Barrier和Bermudan期权信用风险的快速计算

获得tbVt（x）=Xj时期权价格的近似值∈Jcj（t）pj（x），预期未来暴露的近似值seetu=EP[最大{Vtu，0}]≈MMXi=1对于所有u=0，n、 和潜在未来暴露的近似值Eαtu（x）=infy：PEt（x）≤ y≥ α≈ inf公司y：#{Eitu≤ y} M级≥ α.我们将步骤1称为模拟阶段，步骤2和3称为预计算阶段，步骤4、5和6称为方法的时间步进。算法2：欧式期权算法1可以修改为计算欧式期权的风险敞口。在这种情况下，我们在到期之前不会行使期权，因此只计算续存价值。更准确地说，百慕大期权算法中的步骤5被5取代。迭代时间步进tu+1→ tu：假设我们有一个切比雪夫近似Vtu+1（x）≈bVtu+1（x）=Pj∈Jcj（tu+1）pj（x），–计算节点值bvtu（xk）=pj∈JcjΓk，jand new Coefficients cj（tu），-为所有模拟路径的选项定价Vitu=bVtu（Xitu）=Pj∈Jcj（tu）pj（Xitu），-计算暴露Eitu=max{Vitu，0}。算法3：障碍期权此外，可以修改算法1来计算Barrier期权的风险敞口。在这种情况下，根据屏障选择插值域。没有早期练习，但是，我们需要注意淘汰功能。对于带有屏障b的向上和向外选项，百慕大选项算法中的步骤2和步骤5将替换为2。找到合适的域X=[X，b]，并确定节点p点xk，k=0，N、 5。

迭代时间步进tu+1→ tu：假设我们有一个切比雪夫近似Vtu+1（x）≈bVtu+1（x）=Pjcj（tu+1）pj（x），–计算节点值bVtu（xk）=PNj=0cjΓk，jand新系数cj（tu），–为所有模拟路径的选项定价Vitu=bVtu（Xitu）=pj∈Jcj（tu）pj（西土）如果西土≤ b和Vitu=0，否则，计算曝光Eitu=max{Vitu，0}，–如果选项被取消，即如果Xitu>b在路径Eitj上的所有未来时间步更新曝光，j=u+1，n、 3.2该方法的概念益处提出的算法为暴露计算提供了有效的解决方案。此外，新方法的结构带来了概念上的好处，可以在实践中加以利用。条件动量的有效计算切比雪夫多项式的条件期望pj（xu+1）| xu=xk仅依赖于基础流程，并且可以在时间步进之前预先计算。这里必须区分两种不同的情况。如果基本过程Xtu+1 | Xtu=x是正态分布的，则可以解析地计算切比雪夫多项式的条件期望。例如，Black-Scholes模型（对数股价为Xt）、Vasicek模型或单因素Hull-White模型（均为利率为Xt）。更一般地，假设下面的过程是通过SDE建模的，对于标准布朗运动，其形式为dxt=α（t，Xt）dt+β（t，Xt）dwt，EulerMaruyama近似Xt+1≈ x+α（tu，x）（tu+1- tu）+β（tu，x）ptu+1- tuZ=：bXxtu+1Z~ N（0，1），因此右侧为正态分布。以下命题提供了条件矩公式[pj（bXxktu+1）]的解析公式。提案3.1。假设Xt是一个随机过程，xt+1 | xt=xk~N（xk+tu，tσ）带t=tu+1- tu。

