基于Riccati的跨期动态效用优化

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英文标题：
《Dynamic intertemporal utility optimization by means of Riccati
  transformation of Hamilton-Jacobi Bellman equation》
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作者：
Sona Kilianova, Daniel Sevcovic
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  In this paper we investigate a dynamic stochastic portfolio optimization problem involving both the expected terminal utility and intertemporal utility maximization. We solve the problem by means of a solution to a fully nonlinear evolutionary Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equation. We propose the so-called Riccati method for transformation of the fully nonlinear HJB equation into a quasi-linear parabolic equation with non-local terms involving the intertemporal utility function. As a numerical method we propose a semi-implicit scheme in time based on a finite volume approximation in the spatial variable. By analyzing an explicit traveling wave solution we show that the numerical method is of the second experimental order of convergence. As a practical application we compute optimal strategies for a portfolio investment problem motivated by market financial data of German DAX 30 Index and show the effect of considering intertemporal utility on optimal portfolio selection.
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中文摘要：
本文研究了一个同时考虑期望终端效用和跨期效用最大化的动态随机投资组合优化问题。我们通过求解一个完全非线性的演化Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程来解决这个问题。我们提出了所谓的Riccati方法，将完全非线性的HJB方程转化为包含跨期效用函数的非局部项的拟线性抛物方程。作为一种数值方法，我们提出了一种基于空间变量有限体积近似的半隐式时间格式。通过分析一个显式行波解，我们表明该数值方法具有二阶实验收敛性。作为一个实际应用，我们计算了一个由德国DAX 30指数的市场金融数据驱动的组合投资问题的最优策略，并展示了考虑跨期效用对最优组合选择的影响。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
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2022-6-15 22:01:02 上传

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关键词：RICCATI ICCA CATI CAT ATI

利用HAMILTON-JACOBIBELLMAN方程的RICCATI变换进行动态跨期效用优化。本文研究了一个同时考虑期望终端效用和跨期效用最大化的动态随机投资组合优化问题。我们通过求解一个完全非线性的演化Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程来解决这个问题。我们提出了所谓的Riccati方法，将完全非线性的HJB方程转化为包含跨期效用函数的非局部项的拟线性抛物方程。作为一种数值方法，我们提出了一种基于空间变量有限体积近似的半隐式时间格式。通过分析一个显式行波解，我们表明该数值方法具有第二个实验级的收敛性。作为一个实际应用，我们计算了由德国DAX 30指数的市场财务数据激励的组合投资问题的最优策略，并显示了考虑时间间隔效用对最优组合选择的影响。AMS-MOS分类：35K55、34E05、70H20、91B70、90C15、91B16关键词：动态随机投资组合优化、动态效用、Hamilton-JacobiBellman方程、Riccati变换、有限体积方案。本文研究了非平凡跨期效用函数的存在对随机最优投资组合问题的影响。

该问题可以用预期终端和跨期效用最大化问题来表示，其中潜在的随机过程由进入金融投资组合的资产的时间相关权重向量控制。为了解决期望终端和跨期效用最大化问题，我们采用了一种基于求解相应最优控制问题的中间值函数的完全非线性抛物型Hamilton-Jacobi-Bellman方程的方法。Federico、Gassiat和Gozzi在[7]中研究了一个类似的问题，他们研究了投资消费组合中终端和跨期效用最大化的问题，当前效用也依赖于财富过程。他们研究了双重控制问题解的性质。本文的创新之处在于，将Abe和Ishimura【1】、Ishimura和ˇSevˇcoviˇc【10】以及Kilianov'a和ˇSevˇcoviˇc【12，13】提出并分析的变换方法推广到非平凡跨期效用函数的情况。该变换也被称为Riccati变换，因为它涉及值函数的二阶导数和一阶导数之间的比率。转换后的函数可以视为投资者的绝对风险规避系数。其次，我们将底层随机过程推广到具有任意漂移和波动函数的更一般的过程。这种一般设置可以特别包括Kilianov\'a和Trnovsk\'a最近在【14】中研究的所谓worstcase投资组合优化中产生的过程。相比之下，2 SOˇNA KILIANOV\'A和DANIELˇSEVˇCOVIˇCto只涉及终端效用最大化的问题（参见。

