比例交易成本对系统生成成本的影响

熵权投资组合的绩效对交易成本的敏感性较低，当tc=0.5%时，其绩效优于等权投资组合。改变交易频率。与之前一样，在不同交易频率下对投资组合进行回溯测试时，我们将成分列表大小设置为d=100，并应用每月更新频率。图3.11显示了不同交易频率下熵权重和相应指数跟踪投资组合的财富过程，表3.7总结了这些财富过程。与表3.4中总结的等权重投资组合相比，当存在比例交易成本15的影响时，熵加权投资组合的表现更差（但仍优于相应的指数跟踪投资组合）。图3.9。在对数尺度上，在不同成分列表大小d和交易成本率tc以及日交易和月更新频率下，等权投资组合（EW）和相应的指数跟踪投资组合（IT）的财富过程。对于指数跟踪投资组合，绘制了当tc=0时d=500的投资组合和当tc=1%时d=100的投资组合的财富过程。指数跟踪投资组合的遗漏财富过程位于绘制的财富过程之间。EWEW0.5EWEW0.5EWYearly回报率11.92 9.92 7.96 12.52 10.46 8.43超额回报率1.31-0.54-2.35 1.69-0.25-2.16Std 16.59 16.43 16.29 17.07 16.90 16.74夏普比率0.41 0.29 0.17 0.43 0.31 0.19财富255.3 93.6 34.3 332.8 118.4 42.1TC 21.8 20.5 27.3 24.8表3.6。

年回报率和超额回报率（关于表3.3中所示的指数跟踪投资组合），年回报率标准差（Std），夏普比率，以及在不同成分列表大小d和交易成本率TC（每日交易和每月更新频率）下的等权投资组合（EW）投资期结束时的财富和累计交易成本（TC）（以千为单位）。下标x对应于tc=x%，上标300和500分别表示d=300和d=500。16 JOHANNES RUF和KANGJIANAN XIE图3.10。在不同成分列表规模d和交易成本率tc以及每日交易频率和每月更新频率下，等权投资组合（EW）对数规模上的累积交易成本。图3.11。在不同的交易频率和交易成本率tc（d=100）和月收益率下，熵加权投资组合（ET）和相应的指数跟踪投资组合（IT）在对数尺度上的财富过程。对于熵加权和指数跟踪投资组合，表3.7中省略的财富过程位于绘制的财富过程之间。还绘制了tc=0.5%时每日交易熵加权投资组合的财富过程和累积交易成本的总和。请注意，当tc=0时，SUM低于每日交易熵加权投资组合的财富过程。无交易成本，即当tc=0时。

然而，与等权投资组合相反，当tc=0.5%时，每周和每月交易的熵权投资组合仍优于相应的指数跟踪投资组合。比例交易成本的影响17ITDETD0.5ETd0.5ITwETwITw0.5ETw0.5ITMETMM0.5ETm0.5YR 10.30 10.53 10.09 9 7 10.30 10.50 10.10 10 10.12 10.27 10.40 10.08 10.11ER 0.23-0.12 0.21 0.03 0.14 0.03Std 16.87 16.90 16.84 16.83 16.88 16.92 16.85 16.88 16.94 16.86 16.90SR 0.30 0.32 0.28 0.30 0.31 0.29 0.29 0.30 0.31 0.29 0.29W 111.7 125.1 100.7 94.6 111.3 123.1 100.7 101.7 109.7116.9 99.7 100.8TC 2.7 6.4 2.5 4.5 2.3 3.4表3.7。年收益率（YR）和超额收益率（ER），年收益率标准差（Std），夏普比率（SR），以及在不同交易频率和交易成本率TC（d=100）以及每月更新频率下，熵权投资组合（ET）和相应的指数跟踪投资组合（IT）在投资期结束时的财富（W）和累计交易成本（TC）（单位：千）。下标x对应于tc=x%，上标d、w和m分别表示每日、每周和每月的交易频率。在很长的时间范围内，支付交易成本导致的投资组合财富损失通常高于施加的累计交易成本。图3.11显示了这一点，它还绘制了当tc=0.5%时，财富过程和熵权投资组合的累积交易成本之和。请注意，当NTC=0时，财富过程高于此总和。事实上，支付交易成本不仅会使投资组合中的资金流失，还会剥夺潜在收益的机会。改变更新频率。

