非线性市场中美式期权的无套利定价

回顾本质上，满足（AO）的对类（p，Д）是（NA）的补码，我们得出结论，存在一个停止时间τ∈ T以使Triplet（p，Д，τ）符合（NA）。（iii）我们首先表明（a）意味着（b）。我们从（ii）中知道，如果一对（p，ν）不满足条件（SH），则存在τ∈ T使（p，Д，τ）符合（NA）。如果（p，Д）满足（SH），则根据条件（a），存在τ∈ 使三重态（p，Д，τ）充满（BE）和thusit也满足（NA）。现在让我们假设条件（b）已满足。然后，根据第（i）部分，条件（a）也成立。根据（8），下列引理的证明是显而易见的，因此省略了它。引理2.7。我们有Hs，i（x） Hr，i（x） Hf，r，i（x）=Hf，i（x）∩ Hr，i（x）和thuspf，i=ps，i≤ pr，i≤ 在下一个结果中，我们研究了发行人成本的基本性质。第2.1条提案。（i） 如果Hf，r，i（x）6=, 然后是单例，发行人的可接受价格pi=pi（x，Ca）满意度- ∞ < pi=bpf，i=pr，i=ps，i<+∞. （10） （ii）如果Hr，i（x）6=, thenpf，i=ps，i≤ pr，i<∞.（iii）如果Hr，i（x）=, thenpf，i=ps，i≤ pr，i=∞.证据我们从证明（i）开始。如果Hf，r，i（x）6=, 然后从夹杂物Hf，r，i（x） Hf，i（x）我们得到了不等式pf，r，i≤ 因此，根据（9），我们有pf，i=ps，i=pr，i=pf，r，i。此外，Hf，i（x）6= 和Hs，i（x）6= 和thuspf，i>-∞ 和ps，i<∞. 我们的结论是-∞ <pf，i=pr，i=pf，r，i=ps，i<∞. 来自夹杂物Hf、r、i（x） Hf，i（x）和等式sup Hf，i（x）=pf，i=pf，r，i=inf Hf，r，i（x），我们推导出对于任意p，p∈ Hf、r、i（x）和P∈ Hf，i（x）我们有p=p≥ 因此，Hf，r，i（x）是一个单态，其唯一元素不小于Hf，i（x）的任何元素。因此，bpf、iand piare得到了很好的定义并满足-∞ < bpf，i=pi<+∞. 此外，Hf，r，i（x） Hr，i（x），因此等式pi=pr，意味着pr，也存在，并且与pi一致。

我们得出结论，（10）是有效的。这特别意味着Hf，i（x）=(-∞, bpf，i]=(-∞, pr，i]=(-∞, pi）。第（ii）部分和第（iii）部分是第（9）部分的简单顺序。备注2.2。命题2.1中的第（i）部分表明，如果存在一个数字p，发行人的空中复制策略存在，且p是唯一发行人的可接受价格，则其最大公平价格、最小复制成本和（严格的）超边缘成本的上限（但显然，它不是严格的超边缘成本）。因此，我们在这里处理一个非常理想的情况，但遗憾的是，检查是否存在具有上述属性的数字p并不容易。正如预期的那样，为了克服这一困难，我们将对交易策略的财富过程施加额外的假设。重新调用，在完全线性市场中，可以显示Hr，i（x）6= 但是，据我们所知，现有文献中尚未研究集Hf，r，i（x）的性质。2.4.2持有人可接受价格我们假设假设2.2满足-因此，从引理2.5来看，我们有thatpf，h（x，Ca）=ps，h（x，Ca）=pa，h（x，Ca）。（11） 持有人复制成本的概念是通过以下定义引入的。定义2.18。PR给出的CAI持有人复制成本的上限，h（x，Ca）：=sup Hr，h（x），其中Hr，h（x）=p∈ R | (ψ, τ) ∈ ψ（x- p-A） ×T：（p，ψ，τ）∈ （BE′）.12 E.Kim、T.Nie和M.Rutkowski等效，pr，h（x，Ca）：=- inf公司q∈ R | (ψ, τ) ∈ ψ（x+q，-A） ×T:Vτ（x+q，ψ）- Xhτ=Vbτ（x）.如果等式R，h（x，Ca）=最大Hr，h（x）成立，则pr，h（x，Ca）表示为bpr，h（x，Ca），并称为持有人对Ca的最大复制成本。为了确定持有人可接受价格的存在，我们将使用持有人的空中复制成本的概念。定义2.19。

