规则变化随机线性函数的尾部概率

此外，对于所有i=1，d- 1我们假设bi（t）/bi+1（t）→ ∞ 作为t→ ∞. 让A∈ Rq×d＋是一个随机矩阵，几乎肯定没有与Z无关的平凡行 E（k）qfor k∈ {1，…，q}be aBorel集合有界于CA（k-1） Q带E（k）i[ui(A.-1（C））]=0，对于所有i=1，d、 进一步假设（i）E（k）ihτ（k，i）q，d（A）αi+δi<∞ 对于某些δ=δ（i，k）>0，（ii）ui（fCA（i）d（j））>0，对于所有j=1，di公司.那么以下结果成立。（a） 我们有（AZ∈ tC）=dXi=1P（Z（i）>t）hE（k）i[ui（A-1（C））]+o（1）i，t→ ∞. （3.7）（b）定义*k： =arg最小值{i∈ {1，…，d}：P(Ohm（k） i）>0}。（3.8）然后我们有P（AZ∈ tC）P（Z（i*k） >t）→ E（k）i*kui*k（A）-1（C））= ui*k、 k（C）=：uk（C），t→ ∞,单位：M（E（k）q）。因此，AZ∈ MRV（αi*k、 uk，E（k）q）。证据（a） 自{Ohm（k） i，1≤ 我≤ d} 形成分区Ohm, P（AZ∈ tC）=Pdi=1P（k）i（AZ∈ tC）。Hence使用（3.5）并观察P（τ（i）d（Z）>t）=P（Z（i）>t）~ 1/b←i（t），t→ ∞,我们有（AZ∈ tC）=dXi=1hP（Z（i）>t）E（k）i[ui（A-1（C））]+o（1）i、 t型→ ∞.imsart bj版本。2014年10月16日文件：BrHid2020arxiv。德克萨斯州日期：2014年6月9日B.Das、V.Fasen和C.Kl–uppelberg（B），自{Ohm（k） i，1≤ 我≤ d} 形成分区Ohm, 存在一个j∈ {1，…，d}带P(Ohm（k） j）>0，因此，i*kis定义良好。注意，使用（3.7），对于任何Borel setC E（k）q远离CA（k-1） Q带E（k）i（ui(A.-1（C））=0表示i=1，d、 以下渐近行为：P（AZ∈ tC）P（Z（i*k） >t）=hE（k）i*k[ui*k（A）-1（C））]+o（1）i+dXi=i*k+1P（Z（i）>t）P（Z（i）*k） >t）E（k）i[ui（A-1（C））]+o（P（Z（i）>t）））P（Z（i*k） >t）→ E（k）i*kui*k（A）-1（C））= uk（C），t→ ∞,因为对于所有的i=i*k+1，d我们有bi*k（t）/bi（t）→ ∞, henceP（Z（i）>t）P（Z（i*k） >t）~b←我*k（t）b←i（t）→ 0，t→ ∞.因此，AZ∈ MRV（αi*k、 uk，E（k）q）。备注5。当我们假设Z∈ MRV（αi，bi，ui，E（i）d），对于所有i=1，d、 带bi（t）/bi+1（t）→ ∞ 作为t→ ∞ 对于所有i=1。

d- 1，这会限制对度量值uito CA（i）d\\CA（i）的支持-1） d；示例2.3中讨论了一个具体案例。备注6。如果Z有渐近独立的分量，并且每个分量都有分布尾P（Zj>t）~ κjt-α为t→ ∞ 对于某些α，κj>0，我们得到了Kley，Kl–uppelberg和Reinert（2016）的3.2项的推广。我们将在下一节中进一步研究此类结构。以下示例说明了贴图A：z 7下集合的图像和预图像→Az=x以及在三维设置中极限测量值为正的区域。