Barrier和Bermudan期权信用风险的快速计算

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英文标题：
《Fast Calculation of Credit Exposures for Barrier and Bermudan options
  using Chebyshev interpolation》
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作者：
Kathrin Glau, Ricardo Pachon and Christian P\\\"otz
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We introduce a new method to calculate the credit exposure of Bermudan, discretely monitored barrier and European options. Core of the approach is the application of the dynamic Chebyshev method of Glau et al. (2019). The dynamic Chebyshev method delivers a closed form approximation of the option prices along the paths together with the options\' delta and gamma. Key advantage is the polynomial structure of the approximation, which allows us a highly efficient evaluation of the credit exposures, even for a large number of simulated paths. The approach is highly flexible in the model choice, payoff profiles and asset classes. We compute the exposure profiles for Bermudan and barrier options in three different equity models and compare them to the profiles of European options. The analysis reveals potential shortcomings of common simplifications in the exposure calculation. The proposed method is sufficiently simple and efficient to avoid such risk-bearing simplifications.
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中文摘要：
我们引入了一种新的方法来计算百慕大的信用风险敞口、离散监控屏障和欧洲期权。该方法的核心是应用Glau等人（2019）的动态切比雪夫方法。动态切比雪夫方法提供沿路径的期权价格的闭合形式近似值以及期权的delta和gamma。关键优势在于近似的多项式结构，这使我们能够高效地评估信贷风险，即使对于大量模拟路径也是如此。该方法在模型选择、收益概况和资产类别方面具有高度灵活性。我们计算了三种不同股票模型中百慕大和障碍期权的风险敞口分布，并将其与欧洲期权的分布进行了比较。分析揭示了暴露计算中常见简化的潜在缺陷。所提出的方法足够简单和有效，可以避免这种风险承担的简化。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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关键词：Bermudan barrier Barrie 信用风险 Ber

使用Chebyshev插值快速计算Barrier和百慕大期权的信用风险Kathrin Glau1,2，Ricardo Pachon，Christian P¨otzQueen Mary University of London，UKEcole polytechnique f'ed'erale de Lausane，SwitzerlandCredit Suisse，UK2019年5月2日摘要我们引入了一种新方法来计算百慕大、离散监控Barrier和欧洲期权的信用风险。该方法的核心是Glau等人（2019）的动态切比雪夫方法的应用。动态切比雪夫方法提供了期权价格沿路径的闭合形式近似值，以及期权的delta和gamma。关键优势在于近似的多项式结构，这使我们能够高效地评估信用评估，即使是对于大量模拟路径。该方法在模型选择、支付和资产类别方面非常灵活。我们计算了三种不同股票模型中百慕大和屏障期权的敞口比例，并将其与欧洲期权的比例进行比较。分析揭示了风险敞口计算中常见简化的潜在缺陷。所提出的方法非常简单，能够有效避免此类风险简化。关键词期权定价、信用风险敞口、复杂性降低、多项式插值2010 MSC 91G60、41A101简介衍生产品交易中两个交易对手面对面的信用风险敞口是不断增长的计算列表中的主要输入，自2007-2008年金融危机以来，所有这些都至关重要。

信用风险用于估计，例如，交易对手信用风险（以及金融公司的监管资本）、抵押交易的初始保证金、信用估值调整（CVA）、借记估值调整（DVA）以及最近的融资估值调整（FVA）。时间t的交易敞口定义为t（Xt）=max{Vt（Xt），0}，其中，x是驱动衍生品组合时间t的风险因素。本质上，cred it风险敞口计算及时预测相关基础资产的分布，这些资产遵循适当的随机模型，并获得s范围内衍生工具价值的相关分布，直至其最长到期日。此计算的规格因应用而异。例如，对于CVA和DVA，计算是在净额结算时进行的，而对于FVA，则是在投资组合层面进行的。对于CVA，在采用贴现平均值之前，负风险敞口被定义为零，即CVA中使用的atrade的预期未来风险敞口是按Et（Xt）=EP[Et（Xt）]（1.1）计算的，而对于交易对手风险，通常计算风险敞口百分位（通常为95%）的潜在未来风险敞口（PFE），即f或给定水平α∈ （0，1）定义为asP FEαt（Xt）=inf{y:P（Et（Xt）≤ y）≥ α}.（1.2）上述分布通常通过蒙特卡罗模拟获得：在一些选定的时间点上，在各种情况下重新评估衍生工具，从基础资产的分布中随机抽取，并从结果分布中提取所需的度量。计算的关键是价格的反复呼唤，对于异国贸易来说，价格的计算可能非常昂贵。

