k-4/3，hk2m+1=0。设Ukt（ω）是下边界ω（0）+k之间的时间间隔[0，t]中的交点-1/3/3和上边界ω（0）+k-1/3/2.然后，如引理6.3，（Hk·X）t（ω）≥ -ω（0）k4/3+6k5/3Ukt（ω），对于所有t∈ [0，1]和ω∈ Ohm.特别是香港∈ Hs。观察Ukt（q+bωn）≥ k- n代表所有n≤ k、 因此，对于anyq∈ [1，2]，（Hk·X）t（q+bωn）≥ -k4/3+（k- n） 6k5/3适用于所有1≤ n≤ k、 对于ε>0，设Hε：=ε（bHj）j∈N、 其中bhj：=Pk≤jHk。然后，对于每个j≥ 1，（Hj·X）t（ω）=εX1≤k≤j（Hk·X）t（ω）≥ -εX1≤kk4/3=：-εC*对于所有t∈ [0, 1].因此，Hε是容许的。同样，对于q∈ [1，2]，（Hε·X）t（q+bωn）=lim infj→∞X1≤k≤jε（Hk·X）t（q+bωn）≥X1≤k-2εk4/3+ε（k- n） +6k5/3=∞.因此，Φ（A；I（Gu））≤ εC*对于每ε>0。下面的例子促使使用Fatou closurebI（G）来建立定理3.1中可测函数的度。示例8.2。

允许Ohm = D（[0，1]；R+）并考虑G={G（X（ω））：G给出的商空间∈ C2,1（R+），g（1）=0}。然后，存在一个开集B Ohm 使得0=σQ（G）（B）=Φ（B；bI（G））<1=Φ（B；I（G））。特别地，I（G）6=bI（G）。证据考虑开集B：={XT6=1}，集ω*≡ 1，让Q*是Dirac测度ω*. 那么，Q（G）={Q*}. 因此，σQ（G）（B）=等式*[B] =0。假设l ∈ I（G）和c∈ R满足c+l ≥B、 根据I（G）的定义，有H∈ H和g（X（·））∈ G使l（ω） =（H·X）（ω）+g（X（ω））。考虑一个等速ω≡ x、 那么，对于这条路径（H·x），T（ω）=0，因此，B（ω）=1≤ 每x 6=1，c+g（x）。由于g（1）=0且g是连续的，我们得出结论c≥ 因此，Φ（B；I（G））=1.9金融应用在本节中，我们假设X为d资产的贴现价格建模。或者，还可以对未贴现价格进行建模，并引入一个代表储蓄账户的额外流程。但这并没有改变基本的数学结构；见【19】。有关的示例和对Ohm 作为预测集，我们参考[5、6、38]。集合G代表流动衍生工具投资的净结果集合。它们的初始价格正常化为零。由于我们不假设任何概率结构，该集合在确定定价函数中起着至关重要的作用。我们给出了集合G的不同示例。它们表明，通过适当选择闭集，有限离散时间模型可以包含在我们的框架中Ohm.示例9.1（最终边缘）。在本例中Ohm = D（[0，T]；Rd+）。我们在Rd+上使用有限的q阶矩和setGu确定概率测量u：=γ（ω）=g（ω（T））- u（g）：g∈ Cq，p（Rd+）, 式中u（g）=ZRd+g du。然后，Q（Gu）由所有鞅测度Q组成，其最终边缘为u，即，对于所有h，等式[h（XT）]=u（h∈ Bq（Rd+）。备注9.2。

