规则变化随机线性函数的尾部概率

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英文标题：
《Tail probabilities of random linear functions of regularly varying
  random vectors》
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作者：
Bikramjit Das, Vicky Fasen-Hartmann and Claudia Kl\\\"uppelberg
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We provide a new extension of Breiman\'s Theorem on computing tail probabilities of a product of random variables to a multivariate setting. In particular, we give a complete characterization of regular variation on cones in $[0,\\infty)^d$ under random linear transformations. This allows us to compute probabilities of a variety of tail events, which classical multivariate regularly varying models would report to be asymptotically negligible. We illustrate our findings with applications to risk assessment in financial systems and reinsurance markets under a bipartite network structure.
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中文摘要：
我们提供了一个新的扩展布雷曼定理计算尾部概率的乘积随机变量的多元设置。特别地，我们给出了锥上正则变化的一个完整刻划$随机线性变换下的概率为[0，infty）^d$。这使我们能够计算各种尾部事件的概率，而经典的多变量规则变化模型将报告为渐近可忽略不计。我们通过将我们的发现应用于二部网络结构下金融系统和再保险市场的风险评估来说明我们的发现。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Tail_probabilities_of_random_linear_functions_of_regularly_varying_random_vectors.pdf (1.04 MB)

2022-6-14 12:24:56 上传

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关键词：Applications Multivariate Quantitative Differential Application

arXiv：数学。规则变化随机向量的随机线性函数的PR/0000000尾概率*工程系统与设计新加坡理工大学新加坡索马帕路8号，邮编：487372，新加坡电子邮件：bikram@sutd.edu.sgandVICKYFASEN HARTMANNInstitute for Stochasticskallsruhe Institute of TechnologyEnglerstrasse 276131 Karlsruhe，Germany电子邮件：vicky。fasen@kit.eduandCLAUDIA吉隆坡大学数学科学中心MunichBoltzmanstrasse理工大学385748 Garching，德国电子邮件：cklu@ma.tum.eduWe提供了Breiman定理在计算随机变量乘积的尾部概率到多元设置的新扩展。特别地，我们在[0]中给出了锥上正则变量的一个完整刻划，∞)dunder随机线性变换。这使我们能够计算各种尾部事件的概率，而经典的多变量规则变化模型将报告为渐近可忽略不计。我们通过在二部网络结构下金融系统和保险市场风险评估的应用来说明我们的发现。AMS 2000科目分类：初级60B10、60F10、60G70、90B15。关键词：二部图，重尾，多元正则变分，网络。本文研究了规则变化随机向量的随机线性函数的尾事件概率。所有随机元素均在相同的概率空间中定义(Ohm, F、 P）。假设Z是E（1）d上具有多元正则变尾分布的非负随机向量：=[0，∞)具有索引的d \\{0}-α≤ 0，表示为MRV（α，E（1）d）。第2节给出了这一概念的准确定义。此外，设A是Z的q×d随机矩阵。

对于X=AZ，我们的目标是找到P（X∈ tC）对于t的大值和各种集合C [0, ∞)q、 一个关于随机变量乘积尾部行为的经典结果（现在称为Breiman\'sTheorem）指出，给定独立的非负随机变量Z和A，其中Z有A*B、 Das得到了教育部学术研究基金二级拨款MOE2017-T2-2-161“从社交网络中的常见联系中学习”的部分支持。imsart bj版本。2014年10月16日文件：BrHid2020arxiv。tex日期：2022年6月9日B.Das、V.Fasen和C.Kl–uppelberg单变量带指数的规则变化尾部分布-α ≤ 0和E[α+δ]<∞ 对于某些δ>0的情况，X=AZ的尾部分布也随指数有规律地变化-α. 更精确地说，P（AZ>t）~ E[α]P（Z>t），作为t→ ∞. （1.1）Breiman（1965年）首次对α进行了说明∈ [0，1]并为所有α建立≥ 克莱恩和萨莫罗德尼茨基（1991）中为0。这一结果对随机递归方程和投资组合尾部风险计算的固有适用性导致了过去几十年的一些推广。Maulik、Resnick和Rootz’en（2002）将Breiman定理的一般化，将随机变量A和Z的独立性假设放宽为渐近独立性。另一方面，inDenisov和Zwart（2007）给出了a上条件的减弱，使得（1.1）保持不变。在Basrak、Davis和Mikosch（2002，命题A.1）中得到了（1.1）的向量值推广，其中d维非负随机向量Z∈ α的MRV（α，E（1）d）≥ 0与EkAkα+δ<∞ 对于某些δ>0。结果表明，在这种情况下，X=AZ∈ MRV（α，E（1）q），其中E（1）q=[0，∞)q \\{0}。Fougeres和Mercadier（2012）给出了该结果与相关性和联合规则变化假设（A，Z）的一般化。

