Barndorff Nielsen和Shephard的VIX期权定价和对冲

我们有thenlimε→0P（ε）t=Pt，这意味着计算ε>0的系数的P（ε）t可得出近似的Pta值。现在，我们证明P（ε）是与（3.3）相同的类型积分表示。命题3.6假设bu>0，并且，对于任何t∈ [0，T]和α∈ （0，bu），存在常数>0，使得|φT | T（v- iα）|<C（3.5）对于任何v∈ R、 我们有n p（ε）t=e-r（T-t） 2πZ∞-∞bg（v，α；K）φT | T(-v- iα）exp-ε(-v- iα）（T- t）t的dv（3.6）∈ [0，T），α∈ （0，bu）和K≥√个人简历注意，（3.6）的右侧与α的选择无关。证据表示φ（ε）T | T（ζ）：=E[exp{iζσT | T（ε）}| Ft]=E[exp{iζ（σT+ε（WT- 对于ε>0，t，Wt））}| Ft]（3.7）∈ [0，T]和ζ∈ C、 我们有φ（ε）T | T（ζ）=φT | T（ζ）E[exp{iζεWT-t} ]=φt | t（ζ）exp-ζε（T- t）,这意味着Zr |φ（ε）T | T（v- iα）| 1+| v | dv<∞对于任何ε>0，t保持不变∈ [0，T）和α∈ （0，bu）根据条件（3.5）。因此，我们使用命题3.2得到（3.6）。备注3.7考虑到PHNIT：=e-r（T-t） 2πZN-Nbg（v，α；K）φT | T(-v- iα）N的DV∈ N而不是P（ε）t，我们期望通过计算大N系数的phnit，它能很好地近似Pt∈ N、 自上的集成(-∞, ∞) 通过截断积分区间进行数值计算。然而，PhNitnever收敛到Ptas N倾向于∞ 对于gamma OUcases。我们发现gamma OU案例满足命题3.6的所有条件。因此，我们可以使用积分表达式（3.6）计算P（ε）t的值，当ε>0足够小时，它近似于Pt的值。示例3.8回顾一下，伽马OU情况下的L'evy度量ν被描述为ν（dx）=λabe-bx（0，∞)（x） DX对于a，b>0。乘以[22]的（2.10），κ（u）=Z∞（欧盟）- 1） ν（dx）=λaub- u<b和bu=b时为正值。

对于ζ∈ 带Im（ζ）>-b、 我们有ZTTκiζe-λ（T-s）ds=ZTtλaiζe-λ（T-s） b类- iζe-λ（T-s） ds=Ze-λ（T-t） aiζb- iζxdx=aζZe-λ（T-t） bi公司- ζx | b- iζx | dx=aZe-λ（T-t） bζi- ζζxζζx+2b Im（ζ）x+bdx=aZe-λ（T-t） b Re（ζ）i-（2Ax+B）Ax+Bx+Cdx=ab Re（ζ）I（x）I-日志| Ax+Bx+C|e-λ（T-t） ，（3.8）式中，A：=ζ，B：=2b Im（ζ），C=bandI（x）=√4AC- 巴克坦2Ax+B√4AC- B=b | Re（ζ）| arctanζζx+b Im（ζ）b | Re（ζ）|.因此，我们有（3.8）=ai sgn（Re（ζ））阿尔茨坦ζζ+b Im（ζ）b | Re（ζ）|- 阿尔茨坦ζζe-λ（T-t） +b Im（ζ）b | Re（ζ）|-alog公司ζζ+2b Im（ζ）+bζζe-2λ（T）-t） +2b Im（ζ）e-λ（T-t） +b级. （3.9）因此，对于v∈ R和α∈ （0，bu），替换为v- iα对于（3.9）中的ζ，我们得到exp（ZTtκiζe-λ（T-s）ds）=v+（α- b） ve公司-2λ（T-t） +（αe-λ（T-t）- （b）-a、 以v为界∈ R、 因此，（3.1）意味着gamma OU情况不满足（3.2），但满足（3.5）对于任何a、b>0.4 LRM策略，本节将讨论VIX看涨期权的LRM策略表示。LRM战略的定义见附录A.2。请注意，本文讨论的对冲策略是由无风险和风险资产构成的。对于任何t∈ [0，T]，我们用ξVT表示时间T时LRM策略的值（VT-K） +VIX看涨期权在时间t到期，执行价格K>0。换句话说，投资者对冲VIX看涨期权（VT- K） +在LRM方法中，应在时间t时持有风险资产的ξvt单位。另一方面，一旦给出ξvt，我们可以计算ηvt时间t到（A.2）时无风险资产的单位数量。因此，我们仅给出ξvt的表示。在条件（3.2）下，ξv的表示如下：定理4.1假设（3.2）和z∞exp{2B（T）x}ν（dx）<∞, （4.1）式中，B（T）=1-e-λTλ。

