粗糙路径签名的最优执行

换言之，交易者的交易决策将是截至时间t的中间价格过程的（非能动）函数，即bX |[0，t]∈ ∧T。这种直觉被纳入交易速度T的定义中。【Gal94、CF13、AC17、Dup09、BCH+17、Rig16】中考虑了类似于∧TWA的空间，以及【Rig16】中考虑了类似的交易策略定义。在本文中，以下类别的交易速度将具有特殊相关性：定义3.3（签名交易速度）。签名交易空间加速TsigT由tsig定义：={θ∈ T |` ∈ T（（R）*) 使得θ（bX |[0，t]）=h\'，bX<∞0，tibX |[0，t]∈ ∧T}其中bx<∞0，t指定间隔[0，t]上的Bx签名。事实证明，签名交易的空间加快了Tsig T非常大–事实上，我们有以下密度结果，其证明见附录A引理3.4。设ε>0。然后，存在一个紧集KbOhmPt使：1。P[K]>1- ε.2、Tsig仅限于K，T密集。因此，交易速度可以通过signaturetrading速度在局部任意近似。因此，如果要在T上优化某个目标函数，那么在Tsiginstead上优化它是有意义的。这正是本文将采用的方法：我们将在Tsig中寻找最佳交易速度，而不是T。3.4市场影响当交易者购买或出售交易资产时，仅仅是交易行为就会影响资产的账面价值。如果她交易的交易量与总交易量相比很小，那么这种影响可以忽略不计。然而，如果交易者发出大额交易订单，对订单簿的影响可能会对执行订单的价格产生负面影响（见[账单15]及其参考资料）。

在本节中，我们将介绍本文将使用的市场影响模型。如果交易者决定遵循签名交易速度θ∈ Tsig，执行价格，即交易者可以获得的价格，将由pθt：=Xt给出- hgθ，bX<∞0，ti，（2），其中gθ∈ T（（R）*) 是一个依赖于θ的线性函数，θ模拟市场影响。示例3.5。市场影响的定义远非限制性的，而是非常普遍的，包括文献中研究过的许多例子。的确，让`∈ T（（R）*) 并设置签名交易速度θ（bX |[0，t]）：=h`，bX0，ti。然后，以下是我们的框架中包含的市场影响示例：1。临时市场影响。设置g`:=λ`，λ>0。然后，hg`，bX<∞0，ti=λθ（bX |[0，t]）是[CJ15、CJ16b、LN19]中研究的线性临时市场影响。我们还可以通过考虑多项式Q使临时市场影响非线性∈ R[x]和设置g`:=Qtt（`）。然后，hg`，bX<∞0，ti=Q（θ（bX |[0，t]））。2、永久性市场影响。在[CJ15、CJ16b、CJ16a]中，考虑了由Tθsds给出的永久市场影响。设置g`:=“1，我们有hg`，bX<∞0，ti=h`1，bX<∞0，ti=Rth`，bX |[0，s]ids=Rtθ（bX |[0，s]）ds。3、暂时性市场影响。在[GSS12，CGL17，Dan17]中，作者考虑了byRtK（t- s） θsds，其中K（x）：=exp(-ρx）表示ρ>0常数。然后，我们可以找到g`∈ T（（R）*) 这样ZTK（t- s） θsds≈ hg`，bX0，tito任意精度。4、更一般地说，由G（θ，X）形式的函数建模的市场影响可以通过签名上的线性函数很好地近似，因此它们包含在我们的框架中。3.5最佳执行问题假设交易者希望在时间T前清算q>0个资产单位。如果QI与交易量相比较大，交易活动将对交易者的资产价格（[账单15]）产生负面影响。