另一方面，Janssen和Drees（2016，定理2.3）在Basrak、Davis和Mikosch（2002）中推广了命题A.1，因此可以计算E（q）q=（0，∞)q=d和isof满秩时（以及某些其他条件）。对于Z∈ MRV（αd，E（d）d）它们表明X=AZ∈MRV（αd，E（d）d）。考虑以下示例来确定此设置中的想法。设Z=（Z，…，Zd）>由iid（独立同分布）Pareto随机变量与P（Zi>Z）=Z组成-α表示z>1，其中α>0，且设A为独立于z的d×d随机矩阵，满足Basrak、Davis和Mikosch（2002，命题A.1）以及Janssen和Drees（2016，定理2.3）的条件。然后X=AZ∈ MRV（α，E（1）d）和X=AZ∈ MRV（dα，E（d）d）。此后，对于形式为[0，x]cand（x，∞) 当x>0时，我们可以计算t→ ∞:P（AZ∈ t[0，x]c）~ t型-αE[u（AZ∈ [0，x]c）]，（1.2）P（AZ∈ t（x，∞)) ~ t型-dαE[ud（AZ∈ （十），∞))], （1.3）对于一些措施，u和udt将在后面详细说明。此外，（1.2）和（1.3）右侧的期望值都是不平凡和不确定的；因此，我们的概率估计是有效的。因此，（1.2）允许我们计算被描述为“X的至少一个成分是大的”事件的概率，而（1.3）允许我们计算被描述为“X的所有成分都是大的”事件的概率。这里要问的自然问题是，如果我们想计算矩阵A不可逆时的概率，或者q 6=d，会怎么样。我们可能还想找到“X的至少三个分量是大的”或“X的确切两个分量是大的”的概率。我们可以检查，虽然在这种情况下可以进行类似于（1.2）的概率计算，但它通常会使度量值u，因此，（1.2）的右侧为零。

另一方面，如果Q 6=d或特定关注点集没有所有组件都是大的，则（1.3）将无法回答此类问题。据我们所知，（1.2）和（1.3）是计算规则变化向量的随机线性函数的极值集概率的唯一结果。在我们的工作中，我们提供了一个推广的布莱曼定理，它允许我们计算更一般的极值集的这种概率。例如，在Z为iid Pareto的特定设置中，我们的结果显示P（AZ∈ tC）~ t型-iαE（k）iui（A-1（C））, t型→ ∞. （1.4）其中指数i∈ {1，…，d}取决于矩阵A和集合C的结构，E（k）ire表示概率空间的适当子空间上的期望；定义见第3.2节。在一般设置下找到正确的指数i是本文的基础。imsart bj版本。2014年10月16日文件：BrHid2020arxiv。tex日期：2020年6月9日规则变化向量的线性函数3其他相关文献：其他一些出版物也展示了布雷曼定理的有趣应用和推广，尽管在不同的背景下。在Jessen和Mikosch（2006）中，作者提供了Breiman定理的部分相反：假设A和Z为非负独立随机变量，如果AZ具有规则变化的尾部分布，他们找到了Z也具有规则变化的尾部分布的条件。在Tillier和Wintenberger（2017）中，我们发现Breiman的多元结果扩展到随机长度向量，例如由泊松随机变量确定。在更一般的情况下，Chakraborty andHazra（2018）扩展了Breiman关于规则变化测度的乘法布尔卷积的结果。

