Barndorff Nielsen和Shephard的VIX期权定价和对冲

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英文标题：
《Pricing and hedging of VIX options for Barndorff-Nielsen and Shephard
  models》
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作者：
Takuji Arai
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  The VIX call options for the Barndorff-Nielsen and Shephard models will be discussed. Derivatives written on the VIX, which is the most popular volatility measurement, have been traded actively very much. In this paper, we give representations of the VIX call option price for the Barndorff-Nielsen and Shephard models: non-Gaussian Ornstein--Uhlenbeck type stochastic volatility models. Moreover, we provide representations of the locally risk-minimizing strategy constructed by a combination of the underlying riskless and risky assets. Remark that the representations obtained in this paper are efficient to develop a numerical method using the fast Fourier transform. Thus, numerical experiments will be implemented in the last section of this paper.
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中文摘要：
将讨论Barndorff-Nielsen和Shephard模型的VIX看涨期权。以波动率指数（VIX）为基准的衍生品交易非常活跃，VIX是最流行的波动率衡量指标。本文给出了Barndorff-Nielsen和Shephard模型的VIX看涨期权价格的表示：非高斯Ornstein-Uhlenbeck型随机波动率模型。此外，我们还提供了由基础无风险资产和风险资产组合构建的局部风险最小化策略的表示。请注意，本文中获得的表示对于开发使用快速傅立叶变换的数值方法是有效的。因此，本文的最后一部分将进行数值实验。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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关键词：shephard Nielsen Hard 期权定价 else

Barndorff-Nielsen和Shephard modelsTakuji Arai的VIX期权定价和对冲*2019年4月30日摘要将讨论Barndorff-Nielsen和Shephard模型的VIX看涨期权。以波动率指数（VIX）作为最流行的波动率衡量指标的衍生工具受到了广泛的关注。本文给出了Barndorff-Nielsen和Shephard模型的VIX看涨期权价格表示：非高斯Ornstein-Uhlenbeck型随机波动率模型。此外，我们还提供了由基础无风险资产和风险资产组合构建的局部风险最小化策略的表示。请注意，本文中获得的这些演示文稿足以开发一种使用快速傅立叶变换的数值方法。因此，本文的最后一部分将进行数值实验。关键词：波动率指数，波动率指数期权，随机波动率模型，巴恩多夫-尼尔森和谢泼德模型，局部风险最小化，快速傅立叶变换。1简介我们的主要目标是为Barndorff-Nielsen和Shephard（BNS）模型的VIX看涨期权提供价格和本地风险最小化（LRM）策略的有效数字表示，并使用快速傅立叶变换（FFT）进行数值实验。BNS模型是Barndorff–Nielsen和Shephard[7]、[8]提出的非高斯Ornstein–Uhlenbeck（OU）型随机波动率模型。更准确地说，我们考虑整个金融市场模型，该模型由一项利率为r的无风险资产组成≥ 0和1项风险资产，其在时间t的价格≥ 0表示为St，表示为asSt=Sexp（r+u）t-Ztσsds+ZtσsdWs+ρHλt, （1.1）其中S>0，u∈ R、 ρ≤ 0和λ>0。这里，W是一维布朗运动，H是无漂移的平衡子。

平方波动率过程σ由h驱动的OU过程给出，即以下方程的解：dσt=-λσtdt+dHλt*庆应义塾大学经济系，电子邮件：arai@econ.keio.ac.jpwith σ> 0. 在本文中，我们采用u∈ R使贴现资产价格过程e-rtSt，用BST表示，成为鞅。因此，对于任何在T>0时到期的期权X，其价格为T∈ [0，T]由e给出-r（T-t） E[X | Ft]，其中{Ft}t≥0是一种过滤。另一方面，由于我们的基础市场是不完整的，所以通常没有完美的对冲。相反，我们考虑的是一种替代性套期保值策略，它不是完美的，但在某种意义上是最优的。事实上，针对不完全市场模型提出了许多这样的边缘策略。其中，我们重点研究了lRM策略，这是一种非常著名的二次套期保值方法。特别是，它的理论观点已经很成熟，但对它的显式表示知之甚少。同时，Arai等人[2]利用L'evy过程的Malliavin演算给出了BNS模型看涨期权的LRM策略表示，并说明了基于FFT的数值方法。现在，波动率指数是芝加哥期权交易所（CBOE）推出的最受欢迎的波动率衡量指标。更准确地说，它被定义为标准普尔500指数未来30个营业日综合方差预期值的平方根。在本文中，时间t的波动率指数（用Vt表示）被定义为时间间隔内的综合方差【t，t+τ】，其中τ>0是固定观测期。如第2节所示，VTI平方的数学定义自然为VT：=-τEhlogbSt+τ- logbSt | Fti。（1.2）此外，（1.2）的右侧被重写为vt=τEZt+τtσsds英尺- 2Z∞（1+ρx- eρx）ν（dx）。（1.3）注意第二项是由于（1.1）的跳跃分量引起的。