因此，将交易活动分散在[0，T]区间可能更有利，以避免不必要的市场影响。然而，在这种情况下，交易员将面临可能对其产生不利影响的市场波动。因此，我们的任务是找到一个合适的交易速度来清算该交易账户的库存。现在，我们将介绍本文将要研究的最优执行问题。定义3.6。交易速度θ对应的财富∈ T由wθT定义：=ZtPθsθ（bX |[0，s]）ds。另一方面，剩余库存由qθt确定：=q-Ztθ（bX |[0，s]）dS，其中q>0是初始库存。我们定义了成本函数Cθ：bOhmT→ R byCθ（bX）：=WθT- φZT（Qθt）dt+Qθt（Pθt- αQθT）（3）带α，φ≥ 0个常量。在本文中，我们将研究以下由优化问题SUPθ给出的最优执行问题∈TE[Cθ（bX）]。（4） 成本函数的第一项表明，原则上，交易者希望通过遵循交易策略θ获得最大的财富。如果投资者以非零库存QθT到达终点时间，则成本函数的第三项QθT（PθT- αQθT）确保在惩罚α>0的情况下执行这些剩余。最后，术语-φRT（Qθt）dt惩罚长期持有库存。这一术语有不同的解释。例如，这种持续的库存惩罚可以看作是一个紧急术语。另一种解释来自投资者想要解释模型不确定性的设置：φ越大，则对中间价施加的动态不太确定（参见[CJ16b，CDJ17]）。

在任何情况下，一个大φ将在接近开始时提高交易速度，在接近结束时降低交易速度。之所以选择这种特殊的成本函数，是因为它在文献中很受欢迎【CJ15、LN19、CJ16b、GSS12、CGL17、CJ16a、Dan17】，但作者想强调的是，本文提出的方法也适用于成本函数的其他替代定义，我们不局限于Cθ的这种特殊选择。签名的性质，尤其是松露产品的性质（1），将使我们能够在受限空间Tsig中找到最优控制问题（4）的最优交易速度 T更容易解决。由于引理3.4中所述的密度结果，我们将限制交易速度的空间从T到Tsig，因此我们将解决以下问题：supθ∈TsigE[Cθ（bX）]。（5） 4最优执行成本函数（3）是基础价格路径的非线性函数。然而，对于签名交易策略θ∈ Tsigit原来是一个线性函数，在中等价格过程的签名上。这是由于shu-forge产品属性（1）——成本函数中的每个术语都可以在中间价格过程的签名上重写为线性函数。引理4.1。Letθ∈ Tsigbe给定θ（bX | 0，t）=h\'，bX的签名交易速度<∞0，ti，带`∈ T（（R）*). 那么，给定anybX∈bOhmP和t∈ [0，T]，我们有1。W`t=D(2 +  - g`）tt`1，bX<∞0，tE。2、Q\'t=总部 - `1，bX<∞0，ti。3、Rt（Q\'s）ds=h（Q - `1） tt21，bX<∞0，ti。4、Q\'t（P\'t- αQ\'t）=h（Q - `1） tt（2+ - g`）- α（q - `1） tt2，bX<∞0，ti。证据LetbX公司∈bOhmP和t∈ [0，T]。注意，因为X=1，我们有Xs=h2+,bX公司<∞0，每个s的si∈ [0，t]。然后，根据shu-frege乘积性质（1），W\'t=ZtP\'sh\'，bX<∞0，sids=Zt（Xs- hg`，bX<∞0，si）h`，bX<∞0，sids=ZtD（2+ - g`）tt`，bX<∞0，sEds=D(2 +  - g`）tt`1，bX<∞0，tE。2、根据以下事实：<∞0，sids=h`1，bX<∞0，ti。3.

使用（ii），Zt（Q\'s）ds=Zth（Q - `1） tt2，bX<∞0，sids=h（q - `1） tt21，bX<∞0，ti。4、再次使用（ii），Q\'t（P\'t- αQ\'t）=hq - `1，bX<∞0，tih2+ - g级`- α（q - `1） ，bX<∞0，ti=h（q - `1） tt（2+ - g`）- α（q - `1） tt2，bX<∞0，ti。因此，最优清算问题（4）被转化为以下问题：命题4.2。Letθ∈ Tsigbe给定θ（bX | 0，t）=h\'，bX的签名交易速度<∞0，ti，带`∈ T（（R）*). 那么，给定anybX∈bOhmP和t∈ [0，T]，成本函数可以写成asCθ（bX）=D(2 +  - g`）tt`1.- （q） - `1） tt2（φ1+α) + （q） - `1） tt（2+ - g`），bX<∞0，TE。因此，最优清算问题（4）被简化为tosup`∈T（（R）*)(2 +  - g`）tt`1.- （q） - `1） tt2（φ1+α) （6） +（q - `1） tt（2+ - g`），EhbX<∞0，Ti.成本函数Cθ（bX）取决于两个方面：随机分量和控制θ。此外，这种依赖关系是非线性的。命题4.2将这种依赖性分为完全依赖于控件的确定性组件和不依赖于控件的抽象组件。此外，由于这种分离使成本函数在路径上呈线性，因此（3）中的预期被移动到线性函数内–换句话说，由此产生的优化问题（6）取决于中间价格过程的预期特征。中间价格过程的预期特征是随机过程的唯一依赖性。该对象在路径空间中扮演随机变量矩的类似角色。[CL16]事实上表明，在某些增长假设下，预期特征决定了随机过程的规律。

