APT的风险中性定价

.), forn公司≥ 1、E | hh（n），ε-bi |γ=EnXi=1hi（εi- bi）γ≤ 2γ-1E级nXi=1hiεiγ+2γ-1E级nXi=1hibiγ.Marcinkiewicz-Zygmund和三角形不等式意味着某些'C>0EnXi=1hiεiγ≤(R)CEnXi=1hiεi！γ/2=\'\'CnXi=1hiεiγ/2Lγ/2（P）≤\'CnXi=1 | hi | kεikLγ（P）！γ/2≤(R)Csupi≥1kεikLγ（P）nXi=1 | hi |！γ/2≤\'\'C supi≥1E |εi |γkh（n）kγl.因此，E | hh（n），ε- bi |γ≤ Cγkh（n）kγl1+kb（n）kγlFatou引理完成了证明。对于所有x≥ 0，时间1时可获得的财富集，允许扔掉金钱，为Cx：=Kx- L+（P）。命题3.1假设1、2、3和4成立。修正一些z∈ 兰德let B∈ L（P）使得B/∈ 捷克。然后，存在一些η>0，使得∈lP（z+hh，ε- bi<B- η) > η. （6） 证明假设（6）不是真的。那么，对于所有n≥ 1，存在一些h（n）∈ l使P（Vn<B-n）≤n、 其中，我们引入了以下符号：Vn：=z+hh（n），ε- bi。设Gn：={Vn≥ B-n} a和setκn：=越南- （B）-n）Gn。那么，P|越南- κn- B |>n= P(Ohm \\ Gn）≤因此，nand（Vn- κn）n≥1可能性接近B。首先，我们声称supn | | h（n）||l< ∞. Else，supn | | h（n）||l= ∞. 因此，提取子序列（我们继续用n表示），我们可以和套利定价理论的风险中性定价13将假定| | h（n）||l→ ∞, n→ ∞. 设hi（n）：=hi（n）/| | h（n）||l对于所有n，i.显然，~h（n）∈ l带| |  h（n）||l= 1、那么，Wn：=V0，~h（n）-κn | | h（n）||l→ 0 a.s.，n→ ∞.让Q∈ M（不为空：见（5））。我们声称EQ（Wn）→ 0.Bythe Cauchy-Schwarz不等式，| EQ（Wn）|≤qE（dQ/dP）pE（Wn）和itremains证明了Wn，n的一致可积性∈ N在P下|Wn |=| B- z- n-1 | | | h（n）||lGn+| V0，~h（n）|Ohm\\Gn公司≤|B |+| z |+n-2 | | h（n）||l+ |V0，~h（n）|≤ c | B |+| V0，| h（n）|，对于足够大的n，一些常数c。使用假设4和L e mma 3.3，| V0，| h（n）|，n∈ N表示kh（N）kl≤ 1在P下是一致可积的。

当Bis也可积分时，我们得到等式（Wn）为0。当方程qv0时，h（n）=0（见备注3.1），我们推断κn/| h（n）||l在L（Q）和Q-a.s.（沿子序列）中变为零，并且，由于Q是等效的toP，P-a.s。这意味着V0，~h（n）变为0 P-a.s.，在L（P）中也变为0 P-a.s.（重新调用族| V0，~h（n）|，n≥ kh（n）k为1l≤ 1是一致可积的）。但这是荒谬的，因为使用等距性质（见（2）），我们得到了thatkV0，~h（n）kL=k ~h（n）kl+P∞i=1h（n）ibi≥ 1代表所有n≥ 1、这一矛盾表明，必须支持h（n）||l< ∞.我们得出结论，supn | | h（n）||l< ∞. 自从l具有Banach-Saksproperty，存在子序列（nk）k≥1和一些h*∈ l, 使BH（N）：=NNXk=1h（nk），bh（N）- h类*l→ 0，N→ ∞.14 Laurence Carassus，Mikl\'os R\'asonyiHence，使用（2），EVz，bh（N）- Vz，h*≤ （1+kbkl)kbh（N）- h类*kl, 以N结尾为零→ ∞. So Vz，bh（N）→ Vz，h*a、 美国也是如此。然后，Vz，bh（N）-NNXk=1κnk=NNXk=1Vz，h（nk）- κnk→ B、 N个→ ∞,在概率方面，以及a.s。，对于一个子序列，我们保持相同的位置。因此，NPNk=1κNK将a.s.和B∈ Cz，矛盾。推论3.1假设1、2、3和4成立，并确定一些z∈ R、 然后，CZ在概率上是闭合的。证明假设CZ在概率上不是封闭的。然后，我们可以找到一些h（n）∈ l和κn∈ L+（P）使得θn：=z+hh（n），ε-bi公司-κn∈ Czconvergesin概率到某θ*/∈ 捷克。然后，对于任何η>0，infh∈lP（z+hh，ε- bi<θ*- η) ≤ P（z+hh（n），ε- bi公司- κn<θ*- η) → 0，当η变为零时。这与（6）相矛盾，表明Cz的密切关系。我们现在提供了无套利条件的定量版本（见假设3）。命题3.2让假设1、2、3和4成立。然后，存在α>0，因此对于所有h∈ l带k hkl= 1，P（hh，ε- b i<-α） >α保持不变。用矛盾来证明我们的论点。

