模拟选举动态和虚假信息的影响

事实上，可以证明{Wt}是一个标准的布朗运动。为此，我们回顾了布朗运动的L'evy准则，即如果一个过程{Wt}是一个马氏体，并且如果（dWt）=dt，那么{Wt}是一个布朗运动。为了证明{Wt}是鞅，我们观察到≥ s thatEs【Wt】=Es【ξt】- σEs“Zt^Xudu#=σt^Xs+Es[Bt]- σZs^Xudu- σ（t- s） ^Xs，（12）但根据条件期望的塔性质，我们得到了Es[Bt]=Es[Bs]，因此在（12）中写入^Xs=Es[X]我们发现，由于Es[σsX+Bs]=Es[ξs]=ξs，即Es[Wt]=Es[σsX+Bs]- σZs^Xudu=Ws，（13）建立鞅条件。然后从（dξt）=dt，我们在ce上发现（dWt）=dt，由此得出{Wt}是在测度P下的布朗运动，关于{ξt}生成的信息流。根据这一观察结果，我们从（11）中推断，“现实世界”概率测度P中的信息过程{ξt}是一个漂移布朗运动，这意味着存在一个有效的概率测度Q，在该概率测度下，信息过程{ξt}本身就是一个布朗运动。在下面的阿吉文候选人获胜概率分析中，这一指标变化的细节变得很方便。为了阐明两个度量值P和Qlet之间的关系，我们检查（8）中获得的条件概率分母，并将其定义为Φt=Xjpjexpσxjξt-σxjt. （14） 然后，伊藤公式的应用表明，dΦtΦt=σ^Xtdξt，（15），从中，在积分并使初始条件Φ=1时，可以得出Φt=expσZt^Xsdξs-σZt^Xsds！。（16） 因此，根据Girsanov定理，在任何有限时间范围内都存在一个等价的概率测度Q，使得（11）定义的过程{ξt}是Q-测度中的标准布朗运动，其中{Φt}是测度密度martin gale的变化。

特别地，对于任何可测量的随机变量Yt，这两个概率度量中的条件期望根据pS【Yt】=ΦsEQs【ΦtYt】和EQs【Yt】=ΦsEPs“ΦtYt”；（17）IV.我们在（8）中得出的获胜概率后验概率的动力学过程，即首选候选是第k个。有了这一点，我们可以问一系列定量问题，例如，考虑到即将到来的选举将在T年后举行，坎迪·达特克获得K%以上选票的可能性有多大。我们现在在一个只有两个主要候选人的简单案例中解决这个问题。值得一提的是，如果手头没有一个动力学模型，这样的问题是无法解决的。对于两名候选人的选举（或者，相当于“是非”公民投票），我们可以使用二进制系统将候选人标记为0和1。换句话说，我们让x=0，x=1；因此，对于先验概率，我们设置p=p，p=1- p、 然后随机变量X的条件期望由^Xt=Xi=0xiP（X=Xi |ξt）=（1）给出- p） 经验值σξt-σtp+（1- p） 经验值σξt-σt, （18） 这可以解释为代表候选人1的投票百分比的后验预期，因为在二元情况下，我们有^Xt=π1t。我们现在检查候选人1在未来时间T的选举中获得K%以上选票的先验概率P（^XT>K）。我们将利用这一事实^XT>K= Eh1{XT>K}i，（19）也就是说，事件的概率可以通过对该事件的指示函数的期望来计算。为了计算（19）右侧的期望值，我们将更改测量值P→ 利用密度鞅Φt=p+（1- p） 经验值σξt-σt. （20） 那么我们有了^XT>K= 方程ΦT1{^XT>K}i。

