基于Riccati的跨期动态效用优化

我们在（2）–（3））和14 SOˇNA KILIANOV\'A和DANIELˇSEVˇCOVIˇC中设置ε=0，r=0-20-10 0 10 20-1.-0.500.51xД（x，τ）行波解-20-10 0 10 20-2.-1012x 10-3xхEXP- ^1溶液的数量差异图1。（左）时间τ=jT/10，j=0，····，10和参数T=1，v=5，h=0.01的行波解Д（x，τ）图和（右）显式解和数值解之间差异图。跨期效用函数如下：c（x，t）=W（x- v（T- t） ，其中W（ξ）=-v+α(-u（ξ）/u（ξ））u（ξ）。注意c（x，T- τ） =W（x- vτ）。此处v∈ R是给定的恒定行波速度。那么函数V（x，t）=u（x- v（T- t） ）满足以下等式：电视（x，t）- α-xV（x，t）/xV（x，t）xV（x，t）=--v+α(-u（x+v（T- t） ）/u（x- v（T- t） ））u（x- v（T- t） ）=-W（x）- v（T- t） ）=-c（x，t），即V（x，t）是HJB方程（10）的解，V（x，t）=u（x）。因此，函数（34）Д（x，τ）=-u（x- vτ）/u（x- vτ）是（12）的行波解，满足初始条件Д（x，0）=-u（x）/u（x）。形式（34）的显式解可用于检验我们的数值近似模式。作为测试示例，可以考虑以下形式的效用和值函数：u（x）=arctan（x），α（Д）=Д- 1/(φ + 2).然后，u表示一个凸凹效用函数，其变量绝对风险规避a（x）由a（x）=-u（x）u（x）=2x1+x。如果我们设置c（x，t）=W（x- v（T- t） ）则Д（x，τ）=a（x- vτ）=-u（x- vτ）/u（x- vτ）是（12）的解，满足初始条件Д（x，0）=a（x）=2x/（1+x）。因此，V（x，t）=u（x- v（T- t） ）是HJB方程（10）的行波解。图1（左）描绘了时间τj=jT/10，j=0，···，10的行波解，其中T=1，v=5。

对于数值解，我们考虑了截断计算域[xL，xR]=[-20，20]和Dirichlet边界条件Д（xL，τ）=a（xL- vτ），Д（xR，τ）=a（xR- vτ），对于所有τ>0，这与显式解的精确值一致。表1：。L∞（（0，T）：L（xL，xR））和L∞（（0，T）：L∞（xL，xR））空间步长h和时间步长k的数值解的误差范数=精确行波解。相应的实验收敛阶。h L∞（（0，T）：L）-错误EOCk=hL∞（（0，T）：L∞))-err EOCk=h0.05 1.1886e-01–5.8577e-02–0.025 3.2102e-02 1.8885 1.5919e-02 1.87960.0125 8.1969e-03 1.9695 4.0718e-03 1.96700.01 5.2598e-03 1.9882 2.6133e-03 1.98740.0051.3196e-03 1.9949 0.6558e-03 1.9945让^1说明显式行波解，并对通过我们的近似方案见第5节。房东∞离散规范定义如下：kkL=shXii，kkL∞= 最大值|Дi |，解决方案之间的误差为错误∞,p（h）=kexpl- ^1numkL∞（（0，T）：Lp）=最大τjkИexpl（·，tj）- ^1num（·，tj）kLp，p=2，∞.我们考虑了空间和时间离散化步骤之间的以下关系：k=h。假设误差（h）=O（hδ），可以通过实验收敛阶（或收敛比）获得阶参数δ的估计。它可以根据空间L的范数定义∞（（0，T）：L（xL，xR））如下：EOCj=ln（误差（hj+1）/误差（hj））ln（hj+1/hj），j=1，··，j，其中h>h>··>hj。表1总结了EOC的计算结果。数值结果表明，所提出的数值方法具有二阶收敛性。

这与作者在[12]中的早期结果一致，在[12]中，我们展示了c=0的特殊情况下相同的实验收敛顺序。显式解和数值解的差异示例- 图1（右）所示为numis。我们可以观察到，在函数Д陡峭的地方，误差最大。6.2. 动态投资组合优化示例。现在，我们以一个动态投资组合优化的例子来说明所提出方案的解。继Kilianov\'aandˇSevˇcoviˇc【12，13】之后，我们考虑了一个随机动态投资组合优化问题，该投资组合由30只股票组成，构成了2010年8月至2012年4月的德国DAX30股指。为了进行比较，我们选择了与[12，13]中相同的数据集。对于漂移和波动性函数，我们将采用其形式：u（x，t，θ）=utθ-θT∑θ+εe-x、 σ（x，t，θ）=θt∑θ，其中∑是正定义协方差矩阵。函数α（x，τ，Д）可以重写如下：α（x，τ，Д）=α（Д）- εe-x、 式中，α是参数16 SOˇNA KILIANOV\'A和DANIELˇSEVˇCOVIˇC的值函数-1 0 1 2 3 4 5-1.-0.8-0.6-0.4-0.200.2φα(φ)-1 0 1 2 3 4 5-6.-5.-4.-3.-2.-101Дα00（Д）图2。由DAX30股票组成的投资组合的值函数▄α及其二阶导数▄α（Д）图。资料来源：Kilianov\'a和ˇSevˇcoviˇc【12，13】。二次优化问题（35）～α（Д）=minθ∈-uTθ+Д+1θT∑θ.图2描述了函数|α的图形示例，其中u和∑是从DAX30数据集获得的。我们可以在α的二阶导数图中观察到跳跃。事实上，根据定理1，函数α仅为C1,1连续。此外，α中的跳跃对应于具有正权重的指数集{i：θi>0}被一个新指数放大（cf。