假设所有n≥ 1，有kh（n）k存在l= 1和P（hh（n），ε- bi<-1/n）≤ 1/n。很明显，hh（n），ε- bi公司-→ 0的概率为n→ ∞. 让Q∈ M（见（5））。我们声称等式（hh（n），ε- bi公司-) → 使用Cauchy-Schwarz不等式eq（hh（n），ε- bi公司-) ≤ kdQ/dP kL（P）Ehh（n），ε- bi公司-1/2，套利定价理论的风险中性定价15，它仍然显示hh（n），ε的一致可积性- bi公司-, n∈ N在P下。这遵循hh（n），ε的s- bi公司-≤ |V0，h（n）|，假设4和引理3.3。So等式（hh（n），ε- bi公司-) → 0，但由于等式（hh（n），ε- bi）=0，根据备注3.1，我们还可以得到E（hh（n），ε- 铋+）→ 0。可以得出等式（| hh（n），ε- bi |）→ 0，因此hh（n），ε- bi变为零Q-a.s.（沿子序列），当Q与P相等时，P-a.s。再次使用| hh（n），ε- bi |，n∈ N是uniformlyP可积的，我们得到E（| hh（N），ε- bi |）→ 但这与系数（| hh（n），ε）相矛盾- bi |）=kh（n）kl+P∞i=1hi（n）bi≥ 1（见（2））。下面的引理证明，在无套利条件下（见假设3），任何具有非负最终财富的策略都是有界的。引理3.4让假设1、2、3和4成立。让y∈ R和h∈ l使得y+hh，ε- bi公司≥ 0那么khkl≤ |y |/α，α见命题3.2。关于{hh，ε）的证明- bi<-α| | h||l}, 这是命题3.2 | y |的积极度量- α| | h||l> y+hh，ε- bi公司≥ 0和khkl≤ |y |/α如下。4 Superreplication价格表G∈ Lbe是一个随机变量，它将被解释为某些衍生证券在时间T的收益。超级复制价格π（G）是无风险对冲G所需的最小初始财富。对于所有x∈ R、 letA（G，x）：=h类∈ l: Vx，h≥ G a.s。和π（G）：=inf{z∈ R:A（G，z）6=},式中π（G）=+∞ 如果A（G，z）= 对于每个z。

