粗糙路径签名的最优执行

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英文标题：
《Optimal execution with rough path signatures》
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作者：
Jasdeep Kalsi and Terry Lyons and Imanol Perez Arribas
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We present a method for obtaining approximate solutions to the problem of optimal execution, based on a signature method. The framework is general, only requiring that the price process is a geometric rough path and the price impact function is a continuous function of the trading speed. Following an approximation of the optimisation problem, we are able to calculate an optimal solution for the trading speed in the space of linear functions on a truncation of the signature of the price process. We provide strong numerical evidence illustrating the accuracy and flexibility of the approach. Our numerical investigation both examines cases where exact solutions are known, demonstrating that the method accurately approximates these solutions, and models where exact solutions are not known. In the latter case, we obtain favourable comparisons with standard execution strategies.
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中文摘要：
我们提出了一种基于签名方法获得最优执行问题近似解的方法。该框架是通用的，只要求价格过程是几何粗糙路径，价格影响函数是交易速度的连续函数。在对优化问题进行近似之后，我们能够在截断价格过程的签名后，在线性函数空间中计算交易速度的最优解。我们提供了强有力的数字证据，说明了该方法的准确性和灵活性。我们的数值研究既检验了精确解已知的情况，证明了该方法精确地逼近了这些解，也检验了精确解未知的模型。在后一种情况下，我们与标准执行策略进行了比较。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
--> Optimal_execution_with_rough_path_signatures.pdf (700.24 KB)

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关键词：Quantitative Optimisation Illustrating Applications QUANTITATIV

粗糙路径签名的最优执行*Jasdeep Kalsi、Terry Lyon1、2和Imanol Perez Arribas1、2、3牛津大学数学研究所Alan Turing Institute，LondonJ。P、 Morgan，London2019年5月3日摘要我们提出了一种基于签名方法获得最佳执行问题近似解的方法。该框架是通用的，仅要求价格过程是几何粗糙路径，价格影响函数是交易速度的连续函数。在对优化问题进行近似处理之后，我们能够在截断价格过程的特征码的情况下，计算线性函数空间中的交易速度的最优解。我们提供了强有力的数字证据，证明了该方法的准确性和灵活性。我们的数值研究既检验了精确解已知的情况，证明了该方法精确地逼近了这些解，也检验了精确解未知的模型。在后一种情况下，我们与标准执行策略进行了比较。*本文中表达的观点是作者的观点，并不一定反映摩根大通的观点。1简介1.1概述继Bertsimas和Lo在[BL98]和Almgren和Chriss在[AC01]中对该问题的最初研究之后，最优执行问题引起了人们的极大兴趣。AIM旨在模拟一个人应该如何向市场发送订单，以便从持有一个投资组合过渡到持有另一个投资组合。通常情况下，投资者只希望收购/清算单一资产的股份。优化有两个相互竞争的因素。首先，投资者有快速交易的压力。随着未来价格的不确定性，交易越晚意味着接受更多风险。

另一方面，由于市场影响的性质，跨时间平均交易也有其好处。投资者应该考虑目前在理想价格下有多少流动性——现在下大订单可能会导致“照本宣科”，并在很大一部分交易中接受不可避免的价格。任何最优执行模型的关键特征是交易者可以执行其交易的价格过程的动态，Pt，以及交易者对良好策略概念的一些定义。过程PTI是时间t之前交易速度历史的函数，以及一些额外的驱动过程。通常，我们将基础价格过程的总和添加到价格影响函数中，从而得出PTI。价格影响函数取决于投资者交易速度的历史，它决定了交易者可以执行的价格因此发生了多大的变化。价格影响函数的经典选择包括临时版本（仅取决于交易者当时希望交易的速度）、永久版本（取决于截至时间t的订单累积）和临时版本（过去交易速度的影响随时间衰减）。好的策略通常是根据一些成本函数来定义的，这既考虑了投资者在采用策略时的预期收入，也考虑了与该策略相关的风险度量。1.2论文概述本文的目的是说明如何使用签名方法来获得最优执行问题的近似解。我们的设置非常一般，假设价格过程仅为几何粗糙路径，允许价格影响函数取决于交易策略的整个历史，仅假设轻微的连续性条件。

