基于Riccati的跨期动态效用优化

那么，x变量中的增函数V（x，t）是Hamilton-Jacobi-Bellman方程（7）的解，当且仅当变换后的函数φ（x，τ）=-xV（x，t）/xV（x，t），t=t-τ、 是拟线性抛物线非局部偏微分方程的解：-τφ + x个(xα（·，Д）- α（·，Д）Д）=b（T- τ)x个eRxx公司*Д（ξ，τ）dξxc公司,（12） ^1（x，0）=-u（x）/u（x），（x，τ）∈ R×（0，T），（13）和（14）V（x，T）=a（T）+b（T）Zxx*e-Rξx*Д（η，τ）dηdξ，t=t- τ、 其中，函数a（t）和b（t）是常微分方程组的解：ddta（t）=γ（t）b（t）- c（x*, t） ，a（t）=u（x*),（15） ddtb（t）=ω（t）b（t）- xc（x*, t） ，b（t）=u（x*).（16） 此处x*∈ R是固定实数，γ（t）：=α（x*, τ、 ^1（x*, τ） ）和ω（t）：=xα（x*, τ、 ^1（x*, τ))-α（x*, τ、 ^1（x*, τ） ）^1（x）*, τ） 式中，τ=T- t、 设V为HJB方程（7）的解，满足终端条件V（x，t）=u（x），并且xV（x，t）>0（x，t）∈ R×[0，T）。因此V解（10），即。tV=α（x，τ，Д）十五- c，其中Д=-十五/十五。因此，V由（14）给出，a（t）=V（x*, t） 和b（t）=十五（x）*, t） 。自从-τφ = -x个电视十五+十五x个电视(xV）=-x个电视十五- φx个电视十五、，xV=-φ十五、和xV=-x（^1）xV）=（Д）- x^1）xV，根据方程式电视- α(·, φ)xV+c=0，满足：-τφ = -十五xα十五+二xαxV+α十五+五xαxV+Дα十五- xc公司- φxc公司= -十五xα十五- φxαxV+α（Д- x^1）十五- φα 十五- xc公司- φxc公司= -x个(xα- αφ) +xV（x，t）φxc+xc公司= -x个(xα- αИ）+eRxx*Д（η，t）dηb（t）φxc+xc公司= -x个(xα- αИ）+b（t）x个eRxx公司*Д（η，τ）dηxc公司, t=t- τ.这意味着函数Д是柯西问题（12）–（13）的解决方案。通过将（10）与x微分，我们得到t型xV=x（α十五）- xc=xαxV+α十五- xc=(xα- α φ)十五- xc。取x=x*我们得出结论t型十五（x）*, t） =ω（t）十五（x）*, t）-xc（x*, t） 。像十五（x）*, T）=U（x*) 我们得到b（t）=十五（x）*, t） 是ODE（16）的解决方案。

此外，作为电视（x*, t） =α（x*, τ、 ^1（x*, τ))十五（x）*, t）-c（x*, t） =γ（t）b（t）- c（x*, t） ，τ=t- t、 和V（x*, T）=u（x*) 我们得出结论a（t）=V（x*, t） 解决（15），如所述。另一方面，假设函数Д解（12）–（13）和函数a、b解（15）–（16）。然后V（x，t）由（14）个满意度给出-xV（x，t）/xV（x，t）=Д（x，τ），τ=t- t、 andV（x，t）=a（t）+b（t）Zxx*e-Rξx*Д（η，0）dηdξ=u（x*) + u（x*)Zxx公司*eRξx*u（η）/u（η）dηdξ=u（x）。满足（16）的函数b（t）是一个正函数。事实上，因为c在x处是不递减的*我们有滴滴涕b（t）e-RTtω（η）dη= -xc（x*, t） e类-RTtω（η）dη≤ 积分（t，t）上的上述不等式，我们得到b（t）- b（t）e-RTtω（η）dη≤ 0和sob（t）≥ b（T）eRTtω（η）dη=u（x*)eRTtω（η）dη>0，对于任何t∈ [0，T]。此外，作为xV（x，t）=b（t）e-Rxx*ν（ξ，τ）dξ>0，函数V（x，t）在x变量中增加。注意，对于任何ξ，我们有zxx*ξV(ξα - αД）dξ=α十五- γ（t）b（t）+Zxx*-ξVα- ξVαДdξ=α十五- γ（t）b（t）。此外，正如ν解（12），我们有-Zξx*τИ（η，τ）dη=-ξα+αД+ω（t）+b（t）eRξx*Д（η，τ）dηξc（ξ，t）- xc（x*, t）, t=t-τ.8 SOˇNA KILIANOV\'A和DANIELˇSEVˇCOVIˇCDi关于我们获得的t的差异（14）tV（x，t）=dadt+Zxx*e-Rξx*Д（η，τ）dηdbdt+bZξx*τИ（η，τ）dηdξ=dadt+Zxx*e-Rξx*Д（η，τ）dηdbdt+b(ξα - αφ) - bω-eRξx*Д（η，τ）dηξc（ξ，t）+xc（x*, t）dξ=dadt+Zxx*ξV(ξα - αД）dξ- c（x，t）+c（x*, t） =α（x，τ，Д（x，τ））xV（x，t）- c（x，t），τ=t- t、 这意味着V（x，t）解方程（10）。自从xV>0时，函数V求解hjb方程（7），如所述。请注意，抛物型常微分方程组（12）–（16）也可以重写为两个拟线性抛物型方程组。实际上，让我们表示（17）ψ（x，τ）=b（t）eRxx*Д（ξ，τ）dξ，t=t- τ.那么，通过（14），我们得到ψ（x，τ）=1/xV（x，t）。