然后，LRM策略ξVexists，并且，对于任何t∈ [0，T），ξVt代表如下：ξVt=e-r（T-t） St公司-（σt+Cρ）2πZ∞-∞bg（v，α；K）φT | T-(-v- iα）×Z∞expn公司(-v- iα）e-λ（T-t） xo公司- 1.（eρx- 1） ν（dx）dv，（4.2），其中α∈ （0，bu）和Cρ：=R∞（eρx-1） ν（dx）。注意，（4.2）的右侧与α的选择无关。证据该定理由[2]的定理A.1（也可参见[3]的定理3.7）所示。因此，我们确认在我们的设置中是否满足了[2]中定理A.1的所有条件。首先，AS1和AS2自动满足，因为CEBS是鞅，并且（VT-K）+∈ D1,2和Dt，0（VT-K） +=0 BYLEMA 4.4，其中D1,2和Dt，0分别是索博列夫空间和马利雅文导数运算，见附录A.1。对于AS3，下面的（4.5）表示Z∞（E[xDt，x（VT- K） +|英尺-])ν（dx）≤ BVZ公司∞任意t的xν（dx）∈ [0，T]。SinceR公司∞xν（dx）<∞ 等一下，我们有“ZTZ”∞（E[xDs，x（VT- K） +| Fs-])ν（dx）ds#<∞,这意味着条件为3。此外，我们需要注意的是，[2]中的定理A.1适用于他们的假设2.2，这在条件（4.1）下的设置中得到了满足。值得注意的是，我们可以省略[2]中假设2.2的第2项，因为Cebs是鞅。此外，我们不需要∞exp{2 |ρ| x}ν（dx），因为它在[2]中被用来表示AS2。因此，可以使用[2]中的定理A.1。[2]的定理A.1暗示ξVexists，ξVt=e-r（T-t） St公司-（σt+Cρ）Z∞E[xDt，x（VT- K） +|英尺-]（eρx- 1） ν（dx）（4.3）保持不变，因为Dt，0（VT- K） +=0，引理4.4。表示σT | T（x）：=σT+xe-λ（T-t） 对于t∈ [0，T]和x∈ (0, ∞), 使用引理4.4和（2.4），我们可以将（4.3）重写为ξVt=e-r（T-t） St公司-（σt+Cρ）Z∞EqBVeσT | T（x）+CV- K+英尺-- E“qBVσT+CV- K+英尺-#!（eρx- 1） ν（dx）。

（4.4）备注e[exp{iζeσT | T（x）}| Ft]=φT | T（ζ）expniζxe-λ（T-t） o.因此，从命题3.2的观点来看，表示θ=-v- iα，我们可以将（4.4）重写为ξVt=e-r（T-t） St公司-（σt+Cρ）Z∞2πZ∞-∞bg（v，α；K）φT | T-(θ)×expniθe公司-λ（T-t） xo公司- 1.dv（eρx- 1） ν（dx）=e-r（T-t） St公司-（σt+Cρ）2πZ∞-∞bg（v，α；K）φT | T-（θ）×Z∞expniθe公司-λ（T-t） xo公司- 1.（eρx- 1） α的ν（dx）dv∈ （0，bu）。这就完成了定理4.1的证明。备注4.2 1。在条件（4.1）下，它认为bu>0，因为bu≥ 2B（T）。如[2]和[3]所示，（4.1）确保了所谓的（SC）条件，这对于讨论LRM策略是必不可少的。备注4.3 IG-OU案例满足定理4.1 ifb>2B（T）的所有条件。因此，只要b>2B（T），我们就可以通过（4.2）计算IG-OU情况下的LRM策略ξvt。此外，对于ζ∈ 当Re（ζ）<0时，我们有z∞（eζx- 1） （eρx- 1） ν（dx）=κ（ζ+ρ）- κ(ζ) - κ（ρ）=λa（ζ+ρpb- 2(ζ + ρ)-ζpb- 2ζ-ρpb- 2ρ).引理4.4对于任何t∈ [0，T]和x∈ [0, ∞), 我们有（VT- K）+∈ D1、2和DT、x（VT- K） +=xqBVeσT | T（x）+CV- K+- （VT- K）+{x>0}，（4.5），其中eσT | T（x）=σT+xe-λ（T-t） 。请注意，附录A.1中给出了空间D1,2和运算符Dt，xa的定义。证据首先，我们展示VT∈ D1,2；计算t的Dt，xvt∈ [0，T]和x∈ [0, ∞). 现在，我们定义f（y）=√BVy+CVY代表y≥ 0，即VT=f（σT）。注意，我们可以用有界导数f将f推广到R上的aC函数∈ D1,2和Dt，xσT=e-λ（T-t） {x>0}根据[2]的引理A.2，[29]的命题2.6，意味着VT∈ D1,2，Dt，0VT=f（σT）Dt，0σT=0，and Dt，xVT=f（σT+xDt，xσT）- f（σT）x=pBV（σT+xe-λ（T-t） ）+CV- x的VTX∈ (0, ∞). 因此，文献[3]中的定理4.1意味着dt，x（VT- K） +=（VT+xDt，xVT- K）+- （VT- K） +x{x>0}，从中我们得到（4.5）。

