加密货币利率理论

如果我们定义向量sr=（x，y，z）和ξt=（Xt- a、 年初至今- b、 Zt公司- c） ，以及它们的平方范数R=R·R和ξt=ξt·ξt，那么债券价格由ptt=πt给出(√2π∑tT）ZRRe-Σ-1tT | R-ξt | dR。（22）因此，对于Rwe中的体积元素，使用球面表示dR=RsinθdR dθdφ（23），推断出ptt=πt√2π∑3/2tTZ∞RRZπsinθe-Σ-1tT（右-2Rξtcosθ+ξt）dθdR=πt√2π∑3/2tTe-Σ-1tTξtZ∞R e公司-Σ-1tTRZπsinθeRξtcosθ/∑tTdθdR=πt√2π∑3/2tTe-Σ-1tTξtZ∞R e公司-Σ-1tTR-eRξtcosθ/σtTRξt/σtTπdR公司=√2π∑tTe-Σ-1tTξtZ∞e-Σ-1tTReRξt∑tT- e-Rξt∑tTdR，（24）0.5 1.0 1.5 2.0t0.20.40.60.81.0图。1： 贴现债券价格过程{PtT}，选择σt=0.75，t=2。显示了六条样本路径，说明了当波动率函数{σt}为常数时，贝塞尔（3）模型中债券价格过程的定性行为。其中，我们利用了ξt=1/πt这一事实。我们注意到，过程{ξt}appearingher是所谓的自然计价或“基准”资产的价格【18，21】。完成（24）中指数的平方，我们得到了PTT=√2π∑tTZ∞e-Σ-1tT（右-ξt）- e-Σ-1tT（R+ξt）dR公司=√πZξt/√2∑tT-ξt/√2∑tTe-udu。（25）现在让我们像往常一样通过设置ERF（z）来定义误差函数=√πZz-ze公司-udu=√π∞Xn=0(-1） nn！（2n+1）z2n+1，（26）是复平面上的整函数。因此，erf（z）=N(√2 z）- N个(-√2 z），其中N（x）是正态分布函数。然后我们得到债券价格的以下表达式：PtT=erfs（Xt- a） +（Yt- b） +（Zt- c） 2∑tT. （27）等效地，我们有PTT=erfξt√2∑tT, （28）其中{ξt}是自然数字。为了便于说明，我们在图1中显示了债券价格的一些样本路径。作为资产的价格过程，贴现债券满足{πtPtT}是鞅的条件，这一条件从条件期望的塔式性质出发：es[πtPtT]=es[Et[πT]]=es[πT]=πsPsT。

（29）或者，如果我们利用恒等式，可以直接从债券价格的表达式（27）中检查鞅条件√πα∞Ze-α(ξ-x）- e-α（ξ+x）erf公司ξ√βdξ=erfx个√α + β. （30）我们已经看到，由于定价核的漂移在本质上为零，因此该模型没有引起任何兴趣。然而，债券价格会导致贴现；换句话说，对于每一个T<T，ptt是T的递减函数，因为∑tti是T<T时T的增加。因此，如果采用byrt=-PtT公司TT=T.（31）这很容易检查。我们有T=σT√2π∑3/2tTexp-ξt2∑tTT=T.（32）自极限→T∑tT=0，指数项抑制右侧，使所有T的rt=0≥ 或者，通过使用（27），计算表明dptt=λtOhmtTPtTdt+OhmtTPtTdWt，（33），其中λt=σtπ是风险的市场价格，其中OhmtT=2σtPtT√2π∑tTexp-2∑tTπt（34）是贴现债券波动率。我们注意到limt→TOhmtT=0。（33）的形式证明，通常由漂移中的短期利率产生的贡献RTPTT不存在。但短期利率为零的事实并不意味着需要其他利率。例如，由于定义FTT=- 记录PtTT、 （35）计算表明，瞬时远期利率由ftt=σTexp给出(-ξt/2∑tT）√2π∑3/2terfξt/√2∑tT, （36）我们看到→TftT=0。类似地，对于屈服曲线{Y（T）}，我们得到以下结果：Y（T）=-Tlogerf公司√2∑0T. （37）5 10 15 20 25 30T0.050.100.150.200.250.30YFIG。2： 初始屈服曲线Y（T）T≥0对于常数σt。由于r=0，t=0时的屈服消失。σt=σ时，对于常数σ，屈服曲线达到峰值，然后衰减到零，其中Y（t）~ -对数（p2/πσT）/T asT→ ∞.