众所周知，波动率指数的变化与资产价格的变化呈负相关，但不可直接投资。因此，为了减少波动性变化带来的风险，在波动率指数上进行衍生品交易是不可避免的。事实上，这类衍生品交易非常活跃，关于这一主题的文献也很多。在本文中，我们关注VIX上的欧式看涨期权，其中Payoff描述为（VT- K） +，其中T>0表示到期日，K>0表示敲定价格；并通过扩展[2]中的结果，为BNS模型提供其价格和LRM策略的表示，其中本文中讨论的LRM策略是由基础无风险资产和风险资产的组合给出的。特别是，我们在本文中得到的表示能够有效地开发基于FFT的数值方法。许多研究人员已经研究了衍生工具在波动率指数或跳跃型模型波动率上的定价和套期保值问题（[6]、[13]、[14]、[17]、[19]、[26]、[27]、[30]和soforth）。其中，Lian和Zhu【20】推导出了所谓SVJJ模型的VIX看涨期权定价公式，其中资产价格过程SSI作为以下随机微分方程（SDE）的解给出：dSSt=SSt-uSdt+σStdWSt+dZSt, （1.4）其中uS∈ R、 WSis是一维布朗运动，zs是复合泊松过程。注意，他们的公式是对[21]的修正。此外，[10]还指出了[21]的错误。

这里，σSin（1.4）是从以下SDE的解得出的波动过程：d（σSt）=κS（θS- （σSt））dt+vSσStdWσt+dZσt，其中，κS，θSand vS是满足Feller条件2κSθS>（vS）的常数，Wσ是与WS相关的一维布朗运动，Zσ是由与ZS相同的泊松过程生成的复合泊松过程，即ZS和Zσ的跳跃同时发生。请注意，此模型框架不包括BNS模型。作为另一篇文献，Barletta和Nicolato【5】也考虑了与【20】相同的模型框架，并通过正交展开近似推导出了一个封闭式定价公式。Kallsen等人[18]研究了基于给定资产价格过程的二次变化的期权定价，该过程适用于带有跳跃的随机波动率模型。特别是，他们举例说明了BNS模型的数值实验。Benth等人[9]获得了对无跳跃的BNS模型（即ρ=0的情况）的已实现波动率σR的幂的条件检验的估值公式：=sTZTσsds。请注意，[9]中所述的已实现波动率σ与（1.3）中所述的波动率V不同。此外，Habtemicael和SenGupta【15】以及Issaka和SenGupta【16】研究了方差交换σR-KRand波动率掉期σR-KR对于带跳跃的BNS车型，KRS的交货价格。特别是，[16]推导了描述方差掉期价格动态的偏积分微分方程，以及Veˇceˇr-typeformula。据我们所知，尚未提供BNS模型VIX看涨期权的价格和LRM策略的任何表示。特别是，没有人讨论跳跃型随机波动率模型VIX期权的LRM策略。本文的其余部分组织如下：在第2节中，我们给出了模型描述，并讨论了VIX。

第3节和第4节分别给出了我们的主要结果，即VIX看涨期权的价格表示和LRM策略。第5节专门讨论数值结果。2准备工作2.1模型描述在本文中，我们认为金融市场由一项利率为r的无风险资产组成≥ 0和一项风险资产，其价格动态如（1.1）所述。请注意，therisky资产价格过程S也是以下SDE的解决方案：dStSt-=r+u+Z∞（eρx- 1） ν（dx）dt+σtdWt+Z∞（eρx- 1） eN（dt，dx）。（2.1）这里，N表示从属项Hλt的泊松随机测度，即Hλt=Z∞xN（[0，t]，dx）对t保持不变≥ 0，ν是Hλt的L'evy测度；andeN是N的补偿版本，表示为aseN（dt，dx）=N（dt，dx）- ν（dx）dt。请注意，最后一项ρHλtin（1.1）说明了杠杆效应，这是一个程式化的事实，使得资产价格在波动性增加时下降。在本文中，我们只处理贴现资产价格过程bst（：=e）的情况-rtSt）成为鞅。换句话说，假定u为asR∞(1 -eρx）ν（dx）。因此，（2.1）意味着动态OFBS由DBSTBST给出-= σtdWt+Z∞（eρx- 1） eN（dt，dx）。备注2.1我们将使用基于标准L'evy空间的Malliavin微积分，由Sol'eet al.【28】承担。因此，潜在的概率空间(Ohm, F、 P）应作为productspace给出(OhmW×OhmJ、 FW×FJ，PW×PJ），其中(OhmW、 FW、PW）和(OhmJ、 FJ，PJ）分别是纯跳跃L'evy过程Hλt的一维维纳空间和正则L'evy空间。过滤F={Ft}t≥0表示为P完成的规范过滤。