PF，r，h（x，Ca）=sup Hf，r，h（x），其中Hf，r，h（x）给出的CAI持有人公平复制成本的上界：=p∈ R | (ψ, τ) ∈ ψ（x- p-A） ×T：（p，ψ，τ）∈ （BE′）& (ψ′, τ′) ∈ ψ（x- p-A） ×T：（p，ψ′，τ′）∈ （NA′）.如果pf，r，h（x，Ca）=最大Hf，r，h（x），那么pf，r，h（x，Ca）表示为bpf，r，h（x，Ca），并称为Ca持有人的最大公平复制成本。定义2.20。如果集合Hf，r，h（x）是一个单态，则其唯一元素表示为ph（x，Ca），称为持有者可接受价格。请注意，如果ph（x，Ca）定义良好，则它等于bpf、r、h（x，Ca）。以下引理是定义2.7的简单结果。引理2.8。（i） 如果（p，ψ，τ）满足（BE′），则它们满足（SH′）。（ii）如果（p，ψ，τ）满足（SH′）和（NA′），则它们满足（BE′）。（iii）如果（p，ψ，τ）不满足（SH′），则它们满足（NA′）。我们从引理2.8推断Hs，h（x） Hr，h（x） Hf，r，h（x）=Hr，h（x）∩ Hf，h（x）和us，根据（11），我们有pf，h=ps，h≥ pr，h≥ pf，r，h.（12）2.2上的提案。（i） 如果Hf、r、h（x）6=, 然后是一个单件，持有人的可接受价格ph=ph（x，Ca）满意度- ∞ < ph=pf，h=bpr，h=bps，h<+∞. （13） （ii）如果Hr，h（x）6=, 然后-∞ <pr，h≤ pf，h=ps，h.（iii）如果Hr，h（x）=, 然后-∞ =pr，h≤ pf，h=ps，h.证明。很明显，Hf，r，h（x） Hf，h（x），因此如果Hf，r，h（x）6=, thenpf，r，h<+∞ andpf、r、h≥ pf，h。此外，集Hs，h（x）和Hr，h（x）是非空的，因此我们从（12）中推断-∞ < pf，h=pr，h=pf，r，h=ps，h<∞. 来自夹杂物Hf、r、h（x） Hf，h（x）和质量inf Hf，h（x）=pf，h=pf，r，h=sup Hf，r，h（x），我们可以看到，对于任意的p，p∈ Hf、r、h（x）和p∈ Hf，h（x）我们有p=p≤ 因此，Hf，r，h（x）是一个单子，其唯一元素小于Hf，h（x）的任何元素。因此，pf、hand phare定义良好，满足-∞ < ph=pf，h<+∞.

此外，Hf，r，h（x） Hr，h（x），因此等式ph=pr，himpliestthat bpr，hexsists，与ph一致。我们得出结论（13）是有效的。鉴于（12），陈述（ii）和（iii）的证明很简单。3通过反射BSDE进行单边定价本节的目标是重新审查并扩展BSDE方法，以评估非线性市场中的美国期权，这是Dumitrescu等人在论文中提出的。[11]。我们的主要目标是表明，美式合同的单边可接受价格可以通过美式期权的非线性定价来表征。13受多维连续半鞅S驱动的反映BSDE的解的条款。在本节中，我们假设财富过程V=V（y，Д，a）满足远期方程V=y-Ztg（u，Vu，ξu）du+ZtξudSu+At，（14）其中y∈ R表示给定交易策略ξ在时间0时的初始财富（回想一下，a=0）。通过应用引理3.1，其中y=x+p<x+p′=y，f=f=g，z=ξ，很容易验证当财富过程的动力学由SDE（14）给出，并且由初始值y和过程ξ唯一指定时（例如，当g=g（t，v，z）相对于v是ipschitz连续时），满足假设2.2。3.1财富过程的动力学让我们首先更明确地描述非线性交易机制的主要特征，其中包括（14）中给出的财富动力学。我们首先介绍交易资产的符号，即现金账户、风险资产和与风险资产相关的融资账户。然而，应该强调的是，我们的进一步发展将不取决于初级资产和交易安排的特定模型的选择，因此我们的总体结果能够涵盖广泛的市场模型。设S=（S。

