规则变化随机线性函数的尾部概率

，d，CA（i）d\\CA（i-1） d={v∈ Rd+：v的精确i坐标为正}=：（di）[j=1fCA（i）d（j），（2.4），其中fca（i）d（j）表示Rd+中的第j个i维坐标超平面，i为正，d为- 在超平面的某些排序中，坐标为零。我们顺便注意到Ca（d）d=E（d）d=fCA（d）d（1）。在上述锥体序列中发现规则变化的方法可以设计如下。首先，假设V∈ MRV（α，b，u，E（1）d），α>0。imsart bj版本。2014年10月16日文件：BrHid2020arxiv。tex日期：20206年6月9日B.Das、V.Fasen和C.Kl¨uppelberg（1）如果u（E（d）d）>0，我们寻求Rd+锥体上没有进一步的规则变化。（2） 如果u（E（d）d）=0，我们可能会发现∈ {2，…，d}使得u（E（i-1） d）>0，但u（E（i）d）=0。因此u集中在CA（i-1） 因此，我们寻求E（i）d=Rd+\\CA（i）的规则变化-1） d.假设存在bi（t）↑ ∞ 有限制→∞b（t）/bi（t）=∞ E（i）d上的ui6=0，如V∈ MRV（αi，bi，ui，E（i）d）。那么，αi≥ α、 bi（·）∈ RV1/αi和ui（c·）=c-αiui（·）对于c>0。因此，V在E（i）d上随参数有规律变化-αi.（3）在下一步中，如果ui（E（d）d）>0，我们停止寻找规则变化；否则，我们会通过E（i+1）d，…，继续寻找规则变化，E（d）依次为d。通过一个例子，可以更容易地理解圆锥序列上规则变化的概念。示例2.3。对于d≥ 2，假设V=（V，…，Vd）>和V，Vdare iid Pareto（α）随机变量，α>0，使得P（Vi>t）=t-α、 t型≥ 1.（i）首先，我们观察到，对于所有i=1，d、 我们有V∈ MRV（αi，bi，ui，E（i）d），αi=iα，bi（t）=t1/（iα），其中极限测量u离子E（i）dis使得对于任何z=（z，…，zd）>∈ E（d）d，ui（{v∈ E（i）d:vj>zj，vji>Zji对于某些1≤ j<…<冀≤ d} （）=di公司X1≤j<···<ji≤d（zjzj·zji）-α. （2.5）这源自Maulik和Resnick（2005）中的示例5.1和Mitra andResnick（2011）中的示例2.2。

因此，ifC={v∈ Rd+：v>z，vi>zi}（2.6）我们发现（V∈ tC）=t-iα（zz···zi）-α+o（t-iα），t→ ∞. （2.7）（ii）（2.5）中定义的度量uias集中于CA（i）d\\CA（i-1） d.（iii）一般来说，从第（i）部分我们得出结论，对于任何Borel集C E（i）D与CA（i）有界-1） d，P（V∈ tC）=t-iαui（C）+o（t-iα），t→ ∞.所以，如果ui（C）=0，我们得到P（V∈ tC）=o（t-iα）作为t→ ∞. 然而，如果C的形式为（2.6），或此类集合的有限并集（对于固定i），则从（2.7）我们知道ui（C）>0。备注1。虽然可以为Rd+中非常普遍的一类锥体定义多变量规则变化（见Das、Mitra和Resnick（2013）；Lindskog、Resnick和Roy（2014）；以Mitraand Resnick（2011）为例），就本文而言，仅限于子条款（1）d，（2.2）和（2.3）中定义的数据。关于空间R+中包含的有限序列圆锥上指数的有限序列的规则变化示例，请参见Das，Mitra andResnick（2013，示例5.3）。定义2.4。假设V=（V，…，Vd）>∈ MRV（αi、bi、ui、E（i）d）和F←V（i）（s）=inf{t∈R:FV（i）（t）≥ s} 是V（i）的分布函数FV（i）的广义逆，其中V（1）≥ . . . ≥ V（d）是V，…，的顺序统计量，Vd。如果bi（t）=F←五（一）（1）- 我们称bi（·）为标度函数的标准选择。imsart bj版本。2014年10月16日文件：BrHid2020arxiv。tex日期：2020年6月9日规则变化向量的线性函数73。Breiman定理和欧几里德子空间上的正则变分在本节中，我们提供了Janssen和Drees（2016，定理2.3）中提供的空间E（1）Qa的向量值推广（2002，命题a.1）及其对q=d的E（q）Qf的后续修改的完整特征。