关于（10），我们获得-τψ = -(十五）x个电视=-(十五）xαxV+α十五- xc公司= -xαψ+αψ+ψxc。像xψ=ψ，我们得到xψ=xψ- φ xψ。自从xα=αДxν+αx，我们得出结论，函数ψ满足以下抛物方程：-τψ + αφxψ- (αφφ + α)xψ+αxψ- ψxc。终端条件ψ（x，T）可以从终端条件V（x，T）=u（x）中推导出来。也就是说，ψ满足初始条件ψ（x，0）=1/u（x）。总之，我们展示了以下定理：定理3。假设终端效用函数u（x）和跨时函数c（x，t）是Cs光滑函数，并且在x变量中u是递增的，而c是非递减的。那么，x变量中的增函数V（x，t）是Hamilton-Jacobi-Bellman方程（7）的解，当且仅当变换函数对（ν，ψ）（x，τ）=-xV（x，t）/xV（x，t）和ψ（x，τ）=1/xV（x，t），t=t- τ、 是拟线性抛物型偏微分方程组的解决方案：-τφ + x个(xα（·，Д）- α(·, φ)φ) = x（ψ）xc，（18）-τψ + αφxψ- (αφφ + α)xψ+αxψ- ψxc=0，（19）Д（x，0）=-u（x）/u（x），ψ（x，0）=1/u（x），（x，τ）∈ R×（0，T），（20），值函数V（x，T）由（14）给出。在这一点上，我们要强调所建议的方法的优势。通过定义（11）中的α并随后设置（12）或（18）–（19）中的PDE，可以预先计算函数α，然后将其作为已知函数插入相应的PDE中。这样，我们就不必分别处理每个x和t中（7）的最大化算子，这大大简化了计算过程。接下来，我们推导（12）的解ν（x，τ）的先验界。我们将使用抛物线比较原理（参见[27]）。为此，我们需要通过以下假设来限制值函数α和效用函数u，c的形式：A1。

