分位数套期保值问题的一种数值格式

让我们特别观察K：“Rn是Rd的一个离散子集，因此（2.10）显示为（1.3）的自然分类，并且更易于研究。为了近似vn，我们考虑将[24，3]和[17]中的PCPT方案改编为我们的设置，如下所述。对于κP N，我们考虑时间间隔r0的网格，T s：π”t0“：ta¨¨¨¨¨¨¨¨¨tκ：”t u，表示π：““max0dkdκptk\'1'tkq。对于0t，P k和连续φ：Rd^r0，1s~nR，我们用aps，t，φq:rt，ss^Rd^r0，1s~nR表示'Bt Fapt，x的唯一解，Д，DД，DДq“0在rt上，sq^Rd^p0，1q，（2.11）Дps，x，pq”φpx，pq在Rd^r0，1s，（2.12）Дpr，x，0q“Bpt，s，φqpr，xq，Дpr，x，1q”Bpt，s，φqpr，xq on rt，sq^Rd.（2.13）p p t0，1u的函数Bppt，s，φq是rt，sq^Rd（2.14）上的'BtИ'Fpr，x，Д，DД，DДq“0”的解决方案，具有终端条件Bppt，s，φqpr，xqps，xq“φpx，pq。与网格π相关的PCPT方案的解决方案是函数vn，π：r0，T s^Rd^r0，1s，使得Spπ，T，x，p，vn，πpt，x，pq，vn，πq”0，（2.15），其中对于网格π，pt，x，p，yq p r0，T s^Rd^r0，1s^R`和函数u p BC，Spπ，T，x，p，y，uq”“y'minapk”sapt `π，T'π，upt'π，¨qq pt，x，pq如果TaT，y'gpxqp否则，（2.16）带T'π：“inftr Pπ| ratu和t'π：”suptr Pπ| rdtu.（2.17）每当我们考虑固定网格时，为了简洁起见，我们将删除下标π。让我们观察一下，函数vn，π可以通过以下反向算法进行交替描述：1.初始化：设置vn，πpT，x，pq：“gpxqp，x Rd^r0，1s。2.后退：对于k“κ1，…，0，计算wk，a：“Saptk，tk`1，vn，πptk`1，¨QQ和setvn，πp¨q：”infaPKwk，a.（2.18）备注2.2。

在我们的环境中，我们可以很容易地确定（方案的）边界值：（i）在p“0”处，终端条件是φpT，xq”0（回想一下，vpT，x，pq“gpxq1tpa0u），这通过反向迭代传播，因此，对于allpt，xq p r0，T s^Rd，vn，πpT，x，0q”0。（ii）在p“1处，终端条件是φpT，xq”gpxq，因此边界条件由vn，πpT，x，0q给出“V pt，xq for all pt，xq P r0，T s^Rd，其中V是超级复制价格。本节的主要结果如下。定理2.1。函数vn，π收敛于vnin Cas |π| ni0.Proof。1。我们首先检查与边界条件的一致性。设a P Kand^w为r0，T q^Rd^上'BtИF^apt，x，ν，DИ，D^q”0的（连续）解。第1季度（2.19）边界条件vpt，x，pq“pV pt，xq on r0，T s^Rd^t0，1uTtT u^Rd^r0，1s。通过对π的反向归纳，可以得到vn，πdw。（2.20）实际上，我们有vn，πpt，¨q“wpT，¨q。现在，如果不等式在时间tk，kě1，wehave为真，则使用（2.19）的比较结果，回顾命题6.1，thatwk，apt，¨qdwpt，¨q表示t P rtk'1，tks，因此，对于t P rtk'1，tks，更进一步地说，wpt，¨q表示t P rtk'1，tks。我们还通过反向归纳得到了thatvn，πp¨qěvnp¨q（2.21）。实际上，我们有vn，πpT，¨q“vnpT，¨q。假设不等式在时间tk，kě1时为真。我们观察到wk，ais是（2.6）的上解，即vn所满足的偏微分方程。通过比较结果，这意味着对于t P rtk'1，tks，wk，apt，¨qěvnpT，¨q。取P k的最小值，则产生（2.21）。因为vndwdwd710; w，（2.22），其中wpt，x，pq“lim suppt，x，pq”P，|π| q|pt，x，P，0qvn，πpt，x，pq和w“lim infpt，x，p，|π| q|pt，x，p，0qvn，πpt，x，pq，我们得到了w和w满足边界条件（1.7）–（1.8）。2.我们在下面证明了该格式是单调的、稳定的和一致的，分别参见命题2.2、命题2.3和命题2.4。