示例9.3中一个固定边缘的二元性不会立即扩展到两个边缘的情况，假设Ohm = D（[0，T]；Rd+）。这种困难源于坐标映射Xis不是连续的。可以通过引入一个活动元素X0来消除此问题-在Skorokhod空间D（[0，T]；Rd+）上，即考虑Ohmx个-:= Rd+×D（[0，T]；Rd+）。示例9.3（初始值和最终边缘）。除了最终边际价值外，在本例中，我们希望确定初始资产价值x∈ Rd+。然而，正则映射Xt：ω∈ D（[0，T]；Rd+）7→ ω（t）∈ Rd+，仅在t=t时连续，在所有其他点处不连续。因此Ohmx： ={ω∈ Ohm : ω（0）=x}不是d（[0，T]；Rd+）的S-闭子集。为了克服这一困难，我们确定了一个小的时间增量h>0并定义Ohmh、 x：={ω∈ Ohm : ω（t）=所有t的x∈ [0，h）}。可以直接验证Ohmh、 xis S-关闭。我们保持Gu，如前一示例所示。然后，Q（Gu）的元素限制为Ohmh、 具有最终边缘u和满意度q（Xt=xf）的xare鞅测度∈ [0，h））=1，Q∈ Q（Gu）。如果rxu（dx）=x，则集合Q（Gu）为非空。示例9.4（多个边距）。在例9.1中，我们最终确定了双重度量的边际。在给定的应用程序中，其他时间点T={T，…，tN}的边缘可能是大致已知的。因此，人们可能也想固定这些边缘。因为Xtiare都是不连续的，所以g（Xti）形式的函数不一定是S*D上连续（[0，T]；Rd+）。因此，如前一个示例中所示，我们确定一个小的h>0，并考虑下式给出的集合OhmT： =N\\i=1{ω∈ Ohm : Xt（ω）=所有t的Xti（ω）∈ 【ti，ti+h）】。然后，Ohm这是D（[0，T]；Rd+）的S-闭子集。此外，对于每个i，X限制为OhmTis S S公司*-不断的

给定概率测度{ui}Ni=1on Rd+和有限的q阶矩，我们考虑集合gt=（γ（ω）=NXi=1gi（Xti（ω））- ui（gi）：gi∈ Cq，p（Rd+）对于所有i=1，N） 。然后，GT Cq公司(OhmT） 。措施Q∈ Q（GT）是鞅测度，具有边际uiat乘以t∈ [ti，ti+h）。假设0≤ t<…<田纳西州≤ T根据Strassen的结果[55]，当且仅当ui以凸顺序增加时，Q（GT）为非空，即u（Д）≤ . . . ≤uN（Д），对于每个凸函数Д：Rd+→ R、 在以下示例中，我们收集了一些满足定理3.1假设的常见期权支付。示例9.5。S的典型示例*-连续功能是Asiantype选项的回报。的确，设g：[0，T]→ R应连续。那么，ξ（ω）=ZTg（t）Xit（ω）dt，对于任何i∈ {1，…，d}，是S*-不断的然而，夏尔的运行最大值和最小值仅分别为下半连续和上半连续；参见【39】。我们请读者参考[39]、[46]了解更多示例。特别是，作为标的资产的可计量函数的每个衍生合约都具有双重性（3.2）。示例9.6。自从Ohm 是D（[0，T]；Rd+）的一个可测子集，我们从[44]中知道存在一个F-渐进可测D×D-矩阵值过程hXi=（hXit）T∈[0，T]打开Ohm 等于X Q-a.s.的可预测二次变化，对于每个F-鞅测度QOhm. 我们定义了d×d矩阵值波动率过程σ=（σt）t∈[0，T]作为非负对称矩阵值过程vt（ω）的平方根：=lim infε↓0hXit（ω）- hXi（t-ε)∨0（ω）ε，（t，ω）∈ [0，T]×Ohm.尤其是σ是一个可测量的过程Ohm. 因此，定理3.1给出了基于σ的衍生工具合约的独立于模型的价格界限。

然而，二次变分过程hXi的构造依赖于停止时间，因此依赖于区间[0，T]的F-逐步可测划分，这通常是不确定的；详见【11】。特别是，取决于σ的衍生合约通常不在上半连续Ohm.作为定理3.1的结果，我们得到了将Q（G）的非空性归为适当的无套利条件的资产定价基本定理。关于该结果的分类版本，参见例如[21]中的离散时间，参见[22，23]中的连续时间及其引用。[1、19、22、26]中推导出了稳健的版本。我们的无套利条件如下。推论9.7。资产定价的稳健基本定理。在假设2.2下，以下是等价的：（i）Q（G）不是n-空的。（ii）Φ（η；bI（G））是所有η的定义∈ 英国石油公司(Ohm).（iii）Φ（0；I（G））=0。附录：S和S*-拓扑学以下定义来自Jakubowski【39，40】。定义A.1。对于{νn}n∈N D（[0，T]；Rd+）和ν*∈ D（[0，T]；Rd+），我们写νnSν*如果每个ε>0，则存在函数{νn，ε}n∈Nandν*,ε在D（[0，T]；Rd+）中，其具有独立性，使得kν*- ν*,εk∞≤ ε、 kνn- νn，εk∞≤ ε每n∈ N、 安德林→∞Z[0，T]f（T）dνn，εT=Z[0，T]f（T）dν*,εt，（A.1）对于所有f∈ Cb（[0，T]；Rd），其中（A.1）中的积分是具有νn，ε0的Stieltjies积分-=ν*,ε0-= 由这种顺序收敛生成的拓扑称为S拓扑。尤其是子集C D（[0，T]；Rd+）是S-闭的当且仅当它对于上述收敛概念是顺序闭的，即当{νn}n∈N C和νnSν*, 然后ν*∈ C、 开放集是封闭集的补充。可以直接验证这些集合是否满足拓扑的定义。备注A.2。