我们绘制了σ=0.3（蓝色）、σ=0.6（橙色）和σ=0.9（绿色）的{Y（T）}。因此，初始屈服曲线数据可用于校准函数{σt}中的自由度。我们的校准方案本质上等同于[10]中所建议的使用时变技术的校准方案。由常数{σt}产生的一组典型屈服曲线如图2.4所示。债券期权让我们考虑贴现债券的期权定价。首先，我们来看一个欧洲风格的数字看涨期权，到期日为t，贴现债券的行权为K，到期日为t。因此，如果PtT>K，期权在时间t提供一个单位的加密货币。期权支付是指标函数HT=1{PtT>K}，（38），因此数字看涨期权的价格由byD=E给出ξterf公司ξt√2∑tT> K, （39）式中ξt=π-1吨。误差函数的参数在增加，因此我们发现存在一个临界值ξ*如果ξt>ξ，期权在货币中到期*, ξ给出*=p2∑tTerf-1（K）。（40）因此，如果我们切换到R中体积元素的球形表示，类似于（24）中给出的计算表明，数字呼叫的价格为isD=erf公司ξ*+ 1.√2∑0t- erf公司ξ*- 1.√2∑0t. （41）更一般地，让我们考虑数字看涨期权的价格过程{Ds}，由以下表达式给出：Ds=1{0≤s<t}πsEs[πtHt]。（42）注意到以Fswe为条件的Xt~ N（Xs- a、 ∑st），Yt~ N（Ys- b、 ∑st）和ZT~ N（Zs- c、 ∑st），我们发现，与（24）中考虑的计算类似的计算导致公式=2ξserf公司ξ*+ ξs√2∑st- erf公司ξ*- ξs√2∑st. （43）我们现在来看拖欠caplet的定价，对于该caplet，在时间t的支付由ht=X（LtT）给出- R） +，（44），其中R为上限，X为名义值。此处的加密速率lttapearing由tt=T定义- t型PtT公司- 1..

（45）由于caplet是“拖欠”支付的，这意味着支付在较早的时间t设定并在t支付，并且由于在时间t已知LTIts，我们可以将caplet视为一种衍生工具，有效地支付较早时间t的折现值Ht=PTTTH。通过替代和安排，可以看到在时间t的有效支付形式为Ht=N（K- PtT）+，其中K和N由K=1+R（T）给出- t） N=X[1+R（t- t） ]t- t、 （46）因此，我们可以看到，拖欠的caplet中的头寸相当于贴现债券中N个看跌期权的头寸，其中看跌期权上的行权K是具有简单收益率R的贴现债券的价值。利用（4），我们推导出caplet的价格isC=N Eπt（K- PtT）+= N E“ξtK- erf公司ξt√2∑tT+#. （47）如果我们切换到R中体积元素的球形表示，与（24）中给出的计算分析表明，期权价格可以用以下高斯积分表示：C=√2π∑0tZξ*K- erf公司R√2∑tTe-2∑0t（R-1)- e-2∑0t（R+1）dR公司=√πZξ*+1.√2∑tT√2∑0te-uerf公司√2∑0tu-1.√2∑tT杜邦-√πZξ*-1.√2∑tT-1.√2∑0te-uerf公司√2∑0tu+1√2∑tTdu+Kherf√2∑0t-erf公司ξ*+1.√2∑0t- erf公司ξ*-1.√2∑0ti、 （48）虽然高斯积分似乎没有更简单的表示形式，但数值计算很简单。基于高阶贝塞尔过程的模型四阶或四阶以上的贝塞尔过程也会产生密码键模型，类似于我们已经研究过的模型。特别是，如果我们考虑a=1，2，…，的高斯过程{Xat}集合，尺寸n中（10）给出的类型n≥ 3，然后我们可以通过设置πt来建模定价核=（Xt）+··+（Xnt）(2-n） /2。