将此与步骤1相结合。然后，文献[4]中的定理2.1确保了Cof vn，π到vnas |π| ni0的收敛性。lRemark 2.3。我们通过粘度溶质和BSDE参数的组合来证明以下性质，其中它们看起来更自然。应该可以使用[3]中类似的主要步骤，纯粹使用PDE参数得出这些结果。命题2.2（单调性）。设uěv代表u，v P BC，pt，x，pq P r0，T s^Rd^r0，1s，y P R。我们有：Spπ，T，x，P，y，uqdSpπ，T，x，P，y，vq。（2.23）证明。设tat，x P Rd，P P r0，1s。通过定义vn，π，回顾（2.18），可以证明，对于任何一个P K，我们有：Sapt`，t'，upt`，¨qqpt，x，pqěSapt`，t'，vpt`，¨qqpt，x，pq。（2.24）中定义了t，t在（2.17）中定义。但这直接来自命题6.1中给出的比较结果。我们现在研究该方案的稳定性。我们首先证明了schemevn的解，π在其第三个变量中增加。这不仅是分段常数策略解本身从原始问题（1.1）的解继承下来的一个有趣的性质，而且它还允许我们很容易地获得vn，π的统一界，即p“1的边界条件。引理2.1。对于所有的t p r0，t s和x p Rd，方案（2.16）具有如下性质：vn，πpt，x，qqdvn，πpt，x，pq if 0dqdpd1。（2.25）证明。我们将通过对k p t0，…，κu的归纳来证明断言。对于t“t”tκ和每个x p Rd，我们有px，pqThnivn，πpt，x，pq：“gpxqp，是p的递增函数。设1dkaκ'1。现在假设vn，πpt，x，¨q是所有tětk\'1和x p Rd的递增函数。我们表明，对于t p rtk，tk\'1q和x p Rd，vn，πpt，x，¨q也在递增。设0dqdpd1。

通过vn，πin（2.18）的定义，可以充分证明对于每个a P K，我们有，对于pt，xq P r0，T s^Rd，wk，apt，x，qqdwk，apt，x，pq。根据附录引理6.1（i），这两个量允许使用两个不同的随机终端时间τq“inftsět：Pt，q，asP t0，1uu^tk`1，（2.26）τp”inftsět：Pt，p，asP t0，1uu^tk`1。（2.27）然而，使用引理6.1（ii），我们可以用bsdes编写终端时间tk`1的概率表示：我们有Saptk`1，tk，wπptk`1，¨qqpt，x，pq“▄Yt，x，p，at，其中▄Yt，x，p，atis是以下BSDE解决方案的第一个组成部分：Ys”vn，πptk\'1，Xt，xtk\'1，▄Pt，p，atk\'1q\'tk\'1sfpu，Xt，xu，Yu，Zuq du'tk\'1sZudWu，（2.28），其中▄Pt，p，ais过程定义为：▄Pt，p，as“p'sta1tu'τpudWu，（2.28 29）对于Saptk\'1，tk，wπptk\'1，¨qqpt，x，qq，也有类似的表示。还需要说明vn，πptk\'1，Xt，xtk\'1，~Pt，p，atk\'1qěvn，πptk\'1，Xt，xtk\'1，~Pt，q，atk\'1q。（2.30）如果这是真的，则BSDE的经典比较定理（例如，参见[18]中的定理2.2]）得出了证明结论。首先，我们观察到Pt，p，aτpěPt，q，aτp.关于tτp“t u，（2.30）通过归纳假设直接成立。关于tτpat u，如果Pt，p，aτp”1，则Pt，p，aT“1，（2.30）通过归纳假设成立，如Pt，q，aTd1；如果Pt，p，aτp”0，则更进一步的Pt，q，aτp”0和Pt，p，aT“Pt，q，aT”0，从而得出证明。lProposition 2.3（稳定性）。方案（2.16）的解是有界的。证据对于任意π和任意pt，x，pq P r0，T s^Rd^r0，1s，我们有vn，πpt，x，pqdvn，πpt，x，1q“V pt，xq。lTo为了证明该方案的一致性，我们需要以下两个引理。引理2.2。对于0dτtθt，ξP R和φP Cpr0，t s^Rd^r0，1sq，以下保持| Sapτ，θ，φPθ，¨q'ξqpt，¨q'Sapτ，θ，φPθ，¨qqpt，¨q'ξC'θt | |ξ|。证明。我们表示w“Sapτ，θ，φP¨qq和▄w”Sapτ，θ，φP¨q `ξq。