我们强调，对于这个例子，我们的理论并不是真正必要的，计算可以手工完成，但它有助于澄清更复杂的例子所需的想法和符号。示例3.8。设Z=（Z，Z，Z）>具有iid Pareto（α）边际分布，其中P（Zi>Z）=Z-α、 对于一些α>0的情况，z>1，如示例2.3所示。然后Z∈ MRV（iα，bi，ui，E（i）），其中b（t）=（3t）1/α，b（t）=（3t）1/（2α）和b（t）=t1/（3α）是标准选择，u[i=1v∈ R+：vi>zi=（z）-α+z-α+z-α),u[1≤i6=j≤3.v∈ R+：vi>zi，vj>zj={（zz）-α+（zz）-α+（zz）-α} ，u（（z，∞) ×（z，∞) ×（z，∞)) = （zzz）-α表示z，z，z>0。考虑矩阵=1 1 00 1 11 0 1.imsart bj版本。2014年10月16日文件：BrHid2020arxiv。tex日期：2020年6月9日规则变化向量的线性函数15x1x2x3z1z2z3图1。左图的区域C=（1，∞)蓝色表示x=（x，x，x）坐标。右图有A区-例3.8中的1（C）为蓝色，z=（z，z，z）坐标。红色区域表示支持测量u。然后，在地图A:z 7下→ Az=x，区域C=（1，∞) E（3）的预映像由A给出-1（C）={z∈ R+：z>1，z>1}∪ {z∈ R+：z>1，z>1}∪ {z∈ R+：z>1，z>1}。很容易检查*= 2，如（3.8）所述。

因此，使用u（A-1（C））=1我们得到P（AZ∈ tC）~ P（Z（2）>t）u（A-1（C））~ 3吨-2α，t→ ∞.图1给出了区域C和变换区域a的曲线图-1（C）蓝色。右图上的红色区域显示了对度量u的支持。备注7。在定理3.7中，我们确定了P（AZ）的渐近行为∈ tC）对于某些集合C E（k）q。具体地说，从定理3.7（b）我们有p（AZ∈ tC）=P（Z（i*k） >t）E（k）i*k[ui*k（A）-1（C））]+o（P（Z（i*k） >t），t→ ∞,我在哪里*kis定义见（3.8）。如果E（k）i*k[ui*k（A）-1（C））]=0，我们只得到p（AZ∈ tC）=o（P（Z（i*k） >t），t→ ∞.然而，在对A和C进行某些假设的情况下，我们可以更多地说明精确的利率，如以下结果所示。提案3.9。让定理3.7的假设和符号成立。定义：=最小{d，inf{i∈ {i*kd} ：E（k）iui（A-1（C））> 0}}. （3.9）假设所有i=i*kι - 1和ω∈ Ohm（k） 伊萨特A-1ω（C）=. 然后（AZ∈ tC）=P（Z（(R)ι）>t）E（k）(R)[uι（A-1（C））]+o（P（Z（(R)）>t）），t→ ∞. （3.10）证明。根据假设，对于所有i=i*kι - 1和ω∈ Ohm（k） 我，我们有-1ω（C）=, weobtainP（k）i（AZ∈ tC）=0。（3.11）imsart bj版本。2014年10月16日文件：BrHid2020arxiv。德克萨斯州日期：2016年6月9日，B.Das、V.Fasen和C.Kl–Uppelbergs，由于i*k、 P（AZ∈ tC）=dXi=i*kP（k）i（AZ∈ tC）=dXi=ιP（k）i（AZ∈ tC）=P（Z（(R)ι）>t）E（k）(R)[uι（A-1（C））]+o（P（Z（(R)）>t）），t→ ∞,使用定理3.6。命题3.9中的附加假设通常由随机矩阵结构来满足。一个这样的例子是每行只有一个正条目的随机矩阵。例如，第4.1节的示例中提出了此类矩阵。此外，如果∈ Rd×d+和wefollow of（Janssen and Drees，2016，定理2.3）的假设，我们也得到了这样的矩阵；参见备注3（iii）。下面的命题将这种情况下的结果形式化。提案3.10。