我们研究了向量X=AZ，其中∈ Rq×dis是一个与Z无关的随机矩阵∈ Rd+，andZ是在子空间E（i）dF上的多变量规则变化，对于i=1，d、 我们给出了P（AZ）尾概率收敛的渐近速率∈ tC）对于Borel集合C E（k）q对于k=1，q、 为了方便起见，我们首先介绍了解决这一问题的两个可用结果。k·k表示任意向量和算子范数，只有度量d（·，·）始终由sup范数定义。从以前的论文中引用的大多数结果在模糊收敛方面具有渐近性质和定义，我们在此就toM收敛重申这些结果。定理3.1（Basrak、Davis和Mikosch（2002，命题A.1））。让Z∈ Rd+是一个随机向量，使得Z∈ MRV（α，u，E（1）d）与α≥ 0和A∈ Rq×d+是Z的随机矩阵依赖性，0<E[kAkα+δ]<∞ 对于某些δ>0。然后（t-1AZ公司∈ · )P（kZk>t）→ Ehu（{z∈ E（1）d：Az∈ · })i=：u（·），t→ ∞, （3.1）单位：M（E（1）q）。特别是，我们有AZ∈ MRV（α，u，E（1）q）。备注2。这里有几句话要说。（i） 对于kZk变大，需要Z的一个分量变大。因此P（kZk>t）~ c P（Z（1）>t）作为t→ ∞ 对于某些常数c>0，且P（Z（1）>t）提供了P（t）的收敛速度-1AZ公司∈ · ) 归零。（ii）（1.2）中的观察结果是该定理的一个简单结果。对于E（1）q中的某些集合，（3.1）的右侧可能为零，导致结果不具信息性。Janssen和Drees（2016）提供了保证（3.1）中非零极限的部分解决方案，当q=d，且在空间e（d）d=（0，∞)d、 这意味着我们关注的是集合，其中X=AZ的所有分量都很大，转化为事件{X（d）>t}。杨森和德雷斯（2016）的正式背景如下。

定义τ：Rd+→ R+为点x的距离∈ 来自空间CA（d）的Rd+-1） d：=[0，∞)d \\（0，∞)din sup范数，由τ（z）给出：=d（z，CA（d-1） d）=z（d）。对于确定性矩阵a∈ Rd×dwe定义模拟τ（A）：=supz∈E（d）d：τ（z）=1τ（Az）=supz∈（d） dτ（Az），（3.2），其中i∈ {1，…，d}，（i） d={x∈ E（i）d:d（x，CA（i-1） d）=1}。定理3.2（杨森和德雷斯（2016，定理2.3））。让Z∈ Rd+是一个随机向量，如Z∈ MRV（αd、ud、E（d）d）和A∈ Rd×dbe是一个与Z无关的随机矩阵。假设τ（a）>0几乎肯定，E[τ（a）αd+δ]<∞ 对于某些δ>0。然后（t-1AZ公司∈ ·)P（τ（Z）>t）→ Ehud（{z∈ E（d）d：Az∈ ·})i=：ud（·），t→ ∞,单位：M（E（d）d）。特别是，我们有AZ∈ MRV（αd，ud，E（d）d）。imsart bj版本。2014年10月16日文件：BrHid2020arxiv。德克萨斯州日期：20208年6月9日B.Das、V.Fasen和C.Kl–uppelbergRemark 3。需要几句话来解释上述结果。（i） 注意，P（τ（Z）>t）=P（Z（d）>t，这提供了P（t）的收敛速度-1AZ公司∈·) 归零为t→ ∞.（ii）（1.3）中的观察结果是定理3.2的简单结果。（iii）定理3.2是针对随机波动率模型的特定情况而设计的。它的假设具有限制性，可能无法捕捉（3.1）右侧为零的各种情况。特别是，对于几乎肯定有非负项的平方随机矩阵a，定理3.2要求a几乎肯定是可逆的，而且其逆矩阵几乎肯定有非负项（见Janssen和Drees（2016，引理2.2））。这意味着A的几乎所有实现都是具有正对角项的对角矩阵的行置换（参见Ding和Rhee（2014））。3.1. Breiman定理在欧氏子空间的推广根据以前的结果，我们提供了Breiman定理的多元推广，它为多种形式的a的非平凡收敛性提供了线索。