（21）我们现在观察到，^XT是ξt的增函数。因此，^XT>K上的条件等价于ξt上的条件。这可以明确地计算出来。我们有（1- p） 经验值σξT-σT> Khp+（1- p） 经验值σξT-σTi、 （22）由此得出，当且仅当ξT>z时，^XT>K成立*√T，其中Z*=日志pK（1-p） （1）-K）+σTσ√T、 （23）如上所述，在测度Q下，信息过程{ξT}是一个标准的布朗运动，因此我们推断p^XT>K=√2πZ∞z*e-zp+（1- p） eσ√T z-σTdz。（24）因此，如果我们确定-= -z*d+=σ√T- z*, 或者更明确地说，d±=log(1-p） （1）-K） 主键±σTσ√T、 （25）那么我们有^XT>K= p N（d-) + (1 - p） N（d+）（26）图1：获胜可能性。候选人1在一年的选举中获胜的概率（T=1），作为先验概率p的函数∈ （0，1）和信息流量σ∈ (0, 0.75). 在极限σ内→ 0当未来不确定性较大时，概率接近阶跃函数，而处于相反的极限σ→ ∞ 概率近似为当前民意测验的线性函数，用p表示，其中n（x）=√2πZx-∞e-zdz（27）表示累积正态分布函数。通过在（26）中设置K=1/2，我们可以得到候选人1赢得选举的可能性。如图1所示。顺便说一句，我们注意到，由此获得的公式（26）表示选举中给定候选人的概率与金融市场中Black-Scholes模型中astock i期权的定价公式基本相同【24】。更仔细地研究候选人在未来选举中获胜的可能性的表现是很有趣的。例如，在极限σ→ 0作为当前轮询函数的概率接近一个阶跃函数。

也就是说，如果候选人1今天获得51%的支持，那么候选人1在未来选举中获胜的可能性就接近1。这是因为在信息流量为零的lim it中，不会显示与选择相关的信息。因此，在没有任何进一步信息的情况下，当前的状态将是未来的状态，即51%的选民将投票给候选人1，因此获胜的可能性接近1。当然，在现实中，信息被解开，导致民意调查的动态演变。在图2中，我们绘制了两个σ值的（26）横截面。如果当前的民意调查反映了选举预测因素，那么给定候选人在未来选举中获胜的概率将是当前受欢迎程度的近似函数，即当前支持率等于选举获胜的可能性。然而，根据基于信息的模型，对应关系为0.2 0.4 0.6 0.8 1.01-p0.20.40.60.81.0获胜概率图。2： 获胜可能性。候选人1在一年的选举中获胜的概率（T=1），作为当前支持率1的函数- p代表候选人。如果今天的民意测验是获胜概率的预测指标，那么函数应该是此处显示的直线（棕色）。然而，根据基于信息的模型，我们发现，如果1- p>；相反，如果1- p<。显示了两个示例，对应于信息流量的值σ=0.15（紫色）和σ=0.95（洋红）。结果表明，如果未来不确定性较大（σ较小），则偏离民意测验指标的偏差较大。是非线性的。

特别是，如果今天某位候选人的支持率高于50%，那么该候选人在未来选举中获胜的可能性总是比今天的民意调查所建议的要大，反之，如果当前的支持率低于50%，那么实际获胜的可能性就比今天的民意调查所建议的要小。此外，随着未来不确定性的增加，今天的得分与获胜可能性之间的差距也会增大。五、 预测选举结果在上述分析中，我们引入了一个抽象的随机变量X th，在某种意义上代表“首选”候选人。因此，条件期望^Xtof X不会收敛到候选人中的任何一个，因为在选举日之前，公众舆论的变化范围很广。然而，从竞选经理、选举民调师、选举专家或参与选举的竞选机构的角度来看，重要的不是抽象的概念，即历史可能最终判断哪位候选人是最受欢迎的候选人。对他们来说，重要的是谁可能真正赢得选举这一更具体的概念。为了模拟选举预测，我们需要一个获胜概率的动态版本（26）。为了使讨论保持简单，让我们暂时继续假设只有两个坦率的日期：候选人0和候选人1。然后，候选人1赢得选举的概率必须收敛到0或1，这取决于选举结果。换句话说，我们需要考虑概率T^XT>K= Eth1{XT>K}i（28）以t时间t之前可用的信息为条件。然后，这种条件概率过程将以随机方式演变，随着选举日的临近，它将收敛到0或1，即。

