随机波动下Libor市场模型的快速标定

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英文标题：
《Fast calibration of the Libor Market Model with Stochastic Volatility
  and Displaced Diffusion》
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作者：
Laurent Devineau, Pierre-Edouard Arrouy, Paul Bonnefoy, Alexandre
  Boumezoued
---
最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  This paper demonstrates the efficiency of using Edgeworth and Gram-Charlier expansions in the calibration of the Libor Market Model with Stochastic Volatility and Displaced Diffusion (DD-SV-LMM). Our approach brings together two research areas; first, the results regarding the SV-LMM since the work of Wu and Zhang (2006), especially on the moment generating function, and second the approximation of density distributions based on Edgeworth or Gram-Charlier expansions. By exploring the analytical tractability of moments up to fourth order, we are able to perform an adjustment of the reference Bachelier model with normal volatilities for skewness and kurtosis, and as a by-product to derive a smile formula relating the volatility to the moneyness with interpretable parameters. As a main conclusion, our numerical results show a 98% reduction in computational time for the DD-SV-LMM calibration process compared to the classical numerical integration method developed by Heston (1993).
---
中文摘要：
本文证明了使用Edgeworth和Gram-Charlier展开式校准具有随机波动和位移扩散的Libor市场模型（DD-SV-LMM）的有效性。我们的方法将两个研究领域结合在一起；首先是自Wu和Zhang（2006）工作以来关于SV-LMM的结果，尤其是关于矩母函数的结果，其次是基于Edgeworth或Gram Charlier展开的密度分布近似。通过探索高达四阶矩的分析可处理性，我们能够使用偏态和峰度的正常波动率对参考Bachelier模型进行调整，并作为副产品，推导出波动率与货币性之间的微笑公式，以及可解释的参数。作为一个主要结论，我们的数值结果表明，与Heston（1993）开发的经典数值积分方法相比，DD-SV-LMM校准过程的计算时间减少了98%。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Fast_calibration_of_the_Libor_Market_Model_with_Stochastic_Volatility_and_Displa.pdf (1022.93 KB)

2022-6-15 17:03:03 上传

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关键词：LIBOR lib Applications volatilities distribution

快速校准伦敦银行同业拆借利率市场模型，包括仓促波动和置换差异。劳伦特·德维诺、皮埃尔·爱德华·阿鲁伊、保罗·邦尼福、亚历山大·布梅佐伊·米利曼和德朱恩（Alexandre BoumezouedMilliman R&DJune），2017年摘要本文证明了在校准具有随机波动和置换差异的伦敦银行同业拆借利率市场模型（DD-SV-LMM）时，使用埃奇沃斯和格拉姆·哈利尔（GramCharlier）展开的有效性。我们的方法将两个研究领域结合在一起；首先，Wu和Zhang（2006）工作以来SV-LMM的结果，尤其是矩母函数，其次是基于Edgeworthor-Gram-Charlier展开的密度分布近似。通过探索高达四阶矩的分析可处理性，我们能够使用偏态和峰度的正常波动率对referenceBachelier模型进行调整，并作为aby产品，推导出波动率与货币性之间的微笑公式，以及可解释的参数。作为一个主要结论，我们的数值结果表明，与Heston（1993）开发的经典数值积分方法相比，DD-SV-LMM校准过程的计算时间减少了98%。关键词：伦敦银行同业拆借利率市场模型；随机波动率；移位扩散；交换期权定价；模型校准；埃奇沃斯扩张；Gram-Charlier展开式。1简介我们的工作是出于保险和银行业对金融模型进行重新校准的需要。