该框架的灵活性在一定程度上可以通过文献中广泛的现有模型来证明。这方面的一个例子是【CJP15，第6.5节】中提出的经典最优执行问题，其中假设基础价格过程是布朗运动，基于持有库存的风险引入LPENALTY。最近的例子包括【LN19】中Lehalle和Neumann的作品，以及【CJ16b】中Cartea和Jaimungal的作品。在[LN19]中，作者证明了在将交易信号纳入价格动态的情况下，最优交易策略的存在性和唯一性的结果。类似地，在[CJ16b]中，作者考虑了微观结构在问题中的作用，将订单流量作为永久影响价格的因素。我们的方法也适用于处理由相互交易影响的多个相关资产组成的模型。Mastromatteo、Benzaquen、Eisler和Bouchaud【MBEB17】在文章中介绍了这种设置。在第2节中，我们首先简要概述了粗糙路径。在这里，我们定义了几何粗糙路径及其签名，并介绍了对签名进行计算所需的基本代数结构。接下来，我们将在第3节介绍我们的框架。这包括在我们的模型中指定我们对价格过程和市场影响的假设，确定我们将寻找策略的交易速度空间，以及引入最优控制问题。第4节专门计算控制问题的近似解。我们首先根据签名重新表述问题，然后通过一个有限维、可计算的最小化问题来近似最佳交易速度。

在第5节中，我们提供了第3节和第4节中所述方法的有趣扩展示例，例如[MBEB17]中出现的多资产问题，以及假设额外的多维噪声提供有关价格动态的外源信息的更奇特的模型。最后，在第6节和第7节中，我们提供了该模型性能良好的数字证据。在设置【CJP15，第6.5节】、【LN19】和【CJ16b】中，获得了最佳策略的良好近似值，并且我们还可以在基础价格过程是分数布朗运动的情况下研究该问题。此外，我们在第7节中证明，我们的方法也可以用于实际市场数据。2粗路径初步粗路径和签名将在本文中发挥关键作用。在本节中，我们将介绍本文将使用的粗糙路径理论的所有方面。对于粗糙路径理论的更详细介绍，作者请读者参考[LCLddpdS07，FV10]。2.1张量代数粗糙路径是一条在某个分次空间上取值的路径，称为张量代数。本小节将介绍这些代数，以及另一个重要的空间——张量代数的对偶空间。定义2.1（扩展张量代数）。让d≥ 1、我们用T（（Rd））表示Rd上的扩张张量代数，由T（（Rd））定义：={a=（a，a，…，an，…）一∈ （Rd）n} 在哪里 表示张量积。给定a=（ai）∞i=0，b=（bi）∞i=0∈ T（（Rd））、定义+和产品 bya+b：=（ai+bi）∞i=0，a b：=iXk=0ak bi公司-k∞i=0。我们还定义了λa：=（λai）对R的作用∞对于所有λ，i=0∈ R、 a∈ T（（Rd））。同样，我们可以将张量代数和截断张量代数分别定义为所有有限序列和给定长度的所有序列的空间。定义2.2。

Rd上的张量代数，用T（Rd）表示 T（（Rd）），由T（Rd）给出：={a=（an）∞n=0 |安∈ （Rd）nandN∈ N使得an=0n≥ N} 。同样，n阶截断张量代数∈ 由T（N）（Rd）定义的RDI上的N：={a=（an）∞n=0 |安∈ （Rd）nand an=0n≥ N} 。设{e，…，ed} Rdbe是Rd的基。这导致了对偶基{e*, . . . , e*d} （Rd）*对于（Rd）*, 其中（Rd）*表示Rd的对偶空间–即所有连续线性函数Rd的空间→ R、 我们可以确定（Rd）的基础nby：{ei . . .  ein | ij∈ {1，…，d}对于j=1，n} 。类似地，基础（（Rd）*)由{e]定义*我 . . .  e*in | ij∈ {1，…，d}对于j=1，n} 。这自然地为T（（Rd））和T（（Rd）提供了基础*).通常可以方便地想到T（（Rd）*) 作为一个词的空间。定义字母表：={1，…，d}。然后，基本元素e*我 . . .  e*印加语与“i”一词一致。在里面让W（Ad）表示字典Ad中所有单词（及其和）的字母空间，即Ad生成的自由R向量空间。那么，我们有（（Rd）*)~=W（Ad）。空单词将由 ∈ W（Ad）。示例2.3。考虑R.1的以下示例。设a=3- e e∈ T（（R））。然后，h, ai=3.2。设a=1- 2e+e∈ T（（R）），设置w= + 1、那么，hw，ai=1- 2 = -1.3. 设a=ee-ee∈ T（（R）），并设置w=21+111。那么，hw，ai=-1+0 =-1.4. 设a=1+e3和w=2·111。然后，hw，ai=2·1=2。词的空间有两种自然的代数运算——和和和和。设w=i。in，v=j。吉咪∈ W（Ad）是两个单词。它们的和是w+v的形式和∈ W（Ad）。另一方面，它们的串联由wv定义：=i。注射。

