基于深度学习的障碍选项数值BSDE方法

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英文标题：
《Deep-learning based numerical BSDE method for barrier options》
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作者：
Bing Yu, Xiaojing Xing, and Agus Sudjianto
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  As is known, an option price is a solution to a certain partial differential equation (PDE) with terminal conditions (payoff functions). There is a close association between the solution of PDE and the solution of a backward stochastic differential equation (BSDE). We can either solve the PDE to obtain option prices or solve its associated BSDE. Recently a deep learning technique has been applied to solve option prices using the BSDE approach. In this approach, deep learning is used to learn some deterministic functions, which are used in solving the BSDE with terminal conditions. In this paper, we extend the deep-learning technique to solve a PDE with both terminal and boundary conditions. In particular, we will employ the technique to solve barrier options using Brownian motion bridges.
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中文摘要：
众所周知，期权价格是具有终端条件（支付函数）的某个偏微分方程（PDE）的解。偏微分方程的解与倒向随机微分方程（BSDE）的解有着密切的联系。我们可以求解PDE以获得期权价格，也可以求解其相关BSDE。最近，一种深度学习技术被应用于使用BSDE方法求解期权价格。在这种方法中，深度学习用于学习一些确定性函数，这些函数用于求解具有终端条件的盲源分离算法。在本文中，我们将深度学习技术推广到求解具有终端和边界条件的偏微分方程。特别是，我们将使用该技术来解决障碍选项使用布朗运动桥。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
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2022-6-14 11:48:08 上传

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关键词：深度学习 BSDE SDE 学习的 Quantitative

基于深度学习的数值BSDE障碍选择方法Bing Yu*, Xiaojing Xing+，Agus Sudjianto2019年4月15日摘要众所周知，期权价格是具有终端条件（支付函数）的部分微分方程（PDE）的解决方案。偏微分方程的解与反向随机微分方程（BSDE）的解有着密切的联系。我们可以求解PDE以获得期权价格，也可以求解其相关BSDE。最近，adeep学习技术已应用于使用BSDE方法求解期权价格。在这种方法中，深度学习用于学习一些确定性函数，这些函数用于求解具有终端条件的BSDE。在本文中，我们将深度学习技术扩展到求解具有终端和边界条件的偏微分方程。特别是，我们将使用该技术来解决障碍选项使用布朗运动桥。1简介障碍期权是一种衍生品，其收益取决于标的资产是否突破了预定的障碍价格。对于simplebarrier案例，可以使用分析定价公式（请参见[1]）。由于barr-ierOption具有内置的附加条件，因此它们往往比没有障碍的可比期权具有更便宜的溢价。因此，如果交易者认为不太可能达到障碍，他们可能更愿意以较低的溢价购买淘汰障碍期权。解决期权价格有不同的方法，包括解析解、数值求解偏微分方程和蒙特卡罗模拟。最近，人们提出了一种使用机器学习的不同方法。文献[2]研究了利用机器学习求解偏微分方程。在这项工作中，提出了一种新的方法来求解具有终端条件的抛物型偏微分方程，我们将在下文中称之为标准框架。

在这个*公司模型风险部，富国银行，必应。yu@wellsfargo.com+公司模型风险，富国银行公司模型风险，富国银行方法，PDE通过ha-Feymann-Kac公式表示为随机控制问题。在这个公式中，将期权价格的偏微分方程与BSDE联系起来。期权价格是通过解BSDE而不是解PDE来确定的。BSDE的解决方案由两个确定性函数表示。一项创新（如[2]所示）是使用神经网络和深度学习技术来学习这些确定性函数。这种方法的数学基础是基于Kolmogorov-Arnold表示定理。该定理表明，任何连续函数都可以用一个变量的c个连续函数的有限组合来近似。Cybe nko（见[3]）发现前馈神经网络是该定理的自然实现，他提供了一个使用asigmoid函数的具体实现。除文[2]外，文[4]还将该方法推广到求解完全非线性的偏微分方程和二阶倒向随机微分方程。与这种深度学习方法相关的其他工作包括【5】和【6】。在文献[5]中，提出了一种模拟前向-后向随机微分方程（FBSDE）中过程的不同方法。不是使用神经网络来近似PDE解的导数，而是使用网络直接近似PDE解，并使用自动微分计算导数。文献[6]中提出了构建神经网络和学习结构的许多不同选择以及两种新型结构。这些问题是在具有某些终端条件的PDE的框架中出现的。这些偏微分方程可以用等效的BSDE求解。在上述标准框架中，求解的PDE没有边界条件。