所谓的超级复制价格的双重表示（见下面的定理4.1）是指Laurence Carassus，Mikl\'os R\'asonyover The different risk neutral al probability measures（不同的风险中性概率度量）的最高级16。有关这种偏好价格的更多详情，请参见【16】和教科书【17】。引理4.1假设1、2、3和4成立。那么，π（G）>-∞和A（G，π（G））6=.证明假设π（G）=-∞. 那么，对于所有n≥ 1、存在hn∈ l诸如此类-n+hhn，ε- bi公司≥ G a.s.因此，hhn，ε- bi公司≥ G+n≥ （G+n）∧ 1 a.s.由此得出（G+n）∧ 1.∈ C、 这在概率上是封闭的（见推论3.1）。因此，1∈ C、 即hh，ε- bi公司≥ 部分h为1 a.s∈ l, 这与SAAA（或假设2，见（5））相矛盾，见引理3.2。Soπ（G）>-∞.如果π（G）=+∞, 第二种说法微不足道。所以，求出π（G）<∞. 那么，对于所有n≥ 1、存在hn∈ l使得π（G）+1/n+hhn，ε- bi公司≥ G a.s.以下是G- π（G）- 1/n∈ C、 因此，当Cis关闭时，G- π（G）∈ C我们现在可以证明我们的对偶结果了。定理4.1假设1、2、3和4为真，假设G∈ L（P）。那么，π（G）=supQ∈MEQ（克）。证明让s：=supQ∈MEQ（克）。设x存在h∈ l验证x+hh，ε- bi公司≥ G a.s.固定Q∈ M（见（5））。作为G∈ L（P），EQ（G）由C auchy-Schwarz不等式很好地定义。使用备注3.1，我们得到等式（x+hh，ε- bi）=x。因此，x≥ 等式（G）和π（G）≥ s紧随其后。对于其他不等式，证明G- s∈ C、 实际上，这意味着存在h∈ l使得s+hh，ε- b、i≥ G a.s.，通过π（G）的定义，表明≥ π（G）。假设这不是真的。

然后，{G- s}/∈ C∩ L（P）。套利定价理论的风险中性定价17由于Cis在概率上是封闭的（见推论3.1），我们可以应用经典的HahnBanach论证（见，例如，[17]）来发现一些Q∈ Msuch该等式（G）>s。备注4.1有人可能想知道，πn（G），Gin的超级复制价格是否是小市场的n Random s来源（εi）1≤我≤n、 收敛到π（G），即G在大市场上的最高应用价格。答案通常是否定的：设εi，i∈ N为标准高斯随机变量，对于所有i，设bi=0∈ N和定义G：=P∞i=1i-1εi.不存在x，h，Hn，x+Pnj=1hjεj≥ G、 因为这意味着Pnj=1（hj- j-1） εj-Pj公司≥n+1j-1εj≥ -x、 其中，左侧是方差非零的高斯随机变量。由此得出πn（G）=∞ 当π（G）=0时，微不足道。5效用最大化我们遵循[19]的传统观点，通过一些凹形严格递增的可微分效用函数来模拟经济主体的偏好，用U表示：]0，∞[→ R、 注意，我们将U扩展到[0，∞[按（右）-连续性（U（0）可能为-∞). 我们还设置U（x）=-∞ 对于x∈] - ∞, 0[.或有索赔∈ 土地x∈ R、 我们定义Φ（U，G，x）：=h类∈ l, EU+（Vx，h- G） <+∞,一套策略，其中明确了预期。然后，我们设置a（U，G，x）：=Φ（U，G，x）∩ A（G，x）。注意，即使对于x≥ π（G），A（U，G，x）可能为空。事实上，从引理4.1，我们知道存在∈ A（G，x），但h可能不长到Φ（U，G，x）。但这在适当的假设下是正确的，正如下面的引理所证明的。18 Laurence Carassus，Mikl\'os R\'asonyiLemma 5.1让假设1、2、3和4成立。假设G≥ 0a。s、 对于某些x，U（x）=0，U′（x）=1≥ 0