让A∈ Rq×d+具有确定性。我们按照（2.2）-（2.3）定义了Rq+子公司的模拟序列，并按照以下步骤进行。叉=1，q、 定义τ（k）q:Rq+→ R+为点x的距离∈ 来自空间CA（k）的Rq+-1） qin是sup范数，由τ（k）q（x）=d（x，CA（k）给出-1） q）=x（k）。（3.3）此外，我们类比（3.2）定义了函数τ（k，i）q，d:Rq×d+→ R+由τ（k，i）q，d（A）=supz给出∈E（i）dτ（k）q（Az）τ（i）d（z）=supz∈E（i）d（Az）（k）z（i）=supz∈（i） dτ（k）q（Az）。（3.4）请注意，如果q=d，则τ（q，d）q，d（A）=来自（3.2）的τ（A）。虽然函数τ（k）q，τ（k，i）q不一定是诱导向量空间上的半形式（见Horn和Johnson（2013，第5.1节）），但它们具有以下列出的一些有用特性。如果是零向量，我们称之为平凡的一行。引理3.3。对于每个确定性矩阵A∈ Rq×d+和z∈ Rd+以下保持时间i=1，d和k=1，q： （a）τ（k）q（Az）≤ τ（k，i）q，d（A）τ（i）d（z）。（b） τ（k，i）q，d（A）≤ τ（k-1，i）q，d（A）。（c） τ（k，i）q，d（A）≤ τ（k，i+1）q，d（A）。（d） τ（q，1）q，d（A）>0当且仅当A的所有行都是非平凡的。（e） τ（k，1）q，d（A）≤ τ（1,1）q，d（A）<∞.证据（a） 根据定义，我们得到τ（k）q（Az）=τ（k）qAzτ（i）d（z）τ（i）d（z）≤ τ（k，i）q，d（A）τ（i）d（z）。（b） 以及（c）从定义开始立即跟进。imsart bj版本。2014年10月16日文件：BrHid2020arxiv。tex日期：2020年6月9日规则变化向量的线性函数9（d）如果A=（Aij）i，jhas非平凡行，表示e=（1，…，1）>∈ Rd+，我们有τ（q，1）q，d（A）≥τ（q）q（Ae）τ（1）d（e）=min1≤我≤qdXj=1Aij>0，最终支配是a的每一行至少有一个正条目的结果。另一方面，假设τ（q，1）q，d（A）>0且A有一个平凡的行。那么对于anyz∈ E（1）d，我们有τ（q）q（Az）=min1≤我≤qdXj=1Aijzj=0。这意味着τ（q，1）q，d（A）=supz∈E（i）dτ（q）q（Az）τ（1）d（z）=0，这是一个矛盾。因此，A不能有一个平凡的行。（e） 第一个不等式来自（b）。

此外，τ（1,1）q，d（A）=supz∈（1） d（Az）（1）=supz∈E（1）d:z（1）=1（Az）（1）≤ d最大值1≤我≤q、 1个≤j≤dAij<∞.对于确定性矩阵a∈ Rq×d+和C Rq+，C的前映像由A给出-1（C）={z∈ Rd+：Az∈ C} 。下面的引理描述了线性映射A下Rd+子空间的映射，并且是后续结果的关键。引理3.4。让A∈ Rq×d＋是一个所有行都不平凡的确定矩阵。那么对于fixedi∈ {1，…，d}和固定k∈ {1，…，q}，以下是等价的：（a）a-1（E（k）q） E（i）d.（b）0<τ（k，i）q，d（A）<∞.证据（a）=>（b） ：让A-1（E（k）q） E（i）d。首先假设τ（k，i）q，d（A）=0。因此，通过定义，从（3.4）中，我们得到τ（k）q（Az）=（Az）（k）=0，对于每个z∈ E（i）d.ThusA-1（E（k）q）∩ E（i）d=与前提相矛盾。