在d=100和每日交易频率的情况下，我们现在使用不同的更新频率（分别每周、每月和季度更新）检查熵加权投资组合的性能。图3.12显示了不同更新频率下熵加权和相应指数跟踪投资组合的财富过程，表3.8总结了这些财富过程。与等权投资组合类似，成分列表更新频率越低，熵权投资组合的表现越好。当施加交易成本时，其性能更多地取决于更新频率。然而，与表3.5中总结的等权投资组合相比，在相同的更新频率下，熵权投资组合的绩效对交易成本的敏感性较低。改变市场规模d。应用每日交易和每月更新频率，我们在不同成分列表规模d（=100、300和500）下对熵加权投资组合进行了回溯测试，如图3.13和表3.9所示。与等权重和指数跟踪投资组合类似，成分列表中包含的股票越多，熵权重投资组合的表现越好。与等权投资组合相比，相同d的熵权投资组合对交易成本的依赖性较小。特别是，当d=500，tc=0.5%时，熵加权投资组合仍优于相应的指数跟踪投资组合。3.4. 多元化加权投资组合和平滑交易成本。在随机投资组合理论中，一个备受关注的投资组合是所谓的多样性加权投资组合18 JOHANNES RUF和KANGJIANAN XIEFigure 3.12。

在d=100和每日交易频率的不同更新频率和交易成本率tc下，对数尺度上熵权投资组合（ET）和相应的指数跟踪投资组合（IT）的财富过程。对于熵加权和指数跟踪投资组合，表3.8中省略的财富过程位于绘制的财富过程之间。ITWETW0.5ETW0.5ITQETQ0.5ETQ0.5年回报10.14 10.31 9.73 9.50 10.34 10.58 10.20 10.11超额回报0.17-0.23 0.24-0.09Std 16.89 16.93 16.84 16.84 16.83 16.86 16.81 16.81夏普比率0.29 0.30 0.27 0.26 0.31 0.32 0.30 0.29财富102.2 111.3 83.5 73.9 114.2 129.0 106.5 101.6TC 4.2 7 4 2.0 5.8表3.8。年度回报和超额回报百分比、年度回报标准差（Std）、夏普比率、，以及在不同更新频率和交易成本率TC（d=100）和日交易频率下，投资期结束时，以千为单位的财富和累计交易成本（TC），以及相应的指数跟踪投资组合（IT）。下标x对应于tc=x%，上标W和Q分别表示每周和季度更新频率。由“多样性度量”Gp（x）=dXi=1xpi生成！1/p，x∈（（y，···，yd）∈ [0，1]d；dXi=1yi=1），比例交易成本的影响19图3.13。在对数尺度上，研究了熵权投资组合（ET）和相应的指数跟踪投资组合（IT）在不同成分列表大小d和交易成本率tc以及日交易和月更新频率下的财富过程。

对于熵加权投资组合和指数跟踪投资组合，表3.9中省略的财富过程介于有计划的财富过程之间。ITETIT0.5ET0.5ITETIT0.5ET0.5年回报率10.61 10.87 10.46 10.43 10.83 11.16 10.71 10.75超额回报率0.26-0.03 0.33 0.04Std 16.57 16.57 16.55 16.52 16.61 16.66 16.60 16.62夏普比率0.33 0.34 0.32 0.31 0.34 0.36 0.33 0.34财富132.5 152.1 123.1 121.2 147.2 173.2 139.0 141.0TC 2 6.4表3.9。年度回报和超额回报百分比、年度回报标准差（Std）、夏普比率、，以及在不同成分列表大小d和交易成本率TC（每日交易和每月更新频率）下，投资期结束时的财富和累计交易成本（TC），以千为单位的熵权投资组合（ET）和相应的指数跟踪投资组合（IT）。下标x对应于tc=x%，上标300和500分别表示d=300和d=500。对于某些固定p∈ (0, 1). 在不改变股票相对排名的情况下，函数Gp（·）生成的投资组合权重小于（大于）具有大（小）市场权重的股票的相应市场权重。GPI的这种多元化性质与相对套利组合的实施密切相关；详见Fernholz and Karatzas（2009）20 JOHANNES RUF and KANGJIANAN Xief第7节。Fernholz（2002）第6.3节提供了多元化加权投资组合周转率的理论近似值。Fernholz等人（1998年）和Fernholz（2002年）的第7章以及Ruf和Xie（2019年）的示例5中可以找到使用标准普尔500指数市场数据对该投资组合进行的实证研究。在下文中，我们将检查该投资组合的绩效，并说明更高频率的交易与支付交易成本之间的权衡。

为了实现这一点，我们应通过平滑版本替换市场权重，由u（·）=αu（·）+（1）给出- α） 带α的∧（·）∈ (0, 1). 这里，移动平均过程∧（·）=（λ（·），··，λd（·））由∧j（·）给出=δR·uj（t）dt+δR·-[0，δ）δR上的δuj（0）dt··-δuj（t）dt on[δ，∞), j∈ {1，···，d}，对于固定常数δ>0。这种移动平均过程∧（·）也包含在Schied等人（2018）研究的组合生成函数中。然后，目标权重由πj（·）=uj（·）Ξj（·）给出-dXi=1ui（·）Ξi（·）+1！，j∈ {1，···，d}，其中Ξj（·）=α"Auj（·）"ap-1Pdi=1（ui（·））p，j∈ {1，···，d}。为了对投资组合进行回溯测试，我们确定d=100，更新频率为每季度一次，“多样性程度”p=0.8。此外，我们使用一年窗口计算移动平均过程∧（·）。更具体地说，对于每日交易频率，我们设置δ=250；对于周交易频率，我们设置δ=52。为了在每周交易频率下计算∧（·），我们仅在交易发生的当天使用市场权重u。改变凸性权重α和交易频率。在表3.10中，我们总结了在没有交易成本的情况下，即当tc=0时，以及当tc=0.5%和tc=1%时，多样性加权和相应的指数跟踪投资组合在每日和每周交易频率下的财富过程，以及凸度α的三种不同选择。我们首先考虑没有交易成本的情况。在其他条件相同的情况下，每日交易的多样性加权投资组合的表现与每周交易的投资组合类似。