，Sd）代表一系列d风险资产的价格集合，其中流程，S是连续半鞅。有限变化的连续过程，表示为B0、土地B0、b，分别代表借贷无担保现金账户。每个j=1，2，d、 我们用Bj、l（分别为Bj、b）表示与第i项风险资产相关的贷款（分别为借款）资金账户，并假设为连续过程的有限变化。这些账户的财务解释因情况而异（有关更多详细信息，请参见[5，6]）。让我们用B表示交易者可用的所有现金和资金账户的集合。为便于表述，我们坚持我们的假设，即发行人和持有人具有相同的市场条件，但很明显，这一假设与我们的进一步发展无关，因此可以轻松放宽。交易策略是一种R3d+2值、G适应过程（ξ，…，ξd；ψ0，l，ψ0，b，…，ψd，l，ψd，b），其中各成分代表风险资产Sj中的所有未平仓，j=1，2，d、 现金账户B0，l，B0，b和资金账户SBJ，l，Bj，b，j=1，2，d风险资产。定义3.1。我们说，交易策略（y，Д）是为CAA自我融资，我们写道∈ψ（y，A）如果财富过程V（y，Д，A），由vt（y，Д，A）给出）=dXj=1ξjtSjt+dXj=0ψj，ltBj，lt+dXj=0ψj，btBj，bt，saties，对于每t∈ [0，T]，Vt（y，ν，A）=y+dXj=1ZtξjudSju+dXj=0Ztψj，ludBj，lu+dXj=0Ztψj，budBj，bu+At，受施加在Д组件上的额外约束。特别地，我们假设ψj，lt≥ 0，ψj，bt≤ 0和ψj，ltψj，bt=0，对于所有j=0，1。

、d和t∈ [0，T]。由于额外的交易约束取决于特定的交易机制，已知初始值y和过程ξ的选择唯一地指定了自我融资策略的财富过程∈ ψ（y，A）。此外，还需要引入某种形式的交易策略的可接受性，并假设市场模型M=（B，S，ψ（A）），其中类ψ（A）=∪y∈在适当的意义上，所有可接受的交易策略中的Rψ（y，A）都是无套利的，例如，市场模型M可以被假定为规则的，在Bielecki等人的意义上。14 E.Kim、T.Nie和M.Rutkowski由于非线性市场的无套利特征在El Karoui和Quenez【18】以及最近的Bielecki等人【5、6】中进行了研究，我们在此不详细阐述这个问题，我们请感兴趣的读者参考这些作品。需要注意的是，由于交易限制、不同的融资成本以及一些额外的调整过程（定义3.1中未明确说明），财富过程的动态通常是非线性的。我们请读者阅读Bielecki等人[5、6]关于交易策略自我融资属性的更全面版本（例如，参见[6]中的定义4.5或[5]中的定义2.2），以及Nie和Rutkowski[38、39、40、41]关于具有交易约束和调整（尤其是合同抵押）的非线性模型的明确示例。我们只观察到，每一种特殊的交易安排都会在财富的动态（14）中产生一个明确的映射g，这有时相当复杂，但同时通常相当有规律。下面的基本引理解决了（14）驱动的富裕过程的（严格）单调性问题。