那么，对于所有x，A（G，x）=A（U，G，x）∈ R、 证明由于U是凹的，随着U（x）=0，U′（x）=1增加和可微分，我们可以通过其一阶泰勒近似将其约束在上面，对于所有x∈]0, ∞[，如下所示：U（x）≤ U（最大值（x，x））≤ U（x）+最大值（x- x、 0）U′（x）≤ |x个- x |≤ |x |，自x起≥ 如果x<π（G），则A（G，x）= A（G，x）=A（U，G，x）=.让x≥ π（G）。然后，通过引理4.1，A（G，x）6=. 让h∈ A（G，x）。然后，Vx，h≥ G≥ 0 a.s.和h∈ A（0，x）。设A：={x+hh，ε- bi公司≥ x} 。U+（x+hh，ε- bi公司- G）≤ U+（x+hh，ε- bi）1A+U+（x）1Ohm\\A=U（x+hh，ε- bi）1A≤ |x+<h，ε- b>|。（7） 利用（2）、Cauchy-Schwarz不等式和引理3.4，我们得到了Eu+（x+hh，ε- bi公司- G）≤ |x |+pE（hh，ε- bi）≤ |x |+khklq1+kbkl≤ |x |+| x |αq1+kbkl< +∞. (8)现在，在交付索赔G时，我们确定了最终日期的预期效用上限，从初始财富x开始∈ R:u（G，x）：=suph∈A（U，G，x）EU（Vx，h- G） ，（9）其中u（G，x）=-∞, 如果A（U，G，x）=. 以下结果表明，我们正在考虑的投资者存在最优投资。套利定价理论的风险中性原则19定理5.1假设1、2、3和4成立。让G≥ 0和x∈ R如x所示≥ π（G）。然后，存在h*∈ A（U，G，x）使得U（G，x）=EU（Vx，h*- G） 。证明如果U是常数，就没有什么可证明的。否则，存在x＞0，使得U′（x）＞0。将U替换为（U- U（x））/U′（x），我们可以并且将假设U（x）=0，U′（x）=1。注意π（G）≥ 0，作为G≥ 0 a。s、 （见定理4.1）。让hn∈ A（G，x）=A（U，G，x）（见引理4.1和5.1）是一个序列，如tEU（Vx，hn- G）↑ u（G，x），n→ ∞.引理3.4，supn∈Nkhnk公司l≤ x/α<∞. 因此，作为l有Banach-SaksProperty，则存在子序列（nk）k≥1和一些h*∈ l使得对于▄hn：=nPnk=1hnk，k▄hn- h类*kl→ 0，n→ ∞. 请注意▄hn∈ A（G，x）和SUPN∈Nkhnkl≤ x/α<∞.

使用（2），我们得到了- h类*, ε - bi公司≤ khn- h类*kl（1+kbkl) → 0，n→ ∞,尤其是hhn- h类*, ε - bi公司→ 0，n→ ∞ 在概率上。因此，我们还认为U（Vx，~hn- G）→ U（Vx，h*- G） 在概率中，通过U在[0]上的连续性（0中的右连续性），∞[.我们还有（最多一个子序列）vx，~hn- G→ Vx，h*- G a.s.因此，h*∈ A（G，x）。现在，使用（7），我们得到了U+（Vx，~hn- G）≤ |Vx，hn |。假设4和引理3.3暗示{U+（Vx，~hn- G） ：hn∈ l, khnk公司l≤ x/α}是一致可积且limn→∞EU+（Vx，hn- G）= EU+（Vx，h*- G）.20 Laurence Carassus，Mikl\'os R\'asonyiThen，E-U-（Vx，h*- G）≥ lim支持→∞E-U-（Vx，hn- G）, 由Fatou\'slemma提供。通过U的凹度，U（Vx，~hn- G） =UnnXk=1（Vx，hnk- G） 哦！≥nnXk=1UVx，hnk- G,我们得到了EU（Vx，h*- G）≥ lim支持→∞EU（Vx，hn- G）≥ u（G，x）。证明自h起完成*∈ A（G，x）=A（U，G，x）（见引理5.1）。6保留价格与超级复制价格的趋同我们继续在模型中加入一系列代理。假设5假设Un：]0，∞[→ R、 n个∈ N是连续两次严格增加的凹函数序列，使得x个∈]0, ∞[rn（x）：=-U′n（x）U′n（x）→ ∞, n→ ∞.我们再次将它们扩展到[0，∞[按（rig ht）-连续性，并设置Un（x）=-∞对于x∈] - ∞, 0[.我们为我们的效用函数序列（un）n定义了值函数un（G，x≥1通过Unin（9）更改U。假设5表明，我们所考虑的代理人序列对风险具有渐进的有限厌恶。