虽然本文得到的结果基本上不依赖于底层概率空间的结构，但为了简化数学描述和讨论，我们选择了正则L'evy空间框架。例如，可以使用Araiand Suzuki【3】、Delong和Imkeller【12】和Suzuki【29】中引入的正则L'evy空间的结果。如引言所示，（2.1）中的波动过程σ是由隶属函数Hλt驱动的OU过程的平方根。现在，我们介绍BNS模型中出现的平方波动过程σ的两个重要示例。有关此主题的更多详细信息，请参见Schoutens【23】和Nicolato和Venardos【22】。第一种情况是σ遵循IG-OU过程。相应的L'evy测度ν由ν（dx）=λa给出√2πx-（1+bx）e-bx（0，∞)（x） DX，其中a>0，b>0。请注意，这是具有内部跳跃的BNS模型的代表性示例，即ν（（0，∞)) = ∞. 在这种情况下，σ的不变分布遵循参数a>0和b>0.2的反高斯分布。第二个例子是gamma OU案例。在这种情况下，ν被描述为ν（dx）=λabe-bx（0，∞)（x） dx，σ的不变分布由参数a>0和b>0.2.2的伽马分布给出。在本小节中，我们讨论了为什么VIX定义为（1.2），并表明（1.3）适用于BNS模型。为此，我们首先考虑一个连续型随机波动性模型，其中贴现资产价格过程bSCt为dbsct=bSCtσCtdWt。注意，我们不需要指定波动过程σCt。该模型的VIX平方，用（VC）表示，自然定义为（VCt）=τEZt+τt（σCs）ds英尺对于t∈ [0，T]，其中τ>0是观察期。通过简单的计算，我们得到Zt+τt（σCs）ds英尺= -2EhlogbSCt+τ- logbSCt | Fti。

（2.2）另一方面，由于跳跃分量，BNSmodels在[t，t+τ]上的综合方差不同于EhRt+τtσsdsFti。因此，考虑到（2.2），我们将BNS模型的波动率平方定义为（1.2）。为了在时间间隔[0，T]上处理波动率V，应在延长的时间间隔[0，T+τ]上定义过程S和σ，其中T>0是要定价和对冲的期权的到期日。为了确保（1.3），我们计算Vt如下：Vt：=-τEhlogbSt+τ- logbSt | Fti=-τE“Zt+τtZ∞(1 - eρx）ν（dx）-σsds+Zt+τtσsdWs+Zt+τtZ∞ρxN（ds，dx）Ft#=τEZt+τtσsds英尺- 2Z∞（1+ρx- t的eρx）ν（dx）（2.3）∈ [0，T]。此外，（2.3）右侧的第一项表示为τEZt+τtσsds | Ft=τEB（τ）σt+Zt+τtZ∞B（t+τ- s） xN（ds，dx）英尺=B（τ）τσt+τZt+τtB（t+τ- s） dsZ公司∞xν（dx）=B（τ）τσt+λ1.-B（τ）τZ∞xν（dx）乘以[22]中的（2.5），其中b（t）：=1- e-λtλ表示t≥ 因此，我们有并表示vt=B（τ）τσt+λ1.-B（τ）τZ∞xν（dx）- 2Z∞（1+ρx- eρx）ν（dx）=：BVσt+CV，其中BV和CV为正常数。因此，我们可以描述VtasVt=qBVσt+CV。（2.4）3价格本节的目的是为BNS模型提供VIX看涨期权价格的两种表示。请注意，我们的表示能够有效地开发基于FFT的数值模式。首先，我们给出了σT的特征函数在可积条件下的积分表达式。注意，该条件在IG-OU情况下满足，但在gamma-OU情况下不满足。因此，我们建议另一种近似方法来处理gamma OU情况。考虑在履约价格K>0的时间T>0到期的VIX看涨期权。