所谓的市场一致性预测是电子邮件：laurent。devineau@milliman.comEmail：皮埃尔·爱德华。arrouy@milliman.comEmail：保罗。bonnefoy@milliman.comEmail：alexandre。boumezoued@milliman.comMilliman，14 Rue Pergolèse，75016 Paris，France。尤其是保险公司面临的各种主题，如保险资产和负债的预测，通过嵌套模拟计算偿付能力资本要求，见Devineau和Loisel（2009）和Baueret al.（2012），在Leatsquares Monte Carlo框架内实施强化再校准过程，见Vedani和Devineau（2013），以及可变年金的对冲和交易网格的计算。在所需的金融模型中，与那些专注于股票和流动等更强大的金融驱动因素相比，那些专注于利率的模型在保险市场实践中已经达到了相当复杂的程度。我们的一般目的是改进具有随机波动性的所谓LIBOR市场模型（SV-LMM）的校准程序，SV-LMM现已被广泛使用，因为它已证明能够以令人满意的方式再现波动微笑和fit市场价格。此外，在非常低的利率制度下，使用置换系数预测负区域的利率正在成为市场标准，这导致我们研究置换差异SV-LMM，在下文中表示为DDD SV LMM。

在这种情况下，这对于获得快速校准程序至关重要，尤其是当位移系数本身包含在校准过程中时，因为此类研究需要对该系数进行密集的重新校准，以避免优化陷阱。从伦敦银行同业拆借利率市场模型开始，Joshi和Rebonato（2003）将该框架扩展到随机波动性和置换差异，而Wu和Zhang（2006）提出了目前广泛使用的随机波动性成分；在此基础上，他们提供了一些分析结果，如基于积分的Caplet和Swaption公式。文献中已经开发了SVLMM的其他几个版本，其差异主要在于对随机波动性成分建模的方式和要处理的工具的范围；对于模型的其他版本，我们参考Brigo andMercurio（2007）中的参考文献。由于需要对模型进行密集的重复校准，克服现有校准程序速度不快且有时不稳定的问题有很大的意义。在Wu和Zhang（2006）中，SV-LMM下的定价基于经典的Heston（1993）数值积分方法和Carr和Madan（1999）著名的快速傅立叶变换（FFT）方法，后者已成为具有已知特征函数的模型的期权估值标准，因为它特别适用于有效扩散过程。虽然与Wu和Zhang（2006）在astrike grid上的具体定价示例中的Heston方法相比，Offt方法的计算时间略有减少（29%）（见表4），但这两种方法都依赖于复杂领域的数值积分，已知该领域嵌入了一些数值不稳定性，正如Kahl和J"ackel（2005）和Albrecher et al.（2006）在Hestonmodel的例子中所强调的那样。

此外，两种方法所显示的数字成本使得重复校准程序在合理的操作时间内无法实现。为了解决这一问题并提出一种更有效的THDD SV LMM校准方法，本文的目的是将两个研究领域结合起来；首先，Wu和Zhang（2006）工作以来SV-LMM的结果，尤其是矩母函数，其次是基于Edgeworth和Gram Charlier展开的密度分布近似的使用。尽管在一般情况下，SV LMM不存在矩母函数的解析表达式，但对于分段常数输入参数（在一般实践中很自然），可以给出递归闭合形式，见Wu和Zhang（2006），命题4.1。我们的目的是利用这种分析的可处理性，实现扩展，尽可能避免枚举派生和集成。通过这种方式，我们根据动量生成函数的分析微分，对高达四阶的力矩进行分析推导。这使我们能够充分利用Edgeworth和Gram-Charlier展开的潜力，这可以看作是对Baceliermodel的偏度和峰度的调整。本着这种精神，一些贡献建议调整模型，主要是针对非正态偏度和峰度的Black-Scholes模型，以克服标准Black-Scholes公式中嵌入的远离货币期权的众所周知的斯特里克价格偏差。Jarrow和Rudd（1982）基于对数正态分布的Edgeworth展开推导出期权定价公式，而Corradoand Su（1996）随后在同一建模框架中使用了对数收益正态密度的Gram-Charlier展开。