[12, 13]).至于效用函数，我们使用u（x）=-e-终端实用程序的ax和c（x，t）=-κe-dx公司-%（T-t） 对于跨期效用。我们示例中使用的效用函数参数为：a=9，κ=1，d∈ {0, 8, 11},% = 0. 模型数据对应的参数为：ε=1。数值模式的参数为：h=0.01，k=0.5h，xL=-4，xR=8，x*= x=-2.01，i*= 注意解决方案不依赖于x*因此可以选择任意x*. 然而，一个合适的x选择*这对于稳定数值计算非常重要。自由参数x*在（12）中输入积分项以及b的ODE，即（16）。我们计算φ的函数α∈ (-1，15），细分步骤hД=0.05。投资期为T=1。图3给出了d=0的数值结果（一个平凡的跨时函数C的情况≡ 0），d=8和d=11。我们可以观察到的主要区别是，对于没有跨期效用函数的问题，我们得到了一个在区间[xL，xR]上递增的解ν（x，τ），对于非平凡跨期效用函数的问题，解ν（x，τ）在x中是非单调的。当τ接近成熟度T时，它最终在x变量中递增。此外，与没有跨期效用函数的情况相比，ν的值范围是一个较小的区间。这会产生一个实际的结果：对于d，由于Д在x变量中有一个很小的变化≈ a、 所以-4.-2 0 2 4 80246810xД（x，τ）解Д（x，τ）-4.-2 0 2 4 6 800.20.40.60.81xθ（x，τ=T）τ=T时的最佳θ（x，τ）-4.-2 85678910xД（x，τ）解Д（x，τ）-4.-2 0 2 4 6 800.20.40.60.81xθ（x，τ=T）τ=T时的最佳θ（x，τ）-4.-2 0 2 4 87891011xД（x，τ）解Д（x，τ）-4.-2 0 2 4 6 800.20.40.60.81xθ（x，τ=T）τ=T时的最佳θ（x，τ）图3。

在时间实例jT/10，j=0，····，10，T=1，h=0.01，k=0.5，对于d=0（左上）的最优投资组合权重θ（x，τ=T）。恒定的蓝线是初始条件，然后解Д（x，τj）从左（绿色曲线）向右移动，以增加τj。右上图描述了τ=T时主动投资组合权重θi>0的依赖性。下一个箭头对应于d=8（中间）和d=11（底部）。计算最佳权重θ的向量（见图3，右栏）。注意，在ε=0的情况下，c≡ 0有一个常数解ν（x，τ）≡ ν（x，0）=a到（12），对应于最优投资组合选择问题的所谓默顿解（参见[24]）。注意，该解决方案满足定理4.18 SOˇNA KILIANOV\'a和DANIELˇSEVˇCOVIˇCIn总结中得出的先验估计，当考虑与终端效用函数u（x）具有类似行为的非平凡跨期效用函数c（x，t）时，对最优投资组合选择有非平凡的影响。我们进一步证明了变换后的HJB方程（12）的最优解ν（x，τ）不必单调递增。就最优投资组合选择向量θ而言，表示活跃集的一些股票的最优权重θ可以达到相对于x变量的局部最小值。

在没有跨期效用和最近论文中研究的ε>0的非平凡投资组合的模型中，无法观察到这种行为【12，13】。就Riccati变换方法的数值方面而言，我们发现，与基于固定策略迭代法或其他显式数值近似方法的传统数值方法相比，使用该变换可以通过基于有限体积近似的现代数值方法更有效地求解拟线性抛物方程。致谢VEGA 1/0062/18和DAAD ENAEFA-2018资助了作者。参考文献【1】R.Abe和N.Ishimura。\'最优投资问题中非线性偏微分方程解的存在性。”过程。日本Acad。，序列号。A 84（1）（2008），11–14。[2] V.Agarwal和N.Y.Naik。”涉及对冲基金的风险和投资组合决策。”金融研究回顾17（1）（2004），63–98。[3] K.J.箭头。风险承担理论方面。（风险规避理论。赫尔辛基：YrjoJahnssonin Saatio。再版于：Markham Publ.Co.，芝加哥，1971），（1965），90–109。[4] B.Bank、J.Guddat、D.Klatte、B.Kummer和K.Tammer。非线性参数优化。授权编辑（Birkhauser Verlag，马萨诸塞州巴塞尔波士顿，1983年）。[5] D.P.Bertsekas。动态规划和随机控制。（学术出版社，纽约，1976年）。[6] S.布朗。”风险受限的动态主动投资组合管理。”《管理科学》46（9）（2000），1188–1199。[7] S.Federico1、P.Gassiat和F.Gozzi。”财富上当前效用的效用最大化：HJB方程解的正则性。”《金融》Stoch 19（2015），415–448。[8] Y.Huang、P.A.Forsyth和G.Labahn。

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