作为t→ T为了澄清，我们指出，（28）代表优先概率（26）的动态扩展，因为（26）K=1/2代表候选人1在t=t的选举日取得胜利的当前（时间t=0）概率，该概率将随着新信息的披露而动态变化，因此，特别是考虑到时间t的可用信息，获胜概率变为（28），k=1/2。为了计算（28）中的条件期望，我们首先指出模型欠考虑需要以下意义上的动态一致性。支持在时间s之前收集信息∈ [0，t]这样先验概率Pi变成了后验概率πis=p（X=xi |ξs）。然后从这一点开始，给出过去{ξu}0的知识≤u≤ s、 根据信息流的原始模型（2），从时间s开始的重新初始化信息过程将采用ξst=ξt的形式- ξs=σX（t- s） +（Bt- Bs）。（29）因此，从时间s开始，后验概率πis现在成为未来时间t的优先概率≥ s、 因此，根据导致（8）的逻辑，新的后验概率πit=P（X=xiξt）应该是πit=πisexp的形式σxiξst-σxi（t- s）Pjπjsexpσxjξst-σxj（t- s）. （30）用ξstandπisin（30）的表达式代替，一个简短的计算表明，结果表达式确实与（8）中得到的表达式一致，从而建立了模型的动态一致性。动态一致性意味着要计算出（28）中的条件期望，必须循环计算到（26），而不是使用与时间相关的度量变化规则EPt[YT]=EQt[ΦTYT]/Φt执行直接计算。

特别是，我们立即推断出^XT>K= πtN（d-t） +（1- πt）N（d+t），（31），其中πt=P（X=0 |ξt）和d±t=log(1-πt）（1-K） πtK±σ（T- t） σ√T- t、 （32）在（31）中设置K=1/2，我们获得了候选人1将在时间t赢得选举的后验概率，这实际上收敛到0或1，这取决于信息如何沿着这条道路展开。图3显示了条件概率过程的五个充分路径模拟。顺便说一句，我们注意到，如果有两个以上的候选人，比如说，N个候选人竞争，那么在时间t时，kthcandidate赢得选举的相应后验概率在时间t时通过计算Pt（πkT>N）来确定-1).    >图3：选举预测的动态。概率Pt^XT>1/2在时间t，候选人1将赢得在时间t进行的选举，这是模拟的。此处显示了五条样本路径，参数值p=0.48、σ=0.5和T=1。六、 虚假信息的影响：何时发布虚假新闻？基于信息的选举模型自然允许对传播中存在虚假信息的情况进行概括，故意掩盖X的真实值。特别是，在【10】中，我们定义了“假新闻”作为信息过程的定义的含义（2）形式如下：ηt=σXt+Bt+Ft，（33）其中术语{Ft}，其中h作为一个偏差，因此t h在E[Ft]，0时，为故意的虚假信息建模。他们的想法可以描述如下。有一些没有根据的谣言和猜测掩盖了X的价值，但大量这样的随机猜测将产生一个无偏的噪音，使E[Bt]=0。

