结构化凸体的实际体积计算，以及

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英文标题：
《Practical volume computation of structured convex bodies, and an
  application to modeling portfolio dependencies and financial crises》
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作者：
Ludovic Cales, Apostolos Chalkis, Ioannis Z.Emiris, Vissarion
  Fisikopoulos
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We examine volume computation of general-dimensional polytopes and more general convex bodies, defined as the intersection of a simplex by a family of parallel hyperplanes, and another family of parallel hyperplanes or a family of concentric ellipsoids. Such convex bodies appear in modeling and predicting financial crises. The impact of crises on the economy (labor, income, etc.) makes its detection of prime interest. Certain features of dependencies in the markets clearly identify times of turmoil. We describe the relationship between asset characteristics by means of a copula; each characteristic is either a linear or quadratic form of the portfolio components, hence the copula can be constructed by computing volumes of convex bodies. We design and implement practical algorithms in the exact and approximate setting, we experimentally juxtapose them and study the tradeoff of exactness and accuracy for speed. We analyze the following methods in order of increasing generality: rejection sampling relying on uniformly sampling the simplex, which is the fastest approach, but inaccurate for small volumes; exact formulae based on the computation of integrals of probability distribution functions; an optimized Lawrence sign decomposition method, since the polytopes at hand are shown to be simple; Markov chain Monte Carlo algorithms using random walks based on the hit-and-run paradigm generalized to nonlinear convex bodies and relying on new methods for computing a ball enclosed; the latter is experimentally extended to non-convex bodies with very encouraging results. Our C++ software, based on CGAL and Eigen and available on github, is shown to be very effective in up to 100 dimensions. Our results offer novel, effective means of computing portfolio dependencies and an indicator of financial crises, which is shown to correctly identify past crises.
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中文摘要：
我们研究了一般维多面体和更一般的凸体的体积计算，定义为单纯形与一系列平行超平面和另一系列平行超平面或一系列同心椭球的相交。这种凸体出现在金融危机建模和预测中。危机对经济（劳动力、收入等）的影响使其能够检测出首要利益。市场依赖性的某些特征清楚地表明了动荡时期。我们通过copula描述资产特征之间的关系；每个特征要么是投资组合组件的线性形式，要么是二次形式，因此copula可以通过计算凸体的体积来构造。我们在精确和近似设置下设计并实现了实用的算法，我们对它们进行了实验并列，并研究了精确性和准确性与速度之间的权衡。为了增加通用性，我们分析了以下方法：拒绝采样依赖于均匀采样单纯形，这是最快的方法，但对小体积不准确；基于概率分布函数积分计算的精确公式；一种优化的劳伦斯符号分解方法，因为手边的多面体很简单；马尔可夫链蒙特卡罗算法采用随机游动，基于打了就跑的范式，推广到非线性凸体，并依赖于计算封闭球的新方法；后者通过实验扩展到非凸体，得到了非常令人鼓舞的结果。我们的C++软件基于CGAL和Eigen，在github上可用，在多达100个维度上都非常有效。我们的结果提供了计算投资组合依赖性的新的、有效的方法，并提供了金融危机的指标，这表明可以正确识别过去的危机。
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分类信息：

一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Computational Geometry        计算几何
分类描述：Roughly includes material in ACM Subject Classes I.3.5 and F.2.2.
大致包括ACM课程I.3.5和F.2.2中的材料。
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一级分类：Economics        经济学
二级分类：Econometrics        计量经济学
分类描述：Econometric Theory, Micro-Econometrics, Macro-Econometrics, Empirical Content of Economic Relations discovered via New Methods, Methodological Aspects of the Application of Statistical Inference to Economic Data.
计量经济学理论，微观计量经济学，宏观计量经济学，通过新方法发现的经济关系的实证内容，统计推论应用于经济数据的方法论方面。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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PDF下载：
--> Practical_volume_computation_of_structured_convex_bodies,_and_an_application_to_.pdf (1 MB)

2022-6-15 18:48:23 上传

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关键词：结构化 econometrics Experimental Quantitative distribution

