退休时的最优股票下滑路径

对于TD≥ 3我们可以通过制定和求解以下确定性非线性规划（NLP）来从数字上证明我们的主张：最小化：Z=1主题：RFi（TD）>0和RFc（TD）≤ 0 i=1，2用于：RFi（t）=,i=1，2，c和t=1，2，…，TD,0 i=1，2和t=1，2，…，TD,λ,1.λ,t=1，2，…，TDTD>0（整数），RF（0）>0，0≤  λ ≤ 1本NLP的任何可行解决方案都是一个反例，使我们的主张无效。该NLP没有可行解，因此集合是凸的。由于不包括其边界区域，因此它也是一个开集。我们可以查看P（runc(≤ TD）作为观察集合中一个成员的概率，我们寻求使该概率最大化的权益比率。此外，当使用SWR策略时成功的退休投资组合的通货膨胀/费用调整回报集独立于下滑路径。一旦提取率WR=RF（0）和水平长度TDA固定，则完全确定集合。集合的元素是TD元素向量，可以避免任何和每个滑翔道的财务破产。TDreturns的avector不可能在一条滑道上成功，但在另一条滑道上失败。最后，当退休时使用SWR策略时，会出现回报序列（SOR）风险（参见Milevsky和Abaimova（2006））。这种风险通常被解释为，在决定投资组合的成功或失败时，早期decumulationears的重要性过高。使用我们的符号SOR risk仅仅意味着集合在置换下不是闭合的。如果我们取集合的一个成员并改变其顺序，则得到的向量不一定是一个成员。（2.76）（2.77）（2.78）（2.79a）（2.79b）（2.79c）（2.79d）N。

凹函数谱任意两个正实数x，y的广义平均值表示为x、 y型并为0定义≤  λ ≤ 1 as（Kall和Mayer（2010））：x、 y型λx1.λy,对于α0,∞,∞x个y,对于α0分钟x、 y型,对于α∞马克斯x、 y型,对于α∞函数f（·）>0 x、 y型∈(-∞,∞ 如果f（λx+（1-λ）y），则称为α-凹≥ fx个,fy 0≤ λ ≤ 1、此处关注的案例是α∈[-∞, 1].  也就是说，1-凹函数f（·）就是凹函数；0-凹函数f（·）是对数凹的，这意味着log[f（·）]是凹的；安达∞-凹函数f（·）是准凹函数（单峰）（Kall和Mayer（2010））。如果我们更换“≥” 在上述定义中使用“>”，然后用于α=∞,f（·）被称为严格拟凹。f（·）的域在这里被定义为标量，但这不是必需的，f（·）可以接受向量作为其域，只要它返回一个正实数。凹函数的谱表现出一种自然的有序性，这意味着正则凹函数也是对数凹函数，α是α的α-凹函数∈ (-∞, 0）和准凹。同样，对于α，非拟凹函数也不是α-凹函数∈ (-∞, 0）、原木凹面或凹面（Kall和Mayer（2010））。凹函数通常被定义为凸函数的负函数，并且没有拐点。许多（但并非所有）钟形函数（包括PDF）是对数凹函数，但不是凹函数，因为它们在底部附近有拐点。阿莫诺通阶跃函数，或不先减小后增大的阶跃函数，将是一个非严格准凹的aquasi凹函数的例子。

最后，如果f（λx+（1-λ）y），则称函数f（·）为拟凸函数≤ 马克斯fx个,fy 其中，x、y和λ如上文所定义，f（·）是严格拟凸的，如果“≤” 可替换为“<”。在本节中，α指的是任意标量，而不是权益比率。（2.80）III.静态下滑道优化，如第二节（2.30）所示。D、 P（RUNC(≤ TD）），我们将用PNR表示() =PNR公司,T对于通用滑道=  （α，α，…，αTD）′和水平长度TD，是指在所有时间点避免财务破产的可能性，计算为：PNRPNR公司,T… ,,,,…,,d,哪里这个差速器在里面（3.1），d,…d,d,,缩写为d.  即PNR() 是未知滑道的函数我们寻求优化给定TD。回顾第二节。B如果只考虑权益比率αt大于最小方差组合，我们可以将此非线性优化问题表述为：最大化：Z=PNR() = PNR公司,T受制于：MVt（α）+ε≤ αt≤ 1.0，对于t=1，2，…，t其中ε是一个任意小的数字，确保每个权益比率超过MVt（α），其中vt′（α）=0，因为vt′（α）将出现在要导出的量的分母中。由于Z被构造为一个有效的概率测度，因此它的界为[0,1]，并注意到最大化Z等同于最小化（1.0–Z），即破产概率。如果（1.0–Z）相对于然后，该优化问题有一个具有凸可行域的凸目标，并因此分类为凸规划问题。这类问题具有一个可取的性质，即局部极小值也是全局极小值（Jensen和Bard（2003））。可行区域是凸的，因为约束集合形成了一个凸集。