值函数α（x，τ，Д）在以下意义上是可分离的：α（x，τ，Д）=α（Д）+α（x，τ），其中|α是一个C1,1光滑的严格递增函数，具有一个有界的Lipschitz连续导数∈ （最小值），∞) α是x中的Csmooth函数∈ Randτ∈ [0，T]变量。A2、存在常数Д、Д∈ R，使Дmin≤ φ ≤ 0≤ 以及函数α和c满足估计值：xα（x，τ）- φxα（x，τ）≤ 0≤ xα（x，τ）- φxα（x，τ），Дxc（x，t）≥ -xc（x，t）≥ φxc（x，t），xc（x，t）≥ 0，t=t- τ、 对于任何x∈ R和τ∈ [0，T]。示例3。如果α（x，τ，Д）=Дα（Д）- ε（τ）e-x个- 带ε的r（τ）≥ 0是第2节中介绍的值函数，然后定义|α[-1.∞) α（x，τ）=-ε（τ）e-x个- r（τ）满足假设（A2），其中φ=-1和任何≥ 形式c（x，t）=-κe-dx公司-%（T-t） 带κ，d≥ 满足度（A2）（如果）≥ d、 定理4。假设效用函数u（x）是x的Csmooth严格递增函数∈ R、 假设值函数α和跨期效用函数C用常数ν满足假设（A）≤ 0≤ φ.如果效用函数满足不等式≤ ^1（x，0）=-u（x）/u（x）≤ 对于anyx∈ R、 然后，对于（12）的有界解，我们有一个先验估计：ν≤ Д（x，τ）≤ 对于任何τ∈ [0，T）和x∈ R、 设ψ（x，τ）为C光滑非负函数，ψ（x，τ）≥ 让我们定义抛物线运算符：L（ν）≡ -τφ + x个(xα（·，Д）- α(·, φ)φ) - φ ψ xc。由于α（x，τ，Д）=α（Д）+α（x，τ），我们得到了L（Д）=xα- ~φxα- ~φ ψ xc表示任何恒定功能∈ R、 因此，对于常数函数Д、Д和非减量函数c，以及满足假设（A2）的α，我们有（Д）≥ -φψxc公司≥ ψxc公司≥ -φψxc公司≥ L（Д）。现在，让^1成为（12）的解决方案。那么L（ψ）=ψxc，其中ψ（x，τ）=eRxx*Д（ξ，τ）dξb（T-τ )> 0. 请注意以下事实：xψ=Дψ。

因此，有界解Д满足以下不等式：L（Д）≥ L（^1）≥ L（Д）。如果初始条件满足不等式Д≤ ^1（x，0）=-u（x）/u（x）≤ 对于anyx∈ R然后，应用抛物线比较原理（参见[27]），我们得到（12）的有界解满足不等式≤ Д（x，τ）≤ 对于任何τ∈ [0，T]和x∈ R、 如所述。10 SOˇNA KILIANOV\'A和DANIELˇSEVˇCOVIˇCBy Hk+λ(Ohm), 0<λ<1，表示由‘’上所有一致连续函数组成的Banach空间Ohm = [xL，xR]其k阶导数是一致λ-H¨older连续的，即H¨older半范数HИi（λ）k=supx，y∈Ohm,x6=y|kxИ（x）- kxИ（y）|/| x- y |λ是有限的。LetQT=Ohm ×（0，T）是有界圆柱。继Ladyzhenskaya等人[20]之后，我们引入了抛物线H¨older空间H2k+λ，k+λ/2（QT），该空间由所有连续函数构成→ R使功能kτИ，2kxД在x变量中是λ-H-older连续的，在τ变量中是λ/2-H-older连续的。定理5。允许Ohm = （xL，xR）是有界间隔。假设α（x，τ，Д）在t上为Csmoothin∈ [0，T]和x∈ Ohm 变量，C1,1在Д变量中光滑，且0<α-≤ αИ（x，τ，Д）≤ α+< ∞ 对于任何x∈ Ohm, τ ∈ [0，T]和Д≥ 最小假设值∈ H2+λ，1+λ/2(OhmT） 对于某些0<λ<1/2，c（x，T）是x变量中的非递减函数。如果初始条件φ（·，0），ψ（·，0）∈ H2+λ(Ohm), 然后，拟线性抛物方程组（18）–（20）在xL，xR处存在一个经典解（ψ，ψ），该解满足规定的Richlet边界条件。此外，η，ψ∈ H2+λ，1+λ/2(OhmT） 式中，η（x，τ）=α（x，τ，Д（x，τ））。函数τ7→ τИ（x，τ）是λ/2-H–对于所有x是连续的∈ R此处x 7→ xИ（x，τ）对于所有τ都是Lipschitz连续的∈ [0，T]。证据这个证明类似于[12，定理5.3]，其中我们证明了在c≡ 0