那么条件矩可以写成asE[pj（xut+1）| xut=x]=E[Tj（Y）1[-1,1]（Y）]Y~ N1.- 2倍- xx号- x+x- x个tu，x个- x个tσ.证据根据漂移follows的布朗运动的性质，E[pj（Xtu+1）| Xtu=x]=E[pj（x+（Xtu+1- Xtu））]=E[pj（x+xt） 】。Pjan的定义和线性变换的逆τ[x，x]yieldE[pj（x+xt） ]=E[Tj（τ-1[x，x]（x+xt） 1[x，x]（x+xt） ]=E[Tj（1- 2倍- （x+xt） x个- x） 1[x，x]（x+xt） ]=E[Tj（1- 2倍- xx号- x+x- xX号t） 1[x，x]（x+xt） ]=E[Tj（Y）1[-1,1]（Y）]，Y定义的asY=1- 2倍- xx号- x+x- xX号我们用它来表示线性变换保持[x，x]（x+xt） ]=1[τ-1[x，x]（x），τ-1[x，x]（x）]（τ-1[x，x]（x+xt） ）=1[-1,1]（Y）。正态分布变量的性质产生了我们的主张。提案3.2。让Y~ N（u，σ）是密度为f且分布函数为f的正态分布随机变量。截断广义矩uj=E[Tj（Y）1[-1,1]（Y）]由un+1=2un递归定义- 2σf（1）- f级(-1） 田纳西州(-1) - 2（n-1） n个-2Xj=0′uj（n+j）mod 2=0- un-1对于n≥ 1和起始值u=F（1）-F级(-1), u= uu-σ（f（1）- f级(-1） 其中p′表示第一项乘以1/2。证据p屋顶可在附录中找到。对于基础过程为条件正态分布或可由此类过程近似的大型模型类，可以通过解析公式高效地计算条件矩角。如果基础过程不是正态分布，那么数值近似技术就会发挥作用。Glau等人（2019年）概述了可用于计算条件期望的不同方法。例如，使用过程的密度或特征函数或借助蒙特卡罗模拟的数值四元技术。

使用不同方法的可能性使我们能够灵活地在各种模型中应用该方法。当我们使用等距时间步进tu+1时- tu=t问题可以进一步简化。假设Qpj（xu+1）| xu=xk= 等式[pj（Xt） | X=xk]，（3.3）预计算步骤独立于到期时间t和时间步数n。我们只需在t、 如果过程（Xt）为0，则方程式（3.3）成立≤t型≤Thas固定增量。Delta和Gamma作为met-Hodget的副产品，通常，该方法的效率允许通过Bump和r e-run快速计算灵敏度。对于Delta和Gamma，切比雪娃近似的多项式结构允许直接计算，而无需重新运行时间步进。相反，我们只需要微分一个多项式。对于Delta，我们获得五、x（x）≈NXj=0cjpj公司x（x），又是一个N次多项式- 对于Gamma，我们得到五、x（x）≈NXj=0cjpj公司x（x），N次多项式- 2、一个基础上的几个选项：用于风险敞口计算的动态切比雪夫算法的结构显示了复杂衍生品投资组合的传统益处。例如，考虑影响不同资本保护水平或增强ced风险敞口的非定向策略和结构化产品。它们通常由欧洲期权组合而成，具有不同的行使权和到期日，以及百慕大期权和障碍期权。这种结构本质上是同一基础资产上的衍生品组合，在这种情况下，可以通过选择相同的插值域简化定价和敞口计算。首先，我们只需要计算一次条件矩，然后就可以将它们用于所有选项。其次，在曝光计算中，我们需要较少的计算量。

假设我们有两个选项，并且我们在步骤tu处于动态切比雪夫算法的时间步进中。我们有两个切比雪夫ev近似值BVTU=Pcj（tu）pjandbVtu=Pcj（tu）pj。对于暴露计算，我们需要计算所有风险因素i=1，…，的EBV1/2tu（Xitu）=Pc1/2j（tu）pj（Xitu），M、 因此，风险因素的切比雪夫多项式的估值是相同的，只需进行一次。综上所述，在附加收益较低的情况下，我们可以计算出电子基础上多个期权的风险敞口。3.3暴露计算DC方法的实施方面在本节中，我们讨论了有助于实现高性能的几个实施方面。插值域的选择：选择合适的插值域是确保该方法高效性的重要步骤。为了做到这一点，可以探索特定产品的其他知识。通常，域的选择是速度（域小，节点数少）和精度（域大，节点数多）之间的权衡。我们给出了如何为三个不同的示例查找域的想法。首先，我们考虑百慕大看跌期权。在这里，我们知道，如果标的物的（对数）价格变为实际价格，期权的价值将趋于零。因此，上边界dx没有问题，如果我们有一个r isk因子，Xitu>x，我们可以简单地将Vtu（Xitu）=0。对于非常低的x值，期权总是被忽略，因此，如果Xitu<x，我们将Vtu（Xitu）=g（Xitu）。对于欧洲看涨期权或看跌期权，我们可以使用看跌平价Ct（x）-Pt（x）=ex- e-r（T-t） K以找到合适的插值域。对于小x，看涨期权的价格趋于零，而对于ex-e-r（T-t） K表示大x。我们选择x，使得Ct（x）和Pt（x）非常小。