有关信贷风险及其计算的概述，请参见Gregory（2010）。本文介绍了一种基于切比雪夫插值的数值方法b，用于快速计算障碍期权和百慕大期权的信用风险，由于其路径依赖性，计算成本较高。特别是，当使用简单但天真的方法在蒙特卡罗模拟中调用蒙特卡罗模拟时。在文献中，研究基于回归的方法是为了避免嵌套蒙特卡罗模拟，例如Sch¨oftner（2008），他根据Longstaff和S chwartz（2001）的最小二乘蒙特卡罗方法的修正，计算没有解析解的衍生品（如百慕大期权）的风险敞口和C VA。另一种方法是Inestigatedin Shen et al.（2013），他根据Fang和Oosterlee（2009）的早期锻炼选项COS方法计算百慕大选项one资产的风险敞口。切比雪夫插值的研究属于近似理论（ApproximationTheory）领域，这是一个成熟的数学分支，其结果为其效率跨越100多年提供了框架。作为一种历史悠久的工具，我们希望读者能够了解它，但我们相信，直到最近，它在实际应用中的许多优势都被忽视了，即使是在专业社区。参见Trefethen（2013）f，了解切比雪文极化和近似理论概述。在计算金融文献中，我们无法找到更多利用切比雪夫插值或切比雪夫级数的特征的参考文献。本文旨在帮助缩小这一差距。

我们认为，切比雪夫插值可以通过生成具有一些突出特征的价格近似值来帮助计算依赖路径的产品的信用风险：它可以通过对（非自适应）资产价值网格的一些评估快速构建；它是可靠的，能够有效地进行评估；即使在高阶情况下，其精度也可以调整。本文的结构如下。在第2节中，我们介绍了切比雪夫插值的基本原理。第3节介绍了基于Glau等人（2019）的动态切比雪夫算法计算曝光的数值技术，第4节介绍了数值实验。在第5节中，我们讨论了barrier和百慕大期权的信贷风险敞口文件的行为，并在第6.2节切比雪夫插值中得出结论。一维切比雪夫插值是区间函数f的多项式插值[-N+1切比雪夫点中N阶的1，1]szk=cos（πk/N）。这些点并非等距分布，而是聚集在-1和1。插值函数可以写成具有系数的显式公式的和Ch-ebyshev多项式Tj（z）=cos（j-acos（z）），即函数f：[-1, 1] → R我们得到In（f）（z）=NXj=0cjTj（z），cj={0<j<N}NNXk=0′f（zk）Tj（zk），其中p′表示如果k=0或k=N，求和乘以1/2。为了有效评估插值，可以利用切比雪夫多项式tn+1（z）=2zTn（z）的以下替代定义- 田纳西州-1（z），T（z）=z，T（z）=1。（2.1）基于此递推关系，Clenshaw算法提供了一个有效的框架来评估（f）bk（x）=ck+2xbk+1（x）中的切比雪夫插值- bk+2（x），对于k=n。