[1] ，得到的变换方程是一个非局部拟线性抛物方程，包含涉及跨期效用函数的非局部项。非局部抛物方程可以进一步转化为两个拟线性局部抛物方程的耦合系统。我们分析这些控制方程，并说明它们的解与求解原始HJB方程的关系。作为解决相关终端和跨期效用最大化问题的工具，我们将Kilianov\'a和ˇSevˇcoviˇc提出的数值方法推广到拟线性抛物方程中出现非局部项的情况。我们进一步推导了一个解的先验上下界，它是根据终端和时间间隔效用函数的风险规避系数给出的。Riccati变换方法的主要优点有两个。首先，转换函数作为投资者的跨期风险厌恶具有实际的表示和意义，即使在效用函数无界的情况下，它也是一个全局有界函数。此外，在截断的数值域上定义了解的自然边界条件。其次，可以使用锥凸规划的现代工具，快速有效地计算变换方程中作为扩散函数出现的非线性。作为一个实际应用，我们根据德国DAX 30指数的市场财务数据计算出组合投资问题的最优策略。我们将不存在跨期效用最大化的情况下的最优投资组合策略与考虑非平凡跨期效用的情况下的最优投资组合策略进行了比较。我们举例说明了跨期效用函数对最优投资组合选择的影响。本文的组织结构如下。

在下一节中，我们将介绍并讨论对基础随机过程所做的基本模型假设。时间t的对数投资组合财富x的过程由一个向量θt控制，该向量属于Rn的一个紧凸子集。第三节提出了一个具有跨期效用的动态随机优化问题。根据Bellman最优性原理，我们给出了一个满足给定终端条件的中间值函数的完全非线性后向抛物方程。在第4节中，我们介绍了值函数的所谓Riccati变换，将我们从完全非线性的HJB方程引导到发散形式的包含非局部项的单拟线性抛物方程。我们进一步分析了由非参数凸规划问题产生的辅助值函数的定性性质。本节还推导了经典H¨older光滑解的存在性及其先验界。第5节致力于求解变换后的拟线性抛物函数的数值近似格式。该方案基于有限体积近似法，包括双有限体积。我们将数值格式与求解HJBEquation的固定策略迭代方法进行了比较，如Huang等人【8】、Reisinger和Witte【28】所研究的。最后，在第6节中，我们在一个显式行波示例上测试了所提出的数值方法的准确性，并计算了实验收敛阶。我们证明了实验的收敛阶近似为2，这表明数值方法的第二阶收敛。随后，我们将所提出的方法应用于最优投资组合选择问题，并给出了有无跨时间效用最大化的相应结果。2.

在本文中，我们将假设基本随机过程{xt}满足随机微分方程（SDE）（1）dxt=u（xt，t，θt）dt+σ（xt，t，θt）dWt，其中控制过程{θt}适应于过程{xt}，{Wt}是标准的一维维纳过程和函数（x，t，θ）7→ u（x，t，θ）和（x，t，θ）7→ σ（x，t，θ）在x，t和θ变量中是C1,1光滑的，即它们的一阶导数是Lipschitz连续函数。备注1。将SDE（1）作为θ控制的潜在随机过程进行研究的动机来自随机动态最优投资组合管理。Letxit=ln yitdenote资产价值的对数，表示由权重向量θ的nassets组成的投资组合。那么dxit=dyit/yit是资产i的回报。假设每个这样的回报的过程由dxit=uidt+nXk=1σkidwkt驱动，其中wjt是一维维纳过程，使得增量dwjt和dWitareindependent为j 6=i。组合xθ=Pni=1θixi的增量的平均回报，权重向量θ为uTθdt，其方差等于ni，j，k=1θiσkiσkjθjdt。根据Merton[23，24]，我们可以用以下形式（1）的一维SDE来描述随机过程xθtb：dxθt=utθdt+σ（θ）dwt，其中wt是一维Wienner过程，σ（θ）=θt∑θ，∑是协方差矩阵，σij=Pnk=1σkiσkj。示例1。作为随机过程（1）的一个例子，我们可以考虑一个定期现金流入的投资组合优化问题（例如养老金计划）。在本例中，波动率函数由（2）σ（x，t，θ）=θt∑θ给出，其中∑是资产回报的正定义协方差矩阵。