证明方法基于Schauder型估计（c.f.[20]）。由于扩散函数α在Д变量中不需要是C2+λ平滑的，我们首先使用辅助函数η=α（·，Д）重写系统（18）–（20）。然后，φ=β（·η），其中β是严格递增函数α的反函数，即φ=β（·α（·η））。此外，βη=1/αД和τφ = βητη + βτ. 然后系统（18）–（20）可以改写为以下形式：（21）τΦ = δ(·, η)xΦ+F（·，Φ），Φ（x，0）=Φ，其中Φ=（η，ψ），δ（·，η）=αД（·，β（·，η））=1/β（·，η），和F（·，Φ）=-δ[x（ηβ）+x（ψ）xc）+βτ]，-(β/βη+ η)xψ+αxψ- ψxc公司.注意，存在常数α±0<α-≤ δ ≤ α+< ∞. 应用函数η7的C2+λ正则化→ δ（·，η）并根据[12，定理5.3]的证明和正则化方程经典解的存在性结果（c.f.[20，Ch.V，pp.495-496]），我们得出弱解Φ的存在性∈ （21）的W2,1（QT）满足规定的Dirichlet边界和初始条件。回想一下，抛物面Boblev空间W2,1（QT）由所有平方可积函数Φ组成∈ L（QT）使得xΦ，xΦ，τΦ ∈ L（QT）。空间W2,1（QT）连续嵌入到H¨olderspace Hλ，λ/2（QT）中，0<λ<1/2（c.f.[20]）。其余的证明基于simplebootstrap参数。弱解Φ∈ W2,1（QT）是线性方程的解：（22）τΦ=△δ（x，τ）xΦ+￠B（x，τ）xΦ+~B（x，τ）Φ，Φ（x，0）=Φ（x），其中扩散系数δ（·）=δ（，，η（·）），以及2×2矩阵▄B，▄Bbelong to hλ，λ/2（QT），因为η，ψ∈ Hλ、λ/2（QT）和δ是Lipschitz连续函数。根据[20，定理12.2，第三章]我们有（η，ψ）≡ Φ ∈ H2+λ，1+λ/2（QT），其中η=α（·，φ）。下面是定理的证明。5.

数值近似格式我们提出的求解拟线性抛物型方程（12）的数值格式是基于半隐式时间近似方法。空间离散基于有限体积近似方案（参见LeVeque[21]），结合Mikula和K'utik在[19]中提出的非线性方程迭代求解方法。在[12]和[13]中，针对不存在跨期效用函数（即c=0）的情况，提出并分析了求解转换后的HJB方程的方法。在这种情况下，对实验收敛阶的分析表明，相对于空间离散化步骤，收敛阶为二阶（见[19]、[12]）。方程（12）属于一类广义的拟线性抛物方程：（23）τφ = xA（x，τ，Д）+xB（x，τ，Д）+C（x，τ，Д），满足初始条件Д（x，0）=-u（x）/u（x），其中x∈ R、 τ∈ （0，T）。其中a（x，τ，Д）=α（x，τ，Д），B（x，τ，Д）=-α（x，τ，Д）Д，andC（x，τ，Д）=-eRxx公司*Д（η，τ）dηb（T- τ)Д（x，τ）xc（x，T- τ) + xc（x，T- τ).5.1. 变换后的非局部抛物型方程的半隐式时空离散化。由于x变量的原始空间域是无界的，我们首先将其截断为有界计算域[xL，xR]，并使用均匀空间离散网格点xi=xL+ih表示i=0，···，n+1，其中h=（xR- xL）/（n+1）。因此x=xl和xn+1=xR。根据双有限体积的概念（参见[21]），内部网格点xi，i=1，···，n是双有限体积的中心（xi-, xi+。在下文中，双卷将用（xi）表示-, xi+，即xi±=xi±。显然，h=xi+- xi-. 时间离散级别设置为τj=jk，j=0，···，m，其中k=T/m，m是时间离散步骤数。

如果我们在双有限体积上积分方程（12），在左侧积分上应用中点规则，并通过欧拉前向有限差近似时间导数，我们得出以下方程组：（24）Дj+1i=kh（Ii+Ji）+ДJi，i=1，··，n，j=0，··，m- 1，其中（25）Ii=Zxi+xi-x个(xA+B）dx=Ax+A^1x^1+Bx=xi+x=xi-,和积分rxi+xi-区间Cdx（xi-, xi+通过中点规则积分来近似，即（26）Ji=Zxi+xi-Cdx公司≈ -heRxix公司*Д（η，τ）dηb（T- τ)^1ixc（xi，T- τ) + xc（xi，T- τ).让我们表示dji±=A（xi，τj，Дji），Eji±=Ax（xi，τj，Дji），Fji±=B（xi，τj，Дji），12 SOˇNA KILIANOV\'A和DANIELˇSEVˇCOVIˇCand近似导数在双网格点（xi±x）处，通过中心差：x|ji+≈^1ji+1- ^1jih，x|ji-≈^1ji- ^1ji-1小时。让我们确定一个点x*= xi*对于某些空间索引i*. 对于integralRxx*出现在非局部项jit时间层j（表示为Jji）中的Д（η，τ）dη我们使用梯形积分规则：Zxix*Дj（η，τ）dη≈ Φji- Φji*式中Φji=h（Дj（xL）+2Дj（x）+···+2Дj（xi-1） +Дj（xi）），可以递归计算如下：Φj=h（Дj（xL）+Дj（x）），Φji+1=Φji+h（Дj（xi）+Дj（xi+1）），对于i=1，··，n- 因此（27）Jji=-何宝吉-Φji*北京^1jixc（xi，T- τj）+xc（xi，T- τj）.这里bj是解b（T）的离散显式/隐式Euler近似- τj）至theODE（16）：-db/dτ=ωb- xc（x*, T- τ） ，即（28）bj+1=（1- kωj）bj+kxc（x*, T- τj），b=u（x*), j=0，···，m- 1，当显式处理时，或（29）bj=1+kωj（bj-1+kxc（x*, T- τj）），b=u（x*), 当隐式处理时，j=1，···，m。