接下来，我们提供了条件（3.5）下ξvt的近似表示，而不是条件（3.2）。这种表示使我们能够计算伽马OU情况下的ξvt近似值。定理4.5在条件（3.5）和（4.1）下，ξVexists，我们得到ξVt=e-r（T-t） St公司-（σt+Cρ）limε→02πZ∞-∞bg（v，α；K）φ（ε）T | T-(-v- iα）×Z∞expn公司(-v- iα）e-λ（T-t） xo公司- 1.（eρx- 1） ν（dx）dv（4.6）对于任何t∈ [0，T）和α∈ （0，bu）。请注意，（3.7）中定义了函数φ（ε）T |，而（4.6）的右侧与α的选择无关。证据表示σT | T（x，ε）：=eσT | T（x）+ε（WT- Wt）=σT+xe-λ（T-t） +ε（WT- Wt），andA（u）：=（p | BVu+CV |- K） 1{u>（K-CV）/BV}适用于任何u∈ R、 我们有qBVeσT | T（x）+CV- K+英尺-= E[A（EσT | T（x））| Ft-] = limε→0E[A（eσT | T（x，ε））| Ft-].因此，（4.4）和支配收敛定理得出ξVt=e-r（T-t） St公司-（σt+Cρ）Z∞limε→0nE[A（eσT | T（x，ε））| Ft-] - E[A（σT | T（ε））| Ft-]o×（eρx- 1） ν（dx）=e-r（T-t） St公司-（σt+Cρ）limε→0Z∞nE[A（eσT | T（x，ε））| Ft-] - E[A（σT | T（ε））| Ft-]o×（eρx- 1） ν（dx），其中σT | T（ε）：=σT+ε（WT- Wt）。现在，表示θ=-v- iα，我们有e[A（eσT | T（x，ε））| Ft-]=e-r（T-t） 2πZ∞-∞bg（v，α；K）φT | T-（θ）扩展iθxe-λ（T-t）-εθ（T- t）对于ε>0和α∈ （0，bu）通过与命题3.6相同的论证。因此，Fubini\'stheorem暗示ξVt=e-r（T-t） St公司-（σt+Cρ）limε→0Z∞2πZ∞-∞bg（v，α；K）φT | T-（θ）×exp-εθ（T- t）expniθe公司-λ（T-t） xo公司- 1.dv（eρx- 1） ν（dx）=e-r（T-t） St公司-（σt+Cρ）limε→02πZ∞-∞bg（v，α；K）φT | T-（θ）×exp-εθ（T- t）Z∞expniθe公司-λ（T-t） xo公司- 1.（eρx- 1） α的ν（dx）dv∈ （0，bu）。这就完成了定理4.5的证明。注释4.6对于伽马OU案例，（4.1）满足ifb>2B（T）。