漂移函数由（3）u（x，t，θ）=utθ给出-σ（x，t，θ）+εe-x+r，其中u是资产平均收益的向量，ε是流入（ε>0）/流出（ε<0）组合，r≥ 0是无风险债券的利率。由{θt}控制的随机过程{xθt}是随机过程{y▄θt}t的对数变换≥0由随机微分方程（4）驱动，其中∧θ（y，t）=θ（x，t），x=ln y（参见Kilianov\'a和ˇSevˇcoviˇc[12]）。另一个例子来自Kilianov\'a和Trnovsk\'a研究的所谓最坏情况投资组合优化问题【14】。波动率函数由σ（x，t，θ）=max∑给出∈KθT∑θ，4 SOˇNA KILIANOV\'A和DANIELˇSEVˇCOVIˇcw其中K是正定义协方差矩阵的不确定性凸集。通常，只有协方差矩阵的一部分是精确规定的，而其他条目不是精确确定的。例如，如果只有对角线d是已知的，我们有K={∑0，diag（∑）=d}。漂移函数由u（x，t，θ）=minu给出∈EuTθ-σ（x，t，θ）+εe-x+r，其中E是一个给定的不确定性平均收益凸集。3、具有跨期效用函数的动态随机优化问题我们的目标是通过包含跨期效用函数来扩展之前在Gillianov\'a和71sevˇcoviˇc【12】中研究的终端效用最大化模型。在过去的大量文献中，动态效用最大化已经通过多种方法进行了研究。在本文中，我们假设投资者从跨期财富中获得一定的效用c，但从终端财富中获得不同的效用u。我们假设总体效用是时间加性的。然后我们可以将动态效用最大化问题表述如下：（5）maxθ|[0，T）Eu（xθT）+ZTc（xθs，s）dsxθ=x,（c.f.[7]，其中也包括消费）。

这里{xθt}是有限时间范围内形式（1）的o随机过程[0，t]，u:R→ R是给定的终端效用函数，xa是给定的初始状态条件{xθt}，t=0。函数θ：R×[0，T）→Rnmaps（x，t）7→ θ（x，t），它表示一个控制潜在随机过程{xθt}的未知控制函数。函数c：R×[0，T）→ R是跨时函数。在下面的内容中，我们将假设c是一个Csmooth函数，它在x变量中是非递减的。显然，可以在（5）中的bothutibility函数中添加一个时间折扣因子。我们假设控制参数θ属于闭凸子集 紧单纯形的Sn={θ∈ Rn |θ≥ 0，1Tθ=1} Rn，其中1=（1，···，1）T∈ 注册护士。如果我们引入值函数（6）V（x，t）：=supθ|[t，t）Eu（xθT）+ZTtc（xθs，s）ds | xθT=x那么V（x，T）：=u（x）。根据Bertsekas【5】，值函数V=V（x，t）满足完全非线性的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）抛物方程：tV+最大θ∈u（x，t，θ）xV+σ（x，t，θ）十五+ c（x，t）=0，V（x，t）=u（x），（7）表示（x，t）∈ R×[0，T）；另见[12]和Kossaczk\'y，Ehrhardt，G¨unther[17，18]。作为终端效用函数的一个示例，可以考虑例如常数绝对风险规避（CARA）函数：u（x）=-e-ax，具有恒定的绝对风险规避a≡ a（x）>0，其中（x）=-u（x）u（x）代表x∈ R、 我们注意到，变量x中的CARA效用函数对应于CRRA（恒定相对风险厌恶）效用函数u（y）=-y-ain变量y=ex。在实际应用中，y代表投资组合值，x=ln y代表其对数变换，其中（1）适用。效用函数u的另一个选择是递减/递增绝对风险厌恶（DARA/IARA）函数，其中（x）在x变量中递减/递增。