因此，（6）取决于中间价格过程的预期特征这一事实本质上意味着优化问题取决于该过程的整个规律。4.1数值求解最优执行问题命题4.2中的优化问题（6）涉及完整的预期签名Ehbx<∞0，Ti。然而，在实践中，必须考虑N阶的截断预期签名∈ N、 即EhbX≤N0，Ti。然而，签名的快速衰减（按因数衰减）意味着前几个术语将支配其余术语，并且在运行中不会丢失太多信息。因此，预期的特征通常也会因次衰减（例如，对于L'evy、Markov和Gaussianprocesses的广泛类别，【CL16】表明了这一事实）。图1：EhbXN0，Ti作为N的函数，在中间价格过程是aBrownian运动的情况下。签名的阶乘衰减使得高阶项比前几个项小。图1显示EhbXN0，Ti在中间价格过程x是布朗运动的情况下，与N标绘。如我们所见，阶乘衰减使得高阶项比前几个项小。因此，在实践中，不需要考虑非常高阶的截断。一旦签名在某个级别被截断，N∈ N、 优化问题（6）包括在多个变量中找到某个多项式的全局最大值。例如，可以证明，如果考虑到线性永久和临时市场影响，多项式是二次多项式，找到最佳交易速度将减少到找到多个变量中二次多项式的（唯一）全局最大值。关于截断预期签名的计算，蒙特卡罗方法可用于此任务。

因此，解决最优执行问题所需的关于中间价格过程的唯一知识是如何从路径中采样。可以使用公开可用的软件（如esigor iisignature）计算单个实现的签名。在第四节中，我们研究了一类最优清算问题。在本节中，我们将分析问题的不同扩展，并研究它们在我们的框架中的作用。5.1利用θ的外部信息对执行价格进行建模∈ Tsig，在第3.4节中，市场影响被定义为交易速度和未受影响的中间过程的函数：Pθt：=Xt- hgθ，bX<∞0，ti，带gθ∈ T（（R）*). （7） 然而，还有其他因素会影响交易订单的影响【PV15，TLD+11】。例如，可能需要将总交易量V合并为：[0，T]→ 市场影响中的R【TLD+11】。此外，类似资产之间的相关性和交叉资产影响也将发挥作用：订单的执行价格可能取决于其他资产的中间价格过程【PV15、TWG17、MBEB17】。通过对执行价格Bypθt：=hfθ，bZ进行建模，可以将此功能合并到我们的框架中<∞0，ti，带fθ∈ T（（Rn+3）*) （8） 其中BZ<∞0，是bzt的签名：=（t，Xt，Vt，Yt，…，Ynt）∈ Rn+3，VT截至时间t和Yt的总交易量，Y权衡交易者认为会影响主要资产执行价格的n种替代资产的中间价格过程。注意（7）是（8）的特例。

