粗糙路径签名的最优执行

签名交易速度的数字预期成本为1.0169981，而最佳交易速度的预期成本为1.0170877。请注意，中间价过程中出现的信号引入了一个积极的利差，因此，如图3所示，最好从购买股票开始，以便稍后出售。这可以通过增加runninginventory惩罚φ来避免。图4：交易者100个中间价格路径实现的库存和第6.3节中考虑的设置，理论最优速度（红色）和signaturetrading速度（蓝色）。6.3结合订单流量【CJ16b】，作者将所有代理的订单流量纳入中间价格动态。这是通过考虑中间价格过程xt：=kZt（u+s- u-s） ds+σWs，其中u+tandu-分别对所有市场参与者的总买卖订单进行皮重计算。假设这些订单遵循动态CSDu±t=-κu±tdt+η±1+L±t-强度λ和η±i的依赖于L±t的泊松过程的dL±t~ Exp（ηκ）呈指数分布。此外，还包括临时市场影响λθ（bX）。图4显示了中间价路径100次实现的库存，图5：中间价过程为分数布朗运动的情况下的交易员库存（左）和交易员财富分布（右）。[CJ16b]中推导出的签名交易速度和最佳交易速度。签名交易速度的预期成本函数为0.995690，非常接近最优速度的预期成本：0.995722。我们考虑的参数为λ=5·10-4，k=10-4，q=1，α=2，φ=5·10-3，σ=0.1，κ=λ=5，η=0.8，以及7.6.4阶分数布朗运动的特征在本节中，我们假设中间价格过程XT是分数布朗运动。我们假设存在线性市场影响。

换句话说，执行价格将由pθt给出：=σWHt- λθ（bX |[0，t]），其中，wht是具有赫斯特参数H的分数布朗运动，σ，λ>0是常数。图5显示了H=1/3，σ=0.02，q=1，φ=0，λ=10的情况下的中间价和库存-3，α=0.1，T=1，考虑了7阶截断签名。正如我们所看到的，这种行为与H=1/2的情况（即，当是布朗运动时）有很大不同。事实上，考虑到我们不包括φ=0的连续库存惩罚，在布朗情况下，我们期望库存qt是线性的。然而，图5表明分数布朗运动并非如此，交易速度强烈依赖于中间价过程。事实上，如果我们看一下恒定交易速度的预期成本，即0.9991335，我们会发现分数布朗运动的签名交易速度优于恒定交易速度策略，签名交易速度的预期成本为1.0031300。图5（右图）所示的两种策略的财富分布反映了这一特征交易速度的优异表现。7用市场数据进行实验要解决（6），关于中等价格过程所需的唯一信息是其预期签名。在本节中，我们使用真实的市场数据来估计预期的特征，然后将其用于求解（6）。然后，我们在一组样本外的市场路径中评估了最优执行策略的性能。我们考虑了苹果（AAPL）从2018年1月1日至2018年12月31日这一年的中端市场数据，该数据来自LOBSTER。

该数据分为10个月（1月至10月）的训练集和2个月（11月至12月）的样本集。我们考虑了每个交易日不同时间的15分钟窗口，更具体地说，我们考虑了10:00–10:15、11:00–11:15、12:00–12:15和13:00–13:15。我们通过计算来自测试集的相应15分钟窗口的签名（考虑13阶签名）的经验期望来估计每个15分钟窗口的预期签名。因此，在某种程度上，我们认为在整个交易年中，中间价过程在每个窗口上都遵循类似的行为。一旦从培训集中估计出每个15分钟窗口的中间价过程的预期特征，我们就解决了优化问题（6）以估计matehttps://lobsterdata.com/（a） 10:00–10:15。（b） 11:00–11:15。（c） 12:00–12:15。（d） 13:00–13:15。图6：与Almgren–Chriss基准相比，签名法实现最优清算的样本外性能。在所有15分钟窗口内，最佳签名交易速度始终优于基准。最佳签名交易速度。我们包括了临时和市场影响：Pθt：=Xt- kZtθ（bX |[0，s]）ds- λθ（bX |[0，t]）。λ=10时使用的参数-3，k=10-4, α = 0.1, φ = 10-4和q=1。然后，我们评估了15分钟窗口中每个窗口在样本集外的性能。根据[CJ16b]，我们将性能与Almgren–ChrisExecution策略[AC01]进行了比较。更具体地说，我们考虑了【CJ16b】中使用的每股储蓄指标（以基点为单位），该指标由WT定义- WACTWACT×10，其中WT和WACTA分别是最优签名交易速度和Almgren–Chris执行策略的终端财富。结果如图6所示。