这两篇论文都提供了令人信服的数值结果。在我们的环境中，我们基于参考正态分布展开；这样做的好处是提供了Bachelier模型的扩展，这是我们的自然参考设置，允许在负利率背景下引用衍生工具，如上限和掉期期权；目前，短期掉期期权波动率不再可以在Black模型提出的替代对数正态框架中计算。此外，Potters等人（1998年）在Edgeworthexpansions框架下工作。他们使用调整了偏度和峰度的正态密度，导出了波动率作为累积量函数的分析近似值，然后在股票衍生品分析中直接拟合观察到的波动率微笑（而不是价格）；这一贡献是我们目前研究的主要灵感来源。最近的参考文献涉及在不同背景下使用和/或分析财务模型的扩展，如Schl"ogl（2013）、Chateau（2014）和Heston and Rossi（2016）。通过将这两个领域结合在一起，我们的方法避免了数值积分的复杂性和不确定性问题，同时显著缩短了校准过程。分析可处理性中的一个关键步骤是四阶矩的显式推导，随后在Gram-Charlier和Edgeworth展开中使用。此外，在我们的扩张机制下，我们推导出了波动性与货币性之间的斯米尔公式。因此，除了更快的校准程序外，这还提供了基于可解释参数的volatilitysmile关键特性的更多见解。作为一个主要结论，我们的数值结果表明，与经典的快速傅立叶变换相比，DD-SV-LMM校准过程的计算时间减少了98%。我们的论文结构如下。

在第2节中，我们简要描述了DD-SV-LMM下的swaprate动力学，然后继续研究力矩生成函数。第3节建立了基于Gram Charlier和Edgeworth展开式的互换期权定价公式，并提供了相关的微笑公式。最后，第4节详细介绍了我们的数值结果，与经典的Heston方法相比，评估了拟议校准方法的效率。本文最后作了一些总结。2 DD SV LMMIn下的掉期利率分布本节，我们简要描述了伦敦银行同业拆借利率市场模型下具有随机波动性和置换差异的掉期利率动态，表示以下DD SV LMMIn。然后，基于冻结技术的调整，我们给出了正常波动率框架和置换差异设置下的近似掉期利率动态。最后，我们详细介绍了动量生成函数的一组关键结果，这将有助于在下一节3中推导解析近似。虽然这些推导在这种情况下是新的，但我们省略了与吴和张（2006）中所述类似的推理步骤，并请读者阅读本文以了解更多细节。2.1 DD-SV-LMM frameworkLet P（t，t）是在时间t>t到期的零息票债券，票面价值为1。让我们引入Fj（t），j=1。。。，M在时间t时，长度为[Tj，Tj+1]的简单合成前进率的值Tj=Tj+1-Tj。远期利率和零息票债券价格通过hfj（t）相关=Tj公司P（t，Tj）P（t，Tj+1）- 1..在非常低的利率制度下，使用位移系数可以对负区域的利率进行建模和预测。让我们介绍2.2掉期利率动态位移系数δ≥ 0，也称为移位，以及δ-位移的正向速率fj（t）+δ。

位移系数δ解释了可能的负正向速率Fj（t），同时考虑了Fj（t）+δ的对数建模。让我们介绍与数字P（t，Tj+1）相关的前向度量Qj+1；在Qj+1下，位移前进速率遵循动力学：对于t≤ Tj，dFj（t）=（Fj（t）+δ）ζj（t）·dZj+1t，（1）其中内积‘·’涉及波动向量ζj（t）和Qj+1下的多维布朗运动，表示为Zj+1。在下面的内容中，我们用m（t）=inf{j表示≥ 1:t≤ Tj}t未到期的第一个远期利率。在该模型中，仓促波动率成分被指定为ζj（t）=pV（t）γj（t），其中γj（t）是一个决定性向量，V（t）位于与数字B（t）=P（t，Tm（t））Qm（t）相关的即期Libor度量Q下的Cox-Ingersoll-Ross过程家族中-1i=0P（Ti，Ti+1）（有时被同化为风险中性度量）：dV（t）=κ（θ- V（t））dt+pV（t）dWt，（2）其伐木条件2κθ>确保流程具有平稳的分布，并保持严格的正分布。从方程（1）可以推导出参考风险中性度量下位移远期利率的随机动力学，如≤ Tj，dFj（t）=（Fj（t）+δ）pV（t）γj（t）·dZt公司- σj+1（t）pV（t）dt, （3） σj+1（t）=-jXk=m（t）Tk（Fk（t）+δ）1+TkFk（t）γk（t），其中Z是Q下的多维布朗运动，nz和W之间的相关性通过ρj（t）dt=E确定γj（t）kγj（t）k·dZt载重吨. （4） 2.2掉期利率动态虽然我们的研究可以在不受限制的情况下适用于Caplet模型的校准，但我们在本文中更倾向于考虑DD-SV-LMM期权波动率的校准，因为它允许我们考虑远期利率之间的相关性。为此，我们重新研究了Wu和Zhang（2006）中提出的互换期权定价，此处根据我们的设置进行了调整。