换句话说，当噪声干扰X的准确估计时，它不会指向任何特定的方向；然而，假新闻可以通过其迷惑公众的欲望与传统新闻区别开来。因此，那些不知道{Ft}存在的人将根据公式（8）得出他们的估计值，但用失真信息{ηt}代替{ξt}。换言之，他们将“感知”关于正常形式（2）的信息，并根据（8）进行适当的推断；但是由于{Ft}的存在，它们的引用现在是倾斜的。在基于信息的模型中，可以以直观透明的方式理解d信息的影响：如果e[Ft]>0，那么人们（不知道{Ft}的存在）会被误导，以为X的真实值大于实际值；同样，如果E【Ft】<0，人们就会错误地认为X的真实值小于它的真实值。因此，通过为过程{Ft}选择特定模型，可以应用模拟研究来确定，对于{Ft}的选择，民意调查统计在这种情况下可能会产生怎样的影响。从那些希望传播虚假信息的人的角度来看，最明显的问题是：如何为{Ft}找到最佳选择？显然，最优性的概念取决于标准的选择，但在目前的情况下，最自然的可能是使给定候选人在选举中获胜的概率最大化。一般来说，要找到这个问题的解决方案，需要解决一个新型的随机优化问题，该问题结合了（a）信号检测理论，尤其是非线性滤波理论[16]，以及（b）变化点检测问题理论[25]。

因此，我们在这里遇到了一种情况，一种新型的问题导致了一种新型的数学挑战。在这里，我们将在一个简单的设置中分析这个问题，在这个设置中，只有一次机会发现虚假新闻。因此，问题是找到发布虚假新闻的最佳时机，以最大限度地扩大其对即将到来的选举的影响。我们将特别假设一个形式为Ft=u（t）的假新闻模型- τ） e类-α（T-τ） 1{t>τ}，其中u和α>0是常数，τ表示假新闻发布的时间，1{t>τ}与之前一样，如果t≤ τ和1{t>τ}=1，否则。这种选择有这样一种解释：当假新闻在时间τ发布时，最初它们的强度在时间上以u的速率线性增长，但随着时间的推移，假新闻的强度以α的速率指数级抑制。让我们在两名候选人的选举中考虑这个问题。回想一下，在缺乏dis信息的情况下，候选人e 1获得选举胜利的概率在（26）w中已经计算出来，K=1/2。然而，如果虚假信息以这样的方式传播，而投票者并不知道，那么这种可能性会以以下方式改变。注意到（26）是通过假设真实信息流{ξt}得到的，如果实际上这被{ηt}代替，那么阈值z*of（23）现在替换为z*- 英尺/√T这是因为原始条件是ξT>z*√T，但在存在二元信息时，ξT被ξT+FT替代；因此，条件现在为ξT>（z*- 英尺/√T）√T相应地，变量d±替换为d±+FT/√T如果FT>0（如果FT<0），这会增加（分别降低）候选人1的获胜概率P（^XT>1/2）。

因此，原则上，人们可以优化{Ft}的形式，以最大化（或最小化）概率p（^XT>1/2）。然而，在现实中，由于{ξt}的马尔可夫性以及{Ft}存在的假设对选民是隐藏的，在这种情况下，通过简单的最大化Ft可以获得最大影响。对于型号Ft=u（t- τ） e类-α（T-τ） 因此，为了最大限度地影响选举结果，应在τ发布假新闻*=αT- 1α（34）如果α>T-1和atτ*= 如果α为0≤ T-1、在图4中，我们绘制了候选人1在虚假新闻出现的情况下赢得选举的概率P（^XT>1/2），作为发布时间τ的函数。对于所做的参数选择，我们可以看到，在没有虚假消息的情况下，如果候选人1赢得选举的先验概率（今天的民意调查）为1-p=49.5%，那么一年后赢得选举的实际概率（今天的预测）约为47.3%。然而，如果选民没有发现有利于候选人1的虚假消息，那么只要在选举日之前发布，就会增加这种可能性。特别是，如果优化了发布时间，那么概率可以提高5.5%（在本例中），这可能只是为了克服候选人1的统计确定性以确保获胜。这里提到的具体数据当然基于任意选择的模型参数，但该模型以直观的方式清楚地说明了爆炸事件的影响，并允许进行更全面的影响研究、场景分析以及参数敏感性分析；我们希望其结果将有助于制定应对虚假新闻影响的对策。0.2 0.4 0.6 0.8 1.0τ0.480.490.500.510.520.53获胜概率图。4： 获胜可能性。