在任一交易频率下，凸性权重α越小，投资组合表现越差。用较小的α生成投资组合与交易频率较低有些相似，因为在构建u（·）时，它在波动项u（·）上分配的权重较少，在稳定项∧（·）上分配的权重较多，从而降低u（·）的波动性。接下来，我们考虑交易成本的情况。在每日或每周交易频率下，当交易成本率tc变大时，较小的凸性权重α有助于提高投资组合的绩效。这可能很有用，因为降低α部分抵消了交易成本的影响。此外，当tc=1%时，α=0.2的日交易投资组合与α=0.6的周交易投资组合表现相似。这表明，与其为了避免支付交易成本而减少交易频率，不如调整契约权重α，以便在频繁交易和支付交易成本之间达到更有利的平衡。平滑交易成本的动态凸性权重α。我们可以动态调整α以加速或减缓交易，而不是在整个投资期内固定α。

例如，给定一个具有常数凸性权重α的基线投资组合，如果上一期支付的交易成本是按比例交易成本的影响，那么我们会选择α<α（α>α）在下一期交易较少（更多）的交易，21 ITW0.5ITwαDWdDWd0.5DWdDWwDWw0.5DWw0.2 10.36 10.20 10.03 10.36 10.20 10.05年回报10.34 10.20 10.06 0.6 10.43 10.18 9.93 10.42 10.23 10.031 10.54 10.11 9.68 10.51 10.24 9.960.2 0-0.03 0.02 0.01-0.01超额收益0.6 0.1-0.01-0.13 0.09 0.03-0.031 0.2-0.09-0.38 0.18 0.04-0.090.2 16.84 16.81 16.79 16.85 16.83 16.80Std 16.85 16.83 16.81 0.6 16.84 16.81 16.77 16.86 16.83 16.801 16.84 16.79 16.74 16.87 16.83 16.790.2 0.30 0.29 0.31 0.30 0.29夏普比率0.30 0.30 29 0.6 0.31 0.30 0.28 0.31 0.30 0.291 0.32 0.29 0.27 0.32 0.30 0.280.2 115.6 106.2 97.6 115.1 106.5 98.5财富123.4 108.3 94.2 0.6119.8 105.4 92.8 118.8 107.8 97.81 126.2 101.6 81.7 124.3 108.3 94.20.2 2 2.1 4.0 2.0 3.7TC 3.5 6.3 0.6 3.2 5.9 2.5 4.61 5.3 9.0 3 3 3 6.3表3.10。在不同的交易频率、凸度权重α、以及，交易成本率tc，d=100，季度更新频率。下标x对应于tc=x%，上标d和w分别表示每日和每周的交易频率。大于（小于）某一水平。

在本例的剩余部分，我们确定每日交易频率并动态调整α（·）。让M≥ 4表示投资期内的总季度数，并让tru、foru∈ {1，···，M}，表示成分列表更新的交易日。此外，设置tr=t。在特定续订日tru，对于u∈ {1，···，M}，letgTC（tru）表示相对于财富Vα的平均实际交易成本(·-) 在上一期支付的基准投资组合中。更准确地说，gTC（tru）的计算公式为gTC（tru）=κuXt∈[tru-1，tru）min(R)TCα（t）Vα（t-), ξ'.这里，κUi是该期间内的交易天数【tru】-1，tru），TCα（·）由基线投资组合的（2.3）计算得出，ξ是一个预先确定的水平，用于估算更多的22 JOHANNES RUF和KANGJIANAN XIEFigure 3.14。相对于其财富Vα，基准投资组合的交易成本TCα（·）(·-), i、 e.，TCα（·）/Vα(·-), 当成分列表改变时支付，当tc=0.5%时，α=0.6，不变。强健的在交易日t，我们将TCα（t）/Vα（t-) > ξ为与Vα（t）相关的“异常”交易成本-). 例如，当成分列表发生变化时，就会出现如此巨大的成本。ξ级的确定使得发生“异常”交易成本的天数仅占所有交易日的一小部分。图3.14显示了相对交易成本TCα（·）/Vα(·-) 当成分列表分别改变和不变时，α=0.6和tc=0.5%。成分列表更改时产生的交易成本比成分列表保持不变时大得多。