有一些关于自由边界条件下偏微分方程的工作。在这些工程中，BSDE被反射BSDE（RBSDE）代替。为了求解RBSDE，在损失函数中添加了一个惩罚项，以考虑自由边界条件。同样，机器学习可以用来解决这些问题。[7]中使用了这种方法来解决美式期权。百慕大Swa期权通过在【8】中的边界行使期权来解决。在我们的工作中，我们考虑屏障选项。我们对障碍选项的边界条件进行了不同的处理。我们将边界条件合并为最终条件，而不是将RBSDE与边界处的惩罚函数或行使选项一起使用。据我们所知，以前从未采用过这种方法。在本文中，我们组织如下。在第2节中，我们介绍了针对Cauchy问题设计的standardframework。在第3节中，我们描述了如何扩展标准框架来处理障碍选项，这与Cauchy-Dirichlet问题相对应。在第4节中，我们给出了数值考虑和我们从实验中获得的结果。最后，我们在第5.2节机器学习求解BSDE的基本方法中做了一些总结。我们简要介绍了[2]中提出的基于深度学习的数值BSDE算法。我们从n FBSDE开始，这是在[9]中首次提出的。Xt=X+^tbs（Xs）ds+^tσs（Xs）dWsYt=h（Xt）+^Ttfs（Xs，Ys，Zs）ds-^ttzsdwsher，{Ws}0<s<是布朗运动，h（XT）是终止条件。对（Y，Z）0<t<t解决BSDE。众所周知，存在一个确定性函数u=u（t，x），使得Yt=u（t，Xt），Zt=u（t，Xt）σt（Xt）和u（t，x）求解拟线性偏微分方程。

对于前向和后向过程，我们可以使用Euler Scheme来近似：Xti+1≈ Xti+bti（Xti）（ti+1- ti）+σti（Xti）（Wti+1- Wti）（1）Yti+1≈ Yti公司- fti（Xti、Yti、Zti）（ti+1- ti）+Zti（Wti+1- Wti）（2）注意，我们已经将向后的过程变为向前的过程；这是治疗FBSDE的常用技术。这组方程在给定路径上有以下解释：Xtiis基本原理；Ytis是期权价格，Ztii与时间ti的delta相关。在基于深度学习的数值BSDE算法中，使用神经网络结构用参数θ逼近每个时间步的项Ztiat。从基本价格Xat时间0和初始猜测Y0，Z开始，我们使用方程（1）和（2）计算每个时间步的Xti+1和Yti+1，直到最终时间T。在终端时间，损耗由l（θ，Y，Z）=E[（YT）给出- h（XT））]。采用随机梯度下降法，通过迭代到Y，Zandθ的最优值来最小化损失函数。注意，这一思想的成功在于神经网络能够很好地逼近非线性函数Zt（Xt）；Cybenko的工作保证了这一点（见[3]）。该fr amework用Cauchy条件（标准框架）求解PDE。然而，有某些类型的选项将对应于具有Cauchy-Dirichlet条件的PDEW。例如，屏障选项是CauchyDirichlet PDE问题。在本文中，我们将考虑扩展standardframework来处理这种情况。3解决障碍期权的基本方法的扩展障碍期权是一种期权，其收益取决于基础资产的价格在一定时期内是否达到一定水平。这些障碍选项可分为淘汰选项或淘汰选项。当标的资产价格达到一定的障碍时，Aknock out期权就不再存在。