使用引理6.1，我们得到，对于pt，x，pq P rτ，θs^Rd^r0，1s，wpt，x，pq“yt”和wpt，x，pq“^yt，其中pY，Zq和p^Y，^Zq分别是Yr”φpXt，xθ，Pt，p，aθqzTrfps，Xt，xs，Ys，Zsq ds'θrZsdWs，tdrdθ，^YrφpXt，xθ，Pt，p，aθqzTrfps，Xt，xs，^Ys，^Zsq ds'zθr^ZsdWs，tdrdθ。表示Γ：“Y'ξ和fξPt，x，Y，Zq”fpt，x，Y'ξ，Zq，我们观察到pΓ，Zqis是Γr的解“φpXt，xθ，~Pt，p，aθq′ξ′Trfξps，Xt，xs，Γs，Zsq ds′zθrZsdWs，tdrdθ :“Γ'^Y，δZ”Z'Z和δfs”fξps，Xt，xs，Γs，Zsq'f ps，Xt，xs，Γs，Zsq，fors P rt，θs。然后我们得到r： “zθr ` fps，Xt，xs，Γs，Zsq'f ps，Xt，xs，Ys，Zsq'δfs'ds'θrδZsdWs.BSDE的经典能量估计[18，11]超前<<suprPrt，θs|r | effdCEzθt|sδfs | ds. （2.31）接下来，我们计算zθt|sδfs | dsd2CsupsPrt，θs|s |` 2C^zθt |δfs | ds˙。将前面的不等式与（2.31）相结合，我们得到了<<suprPrt，θs|r | ffd4CE<<710zθt |δfs |˙ff。利用f的Lipschitz性质，我们从fξ的定义中得出，|δfs | Lξ，最终导致toE<<suprPrt，θs|r | offdC |θ| t |ξ（2.32），并得出证明结论。lLemma 2.3。设0dτaθdT和φP Cpr0，T s^Rd^r0，1sq。对于pt，x，pq Prτ，θq^Rd^p0，1q，φpt，x，pq'Sapτ，θ，φpθ，¨qpt，x，pq'pθ'tqGaφpt，x，pq'opθ'tq。其中Gaφpt，x，pq：'Btφpt，x，pq'Fapt，x，p，φ，Dφ，Dφq.证明。

我们首先观察到Sapτ，θ，φp–qpt，x，pq“Yt，其中pYa，Zaq是y”Φθ`θrfps，Xt，xs，Ys，Zsq ds'θrzsdswith的解，对于tdsdθ，Φs”φps，Xt，xs，Pt，p，αsq和α：“a1r0，τs。通过直接应用伊藤公式，我们观察到Φr”Φθ'θ'θrtBtφLαφups，Xt，xs，Pt，p，αsq ds'r380; r380 zsdws，tdrdθ，其中Zs：“zpXt，xs，Dφps，Xt，xs，Pt，p，asq，αsq，tdsdθ。为了便于说明，我们还引入了一个“中间”过程p^Y，^Zq作为^Yr”θ`θrfps，Xt，xs，Φs，Zsq ds'θrddws，tdθ。现在，我们计算^YtΦt'pθ'tqGaφPt，x，pq”Eθt ` tBtφps，Xt，xs，Pt，p，asq'BtφPt，x，pqu'tFaφps，Xt，xs，Pt，p，asq'FaφPt，x，pqu'ds.使用φ的平滑度，f的Lipschitz性质和以下控制项“| Xt，xs'x''`'''''''Pt，p，αs'p'''''Ca'θ''t'，（2.33）我们得到了'Yt'Φt'pθ'tqGaφPt，x，pq'Ca，φpθ'tq。（2.34）我们还有'Yr'Φr“θrGaφps，Xt，xs，Pt，p，αsq ds'θrp^Zs'Zsq dw根据BSDE的经典能量估计，我们得出<<suprPrt，θs'Yr'Φr'''''θt'Zs'Zs''ds fff'θt''Gaφps，Xt，xs，Pt，p，αs'ds''''''''''''''''''271；Ca，φpθ'tq，（2.35），其中对于最后一个不等式，我们使用φ的平滑度和fandσ的线性增长。我们还观察到^Yr'Yr“zθrtδfs` f ps，Xt，xs，^Ys，^Zsq'f ps，Xt，xs，Ys，Zsqu ds'θrt^Zs'Zsu dWs，其中δfs：“fps，Xt，xs，Φs，Zsq'fps，xs，^Ys，^Zsq，对于tdsdθ。再一次，根据经典能量估算【18，11】，我们得到了| Yt | YtdCE<<^zθtδfsds˙fff。利用Cauchy-Schwarz不等式和f的Lipschitz性质，| Yt'Yt'Yt'Cpθ'tqE<<suprPrt，θs'Yr'Φr'''''θt''Zs'ds ff。最后一个不等式，加上（2.35），导致|^Yt'Yt |dCpθ'tq。将上述不等式与（2.34）相结合，得出结论。最后，我们可以证明以下一致性性质。命题2.4（一致性）。设φP Cpr0，T s^Rd^r0，1sq。