现在假设τ（k，i）q，d（A）=∞. 设M=τ（1）q（Ae），其中e=（1，1，…，1）T∈ Rd+。那么就有一个z∈ （i） d={z∈ Rd+：z（i）=1}，使得τ（k）q（Az）≥ M+d。在不丧失一般性的情况下，固定这样一个z，假设z≥ z≥ . . . ≥ zd（否则我们可能会按照A的列排列）。因此z（i）=zi=1。定义z*∈ 通过转换最后的d- i z到1的分量。亨塞兹*= （z，…，zi）-1, 1, . . . , 1)>.因为z的分量*和z是有序的，并且是组件式的z*≥ z、 我们有τ（k）q（Az*) ≥τ（k）q（Az）≥ M+d.现在，德涅兹*e： =z*- e=（z- 1.zi公司-1.- 1, 0, . . . , 0)>.imsart bj版本。2014年10月16日文件：BrHid2020arxiv。德克萨斯州日期：2010年6月9日B.Das、V.Fasen和C.Kl–Uppelbergz*e∈ Rd+和z*e类/∈ E（i）D自z起*（i） e=z*e、 i=0。注意τ（k）q（Az*) ≥ M+d表示至少Az的k元素*大于M+d，而τ（k）q（Ae）≤ τ（1）q（Ae）=定义为M。因此，Ae的所有元素最多为M。自Az起*e=Az*- Ae，至少Az的k元素*等于d。因此，τ（k）q（Az*e）≥ d>0。因此Az*e∈ 这是一个矛盾。（b）=>（a） ：让x∈ E（k）q。然后τ（k）q（x）>0。

此外，让A-1（x）：={z∈ Rd+：Az=x}和Let zx∈ A.-1（x） Rd+。然后通过引理3.3（a），τ（i）d（zx）≥τ（k）q（Azx）τ（k，i）q，d（A）=τ（k）q（x）τ（k，i）q，d（A）>0，表示zx∈ E（i）d.因此A-1（E（k）q） E（i）d.示例3.5。下面的例子说明了引理3.4中所示的等价性。假设a=1 1 1 01 1 0 11 0 1 10 1 1 1z=（z，z，z，z）>。然后X=Az=（z+z+z，z+z+z，z+z+z，z+z+z）>。对于k=q=4，我们发现τ（4,1）4,4（A）=supz∈E（1）x（4）z（1）=3<∞, τ（4,2）4,4（A）=supz∈E（2）x（4）z（2）=3<∞,τ（4,3）4,4（A）=supz∈E（3）x（4）z（3）=∞.在前两种情况下，当z>0时，在z=（z，z，z，z）>处达到3的最大值。通过使用z实现最终相等*= （z，z，z，z）>对于z>0，其中z*∈ E（3）。因此，根据EMMA 3.4，我们有-1（E（4）） E（2）（也包括E（1））。这意味着预映像-1（E（4））包含向量z∈ R+，其最大的两个分量为正，其他两个分量可以为零或正。该示例可与Janssen和Drees（2016，引理2.2）进行比较，其中仅考虑了τ（4,4）4,4（A），在本示例中，该引理由引理3.3（c）定义。A的唯一选择，其中τ（4,4）4,4（A）<∞ 是具有正对角项的对角矩阵的置换；见备注3（iii）。3.2. 主要结果推广定理3.1和3.2的关键结果，包括一般随机矩阵A∈ 本节提供了Rq×d+和各种尾套。如果Z∈ 具有渐近依赖成分的MRV（α，u），意味着u（Rd+\\CA（d-1） d）=u（{z∈ R+d：z（d）>0}）=0，我们可以看到并发现子类E（i）d中的多变量规则变化，对于i=1，d如第2.1节所示。定理3.6为AZ提供了适当的非零限值及其在存在此类调节时的速率。imsart bj版本。2014年10月16日文件：BrHid2020arxiv。tex日期：2020年6月9日k=1时，规则变化向量的线性函数11。

