分位数套期保值问题的一种数值格式

（3.14）现在，Saδps，t，Дq P ` pGaδq被定义为Spk，l，vk，l的唯一解决方案（关于该定义的适定性，请参见下面的命题3.1），aδvk，l，a`，δvk，l，aδvk，l，νq“0，（3.15）vk，0”vk，vk，Naδ“vk，（3.16），其中，对于k P Z，0alaNaδ，pv，v`，v'q P R，和任何有界函数u：δZ^r0，1s~nR：Spk，l，v，q，q`，a，uq“v'u pxk，papplqq'hpF pt，kδ，v，q'，Aq，（3.17），对于P r0，1s，papplq'，Aq PQ：“P'uapa，δqσh，（3.18），其中pvkqkPZ（分别为pvkqkPZ）是BPK，vk，δvk，`,δvk，δvk，pДkqkPZq“0，（3.19）压力Sbpk，vk，δvk，`,δvk，δvk，pИkqkPZq“0q（3.20）与Дk”Кpkδ，0q（分别为Дk”Кpkδ，Naδq）和，对于k p Z，pv，v`，v`q p R，u p`pZq:Sbpk，v，q，q`，A，uq“v`uk`hpF pt，kδ，v，q`，Aq。（3.21）备注3.2。（i）如前所述，我们在此假设u0。如果相反，必须考虑a'pδqvk，l：“δ'vk，l'vk'1，l'sgnpaq（分别为。\'pδqwk：“δpwk'wk'1q）代替a`，δvk，l（分别为。`,δwk），在定义Saδps，t，Дq（分别为vk，vk）时，获得单调方案。（ii）对于非线性f，我们使用Lax-Friedrichs格式[13，17]，在f的定义中加入θpv `` v'''2vq项，以增强单调性。我们现在假设参数满足以下条件：δd1，（3.22）hL2δdθa，（3.23）uhdδdMh，（3.24）对于常数Ma0。在这些条件下，我们证明了Saδps，t，Дq是唯一定义的，并且可以通过Picard迭代获得。备注3.3。从uhdδ开始，我们有|uapa，δqσh | apa，δq |σδ，这确保从（3.18）开始，所有0alaNaδ的papplq P r0，1s。提案3.1。对于每个有界函数Д：δZ^r0，1s~nR，存在（3.15）–（3.16）的唯一解。证据首先，vP`pδZq（分别为vP`pδZq）由（3.19）（分别为（3.20））唯一定义，见命题6.2。我们考虑以下映射：` pGaδq~n\'pGaδq，vTh~nψpvq，其中ψpvq定义为，对于k P Z和l P t1。

. , Na'1u：ψpvqk，l“1 ` hΔu`σhδ` 2θpДpkδ，papplqq\'（3.25）hΔvk\'1，l ` sgnpaq `σhδpvk\'1，l ` sgnpaq ` vk\'1，l'sgnpaq'hf't\'，kδ，vk，l，σ2δpvk\'1，l'sgnpaq'θpvk\'1，l'sgnpaq'vk\'1，l'sgnpaq'，ψpvqk，0”vk，ψ请注意，v是（3.15）-（3.16）的解当且仅当v是ψ的固定点。现在足以证明ψ将` pGaδq映射为` pGaδq并收缩。如果v P'pGaδq，通过φ、v和v的有界性，很明显ψpvq是有界的。如果v，vP` pGaδq，对于所有k P Z和1dldNa'1，我们有：|ψpvqk，l'ψpvqk，l'hδu'σhδ'2θ'hL'hLδ1'hδu'σhδ'2θv'v'。（3.27）由于δd1根据假设（3.22），一个具有hL ` hLΔd2hLΔd4θ，因此：|ψpvq'ψpvq'4θ'hδu'σhδ'2θ1'hδu'σhδ'2θ'v'v'。（3.28）由于假设（3.23）为4θa1，且函数xTh~n4θ\'x1\'xis在r0，8q上增加，当xa\'8时，极限为1，这证明ψ是收缩映射。对于这个方案，我们有以下强唯一性结果：命题3.2。设Д，Д：δZ^r0，1s^R两个有界函数满足δZ^r0，1s上的ДdД。1.（单调性）对于所有k P Z，1dldNa，pv，q，q`，Aq P R，我们有：Spk，l，v，q，q`，A，ДqdSpk，l，v，q，q`，A，Дq.（3.29）2。（比较定理）对于所有k P Z和1dldNaδ'1，让pv，vq P'pGaδq满足：Spk，l，vk，l，aδvk，l，a`，δvk，l，aδvk，l，ДqdSpk，l，vk，l，aδvk，l，a`，δvk，l，aδvk，l，Дq（3.30）vk，0dvk，0，（3.31）vk，Naδdvk，Naδ。（3.32）然后vdv.3。对于所有k P Z和0dldNaδ，我们有Saδps，t，Дqk，ldSaδps，t，Дqk，lf。证据如提案中所述，设Д，Д。1、对于k P Z和0alaNaδ，我们有：Spk，l，v，q，q`，A，Дq'Spk，l，v，q，q`，A，Дq“PИ'pxk，papplqqd0.2。这里我们假设Aa0。对于k P Z，让Mk“max0dldNaδpvk`l，l'vk`l，lqa8（如果Aa0，我们必须考虑max0dl）。dNaδpvk'l，l'vk'l，l））。我们想证明所有k的Mkd0。相反，假设存在k P Z，使得Mka0。