（4.7）注意，当我们计算gamma OU情况下的（4.6）时，以下内容非常有用：Z∞（eζx- 1） （eρx- 1） ν（dx）=abλb- ζ - ρ-b- ζ-b- ρ+b对于ζ∈ 当Re（ζ）<0.5数值试验时，本节的目的是使用FFT计算价格pT和LRM策略ξvT。首先，我们以（3.3）中给出的ptgive为例介绍了它的基本思想。定义asf函数（v）：=√BVπ2(-iv+α）erfcKr-iv+αBV！对于v∈ R、 我们有bg（v，α；K）=exp-（四）- α） CVBV公司f（v）。此外，定义f asbf（x）的傅里叶变换：=Z∞-∞e-ivxf（v）dv，我们可以重写（3.3）asPt=e-r（T-t） 2πeαCVBVbfCVBV.因此，我们可以用FFT计算Pt。备注5.1考虑到普通选项（ST-K） +写在标的资产S上，其价格为asPVt=e-r（T-t） 2πZ∞-∞e（iv+1-α） 对数KφT | T(-v- iα）bS-iv+αt-（五）- iα）（v- 1.- iα）dvby【31】中的示例2，其中φT |是BST的条件特征函数。这可以通过对数K上的傅立叶变换进行计算。因此，对于VIX选项的计算，FFT的使用方式与其他选项的不同。接下来，我们通过分别计算（3.6）和（4.6）的右侧，在小ε>0的情况下，对gamma OU的价格pta和LRM策略ξvt进行了数值实验。我们使用【23】中估计的参数集，即我们设置ρ=-1.2606，λ=0.5783，a=1.4338，b=11.6641。此外，我们假设T=1，r=0.007。此参数集满足条件（4.7）。此外，α设置为1.75，VIX VTI定义中出现的观察期τ固定为0.0833，约为一个月。在我们的数值实验中，即使时间t可能发生变化，资产价格和时间t的平方波动率也分别固定为St=1124.47和σt=0.0145。请注意，时间t时的VIX值为0.18588。

我们用ε=0.0001计算（3.6）和（4.6）的右侧，以获得pT和ξvT的近似值。我们进行了以下两种类型的实验：首先，我们计算t=0，0.02，…，的Ptandξvt值，0.98当期权为货币时，即K固定为0.18588。参见图1和图2。第二，t固定为0.5，我们将K从0.12变为0.3，步长为0.02，并计算PtandξVt。见图3和图4。如图2和图4所示，LRM策略的值为负值，因为VIX和基础风险资产具有负相关性。图1：期权价格与时间t=0，0.02，0.98，当期权在货币上时。图2:at-the-money期权的LRM策略值与时间t的对比。图3：0.5时的期权价格与0.12至0.3时的执行价格K，步长为0.02。图4:0.5时LRM策略值与执行价格K.A附录A。1 Malliavin演算我们介绍了L'evy过程的Malliavin演算。如备注2.1所述，我们认为基于规范L'evy空间的Malliavin演算，由【28】承担。有关此主题的更多详细信息，请参阅[12]、[28]和[29]。首先，我们定义了[0，T]×[0，∞) asq（E）：=ZEδ（dx）dt+ZExν（dx）dt，and q（E）：=ZEδ（dx）dWt+ZExeN（dt，dx），其中E∈ B（[0，T]×[0，∞)) δ是0处的狄拉克测度。对于n∈ N、 我们用乘积可测确定性函数h的LT，q，N集表示：（[0，T]×[0，∞))n→ R满足khklt，q，n：=Z（[0，T]×[0，∞))n | h（（t，x），··，（tn，xn））·q（dt，dx）···q（dtn，dxn）<∞.对于n∈ N和h∈ LT，q，n，we定义（h）：=Z（[0，T]×0，∞))nh（（t，x），····，（tn，xn））Q（dt，dx）····Q（dtn，dxn）。形式上，我们表示LT，q，0：=R，I（h）：=h表示h∈ R

在此设置下，任何平方可积FT可测随机变量X都具有唯一的表示形式X=∞Xn=0In（hn），功能为hn∈ LT、q、nth在n对（ti、xi）中对称，1≤ 我≤ n、 我们有=∞Xn=0n！khnkLT，q，n。我们定义了Sobolev空间D1，2和Malliavin导数算子Dt，xas如下：定义A.1 1。设D1,2denote为FT可测随机变量X的集合∈ L（P），X=P∞n=0英寸（hn）满足要求∞Xn=1nn！khnkLT，q，n<∞.2、对于任意X∈ D1,2，Malliavin导数DX：[0，T]×[0，∞) × Ohm → R定义为asDt，xX=∞Xn=1nIn-1（hn（（t，x），·））表示q-a.e.（t，x）∈ [0，T]×[0，∞), P-a.s.a.2 LRM战略的定义在定义LRM战略之前，我们准备了一些术语。定义A.2 1。策略定义为一对φ=（ξ，η），其中ξ是一个可预测的过程，η是一个适应的过程。请注意，ξtandηt分别表示投资者在时间t持有的风险单位和无风险资产的金额。策略的贴现值Д=（ξ，η）在时间t∈ [0，T]定义为BVT（Д）：=ξtbSt+ηT。特别是，bV（Д）给出了初始成本。2、如果满足BVT（Д）=bV（Д）+bGt（ξ），则称策略Д为自我融资∈ [0，T]，其中bg（ξ）表示由ξ引起的贴现收益过程，即bGt（ξ）：=ZtξsdbSsfor T∈ [0，T]。如果策略Д是自融资的，则η由ξ和初始成本bv（Д）自动确定。3、对于策略Д，由BCT（Д）定义的过程BC（Д）：=bVt（Д）-bGt（ξ）表示t∈ [0，T]被称为^1的贴现成本过程。当Д为自融资时，其折扣成本过程bc（Д）为常数。设X是一个平方可积随机变量，表示到期日T或有权益的支付。