也可以将其他外部信息添加到tobZ中。然后，本文提出的方法将适用于这种情况：即optihttps://pypi.org/project/esig/https://pypi.org/project/iisignature/misation对于市场影响的新定义，问题（4）将被简化为一个类似于（6）的优化问题，即`∈T（（R）*)f`tt`1.- （q） - `1） tt2（φ1+α) + （q） - `1） ttf`，EhbZ<∞0，Ti. （9） 5.2最优交易，与清算相反在本文中，我们一直关注这样一种情况，即交易员的初始库存量为t=0，并且她希望在t=t时将其清除。然而，某些高频交易者可能会对以下替代问题感兴趣：如果一个人在t=0时开始没有库存，并且希望在t=t时结束没有库存，那么在[0，t]上可以遵循的最佳交易策略是什么？为此，可以修改本文的框架，通过设置Q=0.5.3跨资产组合清算，重新定义库存数量定义3.6。第5.1节的讨论建议对本文原始问题研究的另一个扩展。假设有n个资产Y，Ynand交易者有一个初始投资组合q=（q，…，qn）∈ Rn+。如果交易者希望清算库存q（参见[TWG17，MBEB17]），她可以考虑一个类似于（9）的最优控制问题，该问题将合并风险报告。更一般而言，交易者的目标可能是从初始投资组合qstart过渡∈ 非交易资产，最终投资组合qend∈ Rn，她希望以最佳方式这样做。同样，我们的框架可以适应这项任务。5.4其他成本函数选择（4）中考虑的成本函数是为了与文献一致【CJ15、LN19、CJ16b、GSS12、CGL17、CJ16a、Dan17】。

然而，我们提出的方法并不是该成本函数固有的，它可以应用于其他成本函数图2：100个中等价格路径实现的交易员库存和第6.1节中考虑的设置。考虑了不同的运行库存惩罚φ。交易者可能会发现更合适。6数值实验在本节中，我们实施了所提出的方法，并在不同的环境下进行了测试。我们首先表明，当我们将该方法应用于文献中研究的各种环境时，我们检索到了现有的结果，从而确认我们的框架是文献中考虑的许多框架的综合，并验证了签名方法返回的交易策略。然后，我们将我们的方法应用于新闻设置。6.1具有临时和永久市场影响的布朗运动在本节中，我们将考虑[CJP15，第6.5节]中研究的框架。我们假设未受影响的中间价过程遵循波动率σ的布朗运动，即Xt：=σwt，σ>0，W是布朗运动。对于签名tradingspeedθ∈ t由θ（bX |[0，t]）=h′，bX给出<∞0，ti带`∈ T（（R）*), 执行价格将由永久市场影响和临时市场影响给出：Pθt：=Xt- kZtθ（bX |[0，s]）ds- λθ（bX |[0，t]），k，λ>0。第3.4节提到，我们的框架中包含了这种市场影响。更具体地说，我们有：P\'t=Xt- kZth\'，bX<∞0，SID- λh\'，bX<∞0，ti=Xt- hg`，bX<∞0，Ti，g`:=k`1+λ`。然后我们可以解（6）。选择的参数为q=1，λ=10-3，k=10-4、α=10、σ=0.02和T=1，以及φ的不同值。考虑7阶截断签名求解（6）。正如文献中所述（见[CJP15，第6.5节]），最佳交易速度并不取决于IDprice。

此外，如果我们将φ=0设置为不考虑连续库存惩罚，则已知最优交易速度是恒定的。另一方面，当φ增加时，交易者决定更快地清算库存。所有这些特征都体现在我们获得的结果中–参见图2.6.2合并交易信号。Halle和Neuman在[LN19]中考虑了一个最优清算问题，投资者可以获得一些预测短期价格变动的交易信号，例如订单簿不平衡。在这种情况下，中间价格过程被视为Xt：=RtIsds+σWt，其中Iis是信号过程，σ>0是波动性，W是布朗运动。在原始文件[LN19]中，考虑的信号I是Ornstein-Uhlenbeck过程dIt=-γItdt+σdWt，其中γ，σ>0是常数。因此，考虑到中间价过程图3：100个中间价路径实现的交易者库存以及第6.2节中考虑的设置，理论最优速度（红色）和signaturetrading速度（蓝色）。是一个半鞅，这个例子也在我们的框架内。[LN19]中考虑的价格影响是线性临时价格影响。因此，执行价格将由（2）给出，其中g`:=λ\'，λ>0。图3显示了中价流程100次实现的运行库存，包括签名交易速度和[LN19]中得出的最佳交易速度。选择的参数为q=1，λ=10-3, α = 10-2, φ = 10-3，I=0.02，γ=0.1。考虑了9阶截断签名。正如我们所看到的，signaturetrading速度似乎是理论最佳速度的近似值。