整套约束为：{αt+（MVt（α）+ε）≤ 0：t=1，2，…，TD}∩{αt–1.0≤ 0:t=1，2，…，TD}，其具有一般形式f（αt）≤ 0，其中f（αt）=a（αt）+b是线性函数。这意味着它们形成了一个多面体，因此代表了一个凸集（Boyd和Vandenberghe（2004））。在这里，有必要区分不同时间点的权益比率α，αtwill反映时间t-1和t之间的权益比率。它在时间t-1设置，并在时间t观察使用它得到的回报。约束f（x）≤ 如果f（x）是凸的，则0是凸的。根据定义，f（x）是凸的iff（αx+βx）≤ αf（x）+βf（x），其中α+β=1。线性函数f（x）=ax+b满足f（αx+βx）=αf（x）+βf（x），因此是凸的（Jensen和Bard（2003））。最后，请注意“∩” （交集算子）保持凸性（Boyd和Vandenberghe（2004））。（3.1）（3.2）（3.3）使用莱布尼茨规则PNR的梯度() 关于是TD元素向量= （g，g，…，gTD）′，tthterm（t=1，2，…，TD）由（Flanders（1973））：g给出g级|T… α,,,,…,,d,假设导数为勒贝格测度，如,→ {RF（t-1），∞.  TDXTDHessian矩阵对于PNR() 有非对角线条目（i j∈ 1，2，…，TD）as（法兰德斯（1973））：H,H,|T… αα,,,,…,,d,再次假设每个1storder导数都存在，并且得到的被积函数是一个有效的Lebesguemeasure，如,→ {RF（t-1），∞.

在2ndorder导数的相同假设下，对角Hessian元素（t=1，2，…，TD）为采取以下形式（弗兰德斯（1973））：H,H,|T… α,,,,…,,d.在有效市场下，应用第二节中的（2.23）。C至（3.4）、（3.5）和（3.6）产率：gg级|T… ,α,d,H,H,|T… ,,α,α,d,H,H,|T… ,α,d.如果上述导数作为有效的Lebesgue测度存在，并且可以估计或近似，则使用第二节中的技术。I和II。J可用于优化PNR() 关于滑道= （α，α，…，αTD）′。在下一节中，我们将展示这种情况。（3.5）（3.6）（3.7）（3.8）（3.9）（3.4）IV.实施我们将假设未来实际回报来自与快速实际回报相同的概率分布，并使用标准普尔500指数总回报和10年期国债总回报作为股票和债券的回报。

在此假设下，未来收益是相同分布的，时间t-1和t之间基于α的投资组合的实际收益的均值/方差简化为（见第II.B节）：E[r,] = （αt）us+（1-αt）ubV[r,] = （αt）σs+（1-αt）σb+2（αt）（1-αt）σ（s，b）通货膨胀/费用调整复合收益的均值和方差 t=1，2，…，TD及其相对于αt的导数变为（见第II.B节）：m（αt）=E[,] = （1–ER）*（1+（αt）us+（1-αt）ub）m′（αt）=（1–ER）*（us-ub）m′（αt）=0v（αt）=V[,] = （1–ER）*[（αt）σs+（1-αt）σb+2（αt）（1-αt）σ（s，b）]v′（αt）=2（1-ER）*[（αt）σs-（1-αt）σb+（1-2αt）σ（s，b）]v′′（αt）=2（1-ER）*[σs+σb-2σ（s，b）]此外，第二节中得出的相同分布回报的最小方差权益比MV（α）。B是关于时间的常数，由( t=1，2，…，TD）：MV（α）=,,.我们还将假设，市场是有效的，因为过去回报模式中固有的任何预测能力都会很快得到解释，从而消除了退休人员在定期再平衡期间利用的套利机会。市场效率假设将转化为RVs，,, 独立于时间点，时间单位为年。此外，假设iid通货膨胀/费用调整后的回报率来源于正常RVs（见Rook（2014））和PDF t=第二节中的1，2，…，tD。C的形式为：函数mt（α）和vt（α）变为m（αt）和v（αt），因为它们在时间上相对于us、ub、σs、σb和σ（s，b）是恒定的。它们的值随α变化，α被写为αt，反映了它可以随时间变化的事实。(4.1)(4.2)(4.3)(4.4)(4.6)(4.5)(4.8)(4.7)(4.9),2.vαe,,对于∞,∞.A.