从tmt到TnwritesRm，n（t）=P（t，Tm）期间t点的掉期远期利率- P（t，Tn）BS（t），2.2掉期利率动态，其中BS（t）=Pn-1j=mTjP（t，Tj+1）是掉期的年金（严格取决于m和n，尽管为了简单起见我们省略了符号）。BS（t）定义了远期掉期衡量指标QS，作为计价单位；然后，根据QS下的以下预期，给出了具有罢工K的付款人购买权合同在时间零点的价格：P S（0，K）=BS（0）ES[最大（Rm，n（Tm）- K、 0）]。（5） 使用权重αj（t）=TjP（t，Tj+1）BS（t），交换率可以重写为Rm，n（t）=Pn-1j=mαj（t）Fj（t）。为了对掉期期权进行估值，可将QS下的动力学推导如下（见Wu和Zhang（2006），公式3.3）：dRm，n（t）=pV（t）n-1Xj=mRm，n（t）Fj（Fj（t）+δ）γj（t）·dZSt，dV（t）=κθ -ξS（t）V（t）dt+pV（t）dWSt，其中|ξS（t）=1+κPn-1j=mαj（t）Pjk=m（t）Tk（Fk（t）+δ）ρk（t）kγk（t）k1+TkFk（t）。此外，与Fjis相关的SWAP率差异由Rm，n（t）Fj=αj（t）+Tj1+TjFj（t）j-1Xk=mαk（t）（Fk（t）- Rm，n（t））。在这一点上，人们面临着动力学的复杂性，尤其是远期汇率涉及随机波动过程V的漂移。类似于Andersen和Andreasen（2000），我们将继续研究冷冻技术，该技术基于冷冻系数的低可变性假设。此外，由于我们的目标是在正常框架下对掉期波动性建模，因此我们采用了FixingWJ（0）的冻结技术=Rm，n（0）Fj（Fj（0）+δ），而不是Rm，n（0）FjFj（0）+δRm，n（0），就像在对数正态框架中一样。

这样，我们就可以对掉期利率动态进行如下近似：dRm，n（t）=pV（t）n-1Xj=mwj（0）γj（t）·dZSt，0≤ t<Tm，dV（t）=κθ -ξS（t）V（t）dt+pV（t）dWSt，式中|ξS（t）=1+κPn-1j=mαj（0）Pjk=m（t）Tk（Fk（0）+δ）ρk（t）kγk（t）k1+TkFk（0）。在我们的环境中，我们基于参考正态分布展开；这有一个优势，即提供了Bachelier模型的扩展，即2.3矩生成函数我们的自然参考设置，允许在否定的背景下引用衍生工具；目前，短期掉期期权波动率无法在与Black模型相关的替代对数正态框架中计算。在这个稍作调整的框架中，仍有可能根据Heston（1993）开发的基于涉及特征函数的数值积分的众所周知的方法进行掉期期权定价，如Wu和Zhang（2006）中的方程式（2.13）。然而，这种方法需要计算复杂场中的积分，已知该积分嵌入了一些可能的数值不稳定性，正如Kahl和J"ackel（2005）以及Albrecher et al.（2006）在Heston模型的例子中所强调的那样。此外，数值格式中涉及的计算复杂性使得重复校准过程在合理的操作时间内无法实现。为了解决这个问题并提出一种更有效的D SV LMM校准方法，我们旨在通过Edgeworth和Gram Charlier展开提供交换速率密度分布的分析近似值，从而调整著名的Bachelier偏斜度和峰度公式。在详细说明展开方法之前，我们将在下一小节中回顾并调整矩母函数的有用结果。备注1。