然后存在0dldNaδ，使得vk\'l，l\'vk\'l，l“Mka0。（3.33）首先，我们有vk，0dvk，0和vk`Naδ，NaΔdvk`Naδ，Naδ。因此，0alaNaδ。此外，使用（3.30），利用f对其第三个变量不递增和Lipschitz连续的事实，通过（3.33）重新排列术语，p1\'2θqMkdhL2Δˇvk\'l\'1，l\'1ˇvk\'l\'1，l\'1ˇθpvk\'l\'1，l\'1ˇvk\'l\'1，l\'1q\'hL2Δˇvk\'l\'1，l\'1ˇvk\'l\'1，l\'1ˇvk\'l\'1，l\'1q。（3.34）对于j P tl\'1，l\'1u，我们观察到hL2δ| vk\'j，j |'vk\'j，j'vk\'j，j'vk\'j，jq'hL2δ'θ'Mk.（3.35）的确，如果vk\'j，j'vk\'j，jthenhL2δ'vk\'j，j'vk\'j，j'θpvk\'j，j'vk\'j，jq“hL2δ'θ'pvk\'j，j'vk\'j，jqd0，自hL2δ'θ起。否则，如果vk\'j，j'vk\'j，jhL2δ'vk\'j，j'vk\'j，j'vk\'j，jq“hL2δ'θpvk\'j，j'vk\'j，jq”hL2δ'pvk\'j，j'vk\'j，jq'hL2δ'θ9; Mk.Inserting（3.35）into（3.34），我们得到p1`2θqMkd2^hL2δ`θ˙Mk.（3.36），因此，^1'hLδ˙Mkd0，（3.37），这与Mka0是矛盾的，因为hLδd2θ。3。让vi“Saδps，t，νiq代表i“1，2。由于dd和dd，我们通过命题6.2得到所有k P Z的vk，0dvk，0和vk，NaΔdvk，Naδ。通过单调性，我们得到所有k P Z和0alaNaδ，Spk，l，vk，l，aδvk，l，a`，δvk，l，aδvk，l，ДqdSpk，l，vk，l，aδvk，l，a`，δvk，l，aδvk，l，ДqMoreover，Spk，l，vk，l，aδvk，l，a`，δvk，l，aδvk，l，Дq“Spk，l，vk，l，aδvk，l，a`，δvk，l，aδvk，l，Дq“0因此，Spk，l，vk，l，aδvk，l，a`，δvk，l，aδvk，l，ДqdSpk，l，vk，l，aδvk，l，a`，δvk，l，aδvk，l，Дq，并应用前一点得出证明结论。最后，我们给出了比较定理的一个例子，这将在后继中有用。提案3.3。设u：δZ^r0，1s~nR是有界函数，设v，vP ` pGaδq。假设对于所有k P Z和0alaNaδ，我们有spk，l，vk，l，aδvk，l，a`，δvk，l，aδvk，l，uqd0dSpk，l，vk，l，aδvk，l，a`，δvk，l，aδvk，l，uq。然后：vk、l'vk、l'e'4apa、δqσCph、δqlpNaδ'lq'pv'、0'v'、0q `''''''pv'、Naδ'v'、Naδq'''''（3.38），其中Cph、δq：“ln^1'hδu'hδ'hδ'2θhδ''''hδ''hδ'hδ''hδ''2θhL2δ。

（3.39）此外，Cph，δqě\'pu\'LqM\'2θMh'σh'M2σ。（3.40）备注3.4。（i） 为了证明方案的一致性，我们定义了引理3.2光滑函数w，以便pwpxk，plqq P lpGaδq满足Sě0或Sd0，但我们不能使用比较定理，因为边界处的值无法控制。引理3.3中将使用前面的命题，以表明S“0”解的nw和线性插值之间的差异很小。（ii）前面命题的第一个方程中出现的系数exp''4apa、δqσCph、δqlpNaδ'l'表明，对边界值的依赖性随到边界的距离呈指数衰减。这是意料之中的，并且在类似的情况下也观察到了，例如参见[3]中关于Hamilton-JacobiBellman方程的引理3.2。现在我们可以陈述本节的主要结果。定理3.1。函数vn，π，δ在紧集上一致收敛于vn，如|π|，δ~n0满足条件（3.22）–（3.24），其中π“t0”tata¨¨¨¨¨tκ”t u。我们在下面证明，该方案是单调的（见命题3.5），稳定的（见命题3.6），与r0中的（2.10），t q^R^p0，1q（见命题3.7）和边界条件（见命题3.4）一致。然后，该定理由与[4]相同的参数遵循.3.2定理3.1的证明我们首先表明数值格式与边界条件一致。对于任何离散参数π，δ，我们定义Vπ，δ：π^δZ尼R为以下系统的解：Sbpk，vjk，δvjk，`,δvjk，δvjk，vj\'1kq“0，k P Z，0djaκ（3.41）vκk”gpxkq，k P Z，（3.42），其中vjk：“vptj，xkq表示0djdκ和k P Z。我们设置pUπ，δqjk：”δpVπ，δqjk“2δppVπ，δqjk ` 1'pVπ，δqjk'1q。我们从命题6.3中回忆起，Vπ，δ和Uπ，δ在π，δ中一致有界，并且根据[4]，Vπ，δ在紧集上一致收敛于V，如|π| ni0和δni0。命题3.4。