让定理3.7的假设和符号成立。此外，让CE（k）qbe使得C=N[l=1Γl对于某些N∈ N、 其中，每一个Γlis的形式为：Γ={x∈ Rq+：xj>γ，xjk>γk}。和E（k）i[ui(A.-1（C））]=0，对于所有i=1，d、 将“ι”定义为（3.9）。如果随机矩阵具有离散分布，并且每行正好有一个正条目，则（3.10）成立。证据如果我们证明所有i=i*kι - 1和ω∈ Ohm（k） 我，我们有-1ω（C）=, 然后应用命题3.9得到结果。修复i∈ {i*kι-1}. 根据定义，我们有E（k）i[ui（A-1（C））]=0。假设存在ω∈ Ohm（k） iwithA公司-1ω（C）∩ （CA（i）d\\CA（i-1） d）6=.然后存在x*∈ C E（k）Q和z*∈ CA（i）d\\CA（i-1） d E（i）d带Aωz*= x个*∈ C、 自z起*∈ CA（i）d\\CA（i-1） d，正是z的i分量*都是积极的。不失一般性letz*, . . . , z*i> 0。现在对于任何z=（z，…，zi，0，…，0）和zj≥ z*j、 我们有Az≥ 亚利桑那州*= x个*根据C的结构，我们得到了Az∈ C、 因此{z∈ Rd+：zj≥ z*j、 j=1，i和zi+1=…=zd=0} A.-1ω（C）∩ （CA（i）d\\CA（i-1） d）。现在，根据定理3.7的假设（ii）和度量ui的同质性，我们得到0<ui{z∈ Rd+：zj≥ z*j、 j=1，i和zi+1=…=zd=0}≤ ui（A-1ω（C））≤E（k）i[ui（A-1（C））]P（A=Aω），因为A具有离散分布且P（A=Aω）>0。因此E（k）i[ui（A-1（C））]>0，这是一个矛盾。图萨-1ω（C）∩ （CA（i）d\\CA（i-1） d）=. （3.12）现在假设-1ω（C）6=. 然后存在x∈ C E（k）Q和z∈ E（i）d，Aωz=x∈ C、 自ω∈ Ohm（k） ω的i列至少有一个正项。W、 l.o.g.假设这些是ω的第一个i列。那么forz*:= （z，…，zi，0，…，0）∈ CA（i）d\\CA（i-1） dimsart bj版本。2014年10月16日文件：BrHid2020arxiv。tex日期：2020年6月9日规则变化向量的线性函数17we have aωz*= Aωz=x∈ C列i+1。

ω的，d的所有项都为零，因此最后的d- i z或z的条目*不要计算x。因此z*∈ A.-1ω（C）∩ （CA（i）d\\CA（i-1） d），这是（3.12）的冲突。这就说明了这一点。4、复杂系统中的二部网络风险共享通常使用图形网络模型进行建模，例如Kley、Kl¨uppelberg和Reinert（2016）提出的用于建模保险市场损失或金融投资风险的二部网络结构；Kley，Kl–uppelberg Andreinter（2018）。在这些论文中，仅导出了基于代理和市场尾部风险的风险度量的一阶渐近性。本着同样的精神，但超出一阶近似，我们考虑代理的顶点集a={1，…，q}和对象的顶点集（保险索赔或投资风险）O={1，…，d}。代理：对象：aaaoooof图2。