、q和ω∈ Ohm 定义Aω：=A（ω）andik（Aω）=arg max{j∈ {1，…，d}：τ（k，j）q，d（Aω）<∞},创建的分区Ohm 提交人：Ohm（k） i：={ω∈ Ohm : ik（Aω）=i}，i=1，d、 我们写P（k）i（·）：=P（·）∩ Ohm（k） i）和E（k）i[·]：=E[·1Ohm（k） i）]。这意味着，对于固定k，我们总结了所有ω∈ Ohm, 这样ω产生相同的ik，我们在度量空间上工作(Ohm（k） i，F∩ Ohm（k） i，P（k）i）由i=1索引，d、 定理3.6。让我∈ {1，…，d}固定，Z∈ Rd+一个随机向量，使得Z∈MRV（αi，bi，ui，E（i）d），定义2.4中有标准偏差选择。还让A∈ Rq×d+是arandom矩阵，几乎肯定没有与Z无关的平凡行。此外，假设对于某些k满足以下条件∈ {1，…，q}：（i）对于某些δ=δ（i，k）>0，我们有（k）ihτ（k，i）q，d（A）αi+δi：=ZOhm（k） iτ（k，i）q，d（A）αi+δdP<∞,（ii）对于所有j=1，…，ui（fCA（i）d（j））>0，di公司.然后我们有p（k）i（AZ∈ t·）P（τ（i）d（Z）>t）→ E（k）ihui（{z∈ E（i）d：Az∈ · })i=：ui，k（·），t→ ∞, （3.5）单位：M（E（k）q）。证据如果P(Ohm（k） i）=0，则（3.5）非常满意，因为左侧和右侧为零。因此我们假设P(Ohm（k） i）>0。让C E（k）qbe是与CA（k）有界的Borel集-1） 质量和满意度E（k）iui(A.-1（C））= 然后存在一个常数δc，对于所有x，τ（k）q（x）=x（k）>δc∈ C、 利用引理3.3（a），我们得到了所有t>0，M>0P（k）i（AZ∈ tC，τ（k，i）q，d（A）>M）≤ P（k）i（τ（k）q（AZ）>tδC，τ（k，i）q，d（A）>M）≤ P（τ（k，i）q，d（A）τ（i）d（Z）>tδC，τ（k，i）q，d（A）>M，Ohm（k） i）。因为τ（i）d（Z）=Z（i）∈ RV-假设A和Z是独立的，Breiman定理的单变量版本与E（k）i[τ（k，i）q，d（A）αi+δ]<∞ yieldslim支持→∞P（k）i（AZ∈ tC，τ（k，i）q，d（A）>M）P（τ（i）d（Z）>t）≤ lim支持→∞P（1{τ（k，i）q，d（A）>M}∩Ohm（k） iτ（k，i）q，d（A）τ（i）d（Z）>tδC）P（τ（i）d（Z）>t）=δ-αiCE[τ（k，i）q，d（A）αi{τ（k，i）q，d（A）>M}∩Ohm（k） i）]。请注意-1（C）：={z∈ Rd+：Az∈ C} 又是a.s。

远离CA（i-1） d，自forx∈ C、 ω∈ Ohm（k） i和zx∈ A.-1ω（C） Rd+我们有引理3.3（a），τ（i）d（zx）≥τ（k）q（Aωzx）τ（k，i）q，d（Aω）=τ（k）q（x）τ（k，i）q，d（Aω）>δCτ（k，i）q，d（Aω）>0（3.6）imsart bj ver。2014年10月16日文件：BrHid2020arxiv。德克萨斯州日期：2012年6月9日B.Das、V.Fasen和C.Kl–uppelbergand，因此，P（k）i（A-1（C） E（i）d）=1。因此，我们将a简化为：=aω，并对a进行条件化，通过Z和a的独立性，我们得到→∞P（k）i（AZ∈ tC，τ（k，i）q，d（A）≤ M）P（τ（i）d（Z）>t）=极限→∞Z{τ（k，i）q，d（a）≤M} P（Z∈ 助教-1（C））P（τ（i）d（Z）>t）dP（k）i（a）=Z{τ（k，i）q，d（a）≤M} ui（a-1（C））dP（k）i（a）=E（k）ihuiA.-1（C）1{τ（k，i）q，d（A）≤M}i、 其中，我们使用第三个等式E（k）i[ui(A.