结构化投资实体的实际交易量计算，以及对投资组合相关性和金融危机建模的应用*伊塔利卢多维奇Ispra联合研究中心Ludovic CalèsEuropean委员会。cales@ec.europa.euApostolosChalkisDepartment of Information&Telecommunications National&Kapodistrian University of Athens，Greeceachalkis@di.uoa.grIoannisZ.希腊雅典国立卡波迪斯特里安大学埃米尔信息与电信系和雅典研究与创新中心，Greeceemiris@di.uoa.grVissarionFisikopoulosOracle，Greecevissarion。fysikopoulos@oracle.comAbstractWe检查一般维多面体和更一般凸体的体积计算，定义为单纯形与一系列平行超平面和另一系列平行超平面或一系列同心椭球的交点。这种凸体出现在金融危机的建模和预测中。危机对经济（劳动力、收入等）的影响使其检测出公众尤其是决策者的首要利益。市场依赖性的某些特征清楚地表明了动荡时期。我们用copula描述资产特征之间的关系；每个特征都是投资组合组件的线性或二次形式，因此可以通过计算凸体的体积来构造copula。我们在精确和近似设置下设计并实现了实用的算法，我们将它们进行了实验并列，并研究了精确性和准确性对速度的权衡。

为了增加通用性，我们分析了以下方法：拒绝抽样依赖于对单纯形的均匀抽样，这是最快的方法，但对于小体积而言不准确；基于概率分布函数积分计算的精确公式，这是与单个超平面相交的选择方法；一种优化的劳伦斯符号分解方法，因为手边的多面体简单且具有额外的结构；马尔可夫链蒙特卡罗算法使用随机游动，基于hit-and-runparadigm，将其推广到非线性凸体，并依赖于计算给定体中包围的球的新方法，如二阶锥规划；后者在实验上扩展到非凸体，得到了非常令人鼓舞的结果。我们的C++软件基于onCGAL和Eigen，可在github上使用，在多达100个维度上显示出非常有效的效果。*欧盟委员会。Calès感谢欧盟委员会通过其概念验证计划提供的财政支持。Emiris部分得到欧盟地平线2020研究与创新计划（第734242号赠款协议）（LAMBDA项目）的支持。arXiv:1803.05861v1【cs.CG】201819年3月15日：结构化凸体的体积计算我们的结果提供了一种新的、有效的计算投资组合相关性的方法和金融危机指标，这表明可以正确识别过去的危机。2012年ACM主题分类设计和算法分析：计算几何、随机游动和马尔可夫链单词和短语多面体、凸体、单纯形、抽样、金融投资组合1简介1.1金融背景和动机按投资组合的回报和风险（定义为投资组合回报的方差）对投资组合进行特征化。

投资者将建立一个投资组合，使其预期的效率边界最大化。有效边界左侧的区域代表portfoliosdomain。有趣的是，尽管这个框架考虑了整个投资组合，但没有关注投资组合的分布。图1（中间面板）显示了SCH分布。当比较图1（右图）中经验投资组合分布和以有效边界为界的投资组合领域的轮廓时，我们观察到沿着有效边界的投资组合密度很低，大多数投资组合位于投资组合领域的一个小区域。图1（左）有效边界，（中）按投资组合回报率和方差划分的经验投资组合分布，（右）蓝色有效边界和inred的经验投资组合分布轮廓。所考虑的市场由DJSTOXX 600欧洲的19个部门指数组成。数据为2017年10月16日至2018年1月10日。为此，他于1990年获得诺贝尔经济学奖。将风险降至最低。已对10.000.000个投资组合进行了抽样，详见下文第2.1节。至少有1个随机投资组合所在的地区。五十、 Calès et al.19:3中等波动率，在高回报和低波动的大盘时期（通常是泡沫），详情。因此，按照马科维茨的框架，在正常和上涨的市场时期，波动性最低的股票和投资组合应呈现最低的回报，而在危机期间，波动性最低的股票和投资组合应呈现最高的回报。这些特征促使我们描述投资组合收益率和波动率之间的时变依赖关系。entation，如图1（中间面板）所示，因此我们将依赖于Portfolios分布的copula表示。