然后，其支付被描述为（VT- K） +；其在时间t的价格，用Pt表示，如下所示：Pt：=e-r（T-t） E[（VT- K） +|英尺]。此外，我们定义了VIX看涨期权支付函数的傅立叶变换asbg（v，α；K）：=Z∞（pBVx+CV- K） +e（iv）-α） XDX或v∈ R和α>0。注意，由于σ为正，bg定义为[0，∞) 代替R；只处理K≥√个人简历bg的具体表达式如下：引理3.1表示任何K≥√CV，v∈ R和α>0，我们有bg（v，α；K）=exp-（四）- α） CVBV公司√BVπ2(-iv+α）erfcKr-iv+αBV！，其中，fc（x）：=√πZ∞xe公司-tdt。证据到[20]的（9），我们有了∞（pBVx+CV- K） +e（iv）-α） xdx=exp-（四）- α） CVBV公司Z∞简历(√y- K） +e（iv）-α） yBVdyBV=exp-（四）- α） CVBV公司Z∞(√y- K） +e（iv）-α） yBVdyBV=exp-（四）- α） CVBV公司√BVπ2(-iv+α）erfcKr-iv+αBV！，引理3.1紧随其后。为了给出Pt的表达式，我们需要定义σT的条件特征函数σT给定σtasφT | T（ζ）：=E[exp{iζσT}|σT]∈ C、 [22]的引理2.1暗示，表示κ（u）：=Z∞（欧盟）- 1） ν（dx），我们有φT | T（ζ）=E“exp（iζE-λ（T-t） σt+iζZTte-λ（T-s） dHλs）σt#=expniζe-λ（T-t） σtoexp（ZTtκiζe-λ（T-s）ds）（3.1）对于任何ζ∈ 带Im（ζ）>-bu，其中bu：=sup{u∈ R |κ（u）<∞} ≥ 现在，Pt有以下积分表达式：命题3.2（Tankov的命题2[31]），假设bu>0，Zr |φT | T（v- iα）| 1+| v | dv<∞ （3.2）对于任何t∈ [0，T]和α∈ （0，bu）。我们得到了PT=e-r（T-t） 2πZ∞-∞bg（v，α；K）φT | T(-v- iα）dv（3.3），对于任何t∈ [0，T]，α∈ （0，bu）和K≥√个人简历注意，（3.3）的右侧与α的选择无关。备注3.3上述表达式（3.3）已在SVJJ模型的[20]提案2中介绍，但不包括BNS模型。备注3.4作为波动率指数的另一个重要衍生工具，波动率指数期货一直在交易中。

其在时间t的值由fvt表示：=E【VT | Ft】，这与利率也为0时执行价格为0的波动率指数看涨期权的价格相对应。因此，（3.3）意味着fvt=2πZ∞-∞bg（v，α；0）φT | T(-v- iα）DV在命题3.2的所有条件下均成立。我们表明，第2.1小节中介绍的IG-OU案例满足提案3.2的所有条件，即IG-OU案例的VIX期权价格描述为（3.3）。[22]的示例3.5首先（2.8）表示κ（u）=Z∞（欧盟）- 1） ν（dx）=λau（b- 2u）-对于u<b，这意味着bu=b>0。接下来，我们证明了条件（3.2）对于任何a，b>0都是满足的。为此，我们计算Tκiζe-λ（T-s）ζ的ds∈ 带Im（ζ）>-bas如下：ZTtκiζe-λ（T-s）ds=ZTtλaiζe-λ（T-s） pb级- 2iζe-λ（T-s） ds=Ze-λ（T-t） aiζpb- 2iζxdx=aζ√Ze公司-λ（T-t）-sgn（Re（ζ））s-A+√A+BA+B+sA+√A+BA+Bidx（3.4），其中A：=b+2 Im（ζ）x和b：=2 Re（ζ）x。取v∈ R和α∈ （0，bu），我们替换v-iα表示ζ，以估计（3.4）的被积函数的实部。然后我们可以找到一个常数C>0，这样-|v | s-A+√A+BA+B+αsA+√A+BA+B<C-p | v |+p | v |！。对于任何x∈ （e）-λ（T-t） ，1）和任何v∈ R，具有足够大的v。因此，从（3.1）的角度来看，IG-OU案例始终满足（3.2）。对于伽马OU案例，这是BNS模型的另一个典型框架，如下面的示例3.8所示，条件（3.2）不满足，即（3.3）的右侧没有很好定义。为了克服这一困难，我们开发了一种近似方法，用σT+ε（WT）替换σT- Wt），表示为σT | T（ε），系数小ε>0。为此，我们需要考虑σT | T（ε）的波动率，而不是σT。由于σT | T（ε）可能取负值，我们将波动率看涨期权的收益改写为q | BVσT | T（ε）+CV |- K{σT | T（ε）>（K-CV）/BV}，定义（ε）t：=e-r（T-t） 呃q | BVσT | T（ε）+CV |- K{σT | T（ε）>（K-对于ε>0，CV）/BV}| fti。