具有q=3个代理和d=4个对象的二部网络。每个代理k∈ A选择多个对象i∈ O连接。图2提供了这样一个网络的示例。根据某种概率分布，这种选择可能是随机的。基本模型假设k和i与probabilityP（k）连接~ i） =pki∈ [0，1]，k=1，q、 i=1，d、 让Zidenote表示归因于第i个对象的风险，Z=（Z，…，Zd）>形成风险向量。假设图形创建过程与Z无关。影响因素k的对象损失比例用fk（Zi）=1（k）表示~ i） WkiZi，其中Wki>0表示第i个对象对第k个代理的影响。现在确定q×d加权邻接矩阵A=（Aki）k=1，。。。，q、 i=1，。。。，d∈ Rq×d+byAki=1（k~ i） Wki。（4.1）X=（X，…）给出的药剂总暴露量。

，Xq）>，其中Xk=Pdi=1fk（Zi）可表示为x=AZ。我们的目标是根据X确定部分或所有代理的尾部风险概率。in Kley、Kl–uppelberg和Reinert（2016）；Kley、Kl¨uppelberg和Reinert（2018），按比例权重用于分配目标i对代理人k的保险损失或分散代理人的投资风险。权重使计算复杂化，只影响其mSart bj ver的值。2014年10月16日文件：BrHid2020arxiv。德克萨斯州日期：2018年6月9日B.Das、V.Fasen和C.Kl¨uppelberglimit度量，导致不同的常数，而收敛速度保持不变。由于它们相当模糊数学洞察力，我们在第4.1节中使用未加权邻接矩阵。然而，可以利用A和Z的独立性，通过适当的乘法将它们合并到计算中。当我们研究相依对象而非独立对象时，我们在第4.2节中考虑加权邻接矩阵；参见下面的示例4.4和4.5。自始至终，我们在投资风险方面阐述了我们的示例和结果。4.1. 独立对象为了进行说明，我们从一个示例开始，该示例显示了Z的独立帕累托尾分量和随机邻接矩阵的X=AZ的规则变化如何转化为X的规则变化。C的选择规定了尾部风险，在这个例子中，我们明确地计算了导致两种不同渐近速率的两种不同集合的共扼尾风险。示例4.1。假设市场上有两种产品，分别具有相关风险和z，它们是独立的和P（Zi>z）~ κiz-α>0时的α为z→ ∞ 常数κi>0表示i=1，2。假设有三个投资者，每个人可以投资一个单位或一个单位或两个单位（我们假设他们总是投资）。

因此，有3×3×3=27种可能的市场投资，可以用矩阵A表示，因此投资者的共同风险由X=AZ给出。现在矩阵A的27种可能性由A给出=1 11 11 1, A=1 01 01 0, A=0 10 10 1,A=1 11 01 0, A=1 01 11 0, A=1 01 01 1, A=1 10 10 1, A=0 11 10 1, A=0 10 11 1,A=1 11 11 0, A=1 01 11 1, A=1 11 01 1, A=1 11 10 1, A=0 11 11 1, A=1 10 11 1,A=1 11 00 1, A=1 01 10 1, A=1 00 11 1, A=1 10 11 0, A=0 11 11 0, A=0 11 01 1,A=1 01 00 1, A=0 11 01 0, A=1 00 11 0, A=0 10 11 0, A=1 00 10 1, A=0 11 00 1,设qm：=P（A=Am）≥ 0表示m=1，27使得PK=1qm=1，Pm=1qm>0，q+q>0。假设我们要评估所有投资者高于高阈值t>0的风险。