PNR的梯度() = P（RUNC(≤ TD）如（3.1）所示，退休时避免财务破产的概率，PNR(), 是滑道的功能= （α，α，…，αTD）式中，MV（α）+ε≤ αt≤ t=1，2，…，TD时为1.00。通过将该滑道视为未知变量向量，我们可以优化PNR() （3.2）和（3.3）中规定的约束条件。使用（3.7）和（4.10），梯度是TDelement向量= （g，g，…，gTD）′，tthterm（t=1，2，…，TD）由：g给出… ,α2.vαe,d.取导数后（见附录A），Gt可表示为：gK*…,g级,d  …  ,d,其中，Kv′α2伏αm′α2v′α和，g,vα,m级αm′αvαm′αvαvαv′α,, 对于∞,∞.自g（）,) ≥ 0用于-∞ < ,< ∞ 和g级,d,= 1.0（见附录B），g（,)是有效的PDF（Casella和Berger（1990）），并且（4.12）被认为是2个成功（4.10）（4.11）（4.12）（4.13）（4.14）概率的差乘以常数。第二种可能性使用标准通货膨胀/费用调整回报密度f（,)在所有时间点，因此等于PNR(), 但第一概率取代了f（,) 带g（,) 当计算.  因此，我们可以使用模拟或DP估计（4.12），见第二节。D

为了通过模拟估算（4.12），可以使用rejectionsampling在g（）上绘制观测值,) （Von Neumann（1951）），为了估算（4.12），我们使用CDF G（,) = Pg（,≤ r） 对于,~ g（,), 其形式如下（见附录C）：,P,CC1.1.,,m级α2伏αC1.,m级α2伏αCΦm级αvα,其中，Cm级αvαvαvα,Cvαvα,C√2伏αm级αvα√,和Cm级αvα.在这里,是m（αt）时等于1的指示函数∞, 否则为0。注意，（4.15）是已知CDF函数的线性组合。我们现在有了一种方法来估计/近似梯度向量对于任何滑道.  数量PNR() 出现在每个术语中，但只需估计/近似一次。此外，由于（4.11）中部分导数的积分被认为是成功概率的差异，其中每一个都被限制在[0,1]，因此它必须存在并满足勒贝格条件。最后，如果使用模拟，则得到的估计值会受到采样误差的影响，如果使用离散化的DP，则估计值会受到近似误差的影响。从某种意义上说，由于采样误差具有随机性，因此更难管理。因此，在使用模拟时，我们可以使用第二节中介绍的方法（4.15）（4.16）来检验由此产生的梯度估计等于零的假设。E、 因为Kt（p–p）=0，如果p=pwhen Kt 0，每个渐变元素在（4.12）中显示为这种形式。注意，常数Ktis>0，因为v（αt）>0是非简并RV的方差，而v′（αt）>0来自第II节。B和（3.3）。

这也揭示了最优性所需的一个有趣条件，即我们寻求滑翔道使用特殊密度g（）得出所有t=1，2，…，t成功概率,) 彼此相等，且等于PNR().B、 PNR的非对角Hessian元() = P（RUNC(≤ TD））TDxTDHessian矩阵的非对角元素，, 将重用为.  即，使用（3.8）和（4.10），Hessian矩阵具有i-j元素（i j∈ 1，2，…，TD）由：H给出,… ,,α2.vαe,α2.vαe,d.根据附录A中的（A.1），（4.17）可写为：H,… ,,*K*g级,,*K*g级,,d,其中，Kv′α2伏αm′α2v′α, 对于t型我j∈1,2，…，T和，（4.17）（4.19）（4.18）g,vα,m级αm级αvαm级αvαvαvα,,对于∞,∞,和t型我j∈1,2，…，T此处g, 与（4.14）中导出的有效PDF相同。我们可以将（4.17）表示为：K*K…,,g级,g级,,g级,g级,,,,d,等于：K*K…,,g级,g级,d… ,g级,d… ,g级,d  … ,d.我们认为（4.22[a-d]）由有效的成功概率组成，这一次是一个简单的线性组合乘以常数项Ki*Kj。最后一个表达式（4.22d）是PNR的标准计算() 仅使用通货膨胀/费用调整PDF。

实际上，我们将（4.20）（4.22a）（4.21）（4.22b）（4.22c）（4.22d）计算PNR() 一次，并在需要时重复使用（和).  此外，请注意，（4.22b）和（4.22c）中的概率已经在构建时计算过, 即：4.22bg级KPNR公司,和4.22摄氏度g级KPNR公司,withK公司v′α2伏αm′α2v′α, 对于t型我j∈1,2，…，T（4.22d）等于PNR().  因此，H,从（4.17）可以表示为：H,K*K…,,g级,g级,dg级Kg级KPNR公司.一旦已经建立了一个单独的成功概率，需要计算对角Hessian元素的每个i-j。它是指当通货膨胀/费用调整后的回报在i和j两个时间点均遵循PDF g（·），而在所有其他时间点的回报遵循标准PDF f（·）时避免破产的概率。如前所述，对于两个时间点i，j，该概率可以通过使用g（·）的拒绝采样或使用使用g（·）的DP来估计/近似。最后，由于（4.22[a-d]）中的积分存在，并且有效概率以[0,1]为界，因此，（3.8）中的莱布尼兹规则的应用在此再次有效。常数Ki*Kjin（4.22[a-d]）处处大于0。C