如果满足bvt（Д）=bX，则称策略Д复制权利要求X，其中bX：=e-rTX是X的贴现值。最后，我们给出了LRM策略ДX的定义。粗略地说，策略ДX=（ξX，ηX）不一定是自我融资的，如果它是在所有复制策略中最大限度地降低BC（ДX）在L意义上造成的风险的复制策略，则称为索赔X的LRM策略。以下定义是基于Schweizer【25】定理1.6的简化版本，假设BS是鞅，因为Schweizer【24】和【25】引入的原始定义相当复杂。注意，[25]在假设r=0的情况下处理了这个问题。对于r>0的情况，请参见，例如Biagini和Cretarola【4】。定义A.3 1。如果ξ是满足“ZTξsdhbSis#<∞, （A.1）和η是一个适应的过程，使得bv（Д）是一个具有E[bVt（Д）]<∞每t∈ [0，T]。2、对于权利要求X，L-策略Д称为LRM策略∈ L（P），ifbVT（ДX）=bX，[bC（ДX），bS]是一致可积鞅。3.X∈ L（P）允许F¨ollmer-Schweizer分解，如果它可以用X=X+ZTξXsdbSs+LXT来描述，其中X∈ R、 ξXis是一个满足（a.1）的可预测过程，LX是一个平方可积的正交tobS，LX=0。然后，【25】中的命题5.2或【4】中的命题3.7，以及【2】中的备注2.3，提供了在条件（4.1）下，针对X的LRM策略ДX=（ξX，ηX）∈ L（P）存在的条件是且仅是yifbx（=e-rTX）允许F¨ollmer-Schweizer分解bX=bX+ZTξF SsdbSs+LF ST，其关系由ξXt=ξF ST，ηXt=bX+ZTξXsdbSs+LF ST给出- ξXtbSt。（A.2）因此，必须获得ξXin的表示，以获得ДX。

因此，我们在本文中将ξx与ДXin区分开来。致谢作者感谢MEXT拨款对科学研究（C）第15K04936号和第18K03422号的资助。参考文献【1】Arai，T.、Imai，Y.、Suzuki，R.（2016）。指数L'evy模型局部风险最小化的数值分析。《国际理论与应用金融杂志》，19（02），1650008。[2] Arai，T.、Imai，Y.、Suzuki，R.（2017）。巴恩多夫-尼尔森和谢泼德模型的局部风险最小化。《金融与随机》，21（2），551-592。[3] Arai，T.，&Suzuki，R.（2015）。利维市场的局部风险最小化。《国际金融工程杂志》，2（02），1550015。[4] Biagini，F.，&Cretarola，A.（2012）。具有recoveryprocess的可违约索赔的局部风险最小化。《应用数学与优化》，65（3），293-314。[5] Barletta，A.，&Nicolato，E.（2018年）。波动率指数期权的正交展开式。《定量金融》，18（6），951-967。[6] Barletta，A.、Nicolato，E.和Pagliarani，S.（2018）波动率指数的短期行为隐含着多因素随机波动性框架中的波动性。出现在数学金融领域。[7] Barndor Off-Nielsen，O.E.，&Shephard，N.（2001）。金融计量经济学的勒维过程建模。在列维过程中（第283-318页）。Birkh–auser，马萨诸塞州波士顿。[8] Barndor Off-Nielsen，O.E.，&Shephard，N.（2001）。非高斯Ornstein-Uhlenbeck模型及其在金融经济学中的一些应用。皇家统计学会杂志：B辑（统计方法），63（2），167-241。[9] Benth，F.E.，Groth，M.，&Kufakunesu，R.（2007）。非高斯Ornstein-Uhlenbeck随机波动率模型的波动率估值和方差交换。《应用数学金融》，14（4），347-363。[10] Cheng，J.，Ibraimi，M.，Leippold，M.，和Zhang，J.E.（2012）。