注意，由于假设过程z在Lemma 3.1的陈述中给出，我们可以将SDE（15）解释为一个确定性积分方程，它几乎包含所有ω∈ Ohm.引理3。1、让gj：Ohm ×【0，T】×R×Rd→ R、 j=1，2为P B（R） B（Rd）/B（R）-可测量。考虑j=1、2vjt=yj的SDE-Ztgj（u，vju，zu）du+kjt+ZtzudSu+Ht，（15）其中z是Rd值、G-逐步可测随机过程，G-适应过程k=k-k=0的kis非减量，S是Rd值半鞅，H是c\'ad l\'ag，G-适应过程。假设（15）对于j=1，2有一个唯一的解决方案。如果g（t、vt、zt）≤ g（t，vt，zt），dtdPa。e、 和y≥ y（分别为y>y），然后是vt≥ 所有t的vt（分别为vt>vt）∈ [0，T]。证据如果我们设置“vt：=vt”- VT适用于所有t∈ [0，T]，则很容易看到“v”满足“vt=y”- y+Ztg（u、vu、zu）- g（u、vu、zu）du+kt=y- y+Ztλu′vu+g（u，vu，zu）- g（u、vu、zu）du+kt，其中λu：=g（u、vu、zu）- g（u、vu、zu）（(R)vu）-1{vu6=vu}。重击e-Rtλudu？vt= e-Rtλudu（g（t、vt、zt）- g（t，vt，zt））dt+dkt.在从0到t对两侧进行积分后，注意到过程k=k- kis不减损和e-Rtλudu>0，我们得到了不等式vt≥ (R)垂直λudu+垂直λudug（s、vs、zs）- g（s、vs、zs）从中可以得出引理的断言。3.2非线性评估的比较性质我们自此假设财富过程V=V（y，Д，A）受SDE（14）控制，其中ξ=（ξ，…，ξd）已给出，且映射满足一些附加假设。这将使我们能够参考大量关于BSDE理论的现有文献，尤其是利用反射BSDE与非线性最优停车问题解决方案之间的联系（例如，见Cvitani\'c和Karatzas【9】、Dumitrescu等人【10】、El Karoui等人【15】、Grigorova和Quenez【22】、Grigorova等人【20、21】、Quenez和Sulem【45】）。

本节的目标是研究美式期权的非线性定价15在财富动态由（14）驱动的特殊情况下，美式合约的估值和对冲。为了保持我们的表述简洁，并包含几个可选的非线性市场模型，我们将直接假设相关的BSDE具有理想的特性，例如：BSDE解的存在性、唯一性和严格比较特性，已知这些特性在各种情况下都成立。如前所述，Dumitrescu等人在最近的一篇论文中研究了（14）中给出的amarket模型的一个特定实例。我们将使用与解决方案toBSDEs生成的非线性评估相关的标准术语（例如，见Peng【42】第3章或Peng【43】第4节）。考虑以下BSDEon[0，s]Yt=ζs+Zstg（u，Yu，Zu）du-ZstZudMu- （Hs- Ht），（16），其中ζs∈ L（Gs），M是d维鞅，过程H是实值且G适应的，生成器G：Ohm ×【0，T】×R×Rd→ R是P B（R） B（Rd）/B（R）-可测量，其中Pis是可预测集的σ场Ohm ×[0，T]。假设BSDE（16）在适当的随机过程空间中具有唯一解（Y，Z）（参见，例如，[7，39]）。对于每0≤ t型≤ s≤ T和ζs∈ L（Gs），我们表示Eg，Ht，s（ζs）=yt，其中（Y，Z）用Ys=ζs求解BSDE（16）。然后算子系统Eg，Ht，s:L（Gs）→ L（Gt）称为Eg，H-评估。值得注意的是，确定性日期t≤ BSDE（16）中出现的s可替换为任意G-停止时间τ≤ σ来自T，因此，Eg，H-评估的概念可以扩展到停止时间Eg，Hτ，σ：L（Gσ）→ L（Gτ）。（严格）比较性质的概念在BSDE理论和非线性评估中非常重要。定义3.2。