copula是一种二元概率分布，其中边际copula表示投资组合收益和方差之间的正相关性。每行和每列的总和为投资组合的1%。图2按收益和方差划分的投资组合分布的总体表示。所考虑的市场由DJSTOXX 600欧洲的19个部门指数组成。数据为2017年10月16日至2018年1月10日。返回。这里提到的依赖关系很重要，因为它决定了人们的生活（就业、工资、养老金等）。仍然无法证明错误的假设。有趣的是，copulas可以在一段时间内进行计算，从而在样本允许的情况下尽早获得信息。动量依赖关系的copula在金融文献中被称为“程式化事实”，19:4结构化凸体的体积计算需要在相当长的一段时间内进行估计，以确保可靠，从而延迟危机的检测。dd Rd+1完全由单一资产组成的投资组合。投资组合权重，即投资比例∈ Rd+1为任何投资组合ω确定相应的数量fac（ω，C）∈d、 例如，考虑∈ Rd+1ωfretω，RRTω给定投资组合的横截面分数ω*ρac=体积(*)卷(d） ，其中*= {ω ∈ d： f（ω，C）≤ f（ω*, C） ，对应于收益率低于或等于toR的投资组合份额*=RTω*. Thisfacω，Care均匀分布在单纯形上。

下面，我们考虑faccacacρacρacvariances及其值分别对应于收益的线性组合和收益的二次型的情况。在线性情况下，单形一方面与一系列平行超平面相交，另一方面与另一系列平行超平面相交，或与一系列同心椭球相交。1.2以前的工作组合学和统计学在计算上仅限于大约20个维度，在[3]中，重点不是精确的分数。考虑到多面体的体积计算对于V表示和H表示都是#P-困难[]，并且没有任何多面体时间算法可以实现优于指数误差[]，因此该问题预计不允许在一般维度上使用有效的确定性算法。开发体积计算的算法在精确设置方面受到了很多关注[]。广泛使用。这些方法超出了本文的范围。五十、 Calès et al.19:5Volestivolestiformed bodies【8】或，最近，在【1】中。1.3我们的贡献我们设计并实施了以下不同的体积计算方法：从单纯形中高效采样，并使用拒绝近似目标体积，这对于小体积来说是快速但不准确的。适当概率分布函数积分的精确公式，在单个超平面的情况下实现。优化线性半空间和椭球体的交点。后者是在实验上推广的。在某些温和的条件下可以得到近似值。要解决的问题是计算凸体PA的最大内接球。k、 a.带KCONES的Pkprogram（SOCP）。

当输入球与椭球互换时，SOCPyields是切比雪夫球的一个非常好的近似值。我们的实现采用C++语言，位于公共领域（github），基于CGAL，最高可达100个维度，从而使金融研究中研究的资产规模翻了一番。正确识别我们曾经尝试过的所有危机。更重要的是，这是一个新的融资结果。此外，我们还概述了从单纯形中表示和均匀采样的方法，并为采样-拒绝法的精度提供了理论保证。第3节将体积定义为单纯形与一个或多个超平面的交点，将凸体和非凸体定义为单纯形与椭球的交点，并为其开发了随机游动方法。第5节“财务”讨论了这些实施。我们以当前工作和开放性问题作为结束。附录中给出了不符合要求的图表。19： 6结构化凸体的体积计算2凸体和金融模型我们分析由股票定期（如每日）回报组成的真实数据，如道琼斯斯托克600欧洲指数的组成部分TM（DJ600）。它们分别是维数d=600的实空间中的点：ri=（ri，1，…，ri，d）∈ Rd，i≥ 1、由于并非所有股票都能在整个时间段内进行跟踪，我们选择指数中历史最长的100项资产，并将其并列：同期的股票收益和股票收益协方差矩阵，以检测危机、股票收益和过去的股票收益，观察任何动量效应，KKKO观察每天进行。复合收益是使用从jj向量等于（1+ri，j）（1+ri+1，j）···（1+ri+k）开始的kobservations获得的-1，j）- 1，j=1。

