加密货币利率理论

与使用表达式（84）作为定价内核（这使得计算有些繁琐）不同，我们可以利用以下事实重新πCt= 重新Et公司πCT. （85）然后我们可以对定价核使用更简单的公式（11），带有复杂的参数a、b和c，并计算其期望值，取结果的真实部分。使用spherecalrepresentation，我们得到了[πCT]=(√2π∑tT）ZRRe-2∑tT | R-（ξt-iδ）| RsinθdR dθdφ，（86），其中ξt=（Xt- a、 年初至今- b、 Zt公司- c） δ=（a，b，c）。结果表明，导致（27）的计算适用于复杂参数a、b和c。为了了解这一点，我们明确地执行了积分。回想一下，在δ=0的实际情况下，我们有一个固定的向量ξtin，即被积函数的指数，因此通过使用球对称性，我们选择该向量指向z方向，从而得到简单的表达式R·ξt=Rξtcosθ，该表达式用于计算（27）。在本例中，我们有两个固定向量ξ和δ，因此我们可以使用旋转对称性使两个向量位于x-y平面上，围绕x轴对称放置。我们让2αt表示两个向量ξtandδ之间的角度。换句话说，我们有ξt·δ=ξtδcos（2αt），其中ξt=ξt·ξtandδ=δ·δ。因此，ξ与x轴之间的角度为αt，类似地，δ与x轴之间的角度为-αt。通过坐标的选择，我们得到r·（ξt- iδ）=R（ξt- iδ）sinθcosαtcosφ+R（ξt+iδ）sinθsinαtsinφ。（87）我们现在可以对变量φ进行积分。为此，我们称之为2πep cosφ+q sinφdφ=2πIpp+q. （88）这可以通过将被积函数的指数视为向量（p，q）和单位向量（与向量（p，q）成一定角度φ）之间的内积来看出。然后该项等于topp+qcosφ，结果如下。

在这种情况下，我们有p=R（ξt- iδ）sinθcosαtand q=R（ξt+iδ）sinθsinαt，因此p+q=Rωtsinθ，其中ωt=|（ξt- iδ）|=ξt- δ- 2iξtδcos（2αt）。（89）我们由此推断出πCT=2π(√2π∑tT）Z∞ZπR e-2∑tT（R+ωt）sinθIRωt∑tTsinθdθdR.（90）对变量θ进行积分，我们从（62）中注意到i（νsinθ）=∞Xk=0ν2k2k（k！）（sinθ）2k。（91）因此，因为zπ（sinθ）2k+1dθ=2k+1（k！）（2k+1）！，（92）并考虑泰勒级数展开式2 sinh（ν）ν=2∞Xk=0ν2k（2k+1）！，（93）我们推导出恒等式zπsinθI（νsinθ）dθ=νeν- e-ν, （94）之后是thatEtπCT=ω-1吨√2π∑tTZ∞e-2∑tT（R+ωt）eRωt∑tT- e-Rωt∑tTdR=ω-1特尔夫ωt√2∑tT. （95）注意到πCt=ω-1因此，我们验证了导致（27）的计算适用于复杂参数a、b和c的说法。特别是，对于债券价格，我们有ptt=Re（ω-1t）Reω-1特尔夫ωt√2∑tT, （96）其中ω由（89）定义。很明显，在δ=0的实际情况下，我们超越了（96）之前的债券价格表达式（27）。因此，通过贝塞尔过程模型的复杂化，我们可以获得最终期限结构模型的真正参数扩展。我们在这里应用的复杂性方法让人想起了物理应用中使用的类似技术【22，23】。讨论严格局部鞅应在金融中发挥作用的概念已被许多作者在各种背景下考虑。尤其值得一提的是，普莱滕及其合作者所谓的本希马克（Benchmark）方法，以及F¨ollmer-Jarrow-Protter价格泡沫理论（见[21、24、25]和其中引用的参考文献），都是吸引了大量关注的例子。