（49）一个简短的计算表明，dπt=-（n）- 2） σtπ（n-1） /（n-2） tdWt，（50），根据[19，20]中讨论的检验，{πt}是所有n的严格局部鞅≥ 3.作为一个例子，我们提出了一个基于贝塞尔过程四维互易性的加密货币定价核模型。有关贝塞尔（4）过程的特性，请参见参考文献[21]。对于我们的模型，我们取πt=（Xt- a） +（Xt- b） +（Xt- c） +（Xt- d） ，（51）其中{Xkt}k=1，。。。，4是形式（10）的四个独立高斯过程，常数a、b、c、d的选择应确保a+b+c+d=1。计算表明，定价核的动力学方程为dπt=-2σtπ3/2tdWt，（52），对应于n=4时的（50）。我们希望计算该模型中的贴现债券价格，该模型遵循（22）的逻辑，ξt=（Xt-a、 Xt公司-b、 Xt公司-c、 Xt公司-d） ，是给定的typt=πt(√2π∑tT）ZRRe-Σ-1tT | R-ξt | dR。（53）我们切换到球形表示。在四维空间中，我们设置x=R sinθsinνcosφ，y=R sinθsinνsinφ，z=R sinθcosφ，w=R cosθ，体积元素dR=RsinθsinνdR dθdДdφ。（54）注意θ，Д∈ [0，π]和φ∈ [0, 2π]. 由于矢量ξ是固定的，并且由于球对称性，我们可以在不丧失一般性的情况下选择ξt位于w轴方向。在（24）中的三维情况下，也做出了类似的假设，其中ξtwa取z方向。然后我们得到R·ξt=Rξtcosθ，这个选择在某种程度上简化了计算。φ上的积分得到2π，其中srπsinИdД=2，因此在对这些变量进行积分后，我们得到ptt=πt2π∑tTZ∞RZπsinθe-Σ-1tT（右-2Rξtcosθ+ξt）dθdR，（55），其中{ξt}表示四维贝塞尔过程，因此πt=ξ-2吨。要继续，请注意恒等式zπsinθeνcosθdθ=πνI（ν）。

（56）如果我们观察到sinθeνcosθ=（sinθ）（sinθeνcosθ），并且sinθeνcosθ=-ν-1.θeνcosθ，这表明我们可以通过分段积分将被积函数减少到cosθeνcosθ。但我们注意到cosθeνcosθ=νeνcosθ，所以移动在积分之外，我们看到被积函数进一步减少到eνcosθ。但这会产生阿贝塞尔函数，我们有rπeνcosθdθ=πI（ν）。差异化和使用差异化νI（ν）=I（ν），我们得出结论。或者，如果我们回顾第一类广义贝塞尔函数的定义n（ν）=πZπeνcosθcos（nθ）dθ（57），我们可以更方便地得出相同的结论。在任何情况下，我们推导出zπsinθeRξt∑-1tTcosθdθ=π∑tTRξtIRξt∑tT. （58）因此使用（πtξt）-1=ξtwe获得ptt=ξt∑tTZ∞e-Σ-1tT（R+ξt）IRξt∑tTdR.（59）如果我们定义u=R/√∑t和ηt=ξt/√∑tT，表达式简化为toPtT=ηte-ηtZ∞e-uI（ηtu）du。（60）现在我们使用identityZ∞e-uI（ηu）du=eη- 1η，（61），可使用贝塞尔函数（ν）的泰勒级数展开式建立=∞Xk=02k+nk！Γ（n+k+1）ν2k+n（62）以及表达式Z∞e-uu2k+ndu=2（2k+n-1)/2Γ2k+n+1（63）对于高斯矩。具体而言，用（62）代替（61）左侧的n=1和ν=ηu，用（63）代替n=1，我们得到z∞e-uI（ηu）du=∞Xk=0η2k+12k+1k！Γ（k+2）kΓ（k+1）=∞Xk=0（η/2）k+1（k+1）=η∞Xk=0（η/2）kk！- 1.（64）0.5 1.0 1.5 2.00.20.40.60.81.0图。3： σt=0.6和t=2的贴现债券价格过程。显示了六条样本路径，说明了基于贝塞尔（4）过程的模型中债券价格的定性行为。这就建立了（61）。