只有当基础ingasset价格达到一个障碍时，才存在敲入期权。向上和向外看涨期权是一种定期看涨期权，如果a资产组价格达到高于当前资产价格的障碍水平B，该看涨期权将不复存在。向上买入是一种定期买入期权，只有在达到障碍时才会出现。下入和下出选项的定义类似。在Black-Scholes框架下，假设系数为常数，不难推导出这类方程的解析解。因此，我们将使用分析溶液作为基准。我们想从柯西-狄里克莱问题的most一般形式开始。众所周知，费曼-卡克公式提供了一种将偏微分方程问题转化为概率问题的方法。Dirichlet条件需要以概率的方式进行转换，当它从一个域中退出时，要超越潜在的差异过程。定理1。（见【10】第4章）。设W为布朗运动。假设过程满足：Xt=X+^tbs（Xs）ds+^tσs（Xs）dws，其中b和σ满足一些常见的正则性和有界性条件。设Dbe为实空间中的有界域，并定义τt，x=inf{s>t，Xt，xs/∈ D} 进程X从域D的第一次退出时间从（t，X）开始。假设边界D是光滑的。假设函数r，g：[0，T]×(R)D→ R是连续的。然后是以下PDE的C1,2类溶液u（t，x）tu（t，x）+b（t，x）xu（t，x）+σ（t，x）xxu（t，x）- r（t，x）u（t，x）=0，t<t，x∈ Du（T，x）=g（T，x）x∈\'Du（t，x）=g（t，x）（t，x）∈ [0，T]×D（3）可以用以下概率表示u（t，x）=E[g（τt，x∧ T、 Xt，xτT，x∧T） e类-\'τt，x∧Ttr（s、Xt、xs）ds）。备注1。假设域D是有界的。

事实上，这就足够使边界紧致了。u（t，x）是从（t，x）开始的所有路径的平均值。如果路径从未退出域D（即τt，x≥ T），我们使用端子g处的值（T，Xt，Xt）。如果路径在中退出doma（即，τt，x<t），我们将在路径退出点使用边界y值（即，g（τt，x，Xt，xτt，x））。我们可以这样写：u（t，x）=E[g（t，Xt，Xt）E-\'Ttr（s，Xt，xs）ds |τt，x≥ T]P（τT，x≥ T）+E[g（τT，x，Xt，xτT，x）E-\'τt，xtr（s，Xt，xs）ds |τt，x<t]P（τt，x<t）。（4） 向上看涨期权是上述一般情况的一种特殊情况，具体定义了领域、终端条件和边界条件。在向上看涨期权定价中，域为D={x<B}，终端条件为g（T，x）=（x- K） +{x<B}，当nx时，边界条件为g（t，x）=0≥ B、 为了简单起见，我们还可以假设漂移B、波动率σ和利率为常数。然后，方程（4）中的第二项可以去掉，因为边界条件为零；然后概率r e表示为：u（t，x）=e[g（t，Xt，Xt）e-r（T-t） |τt，x≥ T]P（τT，x≥ T）（5）为了计算这个概率表示，我们把它写进终端值Xt，Xt的条件期望中。通过使用附录中所示的引理2，我们得到：u（t，x）=E{g（t，Xt，Xt）E-r（T-t） P（τt，x≥ （6）术语P（τT，x≥ T | Xt，Xt）是指在给定时间T和T的基础值时，基础过程永远不会跨越这两者之间的障碍的可能性。我们可以应用一种常用的技术来处理一个停止过程的模拟-一个B rownian运动桥。给定年龄计量布朗运动的起点和终点，该过程从不超过两者之间某个水平的概率可以明确给出，如以下引理所述。引理1。（布朗运动桥）。