通常，跨期效用函数c是一个非递减凹折扣函数，即（8）c（x，t）=-κe-dx公司-%（T-t） ，其中k，d≥ 0和%是折扣系数。我们注意到，包括折扣系数-Rtino终端效用函数u在解中不起任何作用，因为可以通过将（5）乘以erT简单地将该常数转换为跨时效用函数c的系数κ。4、具有跨时函数的HJB方程的Riccati变换根据Abe和Ishimura【1】、Ishimura和ˇSevˇcoviˇc【10】和Kilianov\'aan和ˇSevˇcoviˇc【12】的论文，值函数V的Riccati变换可介绍如下：（9）Д（x，τ）=-xV（x，t）xV（x，t），其中τ=t- t、 假设值函数V（x，t）在x变量中增加。当终端效用函数u（x）自身增加时，这是一个自然的假设。然后HJB方程（7）可以重写如下：（10）电视- α(·, φ)xV+c=0，V（·，T）=u（·），其中α（x，τ，Д）是以下参数优化问题的值函数：（11）α（x，τ，Д）=minθ∈-u（x，t，θ）+Дσ（x，t，θ）, τ=T- t。以下结果的证明是[12，定理4.1]对于依赖于x和t的更一般漂移和波动率函数的直接推广，因此它被提交。定理1。假设函数（x，t，θ）7→ u（x，t，θ）和（x，t，θ）7→ σ（x，t，θ）是x，t和θ变量中的C1,1光滑，因此目标函数f（x，t，Д，θ）：=-u（x，t，θ）+Дσ（x，t，θ）在变量θ中是严格凸的∈  对于任何∈ （最小值），∞)哪里  RN是一个紧凸集。那么x的值函数α是C1,1光滑的∈R、 τ∈ [0，T]，Д∈ （最小值），∞). 此外，Д7→ α（·，Д）是严格递增函数。

对于α的导数，我们有αν（x，τ，Д）=（1/2）σ（x，T- τ、 ^θ（x，τ，Д）），其中^θ（x，τ，Д）∈ 是α（x，τ，Д）相对于θ的最小值的自变量。6 SOˇNA KILIANOV\'A和DANIELˇSEVˇCOVIˇCExample 2。如果我们考虑一个决策集的例子 = {θ ∈ R、 θ，θ≥ 0，θ+θ=1}，n=2，u=uTθ，σ=θT∑θ，那么值函数α的形式为：α（Д）=A^1-BД+C，如果Д>Д*,E^1+D，如果Д≤ φ*,其中常数A>0，B>0，C，D，E>0，Д*> 0取决于平均返回向量u和协方差矩阵∑，且α为C1,1连续函数，二阶导数α的一个不连续点位于ν*. 最小值^θ=^θ（Д）增加了当Д通过Д时的正权重数*. 当n>2时，αν的不连续数增加（参见[12]）。在下文中，我们将表示为xα函数α（x，τ，Д）的总微分，其中Д=Д（x，τ），即xα（x，τ，ν）=αx（x，τ，ν）+αν（x，τ，ν）xД，其中αxa和αД分别是α对变量x和Д的偏导数。变换函数Д和值函数V之间的关系由以下定理给出。定理2。假设效用函数u（x）和跨期效用函数c（x，t）是c光滑函数，并且在x变量中u是递增的，c是非递减的。