，d.通过使用相邻的k个观测周期进行类似定义。[]，因为它提供了一个稳健的估计，即使样本量相对于资产数量而言很短。协方差矩阵定义了以原点0为中心的椭球族∈ 通过选择适当的常数c，其方程xTCx=c完全特定。为了计算copulas，我们确定了定义超平面的常数，并使用Varsi的精确公式通过平分确定椭圆面。对于椭球体（x）=ci，我们通过对单纯形进行采样，然后在每个点计算E（x），来寻找ci。与单纯形和平行超平面族相交的连续椭球的值定义了一个非凸体，我们实际扩展了VolEsti算法。收益率和波动率介于规定常数之间的投资组合的密度。Wethus得到一个copula，表示投资组合相对于投资组合时间的分布。主要问题是计算两个族与单位单纯形相交产生的所有体积。我们必须处理三种类型的全维体，因此我们开发或使用现有的方法来解决三个不同的问题。第一个是四个成对平行的超平面。第二种情况发生在ellispoid相交时使用的数据来自彭博社TM.. 每天一次，从1990年1月1日到2017年11月31日。希望保留600份成分，用样本沿线的进货替换现有库存。Matlab代码打开http://www.econ.uzh.ch/en/people/faculty/wolf/publications.html.We考虑DJ 600的100个组件，其历史最长，超过60天，在给定日期结束。五十、 Calès等人。

19： 7由两个同心椭球体与一个简单体和一系列平行超平面相交定义的非凸体的体积。对单元单纯形进行采样，并直接近似所有体积。第三种方法（M3）是Volestinan凸体。2.1单纯形表示和抽样讨论了它们的有效实现。dd公司 Rd+1λλ，λdPdi=0λi，λi≥Pdi=0λiviv，vd公司∈ RDA完全独立。通过切换到自流坐标x=（x，…，xd）：mbc：Rd+17，可以方便地使用全维单纯形→ Rd：λ→ x=M（λ，…，λn）T+v，其中M=[v- v···vd- v] ，是一个d×d可逆矩阵。逆变换为：mcb：Rd7→ Rd+1：x→ λ =-1TdIdM-1（x- 五）+d, （1） d，dddd维单位矩阵。协调。AO（d log d）算法如下[，]：生成的不同整数{，…，K-}K以下：x=0<x<···<xd+1=K。现在（xi- xi-1） /K，i=1，d、 定义统一格式（d）。对于d>60，我们实施了Bloom过滤器的一种变体，以确保清晰度。虽然d<80:1时速度较慢。动态值xi∈ （0，1）和设置yi=- 日志xi。2、用它们的和=Pdi=0yi规范化theyi，从而在位于Rd+1.3的d维正则单纯形上获得一个均匀分布点（y/s，…，yd/s）。xy/s，yd/S全尺寸单位单工。Odpractice在[19]中实现。可以使用抽样来近似计算感兴趣区域的点数百分比时产生的所有体积。生成结构化凸体kpoints的19:8体积计算的复杂性isO（kd）。对于“平行超平面”族，所有采样点均按其所在位置进行计算。

因此，总复杂性isO（k log`），自`≤通常为100。给定一组与单纯形相交的具有相同二次型的椭球，该方法要求O（kd）计算所有采样点，O（k log）将其分配给图层。2.2高概率采样-拒绝精度喷射法。设D为凸或非凸的全维体，D为封闭单纯形，这样B 砂letp=V ol（B）V ol（S）。SBpNpoints来自随机变量x，该随机变量给出位于二项分布中的点的数目k。所以，P（X=k）=Nk公司pk（1- p） N个-k、 此外，如果我们采样点并拒绝，nXk=nP（X=k），n=nP（1- e） ，n=Np（1+e）（2）是采样-拒绝方法误差最大的概率。来自毒物LimitlimN→∞NpλNklimN→∞PXke-λλkk！牛米·xxmd- logpeNp公司≈ m·mxmm累积分布函数我们可以近似概率2。采样-拒绝错误N P r1%4·104+d- logpe0.9552%9·103+d- logpe0.9423%4·103+d- logpe0.9424%4·103+d- logpe0.9725%2·103+d- logpe0.9756%1·103+d- logpe0.9427%8·102+d- logpe0.9528%6·102+d- logpe0.9519%5·102+d- logpe0.95610%4·102+d- logpe0.955表1n我们必须取样的点。m、 mpppL。Calès et al.19:93与超平面的交点本节考虑计算单纯形与一个或多个的交点的体积，并考虑所有创建的多面体。我们假设单纯形以V-表示给出，即作为一组顶点，超平面由其方程给出。保留的超平面和体积比。3.1单半空间公式令人惊讶的是，对于由单纯形与超平面相交定义的体积，存在一个精确的迭代公式（M1）。在[]中给出了一个几何证明，通过细分多面体dh{x，…，xd | Pdi=1aixi≤ z} 半空间。1.ujaj- zj，dujY，yk负片为X，XJ。