最佳签名交易速度在所有15分钟窗口上都优于Almgren–Chriss基准，因为签名交易速度的平均节省率为正。请注意，我们所做的唯一假设是，在不同的交易日，中间价过程在相同的15分钟窗口中表现相似。除此之外，我们的方法是无模型的：我们可以通过非参数和无模型的方式，从市场数据中估计最佳交易速度。8结论本文提出了一种数值逼近某些最优执行问题解的方法。这是在geometricrough路径的一般框架中完成的，该框架尤其包含文献中的许多现有模型。粗糙路径特征提供了一种方法，将原始优化问题简化为一个有限维、计算可行的优化问题。从基础价格过程中需要的唯一信息是其预期特征，可以使用蒙特卡罗方法计算。第6节对这种方法进行了测试，其中我们表明，在已知最佳交易速度的情况下，基于签名的数值方法能够对其进行检索。此外，该方法的通用性允许在最优解未知的情况下估计最优交易速度。另一方面，在第7节中，我们展示了我们的方法如何用于实际市场数据，并证明签名方法优于Almgren–Chriss基准。引理3.4的一个证明。设ε>0。因为BOhmPTI存在，存在KbOhmP压缩，使P[K]>1- ε.设θ，θ∈ Tsig。然后，通过定义，存在线性泛函``∈ T（（R）*)使得θi（bX |[0，t]）=h\'i，bX<∞0，ti表示所有Bx |[0，t]∈ ∧T，i=1，2。定义θ（bX |[0，t]）：=h\'tt\'，bX<∞0，ti。

然后，根据shu-forge积性质（1），我们得到θ（bX |[0，t]）θ（bX |[0，t]）=h\'，bX<∞0，tih`，bX<∞0，ti=h\'tt\'，bX<∞0，ti=θ（bX |[0，t]）。因此，由于两个签名交易速度之和只是一个签名交易速度，因此Tsigform是一个代数。另一方面，签名的唯一性（推论2.13）意味着Tsigseparates点。事实上，givenbX |[0，t]，bY |[0，t]∈bOhmpTdistinct，因为我们有BX<∞0，t6=通过<∞0，我们立即知道存在`∈ T（（R）*)使得h`，bX<∞0，ti 6=h`，由<∞0，ti。此外，tsigh包含常数，如h,bX公司<∞0，ti=1表示所有Bx |[0，t]∈bOhmpT。因此，通过Stone–Weierstrass定理，我们得出结论，Tsig，限制为K，在T中是稠密的。致谢此项工作得到了艾伦·图灵研究所在EPSRC拨款EP/N510129/1下的支持。作者要感谢塞巴斯蒂安·贾蒙格尔、阿尔瓦罗·卡塔和莱安德罗·莱安德罗·桑切斯·贝当古阅读了本文的预印本，并给出了他们的见解。披露声明意见和估计构成我们截至本材料日期的判断，仅供参考，如有更改，恕不另行通知。本材料并非摩根大通研究部的产品，因此，未按照促进研究独立性的法律要求编制，包括但不限于禁止在传播投资研究之前进行交易。本材料不作为购买或销售任何金融产品或服务的研究、建议、建议、服务或招揽，也不以任何方式用于评估参与任何交易的优点。这不是一份研究报告，也不打算这样做。过去的表现并不代表未来的结果。

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