把这些放在一起，我们得出债券价格ptt=1- e-Σ-1tTξt，（65），结果非常简单。为了便于说明，我们在图3中显示了债券价格过程的一些示例路径。请注意，limt→TPtT=1；然而，假设所有t的σt>0≥ 0，我们有限制→∞∑tT=∞, 从这个极限开始→∞PtT公司→ 0、初始债券价格由p0t=1给出- 经验值-2∑0T, （66）由此我们推断，初始收益率曲线采用公式y（T）=-Tlog1.- 经验值-2∑0T. （67）该关系可用于根据市场数据校准波动率函数。具体而言，我们有σT=-（Y（T）+T Y（T））e-T Y（T）2（1- e-T Y（T））（日志（1- e-它允许我们确定函数{σT}T的形式≥0从任何初始屈服曲线{Y（t）}t≥0满足约束Y（0）=0。接下来，我们研究债券价格的动态。如果我们从dξt=3σt2ξtdt+σtdWt开始，（69）伊藤公式的应用给出了ptt=λtOhmtTPtTdt+OhmtTPtTdWt，（70），其中λt=2σtξ-1和OhmtT=σtξtPtT∑tTe-Σ-1tTξt.（71）该结果独立证实了所有t的rt=0这一事实≥ 当前模型中的0。现在让我们考虑贴现债券上看涨期权的估值。支付形式为Ht=（PtT-K） +，其中K是期权的执行价格，t是期权的到期日，t>t是债券的到期日。我们假设0<K<1。由于债券价格是ξt的递增函数，我们发现存在一个临界值ξ*=p-2∑tTlog（1- K） （72）如果ξt，则Ht=0≤ ξ*. 在对（φ，Д）变量进行积分后，我们发现期权的初始价格由积分c=π∑0t决定∞Zξ*R(1 - K）- e-2∑tTRe-2∑0t（R+1）πZsinθeR∑0tcosθdθdR。（73）执行θ积分，我们得到c=∑0tZ∞ξ*(1 - K）- e-2∑tTR我R∑0te-2∑0t（R+1）dR。

（74）类似地，对于带支付（K）的看跌期权- PtT）+，我们得到p=∑0tZξ*（K）- 1） +e-2∑tTR我R∑0te-2∑0t（R+1）dR，（75），从中我们观察到- P=∑0tZ∞（K）- 1） +e-2∑tTR我R∑0te-2∑0t（R+1）dR。（76）使用（61），我们可以显式地积分（76）的右侧，以获得put调用对等关系：C- P=（1- K）1.- e-2∑0t+ e-2∑0t- e-2∑0th1-∑tT∑0Ti=P0T- KP0t，（77），其中我们利用了∑0t+∑tT=∑0t这一事实。期权价格的贝塞尔函数的不确定高斯积分必须进行数值评估。有趣的是，尽管债券价格模型简单，但期权价格不能用已知函数的封闭形式表示。然而，快速的数值估值是很简单的。为了看到这一点，我们使用贝塞尔函数的泰勒级数展开式（62）来获得c=∑0te-2∑0t∞Xk=0（1/2∑0t）2k+1k！（k+1）！Z∞ξ*R2k+1h（1- K）- e-2∑tTRie-2∑0tRdR。（78）然后，通过设置u=R来改变积分变量，我们发现积分减少到不完全伽马函数Γ（a，z）=z的积分∞zua公司-1e级-udu，（79），因此我们得到了系列形式的期权价格：C=e-2∑0t∞Xk=0（1/2∑0t）k+1k！（k+1）！(1 - K） Γk+1，-∑tT∑0tlog（1- K）-∑tT∑0Tk+1Γk+1，-∑0T∑0tlog（1- K）#.