吉咪∈ W（Ad）。这两个操作在T（（Rd）上引发类似的操作*), 而且，由于旋转的一些滥用，我们甚至会在W（Ad）和T（（Rd）上使用串联*) 可互换–即我们有时会写“w”∈ T（（Rd）*) 对于`∈ T（（Rd）*) 和单词w∈ W（Ad），我们的意思是将W（Ad）中与`相关的元素与单词W串联起来。示例2.4。取字母A={1，2，3，4}。1、设置w=212，v=31。我们的wv=21231∈ W（A）。我们有（143+23）1=1431+231∈ W（A）。在本文中，还有第三种对单词的操作很有用：shu-free-eproduct tt。直觉上，shu-flue产品说明了ri-flue-eshu-flue制作两副牌的所有可能方式。具体定义如下。定义2.5（松露产品）。酥油产品tt:W（Ad）×W（Ad）→ W（Ad）由ua ttvb=（u ttvb）a+（ua ttv）b，W tt感应定义 =  ttw=所有单词u、v和字母a、b的W∈ Ad，然后通过双线性度扩展到W（Ad）。由于一些符号的滥用，T（（Rd）上的松露产品*) 由shu-forgi eproduct诱导的单词也将由tt表示。根据shu-forge乘积的定义，tt是可交换的，即f ttg=g ttf，对于所有f，g∈ T（（Rd）*).示例2.6。我们有：1。12 tt3=123+132+312.2。12 tt23=2·1224+1242+2124+2142+2412。定义2.7。让Q∈ R[x]是一个单变量多项式。写入Q（x）=a+ax+ax+…+anxn。然后，Q导出映射Qtt:T（（Rd）*) → T（（Rd）*) 给定byQtt（`）：=a + a`+a` tt2+…+安\'ttn` ∈ T（（Rd）*),其中\'ttk:=\'tt\'tt。k的tt `{z}k∈ N、 2.2粗略路径我们现在将定义本文中的一个关键对象：路径签名。定义2.8（路径签名）。让0≤ s<t≤ T对于分段平滑路径x：[0，T]→ Rd，我们定义了X在[s，t]byX上的签名<∞s、 t：=（1，Xs，t，…，Xns，t，…）∈ T（（Rd）），其中xns，T：=Zs<u<<un<tdXu . . .

dXun公司∈ （Rd）n、 同样，我们定义了n阶截断签名∈ N byX公司≤Ns，t：=（1，Xs，t，…，XNs，t）∈ T（N）（Rd）。如果我们引用X的签名，而不引用签名的间隔，那么我们将隐含地引用X<∞0，T。示例2.9。在本文中，我们将不断研究签名上的线性函数。因此，在后面的章节中可以看到一些将要使用的示例。设X=（X，X）∈ C∞（[0，T]；R）是二维光滑路径。回想第2.1节，我们在张量代数上引入了词作为线性函数的表示法。我们有：1。h2，X<∞0，Ti=RTdXt=XT- 十、 2。h类, X个<∞0，Ti=1.3。h21，X<∞0，Ti=RTRtdXsdXt=RT（Xt- 十） dXt。4、让`∈ T（（R）*). 那么，h\'1，X<∞0，Ti=RTh\'，X<∞0，tidXt。定义2.10（几何p-粗路径）。设T>0和p≥ 1、用bpc表示p.Let的整数部分T： ={（s，T）∈ [0，T]×[0，T]| s≤ t} 。函数X：T→如果T（bpc）（Rd）是分段光滑路径的bpc阶签名的极限（在p变量距离[LCLddpdS07，定义1.5]下），则称其为几何p-粗路径。所有几何p-粗路径的空间将用G表示Ohmp（[0，T]；Rd）。每个X=（1，X，…，Xbpc）∈ GOhmp（[0，T]；Rd）可以唯一地扩展到任意N的N度量粗糙路径≥ p（【LCLddpdS07，定理3.7】）。与光滑情况类似，完全延伸X<∞= （1，X，…，XN，…）将定义为X的符号。文献中使用的许多随机过程几乎都是几何路径。例如，使用Stratonovichintegration定义的半鞅的签名几乎肯定是任何p的几何p-粗路径∈ （2，3）[CL05]。Hurst参数H的分数布朗运动的签名≥ 几乎可以肯定的是，1/4也是p>1/H（[CQ02]）的几何p-粗路径。