这种拓扑中的（后验）收敛可能不同于先验收敛Sde如上所述。这种拓扑的定义被称为Kantorovich-Kisy\'nski配方；参见第63-64页的[47]或[30，第1.7.18、1.7.19节]。特别是，在【40，附录】中讨论了{νn}n∈nConverge到ν*在（后验）S-拓扑中，如果每个子序列{νnk}k∈Nhas另一个子序列{νnkl}l∈确保νnklSν*.作为一个不同的例子，如果一开始几乎确定收敛为先验收敛（而不是如上文所述的收敛），则产生的后验收敛是概率收敛；参见【40】。[39，40]中的以下事实是我们连续性证明的重要组成部分。重新校准上游交叉口Ua、b、itof定义6.2。命题A.3（雅库博夫斯基[39]，定理2.13；[40]，定理5.7）。A s ubs e t KD（[0，T]；Rd+）是相对S-紧的当且仅当ifsupω∈Kkωk∞< ∞ 和supω∈KUa，b，iT（ω）<∞ 对于所有a<b a且i=1，d、 （A.2）让我们表示S的相对拓扑Ohm 同样是由S。不知道是否(Ohm, S） 是完全正常的。由于此属性在我们的分析中起着重要作用，我们将SOhm 类似于【46】。定义A.4。S*-拓扑打开Ohm 是使所有S-连续函数ξ：Ohm → R连续。从这一定义可以清楚地看出* S、 函数ξ：Ohm → R是S*-continuous I仅当其为S连续时。此外(Ohm, S） 以及(Ohm, S*) Hausdor ff和sincecompact集都是紧集吗？如果拓扑减弱，则Ohm is alsoS公司*-契约公式ξ，ε（ω）集合的有限交点集合*) := {ω ∈ Ohm : |ξ(ω) - ξ(ω*)| < 1} 对于任意S-连续函数ξ：Ohm → R、 在ω处形成邻域基*.

特别是对于任何S*-开集O和ω*∈ O、 ω有一个邻域*形式n\\k=1{ω∈ Ohm : |ξk（ω）- ξk（ω*)| < 1} ，包含在O中，其中每个ξkis是S-连续函数Ohm 每k至R≤ n、 设置ηk（ω）=ξk（ω）- ξk（ω*)| ∧ 1和η（ω）=maxk≤nηk（ω）。然后，η连续映射Ohm 转化为[0，1]和满足η（ω*) = 对于所有ω6，0和η（ω）=1∈ O、 这是完全正则空间的定义性质。因此(Ohm, S*) 是一个完全正则的hausdorff空间（T）。事实证明，这是完全正常的。引理A.5。(Ohm, S*) 是完全正常的Hausdor ff（T）和Lusin空间。特别是，每个Borel概率测度(Ohm, S*) 是氡测量。证据众所周知，Skorokhod空间上的标准J拓扑是波兰的。此外，根据[39，定理2.13（vi）]，S J、 所以，自从Ohm 是S-闭合的，也是J-闭合的。因此，如果我们将相对J拓扑表示为Ohm 再次由J(Ohm, J） 仍然是抛光剂* J、 因此，身份映射(Ohm, J） 至(Ohm, S*) 是双射且连续的，这表明(Ohm, S*) 是一个Lusin空间。[31，命题I.6.1，第19页]证明了任何完全正则的Lusin空间都是完全正规的。我们注意到，【31】使用了术语“Espaces标准”【31，定义I.2.1，第7页】，这正是一个Lusin空间，而【31】第18页定义的术语“r'egulier”对应于完全规则。读者也可以参考【28】第64页，对这一含义进行简要讨论。最后，在Lusin空间上，每个Borel概率测度都是Radon；参见[53，第122页]。我们还需要以下关于S的事实*-拓扑结构。引理A.6。每S*-上半连续函数Ohm to R是S递减序列的逐点极限*-连续函数和Ub生成的Suslin函数族(Ohm) 包括Bb(Ohm).证据