（80）由于在上述表达式的和中分母中出现了双阶乘，级数迅速收敛，使其成为期权价格数值计算的有用表达式。特别是，在k=20时截断总和，我们可以使用标准的数值工具非常快速地获得期权价格；由此获得的结果与积分（78）的标准数值计算结果的差异为10级-更一般地，在更高的维度中，很明显，通过使用球面表示来计算期望值Et【πT】，始终可以设置向量ξtsuch的方向，即R·ξT=Rξtcosθ。因此，唯一的非平凡积分涉及变量θ和R。如果贝塞尔过程的维数n为偶数，则执行θ积分我们得到贝塞尔函数的线性组合，然后必须根据高斯测度进行积分，以获得债券价格的表达式；然而，如果n是奇数，θ积分会产生指数函数的线性组合，必须再次与高斯测度进行积分，以获得债券价格的表达式。因此，根据n是偶数还是奇数，对于n≥ 3我们获得了两种不同类型的加密货币利率模型。模型的复杂扩展与三维贝塞尔过程倒数相关的模型可以以另一种方式扩展，以允许合并参数自由度。如果我们允许（11）中出现的参数a、b和c是复数，就可以实现这一点。由此产生的复杂过程的真实部分{πCt}为定价核定义了一个可接受的模型，短期利率为零。

这是因为当参数a、b和c为复数时，函数u（x、y、z）的实部和虚部都满足拉普拉斯方程，且实部严格为正。例如，由此产生的额外自由度可以用来校准模型，不仅可以根据收益率曲线，还可以根据期权价格。为了继续，让我们写出a=a+ia，b=b+IB和c=c+ic。此外，让我们写▄x=x- a、 y=y- 频带▄z=z- c、 那么我们有u（x，y，z）=s▄x+▄y+▄z- 一- b- c+2i（￠xa+￠yb+￠zc）（￠x+￠y+￠z- 一- b- c） +4（▄xa+▄yb+▄zc）。（81）该函数是拉普拉斯方程的解，该解远离“环形”奇点，该奇点由位于点（a，b，c）中心的两个半径为a+b+c的球体∑和两个由ax+by+cz=aa+bb+CC定义的平面∏的交点定义，该球面∑穿过点（a，b，c），因此在赤道圆中切割∑。我们回忆起公式√A+iB=sA+√A+B+iB | B | s-A+√A+B（82）表示B 6=0的复数主平方根的实部和虚部。因此，R{∑上的Re（u）>0∩在∏{∑上，Im（u）=0∩Π}.根据这些结果，我们通过设置πt=Re引入了一个新的密码速率模型πCt. （83）然后写入▄Xt=Xt-a、 Yt=Yt-b、 和▄Zt=Zt-c、 我们得到了定价核的以下表达式：πt=vuuuuut▄Xt+▄Yt+▄Zt-一-b-c+s（▄Xt+▄Yt+▄Zt-一-b-c） +4（▄Xta+▄Ytb+▄Ztc）Xt+▄Yt+▄Zt- 一- b- c+ 4.Xta+▄Ytb+▄Ztc. （84）归一化π=1施加了一个约束，而旋转对称可以用来消除另外两个参数。因此，我们得到了一个具有三个外生特殊参数的模型，可用于确定期权价格。为了得到债券价格的表达式，我们需要计算出条件期望Et[πT]。