，1IN（f）（x）=c+xb（x）- b（x），起始值bn+1（x）=bn+2（x）=0。为了在任意矩形X=【X，X】上插值函数，我们引入一个变换τX：[-1, 1] → 由τX（z）=X+0.5（X）定义的X- x） （1）-z） 。（2.2）函数f:X的切比雪夫插值→ R可以写成in（f）（x）=NXj=0cjpj（x），cj={0<j<N}NiNXk=0′f（xk）Tj（zk）（2.3）表示x∈ 具有变换切比雪夫多项式pj（X）=Tj（τ）的X-1X（x））1X（x）和变换切比雪夫点xk=τx（zk）。一维插值对多元情况进行了基于张量的扩展，参见Sauter and Schwab（2010）。切比雪夫插值提供了很好的收敛结果和明确的误差界。对于所有Lipschitz连续函数，插值均收敛，对于解析函数，插值均以指数速度收敛。参见Trefethen（2013），了解一维情况和多元版本Sauter和S chwab（2010）。此外，可微分函数的收敛为多项式阶，导数也收敛，见Gass等人（2018）。切比雪夫插值在www.chebfun上提供的开源MatLab软件包chebfun中实现。组织。我们在一些数值实验中使用这个包。3风险敞口计算的统一方法在本节中，我们研究了不同类型期权（如欧洲期权、百慕大期权和障碍期权）的风险敞口计算。我们基于Glau等人（2019）的动态切比雪夫算法，为所有类型的期权提出了一种统一的方法。

其核心思想是将期权价格写成一个动态规划问题的解，并用切比雪夫多项式近似解。3.1风险敞口计算的动态切比雪夫方法（1.1）中定义的许多（投资组合）衍生工具的预期风险敞口无法进行分析计算，模拟应用程序也开始发挥作用。风险系数xit，i=1，M进行模拟，预期曝光量近似为EET（x）=EP[最大值{Vt（Xt），0}]≈MMXi=1max{Vt（Xit），0}。因此，必须针对大量模拟风险因素计算导数的值Vt（Xit）。通常情况下，没有可用的分析解决方案，评估变得需要计算。当时间点t处的值函数V取决于t+1处的值函数的条件期望时，情况尤其如此。为了解决这个问题，我们建议近似函数x 7→ 带多项式的Vt（x）。更准确地说，我们将用切比雪夫多项式的加权和来近似值函数，即Vt（x）≈bVt（x）=NXj=0cjpj（x），权重/系数cj。然后，我们在曝光计算et（x）=EP[最大值{Vt（Xt），0}]中用其chebyshevaapproximation替换值函数≈MMXi=1max{bVt（Xit），0}。（3.1）即使对于大量模拟风险因素，也可以有效地评估多项式之和。剩下的问题是如何在每个步骤中获得系数cj。幸运的是，当使用切比雪夫插值进行近似时，我们得到了系数的显式f公式，这是切比雪夫点处函数值的线性变换。因此，关键点是在节点集有效计算函数值。在这里，DynamicChebyshev算法开始发挥作用。Glau等人提出了动态切比雪夫方法。

（2019）作为一种定价方法，可以很容易地扩展到计算期权的预期风险敞口。为了介绍该算法，我们从百慕大期权的定价开始。百慕大期权的价值，包括付款和行权日期t，tn=T由最佳停止问题vt（x）=supt给出≤tu公司≤TEQ【g（Xtu）| Xt=x】。动态规划原理产生后向刚度vt（x）=g（x）Vtu（x）=maxng（x），等式Vtu+1（xT+1）| xT=xo、 更一般地，我们可以将值函数Vtu（x）写成Vtu（x）=fg（tu，x），等式Vtu+1（xT+1）| xT=x（3.2）对于Lipschitz连续函数f:R×R→ R和a函数g:[0，T]×R→ R，其中g（T，x）=g（x）。这个公式还包括欧式期权和障碍期权的定价，我们将在后面看到。假设我们在tu+1处有一个近似值bvtu+1，Vtu+1（x）≈bVtu+1（x）=Pjcj（tu+1）pj（x）。为了插值函数Vtuat tuwe必须计算切比雪夫节点xk，k=0，…，处的值，N在这种情况下，反向感应变为Svtu（xk）=fg（tu，xk），等式Vtu+1（Xt+1）| Xt=xk≈ fg（tu，xk），EQhNXj=0cj（tu+1）pj（Xtu+1）| Xtu=xki= fg（tu，xk），NXj=0cj（tu+1）等式pj（xu+1）| xu=xk,我们利用了条件期望的线性。在这里，我们看到，首席执行官CJ携带了支付信息和条件预期Seqpj（xu+1）| xu=xk携带随机过程的信息。由于条件期望值独立于反向归纳法，因此可以在实际定价之前的一步中预先计算条件期望值。给定值Vtu（xk），k=0，N切比雪夫系数由cj（tu）=0<j<NNNXk=0′Vtu（xk）Tj（zk）给出，我们得到了期权价格Vtu（x）的闭合形式近似值≈bVtu（x）=NXj=0cj（tu）pj（x）。所提出的方法是一大类期权定价问题的定价方法，可以写成（3.2）的形式。