此外，我们还希望发现，当投资者的所有风险都高于t时，第一个投资者的风险大于第二个投资者的风险，第二个投资者的风险大于第三个投资者的风险，即X>X>X>t。因此，假设t>0，C={X∈ E（3）：xi>1，i=1，2，3}=（x，∞), （4.2）C={x∈ E（3）：x>x>x>1}，（4.3）imsart bj ver。2014年10月16日文件：BrHid2020arxiv。tex日期：2020年6月9日规则变化向量的线性函数19我们要计算P（X∈ tCi）对于i=1，2。首先注意Z∈ MRV（α，b（t），u，E（1））和Z∈ MRV（2α，b（t），u，E（2）），其中b（t）=（（κ+κ）t）1/α，b（t）=（κκt）1/（2α）和（z，z）∈(0, ∞),u（{v∈ E（1）：v>zor v>z}）=κκ+κz-α+κ+κz-α、 u（{v∈ E（2）：v>z，v>z}）=（zz）-α.为了计算必要的概率，我们首先需要计算i*kas在定理3.7中定义，基于τ（k，i）3,2（Am），对于k=1、2、3和m=1，我们可以检查m=1，15，τ（k，1）3,2（Am）<∞, k=1，2，3，τ（k，2）3,2（Am）=∞, k=1、2、3。因此，对于m=1，15，对于k=1，2，3，我们得到ik（Am）=1。

另一方面，对于m=16，27，我们观察到τ（k，1）3,2（Am）<∞, k=1，2，3，τ（3,2）3,2（Am）<∞, τ（2,2）3,2（Am）=τ（1,2）3,2（Am）=∞.因此，对于m=16，我们得到i（Am）=2，i（Am）=1，i（Am）=1。显然，根据我们的假设，P(Ohm（3） ）=Xm=1qm=：q+q+q>0，和，P(Ohm（3） ）=Xm=16qm>0，其中q=q+q+q+q+q+q+q，q=q+q+q+q+q+q+q+q+q+q E（3）。应用定理3.7（b）得出i*= 1我们有X∈ MRV（α，b（t）=（（κ+κ）t）1/α，u，E（3）），其中u（·）=E（3）[u（A-1(·))].首先考虑（4.2）中定义的集合。自（3）[u（A-1（C））]=Xm=1qmu（{z∈ E（1）：Amz∈ C} ）=[（q+q）κ+（q+q）κ]κ+κ>0，（4.4）我们有p（X∈ tC）~ P（Z（1）>t）E（3）[u（A-1（C））]~ [（q+q）κ+（q+q）κ]t-α、 t型→ ∞.命题3.9也可以得到同样的结果，因为（4.4）表示“C=”1。现在考虑（4.3）中的设置Cas。注意，在这种情况下，E（3）[u（A-1（C））]=Xm=1qmu（A-1m（C））=0，和，E（3）[u（A-1（C））]=qu（{z∈ E（2）：Az∈ C} ）+qu（{z∈ E（2）：Az∈ C} ）imsart bj版本。2014年10月16日文件：BrHid2020arxiv。德克萨斯州日期：2020年6月9日B.Das、V.Fasen和C.Kl–uppelberg=（q+q）>0。因此，使用命题3.9中的符号，我们得到了“ι=”C=2。此外，对于m=1，15我们有一个-1m（C）=. 因此，命题3.9的假设得到满足，我们得到P（X∈ tC）~ P（Z（2）>t）E（3）[u（A-1（C））]~κκ（q+q）t-2α.考虑到一组代理的众多风险情况，风险集C的不同选择的例子很多。在下文中，我们将以更系统的方式解决极端事件的尾部风险，其中所有代理的组合风险都高于高阈值。此类事件由t（x，∞).

