贝叶斯均值方差分析：最优投资组合选择

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英文标题：
《Bayesian mean-variance analysis: Optimal portfolio selection under
  parameter uncertainty》
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作者：
David Bauder, Taras Bodnar, Nestor Parolya, Wolfgang Schmid
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  The paper solves the problem of optimal portfolio choice when the parameters of the asset returns distribution, like the mean vector and the covariance matrix are unknown and have to be estimated by using historical data of the asset returns. The new approach employs the Bayesian posterior predictive distribution which is the distribution of the future realization of the asset returns given the observable sample. The parameters of the posterior predictive distributions are functions of the observed data values and, consequently, the solution of the optimization problem is expressed in terms of data only and does not depend on unknown quantities. In contrast, the optimization problem of the traditional approach is based on unknown quantities which are estimated in the second step leading to a suboptimal solution. We also derive a very useful stochastic representation of the posterior predictive distribution whose application leads not only to the solution of the considered optimization problem, but provides the posterior predictive distribution of the optimal portfolio return used to construct a prediction interval. A Bayesian efficient frontier, a set of optimal portfolios obtained by employing the posterior predictive distribution, is constructed as well. Theoretically and using real data we show that the Bayesian efficient frontier outperforms the sample efficient frontier, a common estimator of the set of optimal portfolios known to be overoptimistic.
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中文摘要：
本文解决了当资产收益率分布的均值向量和协方差矩阵等参数未知且必须利用资产收益率的历史数据进行估计时的最优投资组合选择问题。新方法采用贝叶斯后验预测分布，即给定可观测样本的资产收益未来实现的分布。后验预测分布的参数是观测数据值的函数，因此，优化问题的解仅用数据表示，不依赖于未知量。相比之下，传统方法的优化问题是基于未知量的，这些未知量在第二步进行估计，从而得到次优解。我们还推导了后验预测分布的一个非常有用的随机表示，其应用不仅可以解决所考虑的优化问题，而且可以提供用于构建预测区间的最优投资组合回报的后验预测分布。构造了贝叶斯有效前沿，即采用后验预测分布得到的一组最优投资组合。从理论上并使用实际数据，我们表明贝叶斯有效边界优于样本有效边界，样本有效边界是最优投资组合集合的一种常见估计量，被认为过于乐观。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Bayesian_mean-variance_analysis:_Optimal_portfolio_selection_under_parameter_unc.pdf (2.27 MB)

2022-6-23 17:50:41 上传

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关键词：投资组合选择 均值方差 投资组合 方差分析 贝叶斯

贝叶斯均值方差分析：参数不确定性下的最优投资组合选择David Baudera，Taras Bodnarb，1，Nestor Parolyac，Wolfgang Schmidda，柏林洪堡大学数学系，D-10099 Berlin，德国数学系，斯德哥尔摩大学，SE-10691 Stockholm，瑞典统计学院，汉诺威莱布尼茨大学，D-30167 Hannover，德国维亚德里纳欧洲大学德国统计系，邮政信箱178615207法兰克福（Oder），德国摘要当资产收益分布的参数，如平均向量和协方差矩阵未知且必须使用资产收益的历史数据进行估计时，本文解决了最优投资组合选择问题。新方法采用贝叶斯后验预测分布，即给定可观测样本的资产收益未来实现的分布。后验预测分布的参数是观测数据值的函数，因此，优化问题的解仅用数据表示，不依赖于未知量。相比之下，传统方法的优化问题是基于未知量的，这些未知量在第二步中进行估计，从而得到次优解。我们还推导了后验预测分布的一个非常有用的随机表示，其应用不仅可以解决所考虑的优化问题，还可以提供用于构建预测区间的最优投资组合回报的后验预测分布。

此外，还构建了贝叶斯有效前沿，即采用后验预测分布获得的一组最优投资组合。从理论上并使用实际数据，我们表明贝叶斯有效边界优于样本有效边界，样本有效边界是最优投资组合集合的一种常见估计量，已知过于乐观。关键词：最优投资组合、后验预测分布、参数不确定性、有效前沿、随机呈现JEL分类：C11、C13、C44、C58、C63对应作者：Taras Bodnar。电子邮件：taras。bodnar@math.su.se.电话：+46 8 164562。传真：+46 8 612 6717.1简介投资组合理论的基本目标是在不同资产之间优化投资配置。均值-方差优化是一种定量工具，它允许通过考虑投资组合风险与其回报之间的权衡来进行这种分配。现代投资组合理论的基本概念是由Markowitz（1952）提出的，他引入了一种方差投资组合优化程序，在该程序中，投资者将他们对风险和预期回报的偏好结合起来，以寻求最佳的财富分配。这是通过选择能够在达到特定风险水平的前提下最大化预期投资组合回报的投资组合来实现的，或者同等地，能够在达到预定预期回报水平的前提下最小化差异的投资组合来实现的。Markowitz的均值-方差分析是当今金融领域从业者和研究人员的重要工具。均值-方差分析的经典问题和陷阱主要与构建样本有效投资组合时经常出现的极端权重有关。默顿（1980）详细讨论了这一点，他在对数正态分布价格模型中提出了瞬时预期市场回报的估计量，并显示其收敛速度缓慢。