在本文中，我们对金融理论中的局部鞅的应用提出了一个完全不同的建议，即严格的局部鞅可以作为在没有货币市场账户的加密经济中建模定价核的基础。熟悉的风险中性定价规则已不再适用，因为货币市场账户无法充当资产负债表。然而，正如我们所示，尽管短期利率消失，但市场风险价格的存在足以确保非平凡的贴现。我们在基于贝塞尔三阶和四阶过程的模型中详细研究了利率冻结方法。这些模型的优点是，可以为各种衍生合约的价格获得显式公式，或包含高斯积分的半显式表达式。更一般地说，我们可以设想一个允许许多分散货币进入的市场。现在，在一个有n种加密货币的无摩擦市场中，如果我们写下Sijt（i，j=1，2，3，…，n）表示时间t时我以货币单位j报价的一种货币单位的价格，那么我们有Sijt=πit/πjt，（97），其中{πit}表示货币i的定价核[11，18，26]。在目前的建模框架中，可以想象这样一种情况，即定价核的形式为（11），初始值πi=（ai+bi+ci）-1/2和相应的{σit}函数。一些布朗运动在整个加密经济中是共同的，代表着系统风险，而另一些可能只适用于一种或两种加密货币，代表着异质风险。

到期日为T且删除利率为K的加密汇率上的看涨期权的支付为HT=（πiT/πjT-K） +，由于设置的高斯性质，其价格可以很容易地用数字计算。同样，我们可以研究加密货币i和主权货币（如美元）之间的汇率上的看涨期权定价问题。然后，在时间T，以执行价格K isCi$=π$E购买一单位加密货币i的期权的美元价格（πiT- Kπ$T）+. （98）举例来说，假设我们有一个几何布朗运动模型π$t=π$e-rt公司-λBt-λt（99）表示美元定价核，其中短期利率r为常数。对于加密货币（比如比特币），我们考虑形式为（11）的定价核，初始值πB=（a+B+c）-因此{Bt}和{Wt}是独立的。然后，期权价格由随机变量（πBT）的预期确定- Kπ$T）+，仅为非零ifBT>-λ日志πBT/Kπ$+ rT+λT. （100）一个简单的计算表明，期权价格由cb$=π$E给出πBTN（g+）- Ke公司-rTπ$N（g-), （101）其中g±=对数πBT/Kπ$+ rT±λTλ√T（102）和N（x）=√2πZx-∞e-zdz。（103）因此，加密货币汇率期权价格可以很容易地用数字计算出来。虽然为了简单起见，我们将美元期限结构视为指数型，短期利率不变，但很容易扩展模型，以允许对初始美元期限结构进行校准，同时保持结果的整体可跟踪性。

在这方面，我们对加密汇率期权的分析可以与Madan、Reyners&Schoutens[27]的定价工作进行对比，其中美元和比特币利率被视为常数（事实上为零），这一假设可能适用于目前BTC-USD汇率上相对较短的期权，尽管不太令人满意，不用说，从更广泛的角度来看。随着适用于比特币和其他加密货币的利率模型的发展，金融机构将能够从事加密货币利率产品的交易。有可能分布式账本技术最终会找到一种方法，以持续的利息奖励虚拟货币持仓人。与此同时，应该有一个不感兴趣的榜样的角色。感谢作者对J.R.Boland、M.Kecman和A.Rafailidis的有益评论表示感谢。[1] Nakamoto，S.（2008）《比特币：点对点电子现金系统》。比特币白皮书，https://bitcoin.org.[2] 国际清算银行（2018）BIS统计公报，2018年12月，货币和经济部。www.bis。组织/统计/公告1812。htm。[3] Hughston，L.P.，ed.（1996）Vasicek and Beyond（伦敦：风险出版物）。[4] Hughston，L.P.，ed.（2000）《新利率模型》（伦敦：风险出版物）。[5] Heath，D.、Jarrow，R.和Morton，A.（1992年），《债券定价和利率期限结构：未定权益估价的新方法》。计量经济学60，77-105。[6] Constantinides，G.M.（1992）利率名义期限结构理论。金融研究回顾5531-552。[7] Brody，D.C.&Hughston，L.P.（2004）《混沌与连贯：利率建模的新框架》。《伦敦皇家学会会刊》A460，85-110。[8] 休斯顿，L.P。

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