现在，我们将说明签名的一些属性，这些属性在本文中很有用。引理2.11（松露产品特性，[LCLddpdS07]）。让X∈ GOhmp（[0，T]；Rd）是年龄计量的p-粗路径。让``∈ T（（Rd）*) 是两个线性泛函。然后，h`，X<∞0，Tih\'，X<∞0，Ti=h\'tt\'，X<∞0，Ti`, `∈ T（（Rd）*). （1） 松露产品将在本文中广泛使用。它保证了签名上两个线性函数的乘积是签名上的另一个线性函数，这是用shu-frege乘积明确给出的。下面的引理在本文中也很有用。此结果保证签名X<∞0，t完整地描述了X–直到所谓的树状等价物（见[BGLY16，定义1.1]）。引理2.12（签名的唯一性，[BGLY16]）。让X∈ GOhmp（[0，T]；Rd）。签名X<∞0，Tof X在树状等价物中是唯一的（定义见[BGLY16，定义1.1]）。推论2.13。让X∈ GOhmp（[0，T]；Rd）。如果存在严格单调的X投影，则签名X<∞0，t确定X到翻译。3框架3.1符号给定连续路径Z∈ C（[0，T]；R），表示其由continuouspathbZ扩充∈ BZT定义的C（[0，T]；R+×R）：=（T，Zt）∈ R+×R.设p≥ 1、定义：bOhmpT：={bZ∈ GOhmp（[0，T]；R）| Z∈ C∞（[0，T]；R）和Z=1}dp-var，其中在dp下进行关闭-var，即p变化距离（见[LCLddpdS07，定义1.5]）。吉文布兹∈bOhmpT，我们将在Z之前写入∈ C（[0，T]；R）未经整理的协调过程。直觉上，B的元素Ohmp重新签名形式为（t，Zt）的路径，初始点Z=1。因为这个增广路径（即时间）的第一维度是单调递增的，并且因为我们只考虑从1开始的路径，所以它后面是推论2.13，即bz<∞0，t完全表征bz（因此也就是Z）。3.2市场空间BOhmPT将是我们的市场路径空间。

我们将为其配备概率空间（bOhmpT，B（BOhmpT），P）。给定粗略路径BX∈bOhmpT，未分段的坐标路径x：[0，T]→ R表示资产未受影响的中间价。换言之，如果交易者不进行资产交易，则X是资产的中间价过程。示例3.1。我们的市场框架非常笼统，因为它包括了文献中考虑过的大多数示例。特别是，我们的框架包括：1。半鞅。在文献[CJ15、CJ16b、CJ16a、LN19]中，中间价格过程通常被建模为半鞅。p的半鞅可提升为p几何粗糙路径∈ （2，3）[Lyo98，CL05，FV10]，因此它们符合我们的框架：市场将由概率空间（b）给出OhmpT，B（BOhmpT），P）表示P∈ （2，3）和P半鞅定律。2、列维过程。更一般地说，某些L'evy过程也可以提升为P几何粗糙路径[FS17，Che18]，因此它们被包括在这个框架中。分数布朗运动。我们的框架还包括这样的设置，即中间价格由带有赫斯特参数的分数布朗运动建模≥ 1/4. 事实上，在[CQ02]中，Hurst参数大于1/4的分数布朗运动可以提升为几何粗糙路径。3.3交易速度在本节中，我们将介绍交易速度的表示法。定义3.2（交易速度）。定义可度量空间∧T：=St∈[0，T]bOhmpt。我们用T=C（λT；R）定义交易速度空间。给定交易速度θ∈ T，则转换器将以θ（bX |[0，T]）的速率进行交易。直觉上，坐在时间t的交易者∈ [0，T]应该只考虑到时间T之前发生的事情来决定卖多少或买多少：她只能根据过去而不是未来行事。