我们说，对于每个停止时间τ，Eg，Hholds if的比较性质∈ T和随机变量ζτ，ζτ∈ L（Gτ），以下性质有效：如果ζτ≥ ζτthenEg，H0，τ（ζτ）≥ Eg，H0，τ（ζτ）。我们说，对于每个τ，Eg，Hholds-if的严格比较性质∈ Tandζτ，ζτ∈ L（Gτ）ifζτ≥ ζτ和ζτ6=ζτ，然后Eg，H0，τ（ζτ）>Eg，H0，τ（ζτ）。鉴于其财务解释，非线性评估Eg，aaS与BSDEYt=ζs+Zstg（u，Yu，Zu）du相关-ZstZudSu- （作为- At）（17）从此用Eg表示，并称为发行人的g评估。在第3.3节中，我们讨论了发行人的定价问题，并在以下长期假设下开展工作。假设3.1。我们假设：（i）财富过程V=交易策略的V（y，ν，A）∈ ψ（y，A）满足（14），（ii）任何固定y∈ R和任何过程ξ，使得（14）中的随机积分得到很好的定义，SDE（14）具有唯一的强解，（iii）财富V（y，ν，a）的严格单调性（见假设2.2），（iv）对于每个（s，ζs）∈ [0，T]×L（Gs）BSDE（17）在[0，s]上有唯一的解（Y，Z）。请注意，在第3.5节中，我们研究了持有人的定价问题，我们将使用假设3.1的修改版本，其中流程a替换为-A、 备注3.1。鉴于引理3.1和假设3.1中的条件（ii），假设3.1中的条件（iii）没有限制性，因为它对每个生成器g都是满足的。对于明确假设，确保BSDE（17），其中S是一个多维、连续、平方可积的，具有可预测的表示性质，具有唯一的解决方案和发行人g-评估的严格比较特性，例如，iholds，见Nie和Rutkowski[39]中的定理3.2和3.3。16 E.Kim、T.Nie和M。

Rutkowski3.3发行人通过RBSDEWe的可接受价格，用X表示：=Vb（X）- xh是发行人的相对报酬，我们假设过程X是平方可积的。然后，根据假设3.1（iv），[0，T]Yt上的以下BSDE=XT+ZTtg（u，Yu，Zu）du-ZTtZudSu- （位于- At）（18）在适当的随机过程空间中具有唯一解（Y，Z）。为了研究美国合同Ca发行人的定价问题，我们做出以下假设（参见定义2.4 inQuenez和Sulem[45]）。假设3.2。下部障碍物X的反射BSDE（dYt=-g（t，Yt，Zt）dt+ZtdSt+dAt- dKt，YT=XT，YT≥ Xt，RT（Yt- Xt）dKct=0，Kdt=-（年初至今）- At）1{Yt-=Xt公司-},（19） 有一个唯一的解（Y，Z，K），其中K是一个G-可预测的，c\'adl\'ag，非减量过程，因此K=0和K=Kc+kd是其唯一分解为连续和跳跃分量。El Karoui等人【16，15】在开创性论文中引入了反映BSDE，并将其应用于最优止损问题的解决方案和美式期权定价。随后，研究各种框架的几位作者对这些框架进行了研究，其中包括：Aazizi和Oukinine【1】、Baadi和Oukinine【2】、Cr’epey和Matoussi【8】、Essaky【19】、Hamad’ene【23】、Hamad’ene和Oukinine【24】、Grigorova等人【20、21】、Klimsiak【32、33】、Klimsiak等人【35】和Quenez和Sulem【45】。他们已经表明，假设3.2在我们感兴趣的许多情况下都是符合的，但是，由于篇幅的限制，我们不打算在这里引用任何特定的结果。值得强调的是，我们故意不指定在其中搜索组件Y和Z的随机过程的特定空间，因为我们的进一步结果不依赖于这些空间的选择。