此外，证明了资产收益的方差和协方差估计比均值估计更准确。Best和Grauer（1991）认为，最优投资组合对预期回报水平非常敏感。因此，改进均值估计技术已成为近年来投资组合优化问题的一个关键问题。当需要估计协方差矩阵时，也存在同样的挑战。为此，Broadie（1993）指出，估计有效边界，即一组全均值-方差最优投资组合，高估了不同估计误差水平下投资组合的预期回报。Basak等人（2005）最近的研究也得出了类似的结论；西格尔和伍德盖特（2007）；Bodnar和Bodnar（2010年）。处理投资组合分析中参数不确定性的另一种方法是采用贝叶斯统计方法（c.f.、Barry（1974）、Brown（1976）、Klein和Bawa（1976）、Frost和Savarino（1986）、Aguilar和West（2000）、Rachev et al.（2008）、Avramovand Zhou（2010）、Sekerke（2015）、Bodnar et al.（2017））。值得注意的是，Bayesianapproach可能更具吸引力，因为i）它使用了有关兴趣量的先验信息；ii）它有助于使用快速、直观且易于实现的数值算法来模拟复杂的经济量；iii）它考虑了投资组合选择问题中的估计风险和模型不确定性。20世纪70年代，贝叶斯统计在投资组合分析中的首次应用完全基于非信息或基于数据的先验知识。Bawaet al.（1979）对此类应用进行了出色的早期调查。基于微分先验的贝叶斯方法通常可以与经典的投资组合选择方法相比较。

然而，如果一些风险资产的历史比其他风险资产更长，那么在不同使用之前的贝叶斯方法会导致不同的结果（见Stambaugh（1997））。Jorion（1986）本着Bayestein收缩先验的精神引入了超参数先验方法，而Black和Litterman（1992）则用经济论证和均衡关系为非正式的Bayesian分析辩护。他们推导出了Black Littermanmodel，该模型比简单的均值方差优化（mean varianceoptimization）带来了更稳定、更多样化的投资组合。不幸的是，该模型的应用需要大量的数据，其中一些数据可能很难找到。P'astor（2000）和P'astor and Stambaugh（2000）最近的研究以资产定价理论所隐含的价值为中心。特别是，P'astor和Stambaugh（2000）研究了均值-方差优化投资者的投资组合选择，这些投资者使用样本证据更新以基于风险或基于特征的定价模型为中心的先验信念。Tu和Zhou（2010）认为，投资目标为投资组合选择提供了一个有用的先验条件，并提出了朴素的等权投资组合规则与四种复杂策略之一的最佳组合，即Markowitzrule、Jorion（1986）rule、MacKinlay和P\'astor（2000）rule以及Kan和Zhou（2007）rule，以提高绩效。我们通过用后验预测分布描述优化问题并解决它，对现有的最优投资组合选择文献做出了贡献。利用历史观察中关于资产回报发展的可用信息，目的是通过考虑投资者的偏好来构建最优投资组合。

传统方法包括两个步骤：（i）首先，根据资产收益率分布的未知参数解决优化问题；（ii）其次，通过应用资产收益的历史观察值来估计最优投资组合权重，这是优化问题的解。重要的是要注意，采用这种方法后，获得的解决方案仅为次优解，可能与第一阶段获得的最优（总体）投资组合有很大的偏差。在本文中，我们提出了一种新的方法，在解决最优投资组合选择问题之前，通过考虑参数不确定性的后验预测分布来获得投资者优化问题的解。因此，其解决方案是根据历史数据提供的，与资产收益率分布的未知参数无关。因此，它可以直接应用于实践，与传统方法相比，它是最优的。论文的其余部分组织如下。第2节给出了主要的理论结果。在这里，我们通过发展一个非常有用的随机表示来描述资产回报的后验预测分布（定理1）。这种随机表示不仅提供了一种如何模拟投资组合收益未来实现的方法，而且还可用于推导所考虑的优化问题中所需的前两个时刻。第2.2节通过最大化后验均值方差效用函数来构建最优投资组合，而第2.3节推导了贝叶斯效率边界的表达式。理论结果在第3节的实证研究中得到了实现，而第4节给出了结论。

技术推导移至附录。2参数不确定性下的均值-方差分析2.1后验预测分布et xt表示时间t资产收益的k维向量。假设资产规模n的样本返回xt-nxt公司-1、Xt的实现-nXt公司-1，提供信息集fta和let x（t-1） =（xt-nxt公司-1） 是时间t的观测矩阵- 1、因此，投资者通过使用信息Ft优化偏好来做出决策。在第2.2节中制定决策问题之前，我们首先推导出预测后验分布p（Xt | x（t-1） 根据之前对x（t）中总结的资产收益的观察结果-1). p（Xt | x（t）的推导-1） ）基于贝叶斯统计方法，该方法提供了成熟的技术，用于推断资产回报的未来实现。在下文中，我们假设资产回报X，X。。。完全可交换且多变量中心球对称（有关定义和性质，请参见Bernardo和Smith（2000年，第4.4节））。这一假设非常普遍，它意味着资产收益的无条件分布既不是正常的，也不是独立分布的。此外，资产回报的无条件分布似乎很复杂，这通常在财务数据中可以观察到（参见Bradley和Taqqu（2003））。参数化X（t）的密度函数-1） =（Xt-nXt公司-1） 通过参数θ，应用贝叶斯定理得到θ的后验分布，它由π（θ| x（t-1)) ∝ f（x（t-1） |θ）π（θ），（1），其中π（θ）表示先验，f（x（t-1） |θ）是X（t）的似然函数-1).