关于用连续函数逼近上半连续函数的说法在[56，定理3]中得到了证明。同样，参见【24，定理49（c）】或【30，第61页】。关于Suslin函数的陈述在[4]中得到了证明（见定理2.2证明的结尾）。或者，根据[32，143页]中关于任何拓扑空间的命题421L，everyBaire集是一个Suslin集。在完全正规的Hausdor ff空间上，Baire和Borel集是一致的【12，命题6.3.4】。因此，关于S的有界Borel函数*是苏斯林。备注A.7。【46】包含关于S的更多结果*-D（[0，T]；Rd）上的拓扑。特别地，S的紧集*S同意。此外，S*-拓扑是Skorokhod空间上最强大的拓扑，其紧性准则（A.2）成立，且β-拓扑的Riesz表示定理成立。附录B：β-拓扑学E是一个完全正则的Hausdorff空间，并且回顾一下，B（E）是E上的实值、有界、Borel可测函数集，这些函数在整体上消失。请注意，任何perfectlynormal拓扑，例如*在…上Ohm, 是完全正常的。对于每个η∈ B+（E）考虑Cb（E）上的半范数，kξkη：=kξηk∞:= supx公司∈E |ξ（x）η（x）|。Cb（E）上的β拓扑由半范数k.kη生成，因为η在B+（E）中变化。重要的是，Cb（E）与β拓扑的拓扑对偶是E上有界全变差的所有有符号Radonmeasures的集合；有关β-拓扑的更多详细信息，请参见[41，定理3，第141页]或[54]。C附录：鞅测度引理C.1。让Q∈ P(Ohm) 以便支持∈[0，T]EQ[| Xt | q]<∞ 对于某些q>1和EQ[Y·（XT- Xt）]=每t为0∈ [0，T]和所有Ft可测量Y∈ Cb公司(Ohm)d、 然后，正则映射X是（F，Q）-鞅。证据固定t<t，并用A表示Ohm 可以写为形式X集合的有限交集-tj为1tj（Bj）≤ t和Rd的Borel子集Bj。

莱蒂∈ {1，…，d}。如果我们能证明eq[A（XiT- Xit）]=0表示所有A∈ A、 （C.1）从单调类参数得出，等式[A（XiT- Xit）]=0表示所有A∈ FXt。通过X的一致可积性和右连续性，这意味着eq[A（XiT- Xit）]=limε↓0EQ[A（XiT- Xit+ε）]=0表示所有A∈ Ft证明了引理。要显示（C.1），请注意，对于每个集合∈ A的形式=X-1t（B）∩ ··· ∩ 十、-t，…，1tk（黑色），tk公司≤ t和Borel子集B，Bkof-Rd，存在有界连续函数fnj:Rd→ R使得等式[A（XiT- Xit）]=limn→∞等式[fn（Xt）···fnk（Xtk）（XiT- Xit）]。（C.2）另一方面，对于所有n，一个hasEQ[fn（Xt）····fnk（Xtk）（XiT- Xit）]=limε↓0EQ[fn（Xεt）···fnk（Xεtk）（XT- Xt+ε）]，（C.3）对于S-连续函数xεtj=εZtj+εtjXu∧Tdu，j=1，d、 因为fn（Xεt）···fnk（Xεtk）是Ft+ε-可测的，属于Cb(Ohm), 根据（C.2）–（C.3）消失的假设，证明是完整的。参考文献【1】B.Acciaio、M.Beiglb¨ock、F.Penkner和W.Schachermayer。资产定价基本定理和超级复制定理的无模型版本。《数学金融》，26（2）：233–251，2016年。[2] B.Acciaio、M.Beiglb¨ock、F.Penkner、W.Schachermayer和J.Temme。Doob鞅不等式的轨迹解释。《应用概率年鉴》，23（4）：1494–15052013。[3] 安布罗西奥和吉利。最佳运输用户指南。Springer，2013年。[4] D.Bartl、P.Cheridito和M.Kupper。具有中间极限的鲁棒期望效用最大化。《数学分析与应用杂志》，471（1-2）：752–7752019。[5] D.Bartl、M.Kupper和A.Neufeld。预测集上的路径超边缘。ArXiv:1711.027642017。[6] D.Bartl、M.Kupper、D.J.Pr–omel和L.Tangpi。连续时间路径超边缘的对偶性。《金融与Stoc hastics》，23（3）：697–7282019年。[7] M.Beiglb¨ock，A.M.G.Cox，M.Huesmann，N。

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