这包括不同的期权类型、支付方式以及不同的资产类别和模型。请注意，我们在一个基础上展示了一个选项的框架。如果有多个参考点，我们只需要用其多元扩展代替一维切比雪夫插值。Glau等人（2019年）提出了该算法更一般的多元版本。可写成（3.2）形式的动态规划问题的三个选项示例是早期练习选项（百慕大选项）、古典欧洲选项和障碍选项。百慕大选项：在这种情况下，值函数为asfg（x），等式Vtu+1（xT+1）| xT=x= 最大值（x），等式Vtu+1（xT+1）| xT=xo、 欧式期权：欧式期权对应于百慕大期权，无需提前行使。在这种情况下，函数的值变为g（x），等式Vtu+1（xT+1）| xT=x= 均衡器Vtu+1（xT+1）| xT=x.屏障选项：与屏障B离散监控的向上和向外屏障选项可以与值函数F以相同的形式写入g（x），等式Vtu+1（xT+1）| xT=x= 均衡器Vtu+1（xT+1）| xT=xx个≤B、 类似地，我们可以使用该框架进行向下和向外屏障操作。由此产生的定价算法对所有三个问题都基本相同。然而，该方法的效率直接关系到函数值的光滑性。因此，对于给定精度所需的节点数量，请比较Glau等人（2019）第5.2节和第5.3节。现在，我们能够有效地评估公式（3.1）中的暴露。假设我们已经模拟了潜在风险因素的M条路径。然后，我们根据切比雪夫多项式vtu（Xitu）使用闭式近似对沿路径的期权定价≈对于i=1，…，NXj=0cj（tu）pj（Xitu），M和u=0。

，n.这些值现在可用于计算给定水平α的预期暴露或潜在未来暴露。在百慕大期权的情况下，必须考虑到通过在TUT行使期权，风险敞口变为零。同样，如果取消了屏障选项，则未来所有时间步的曝光都为零。这两种影响都会降低这两种期权的风险敞口。Bermud-an期权的算法1、欧洲期权的算法2和屏障期权的算法3中描述了风险敞口计算。在此，我们假设用于风险敞口计算的天数是期权的行使天数。对于其他风险敞口计算日，采用该算法很简单。算法1：百慕大期权该算法提供了一个框架，用于计算百慕大期权的预期风险敞口和潜在未来风险敞口。1、模拟路径Xit，Xitn，i=1，M在真实世界测量值P.2下。找到合适的域X=[X，X]并定义节点p点xk，k=0，N、 3。预先计算定价度量QΓk下的条件预期，j=EQ[pj（Xt） | X=xk]。4、从T开始定价：计算节点值Bvt（xk）=g（xk），所有k=0，Nand计算切比雪夫系数cj（T）。对于所有路径，计算曝光eit=max{g（XiT），0}。5、迭代时间步进tu+1→ tu：假设我们有一个切比雪夫近似Vtu+1（x）≈bVtu+1（x）=Pjcj（tu+1）pj（x）-计算节点值bVtu（xk）=m ax{g（xk），PNj=0cj（tu+1）Γk，j}和新系数cj（tu），-为所有模拟路径的选项定价Vitu=bVtu（Xitu）=pj∈Jcj（tu）pj（Xitu），–计算曝光Eitu=max{Vitu，0}，–如果行使该选项（即Vitu=g（Xitu）），则在路径Eitj上的所有未来时间步更新曝光，j=u+1，n、 6。