对于pt，x，pq P r0，T q^Rd^p0，1q，ˇˇTˇπ'tSˇ，T，x，P，φpt，x，pq'ξ，φP'q'ξ'728; Btφ'Fnpt，x，P，φ，Dφ，Dφ，Dφqˇ0（2.36），作为P'π'，ξqˇ0。证据我们首先观察到，通过引理2.2，可以有效地证明ˇtˇπˇtSˇπ，t，x，p，φpt，x，pq，φp–qˇBtφˇFnpt，x，p，φpt，x，pq，φ\'Btφ\'Fnpt，x，p，φ，Dφ，Dφqˇ“t'π'ttφpt，x，pq'minaPKSa't'π，t'π，φpt'π，¨q'pt，x，pqu'maxaPKGapt，x，pq'maxaPK'ttφpt，x，pq'Sa't'π，t'π，φpt'π，¨q'pt，x，pqu'Ga'Φˇ.3.lTo为了结束这一节，让我们观察到，结合命题2.1和定理2.1，我们得到了以下结果本节的设置，假设（H），以下为holdslimn~n8lim |π|'O0vn，π“v.备注2.4。从数值角度来看，一个重要的问题是理解如何确定参数n和π之间的关系。这里的理论难点是获得命题2.1和定理2.1中给出的近似值的精确收敛速度，沿着[21，17]中关于控制离散化的连续相关性估计，以及分段常数控制的近似估计，如[23，22]所示。在我们的一般环境中回答这个问题是一项具有挑战性的任务，还可以扩展到下一节中完全离散化的误差估计，这有待进一步研究。3 Black-Scholes模型的应用：完全离散单音模式本节的目标是介绍一个完全可实现的方案并证明其收敛性。通过将有限差分近似值添加到第2.2节所述的PCPT程序中，可获得该方案。然后在第4节中，我们给出了数值试验，证明了我们的数值方法的实际可行性。

从现在开始，我们假设对数价格过程X是一个带漂移的一维布朗运动，对于pt，xq P r0，T s^R:Xt，xs“x `ups'tq'σpWs'Wtq，s P rt，T s，（3.1）具有uP R和σa0。这种对Black-Scholes的限制并不是必要的，因为在这种情况下，主要困难和非线性已经存在，分析技术可以直接扩展到更复杂的SDE设置下的更一般单调方案中。我们利用特定动力学设计一种简单易用的数值模式，这也简化了符号。此外，我们将在以下假设下工作。假设3.1。系数u为非负。备注3.1。在不丧失一般性的情况下引入该假设，以减轻方案定义中的符号。我们在备注3.2（ii）中详细说明了如何修改非正漂移u的模式。收敛特性相同。我们现在确定相关的离散控制集（见第2.1节）。我们假设0 R K，并回顾Vn是（2.10）的解决方案。我们考虑网格π“t0”：ta¨¨¨¨¨tk¨¨¨¨¨¨¨tκ：“t u on r0，t s和近似值，通过PCPT方案，扩展第2.2节。这里的要点是，我们为解决方案Sap¨q引入一个有限差近似值，P K到（2.11）–（2.13）. 该近似值表示为参数δa0的Saδp¨q，将在下文第3.1节中详细说明。对于δa0和a P K，每个近似SaδP¨q定义在一个空间网格Gaδ上：“δZΓaδR^r0，1s。（3.2），其中Γaδ是一个由r0，1s组成的均匀网格，具有Naδ\'1个点和网格大小1{Na Naδ。Gaδ的非典型元素表示为pxk，plq：“pkδ，l{Naδq，pGaδq的一个元素是uk，l：”upxk，plq，对于所有K P Z和0dldNaδ。