最后，专著Buraczewski、Damek和Mikosch（2016）提供了Breiman结果及其在幂律尾随机建模领域的推广的许多应用。我们对形式（1.4）概率计算的兴趣是由我们考虑的广泛应用所激发的。在水文、金融、保险、电信、社交网络等领域的应用中，随机模型中的幂律尾行为已使用规则变化的尾分布建模。一个规则变化的随机向量，如Z∈ [0, ∞)数据可用于表示来自多个股票（金融）的投资风险或与不同保险公司有关的损失（在保险上下文中）。在此类应用中，q×d随机矩阵分别表示一组股东或商业实体的投资组合Z的随机加权选择，或保险公司的损失风险敞口的随机加权选择。因此，这里要计算的一个常见数量是P（AZ∈ tC）对于尾集C，代表与多个投资组合相关的各种最坏情况，或多个保险公司的破产或损失。我们的论文组织如下。我们提供了第1.1节论文中使用的符号摘要，以完成引言。在第2节中，我们讨论了多元正则变量在[0，∞)这为本文的主要结果提供了一个设置。第3节给出了推广Breiman定理的主要结果。在第4节中，我们提供了该模型在二部网络中的应用，其中q代理可以暴露于d对象的风险，其中Z∈ [0, ∞)敢于面对物体的危险。代理的暴露用X=AZ表示，并说明了代理的尾部风险行为，即加权邻接矩阵A的可能结构∈ [0, ∞)q×d。

我们在第5.1.1节中总结了未来的研究方向。本节总结了本文中使用的各种符号和概念。矢量运算总是按分量理解的，例如，对于矢量x=（x，…，xd）>和y=（y，…，yd）>，x≤ y表示xi≤ Yi对于所有i.对于常数t∈ R和a集合C Rd，我们用tC表示：={tx:x∈ C} 。下表列出了其他符号。如适用，提供参考。具有指数β的RVβ正则变化函数∈ R即函数f:R+7→ R+满足极限→∞f（tx）/f（t）=xβ，对于x>0；见Resnick（2008）；Bingham、Goldie和Teugels（1989）；de Haan和Ferreira（2006年）；有关详细信息。五、∈ RV-α如果FV=1，则分布函数FV为规则变化的随机变量V- FV公司∈ RV-α对于某些α≥ 0.Rd+[0，∞)d尺寸d≥ 1.v（1），v（d）v的顺序统计=（v，…，vd）>∈ Rd+使v（1）≥ 五（2）≥ . . . ≥ v（d）。CA（i）d{v∈ Rd+：v（i+1）=0}，i=1，d- 1.同时确定CA（0）d={0}。M（C）C上所有非零测度的集合，其在Borel子集上是有限的，以C为界。un→ u收敛，单位为M（C\\C）；见第2.1节和Das、Mitra和Resnick（2013）；Hult和Lindskog（2006）；Lindskog、Resnick和Roy（2014）了解详情。imsart bj版本。2014年10月16日文件：BrHid2020arxiv。tex日期：20204年6月9日B.Das、V.Fasen和C.Kl¨uppelbergMRV（α，B，u，E）空间E=C的多元正则变化，其中C和Care在Rd+中闭合锥。在这里-α ≤ 0是规则变化指数，b是标度函数，u是极限度量。我们经常省略一个或多个论点。

详见定义2.2。τ（k）q（x）d（x，CA（k-1） q）=x（k），x之间的距离∈ Rq+和CA（k-1） q，其中d（x，y）=| | x- y型||∞; 详见第3节。τ（k，i）d，q（A）supz∈A的E（i）dτ（k）q（Az）τ（i）d（z）∈ Rq×d+；详见第3节。k·k代表x∈ Rd，kxk表示向量范数，对于矩阵a∈ Rq×d，kAk表示相应的算子范数。2、多元正则变分和收敛概念我们使用测度的M-收敛概念定义欧氏空间及其子集上的多元正则变分；参见Das、Mitra和Resnick（2013）；Lindskog、Resnick和Roy（2014）了解详情。特别地，我们研究了随机向量X的正则变化，其中X=AZ，其中Z∈ Rd+=[0，∞)dis多变量随指数有规律变化-α ≤ 0和A是独立于Z的q×d随机矩阵，使得E[kAkα+δ]<∞ 对于一些δ>0和一些矩阵的算子范数k·k。我们的目标是获得关于线性函数X=AZ的完整图片，该函数在Rd+的子空间序列上具有多变量正则变化（也称为隐藏正则变化），从而扩展了Basrak、Davis和Mikosch（2002）的结果；杨森和德雷斯（2016）。我们寻求规则变化的子集的特殊选择是自然的，这取决于我们寻求发现概率的极端集的类型；参见Mitra和Resnick（2011）的例子。下文讨论了关于M-收敛的必要定义和结果。考虑赋予度量d（x，y）的空间Rd+，满足某些c>0d（cx，cy）=c d（x，y），（x，y）∈ Rd+×Rd+。（2.1）由d（x，y）=kx的范数定义的任何度量d- yk将始终满足（2.1）。