假设Xt遵循dXt/Xt=bdt+σDW，定义ξ（y）=exp[-2.* ln（是/下一个）* ln（是/下+t） σt] ，然后（1）如果B>max（Xt，Xt+t） ，然后P[最大值<s<t+tXs<B]=1- ξ（B）（2）如果B<min（Xt，Xt+t） ，然后P[薄荷<s<t+tXs>B]=1- ξ（B）利用引理1，并在边界条件下插入，概率呈现为：u（t，x）=e{[（Xt，Xt）- K） +{Xt，Xt<B}e-r（T-t） ][1- e-2ln（B/x）*ln（B/Xt，Xt）σ（T-t） ]}（7）预期中唯一的随机变量是终端Xt、Xt的基础，因此，我们可以将其视为一个普通选项，具有相对复杂的支付效果。然后，我们可以使用标准框架来解决这个问题。我们在算法中使用的BSDE是：XT=x+^TtbXsds+^TtσXsdWsYt=h（XT）-^TtrYsds-^TtZsdWswhere h（X）=[（X- K） +{X<B}][1- e-2ln（B/x）ln（B/x）σ（T-t） 】。可以应用标准框架（第2节）中描述的Euler格式和损失函数。为完整起见，与此BSDE相对应的PDE为：(tu（t，x，x）+bxu（t，x，x）+σxxu（t、x、x）- ru（t，x，x）=0u（t，x，x）=h（x，x），其中h（x，x）=[（x- K） +{x<B}][1- e-2ln（B/x）ln（B/x）σ（T-t） 】。请注意，值u（t，x，x）是我们想要的价格。4数值考虑4.1选择基本神经网络结构与前面提到的其他工作类似，使用神经网络来近似每个时间步的术语Ztiat。神经网络的结构可以显著影响收敛。在文献[2]的原始工作中，在每个时间步，参数集θt不同（即为N个时间步构建N个不同的神经网络）：Zti=netθti（Xti），i=0。。。N、 （8）在我们的工作中，我们选择使用一种合并的神经网络，正如dby【6】所建议的那样。我们没有构建N个神经网络，而是对所有N个时间步使用一个神经网络k，因此θ不需要下标ti。

我们还需要为底层添加一个额外的维度；也就是说，神经网络还需要将成熟时间作为合并神经网络结构工作的输入：Zti=netθ（Xti，T- ti），i=0。。。N、 （9）最后，我们选择使用Elu作为基础函数，使用一个包含20个神经元的隐藏层。使用更多的隐藏层或在隐藏层中使用更多的神经元并不能明显改善收敛。每次考试的学习率都会有所不同。网络中的所有权重均使用normalor均匀r-andom变量初始化，无需预训练。在大多数情况下，使用此结构可以获得相当准确的结果。然而，对于一些孤立的情况，需要使用批量归一化技术来提高算法的收敛性。我们稍后将讨论有关改进收敛性的详细信息。为了提高计算效率，我们使用变量离散化，而不是常用的时间离散化。所需的时间步数大致取决于模型的总方差；在我们的例子中，它是波动率乘以到期时间的平方，σT。对于波动性较小的情况，我们可以采用更大的时间步长；在波动性较大的情况下，我们采用较小的时间步来提高准确性。根据经验，我们使用以下公式来确定时间步长timeste p#=max（80，σT0.025）。为了进一步提高效率，我们使用不同的学习率。在培训开始时，我们使用lar ger学习规则来搜索接近最佳点的解决方案。当解变得相对稳定时，我们降低学习率以放大最优解。最后，当最后50次迭代平均价格的变化小于某一小量时，我们使用停止标准来停止训练。

我们还坚持训练需要运行的最小迭代次数，以及程序应该停止的最大迭代次数。4.2测试结果总结4.2.1测试概述我们对n up out calloption的大量输入进行了数值实验。也就是说，我们改变了到期时间、基础价格、波动性和障碍值。为了简单起见，我们将inte rest速率和漂移都设置为零。我们总共测试了72例（见表1）。对于所有测试，我们将传感器流量Adam优化器用于随机梯度下降方法。如表2所示，我们在三种不同的设置下对这72种cas进行了分类。在第一种情况下，我们使用8000次迭代的残酷力量来确保收敛。然而，如此分离的结果仍然不收敛。在second设置中，我们在每一层引入了批处理规范化，以提高c的收敛性。在最后一个设置中，我们只在输入层使用批处理规范化。在下一节中，我们将详细讨论结果。表1：障碍期权信息期权类型行使基础到期利率漂移波动率障碍赎回23 17,22,27,32 0.5，2 0 0 0.4,0.8,1.2 40,60100表2：设置测试步骤t 1设置测试步骤t 2设置测试步骤t 3设置层3神经元d+20基函数ELU初始学习率0.01 0.02 0.02LR衰减因子0.5 0.5 0.5LR衰减频率1500 500 1000最大迭代8000 1500 3000停止标准无价格变化<0.002价格变化<0.005最小迭代8000 750 1500时间步长最大（80，Var/0.025）批量512输入层每层的批次归一化否4.2.2测试结果在本节中，我们给出了72个测试案例的结果。在测试1中，我们运行了8000Iterations。如表3所示，平均而言，结果与分析溶液的差异为4.5美分，相对差异为1.21%。