如果我们想研究一组特定代理的问题，我们只需要考虑邻接矩阵a的一组简化行。我们假设每个代理都能够根据概率分布做出投资决策，其中代理的选择相互独立。因此，我们可以假设每个代理k∈ A={1，…，q}存在子集Jk1，Jkmkof投资O={1，…，d}这样p（Aki=1表示i∈ 对于i，Jkl和Aki=0∈ Jckl）=pkl的pkl∈ [0，1]和PMKL=1pkl=1。对于i，我们也可以认为Aki=Wki>0∈ （4.1）中的Jklas。我们的例子也准确地展示了我们的结果如何在多个方向上扩展Janssen和Drees Janssen和Drees（2016）定理3.2的结果。首先，我们考虑具有q的非平方矩阵≥ d、 然而，Janssen和Drees（2016）的结果仅限于q=d。为了便于计算，我们仅限于Z的分量独立的情况。虽然这会导致Z∈ MRV（dα，ud，E（d）d）根据Janssen和Drees（2016）的要求，我们得到AZ是多变量的，在不同的空间中随不同的指数有规律地变化；而在上述论文中，E（d）上Z和AZ的正则变化指数是相同的。我们的第一个结果提供了模型中代理风险敞口的尾部概率，其中每个代理只投资一种投资可能性，而投资可能性相互独立。此外，代理人独立作出投资决策。对小α而言，投资于一种投资可能性是一种风险规避的投资策略。根据R¨uschendorf R¨uschendorf（2013）的备注13.3（b），对于α≤ 1投资组合多样化并不能减少极端损失的风险，但通常会增加极端风险。提案4.2。让Z。

，Zdbe独立随机变量，例如p（Zi>t）~ κit-α>0时的α为t→ ∞ 对于i，常数κi>0∈ O={1，…，d}。莱塔∈ {0，1}q×dfor q≥ d是随机邻接矩阵，其中对于所有k∈ A={1，…，q}独立，P（Aki=1，Akj=0，j 6=i）=d-1，我∈ {1，…，d}\\{k}，k∈ {1，…，d}，P（Aki=1，Akj=0，j 6=i）=d，i∈ {1，…，d}，k∈ {d+1，…，q}。（a） 对于1≤ k≤ q- 1我们有AZ∈ MRV（α，b（t），uk，E（k）q），uk（·）=E（k）hu（{z∈ E（1）d：Az∈ · })i、 其中u（[0，z]c）=K-1Pdi=1κiz-αifor z∈ E（1）d，b（t）~ （Kt）1/α和K=Pdi=1κi.（b）我们有P(Ohm（q） ）=0，对于2≤ 我≤ d和x=（x，…，xq）>∈ E（q）qwe作为t→ ∞,P（q）i（AZ∈ t（x，∞)) = iX1≤j<···<ji≤d（iYl=1κjlxjl）t-iα+o（t-iα）。imsart bj版本。2014年10月16日文件：BrHid2020arxiv。tex日期：2020年6月9日规则变化向量的线性函数21where我=我- 1d- 1.我身份证件- 1.d-我身份证件q-d- 我我- 2维- 1.我-1.我- 1d- 1.d+1-我我- 1dq-d、 （c）对于k=q，我们有AZ∈ MRV（2α，b（t），uq，E（q）q）和b（t）~ （Kt）1/2α，其中k=Pd1≤i<j≤dκiκjanduq（（x，∞)) =q-2（d- 1） ddq公司-丹麦-1X1≤i<j≤dκiκj（xixj）-α、 这样对于x∈ E（q）qas t→ ∞,P（AZ∈ t（x，∞)) =Kuq（（x，∞))t型-2α+o（t-2α).证据首先注意，使用与引理2.3中类似的参数，对于任何i=1，D这是Z∈ MRV（iα，bi，ui，E（i）d），具有规范选择bi（t）~ （套件）1/（iα）和Ki=X1≤j<···<ji≤二酰=1κjl。（4.5）此外，对于z=（z，…，zd）>∈ E（d）dwe有ui（{v∈ E（i）d:vj>zj，vji>Zji对于某些1≤ j<···<ji≤ d} ）=KiX1≤j<···<ji≤二酰=1κjlz-αjl，（4.6）和P（τ（i）d（Z）>t）=P（Z（i）>t）~ 1/b←i（t）~ 配套元件-iα，t→ ∞.A的结构保证了E（q）iτ（k，i）q，d（A）iα= 1，满足定理3.6和3.7的条件（i）。此外，参考备注4和（4.6），对于所有j=1，…，我们有ui（fCA（i）d（j））>0，di公司,满足定理3.6和3.7中的条件（ii）。现在我们展示结果的各个部分。（a） 让1≤ k≤ q- 1.