本文使用sup范数d（x，y）=| | x- y型||∞作为度量d的选择，因为∈ 特定闭集的Rd+可以表示为y坐标的顺序统计量；见（3.3）。回想一下，圆锥体C Rd+是在标量乘法下闭合的集合：如果x∈ C然后Cx∈ C表示C>0。一个闭锥当然是一个在Rd+中是闭集的锥。现在，我们利用闭锥C上测度的收敛性来定义多变量正则变化 Rd+带闭合锥体C C已删除。此外，我们说一个子集∧ C\\Cis以cif d（λ，C）=inf{d（x，y）：x为界∈ ∧，y∈ C} >0。C上的Borel测度类将有限测度分配给所有Borel集B 远离C的C用M（C）表示。在本文中，使用M-收敛定义锥上的规则变化，这与传统上用于多元规则变化的模糊收敛略有不同。Das和Resnick（2015，备注1.1）中介绍了倾向于M收敛的原因；另见Das、Mitra和Resnick（2013）；Lindskog、Resnick和Roy（2014年）。在空间e（1）d=Rd+\\{0}中，vague收敛和M-收敛的概念是相同的。定义2.1。让C C Rd+be闭合锥包含0。设un，u为Borel measureson M（C\\C）和rf dun→Rf duas n→ ∞ 对于支持度远离C的任何有界、连续、实值函数f，我们说un收敛到uin M（C\\C），然后写un→ u单位为M（C\\C）。imsart bj版本。2014年10月16日文件：BrHid2020arxiv。tex日期：2020年6月9日规则变化向量的线性函数5定义2.2。让C C Rd+be闭合锥包含0。随机向量V=（V。

，Vd）>∈ C在C上有规律地变化\\Cif存在函数b（·）∈ α的RV1/α≥ 0，称为缩放函数，以及非空（Borel）度量值u（·）∈ M（C\\C）称为极限或尾部度量，使tp（V/b（t）∈ · ) → u（·），t→ ∞,单位：M（C\\C）。我们写V∈ MRV（α，b，u，C\\C）或，V∈ 如果缩放函数与上下文无关，则为MRV（α，u，C\\C）。如果C\\C=[0，∞)d \\{0}=：E（1）d，我们只写V∈ MRV（α、u、E（1）d）或V∈ MRV（α，u）。对于α>0，通过使用tP（max{V，…，Vd}>b（t））给出了b的可能选择→ 1作为t→ ∞.自b起∈ RV1/α，极限度量值u（·）具有缩放特性：u（c·）=c-αu（·），c>0.2.1。子空间序列的规则变化在Mitra和Resnick（2011）之后，定义了Rd+特定子空间序列的规则变化。对于v∈ Rd+，写入v=（v，…，vd）>。此外，任何向量v的顺序统计量∈ Rd+定义为asv（1）≥ 五（2）≥ . . . ≥ v（d），其中v（i）表示v的第i大分量。首先，我们定义了闭合集，我们将其视为Rd+中各种维度的坐标超平面的并集。设CA（0）d：={0}和for1≤ 我≤ d- 1定义（i）d=[1≤j<<法学博士-我≤d{v∈ Rd+：vj=0，vjd公司-i=0}：={v∈ Rd+：v（i+1）=0}。这里CA（i）dre表示Rd+中所有i维坐标超平面的并集。此外，定义（d）d：={v∈ Rd+：v（d）>0}。现在确定以下Rd+：E（1）d：=Rd+\\CA（0）d=Rd+\\{0}={v∈ Rd+：v（1）>0}，（2.2）E（i）d：=Rd+\\CA（i-1） d={v∈ Rd+：v（i）>0}，2≤ 我≤ d、 （2.3）因此E（1）用{0}=CA（0）dremoved表示非负正态，E（2）用所有一维坐标轴移除表示非负正态，E（3）用所有二维坐标超平面移除表示非负正态，依此类推。显然，我们有 E（2）d . . .  E（d）d。请注意，根据我们的定义，E（d）d=CA（d）d。我们还定义了i=1。