-1（C））]=0，结合Pratt\'slemma（Pratt，1960），因为对于τ（k，i）q，d（Aω）≤ 对于积分p（Z∈ 助教-1ω（C））P（τ（i）d（Z）>t）≤P（τ（k，i）q，d（Aω）τ（i）d（Z）>tδC）P（τ（i）d（Z）>t）≤P（Mτ（i）d（Z）>tδC）P（τ（i）d（Z）>t）→ Mαiδ-αiC，t→ ∞.我们需要证明E（k）i[ui（A-1（C））]<∞. 定义B（i）d（δ）：={z∈ Rd+：τ（i）d（z）≤ δ}. 根据ui和（3.6）的均匀性，我们得到了（k）iui（A-1（C））≤ E（k）ihuiB（i）dδC/τ（k，i）q，d（A）ci=uiB（i）d（δC）cE（k）ihτ（k，i）q，d（A）αii<∞.为了完成证明，仍需证明E（k）i[ui（A-1（E（k）q））]>0。案例1：假设1≤ i<d.Letω∈ Ohm（k） 我们从引理3.4知道-1ω（E（k）q） E（i）d.定义，CA（i）d\\CA（i-1） d E（i）d.我们声称（CA（i）d\\CA（i-1） d）∩ A.-1ω（E（k）q）6=.如果没有，那么我们有-1ω（E（k）q） E（i）d \\（CA（i）d \\ CA（i-1） d）=Rd+\\CA（i）d=E（i+1）d。因此，根据Emma 3.4，τ（k，i+1）q，d（Aω）<∞. 但这与Ohm（k） isinceω∈ Ohm（k） i.那么让z∈ （CA（i）d\\CA（i-1） d）∩ A.-1ω（E（k）q）。然后到（2.4），我们得到了z∈fCA（i）d（j*) 对于一些1≤ j*≤di公司. 设Iz：={j∈ {1，…，d}：zj>0}。显然，CA（i）d（j*) = {z∈ Rd+：对于j，zj>0∈ Izand zj=0表示j∈ {1, . . .

，d}\\Iz}。因此，对于每个z*∈ CA（i）d（j*) 我们有Aωz的某个分量*当且仅当Aωz的相应分量为正时为正，因为Aω只有非负项。ThusAωz*∈ E（k）q，即z*∈ A.-1ω（E（k）q）。因此，我们得到fca（i）d（j*)  A.-1ω（E（k）q） E（i）d.由于假设（ii），ui为每个di公司超平面SFCA（i）d（j），这将导致ui（A-1ω（E（k）q））≥ ui（fCA（i）d（j*)) ≥ minjui（fCA（i）d（j））>0，andE（k）i[ui（A-1（E（k）q））]≥ minjui（fCA（i）d（j））>0，imsart bj版本。2014年10月16日文件：BrHid2020arxiv。tex日期：2020年6月9日规则变化向量的线性函数13证明了1≤ i<d.情况2：假设i=d.Letω∈ Ohm（d） d.取z∈ A.-1ω（E（k）q） E（d）d，然后是zand Aωz的所有分量∈ E（k）qare阳性。因此，ω没有平凡的行，对于每个z*∈ E（d）dalso Aωz*只有正分量，即Aωz*∈ E（k）q。这导致E（d）d=A-1ω（E（k）q）andE（k）d[ud（A-1（E（k）q））]=ud（E（d）d）>0。备注4。对于所有j=1，…，ui（fCA（i）d（j））>0的条件，di公司对于至少一个j，可放宽至ui（fCA（i）d（j））>0∈ {1, . . . ,di公司}, 但是，证明极限度量是非零的结果是一项繁琐的工作，需要谨慎地进行。在许多例子中，度量值ui被证明是相对于坐标可交换的，并且假设所有j=1，di公司这并不少见。示例2.3中给出了一个这样的示例，其中，对于α>0，Ziare iid Pareto（α），对于所有j=1，…，我们有ui（fCA（i）d（j））>0，di公司.定理3.6为E（k）q中的集提供了正则变化极限测度Ohm（k） i，无论何时满足这两个条件，我们都有以下极限概率。定理3.7。让Z∈ Rd+是一个随机向量，对于所有i=1，d、 我们有Z∈MRV（αi，bi，ui，E（i）d），定义2.4中有标准偏差选择。