然后我们可以为Xitu<x设置Vtu（Xitu）=0，并将Vtu（Xitu）=eXitu- e-r（T-t） K对于Xitu>x，作为最后一个例子，我们考虑了一个带屏障b的向上和向外看涨期权。这里是插值域的逻辑上界，对于x，我们类似于欧式看涨期权的情况。平滑：如果期权的支付有扭结或不连续，则使用切比雪夫多项式进行近似是无效的。在这种情况下，我们可以修改算法，并通过第一步的“平滑”来提高收敛性。我们可以利用tn的连续值-1正是有期限的欧式期权的价值t=tn- 田纳西州-1，即Vtn-1（x）=最大{g（x），PEU（x）}，其中PEU（x）=等式[g（Xtn）| Xtn-1=x]。（3.4）通常，更有效的方法是直接计算欧式期权价格公式[g（Xtn）| Xtn-1=xk]在节点xk，k=0，N、 因此，在第一步中没有插值误差，我们从（平滑）函数Vtn的插值开始-1.我们所有的数值实验都使用这种技术。Glau等人（2019）研究了这种修正对误差衰减的影响。分割：如果值函数不够平滑，我们需要相对较高的精度，切比雪夫节点的数量可能会变大。在这种情况下，将域拆分为子域并在每个子域上插值通常是有益的。对于Bermud期权，行使区域的边界将是正确的分割点。在每个子域上，选项值现在非常平滑，需要更少的节点才能达到相同的精度。不幸的是，这种方法有一个灾难恢复警告，即条件期望不能再进行预计算。如果基础流程是正态分布的，并且我们对条件期望没有分析解决方案，那么这不是问题。

然而，如果条件期望的计算在数值上很昂贵，那么这种方法就会变得过于复杂，因而效率低下。4数值实验在本节中，我们通过计算百慕大和障碍期权的信贷风险，对动态切比雪夫方法进行了数值研究。我们提供了动态切比雪夫方法非常适合曝光计算的证据，并研究了当我们增加模拟数量时，该方法的运行时表现如何。更准确地说，我们计算了不同资产模型中百慕大看跌期权和向上和向外障碍期权的预期敞口和潜在未来敞口。将显示选项寿命期内的最终曝光率，并讨论其合理性。作为潜在风险因素的模型，我们使用Black-Scholes模型（差异）、Merton模型（跳跃差异）和CEV模型（局部波动）。在每个模型中，我们探索了不同的技术来计算广义矩，以展示动态切比雪夫方法的灵活性。此外，我们对不同数量的模拟路径运行该方法，并研究该方法三个阶段的运行时，即模拟、预计算和时间步进。4.1问题描述我们考虑了两个期权定价问题。首先，我们选择到期日为T的百慕大看跌期权，行权日期为tu，u=0，n在0和T之间均匀分布。这将产生值函数vt（x）=（K- ex）+Vtu（x）=maxn（K- ex）+，e-r（tu+1-tu）E[Vtu+1（Xtu+1）| Xtu=x]w具有走向K。其次，我们考虑一个离散监控的障碍向上和向外看涨期权，其到期日为T。我们假设屏障在日期tu，u=0，…，进行监控，在0和T之间均匀分布。