这里ωj=ω（T- τj）=(xα- αИ）| x=x*可近似为ωj=αx（x*, τj，Дji*) + αИ（x*, τj，Дji*)^1ji*+1.- ^1ji*-12小时- α（x*, τj，Дji*)^1ji*= Eji公司*+ Dji公司*^1ji*+1.- ^1ji*-12小时+Fji*.为了计算新时间层τj+1处的解，我们从上一时间层τjan中取下术语Dji±、Eji±、Fji±和术语新层τj+1的x|j+1i±。将新层项重新排列到左侧，将旧层项重新排列到右侧，我们得到一个三对角线性代数方程组：-khDji+Дj+1i+1+（1+kh（Dji++Dji-))^1j+1i-khDji-^1j+1i-1=kh（Jji+Eji+- Eji公司-+ Fji公司+- Fji公司-) + Иji，（30），可通过Thomas算法高效快速地求解。我们在边界xL，xR处假设Neumann边界条件。更准确地说，对于所有τ，在x=xL，xR时，xИ（x，τ）=0∈ （0，T）.边界条件可以从方程（12）的渐近行为推导出x→ ±∞. 离散化后，这些边界条件的形式为：Дj=Дj，Дjn+1=Дjn。5.2. 与求解HJB方程的策略迭代法的比较。在这一节中，我们讨论了数值近似格式（30）和固定策略迭代方法的比较，以解决Huang等人【8】和Reisinger及Witte【28】研究的HJB方程。表示Vj=V（·，T- τj），cj=c（·，T- τj）。然后，HJB方程（7）的时间隐式时间离散化可以写成如下：（31）-Vj公司- Vj公司-1k+最大θ∈u(·, θ)xVj+σ（·，θ）xVj公司+ cj=0，V=u，对于j=1，···，m。

即，（32）-Vj公司- Vj公司-1公里--u（·，θj）xVj+σ（·，θj）xVj公司+ cj=0，其中（33）θj=arg minθ∈-u(·, θ)xVj公司-σ(·, θ)xVj公司.固定策略迭代方法包括替换θjbyθj-1in（32）和求解Vj的线性方程，即。-Vj公司- Vj公司-1公里--u（·，θj-1)xVj公司-σ（·，θj）-1)xVj公司+ cj=0。自从-u（·，θj-1)xVj公司-σ（·，θj）-1)xVj=(-u（·，θj-1） +σ（·，θj-1） ^1j）xVj=(-u（·，θj-1） +σ（·，θj-1） ^1j-1+σ（·，θj）-1） （^1j- ^1j-1))xVj=（α（·，νj-1） +αД（·，Дj-1） （^1j- ^1j-1))xVj，用于求解HJB方程（10）的固定策略迭代法对应于通过半隐式格式（30）转换方程（12）的数值解，其中α通过其在νj处的线性化来近似-1来自上一时间步τj-1、备注2。我们的方法的主要优点是双重的。首先，我们使用一个表示投资者风险厌恶的转换函数Д。截断域的边界条件可以自然地建立，例如齐次Neumann边界条件。对于用跨期值函数V表示的原始问题，在处理V的小值和大值以及处理V的边界条件时，可以期望得到无界指数型解和数值问题。其次，优点在于可以快速有效地计算值函数α，而不是计算θjin（33）。当处理涉及凸二次规划的问题时，这可能很有用，例如最坏情况下的投资组合选择问题，可以使用有效的工具来解决凸二次规划优化问题（参见[14]）。计算结果和结论6.1。行波解的数值基准。假设valuefunctionα仅取决于Д变量（例如。