对于0dtasdt和Д：δZ^r0，1s~nRa有界函数，我们得到了Saδps，t，Дq P ` pGaδq。为了确定我们对vn的近似值，用SaδP¨q代替最小值（2.16）中的Sap¨q或类似的（2.18）是不够的，因为P变量的近似值不在同一网格上定义。（不同网格的灵活性将非常重要。）因此，我们必须考虑一个补充步骤，该步骤包含p变量的线性插值。即，通过第二个变量中的线性插值，将任何映射u P ` pGaδq扩展为Iaδpuq：δZ^r0，1s~nR：如果u P ` pGaδq，k P Zand P P rpl，pl ` 1q具有0dlaNaδ，Iaδpxk，pq“pl\'1'ppl\'1'pluk，l'p'plpl\'1'pluk，l\'1，显然是Iaδpxk，1q“uk，Naδ。与π，δ相关的数值格式的解是vn，π，δ：π^δZ^r0，1s~nR满足pSpπ，δ，t，x，p，vn，π，δpt，x，pq，vn，π，δq”0，（3）其中，对于任何0dt pπ，x pδZ，p p r0，1s，y p R`和任何有界函数u：π^δZ^r0，1s尼R：pSpπ，δ，t，x，p，y，uq““y'minaPKIaδpSaδpt'π，tk，upt'π，¨qq ptk，x，pq如果kaκ，y'gpxqp否则，（3.4）其中t'π”影响Pπ：sětu。或者，近似值vn，π，δ由以下反向归纳确定：1.初始化：设置vn，π，δpt，x，pq：“gpxqp，x P Rd^r0，1s.2.反向：k'1，…，0，计算wk”，aδ：“Saδptk，tk`1，vn，π，δptk`1，qqand set，用于px，pq PδZ^r0，1s，vn，π，δptk，x，pq：”infaPKIaδpwk，aδqptk，x，pq。（3.5）在说明本节的主要收敛结果之前，请参见下面的定理3.1，我们使用有限差分算子给出了Saδp¨q的精确定义。3.1有限差分格式定义和收敛结果：0dtasdt，δa0，Д：δZ^r0，1s~nR。

我们设置h：“s’ta0。对于P K，我们将描述网格Gaδ”δZ^915; aδZ^r0，1s和用于定义Saδ的微分方案。首先，我们观察到，对于本节的模型规范，（2.10）可以重写为aИ'σaИ'f pt，x，Д，σa˙q˙“0，（3.6），带：aД：“按Д\'aσBpД，（3.7）aИ：“ByyИ\'2aσBypИ\'aσBppД，（3.8）DaД：”BtИ'aσuBpД。（3.9）利用算子的简并性A和ain方向pa，'σq，我们构造Γaδ，以便（3.6）的解近似于仅具有一个方向导数的隐式有限差分格式的解。为了考虑边界p“0，p”1，我们设置了Naδ：“min”jě1:j | a |σě1*”Rσ| a |δV（3.10）andapa，δq：“sgnpaqσNaδ，（3.11），其中a‰0。我们有Naδ“σ{δapa，δq |。我们最后设置了：aδ：”“0，| apa，δq |δ，…，Naδ|；apa，δq |σδ“1*”“jNaδ：j”0，…，Naδ*（3.12）我们现在定义了明确的差异方案。利用算符的简并度apa，δqandapa，δqin方向papa，δq，'σq，我们定义了v“pvk，lqkPZ，0dldNaδ”pvpxk，plqkpz，0dldNaδP'pGaδq和w“pwkqkPZP'pkZq的以下不同运算符：aδvk，l：“2δ\'vk\'1，l\'sgnpaq\'vk\'1，l\'sgnpaq，δwk：“2δpwk` 1'wk'1q，a`，δvk，l：“δ\'vk\'1，l\'sgnpaq\'vk，l，`,δwk：“δpwk`1'wkq，aδvk，l：“δ\'vk\'1，l\'sgnpaq\'vk\'1，l\'sgnpaq\'2vk，l，δwk：“δpwk\'1\'wk\'1\'2wkq。让θ0为稍后确定的参数。我们定义pt，x，y，q，q\'，Aq P r0，T s^R。F pt，x，y，q，Aq：\'uq'σa'F pt，x，y，σqq，和（3.13）pF pt，x，y，q，Aq：\'uq'σ'θh'a'F pt，x，y，qq'σqq。