定价问题变成了svt（x）=（ex- K）+(-∞,b] （x）Vtu（x）=E[Vtu+1（Xtu+1）| Xtu=x]1(-∞,b] （x）具有走向K，屏障b和b=对数（b）。我们将这两种期权的行权确定为K=100，初始股价S=100，利率r=0.03。此外，我们将锻炼日期（百慕大）或监测天数（屏障）固定为n=52，这是一个每周锻炼计划，并使用相同的天数进行暴露计算。在实验中，我们介绍了以下三种资产价格模型，并解释了我们如何计算相应的广义矩。Black-Scholes模型在Black和Scholes（1973）的经典模型中，股票价格过程由SDEdSt=uStdt+σStdWt建模。在实际测量值P下，漂移u和波动率σ>0。在定价测量值Q下，漂移等于r。利用对数回归sxt=对数（St/S）为正态分布的事实，我们获得了广义矩Γk，j的解析公式。作为模型参数，我们将波动率σ=0.25，drif tu=0.1。默顿跳跃扩散模型默顿（1976）引入的跳跃扩散模型将s跳跃添加到经典的Black-Scholes模型中。对数回报遵循波动率σ和附加跳跃的ju-mp差异，到达率λ>0，跳跃大小根据toN（α，β）正态分布。P下的股票价格由SDEdSt=uStdt+σStdWt+djtf为比率为λ的复合泊松过程jt建模。在定价度量Q下，log的特征函数返回Xt=log（St/S），由Д（z）=exp给出t型ibz公司-σz+λeizα-βz- 1.风险中性漂移B=r-σ- λeα+β- 1..在我们的实验中，我们计算了条件期望Γk，使用了切比雪夫多项式的数值积分和傅里叶变换形式以及Xt的特征函数。

我们确定参数σ=0.25，α=-0.5，β=0.4，λ=0.4，u=0.1。方差的恒定弹性模型Schroder（1989）中所述的方差的恒定弹性模型（CE V）是一种基于随机过程的局部波动模型，对于β>0，其t=uStdt+σSβ/2tdwtf。（4.1）因此s股票波动率σs（β-2） /2取决于当前股价水平。对于特殊情况β=2，该模型与Black-Scholes模型一致。然而，从市场数据来看，人们通常会观察到aβ<2。CEV模型是一个既没有概率密度，也没有封闭形式的特征函数的模型。因此，利用蒙特卡罗模拟计算条件期望值Γk，j。这意味着X对于不同的起始值X=xk，k=0，…，将在Q下模拟THA，N、 对于我们的实验，我们确定了以下参数σ=0.3、β=1.5和u=0.1。根据所选择的数值技术，我们预计Black-Scholes模型中的预计算阶段由于解析公式而最快，而CEV模型中的预计算阶段最慢。4.2障碍期权的信用敞口在本节中，我们调查了障碍期权的预期敞口和潜在未来敞口。在Black-Scholes和Merton跳跃扩散模型中，我们考虑了一个上下屏障B=150的看涨期权。在CEV模型中，我们选择B=125的较低屏障，因为较高股票价格的波动性较低，且没有跳跃。我们用x=log（10）和x=log（B）来确定插值域x=[x，x]。此外，我们假设N=40个切比雪夫点。我们为期权定价，并计算潜在风险因素越来越多的模拟路径的风险敞口。4.2.1风险敞口比例图4.1显示了三种模型在期权有效期内的预期风险敞口（EE）以及x个模拟路径。

我们观察到三种模型中的每一种都有不同的行为。预计风险敞口在BlackScholes模型中略有增加，在Merton模型中略有减少，在CEVmodel中有所增加。两种不同的影响对预期暴露有影响。一方面，该期权是一种现金买入期权，由于基础的正漂移（根据现实衡量），我们预计在期权的存续期内，将有越来越多的路径进入money，从而导致预期风险敞口的增加。另一方面，当基础g增加时，基础达到障碍且期权被淘汰的风险更高。因此，预期暴露量应衰减。根据模型属性，其中一种影响可能会主导另一种。在存在跳跃的情况下，正如在梅顿模型中一样，存在着潜在跳跃价格突破障碍的额外风险。随着时间的推移，风险会随着正向漂移而增加。这解释了随着时间的推移，曝光量不断减少的原因。然而，在CEV模型中，随着股票价格上涨，波动性降低，因此大幅上涨的可能性较小。因此，由于潜在风险因素的正向漂移，期权的风险敞口增加。Black-Scholes模型也没有跳跃，但具有恒定的波动性，这说明它介于其他两个模型之间。图4.2显示了三种模型中97.5%水平的相应潜在未来暴露（PFE）。在这里，我们在模型中观察到更相似的行为。由于所有三种模型中的正漂移和扩散项，潜在的未来暴露随着时间的推移而增加。