存在常数K，K，Ka0，因此，对于所有离散化参数π，δ，π足够小，我们有，对于ptj，xk，pq Pπ^δZ^r0，1s:pVπ，δptj，xkq'KpT'tjqdvn，π，δptj，xk，pq'pVπ，δptj，xkq'KpT'tjq，pVπ，δptj，xkq'p1'e'Kpqp1'e'Kp1'pqqdvn，π，δptj，xk，pqdpVπ，δptj，xkq'p1'e'Kpqp1'e'Kp1'pqq。证据我们只通过反向归纳来证明下界，而上界的证明是相似的。我们需要先介绍一些符号。对于0djdκ、k PδZ和0dldNaδ，我们设置Vjk：“Vπ，δptj，xkq和Ujk：”Uπ，δptj，xkq P t0，1u，我们定义：wptj、xk、pq：“pVjk'”cptj，pq，（3.43），带cptj，pq:“KpT'tjq'p1'qp1'e'Kpqp1'e'Kp1'pqq，（3.44）和wjk，l“wptj、xk、plq、，cjl“cptj，plq，plPΓaδ。现在证明分两步进行。1、首先wpT，xk，pqdpVπ，δpT，xkq“pgpxkq”vn，π，δpT，xk，pq在δZ^r0，1s上。假设，对于0djaκ，在δZ^r0，1s上，我们有wptj`1，xk，pqdvn，π，δptj`1，xk，pq。我们想证明δZ^r0，1swptj、xk、pqdvn、π、δptj、xk、pq。自从w在p中是凸的，wptj，xk，¨qdIaδpwjk，r0上的¨q，1s。通过定义，我们有vn，π，δptj，xk，pq“minaPKIaδpSaδptj\'1，tj，vn，π，δptj\'1，¨qqpxk，pq，因此我们要证明wjk，ldSaδptj\'1，tj，vn，π，δptj\'1，¨qptj，xk，plq（3.45），对于所有a P K和所有K P Z，0dldNaδ。对于P K，通过归纳假设，wptj`1，¨qdvn，π，δptj`1，¨q，如果我们能够得到sbpk，工作，δ工作，`,δ工作，δ工作，wj\'1k，0qd0，k P Z，（3.46）Sbpk，工作，δ工作，`,δ工作，δ工作，wj\'1k，Naδqd0，k P Z，（3.47）Spk，l，wk，l，aδwk，l，a`，δwk，l，aδwk，l，wptj\'1，¨qqd0，k P Z，0alaNaδ，（3.48），其中wjk“wptj、xk、0q、，wjk“wptj，xk，1q，我们通过命题3.2的比较结果得出（3.45）成立，从而得出结论。我们现在继续证明（3.46）、（3.47）和（3.48）。2.a现在，请注意wjk“'”KpT'tjq，用于k P Z。

我们有，因为f ptj，xk，0，0q“0，f在其第三个变量Sbpk中不增加，工作，δ工作，`,δ工作，δ工作，wj\'1k，0q“\'Kh'hf ptj，xk，'KpT'tjq，0qd0.2。b我们有wjk“Vjk'”KpT'tjq，适用于k P Z.Sinceftj、xk、Vjk'KpT'tjq，Ujkqěf ptj，xk，Vjk，Ujkq，以及通过定义Vπ，δ：Sbpk，工作，δ工作，`,δ工作，δ工作，wj\'1k，Naδq“\'Kh\'Sbpk，Vjk，δVjk，`,δVjk，δVjkqd'Khd0.2。c我们现在证明（3.48）。设k P Z，0alaNaδ。根据S的定义（3.17）：Spk，l，wjk，l，aδwjk，l，a`，δwjk，l，aδwjk，l，wptj`1，¨qq“wjk，l'wptj`1，xk，papplqq`hpF pt，kδ，wjk，l，aδwjk，l，a`，δwjk，l，aδwjk，lqd'cjk，l′uapa，δqσhVj′1k`cptj\'1、xk、papplqq\'plhpF pt、xk、Vjk、Ujk、，`,δVjk，δVjkq ` hpF pt，xk，plVjk，aδwjk，l，a`，δwjk，l，aδwjk，lq，其中我们使用了（3.41）和fpt，xk，wjk，l，σaδwjk，lqěf pt，xk，plVjk，σaδwjk，lq。通过添加plhfptj、xk、plVjk、σaδwjk，lq，使用f和aδwjk，l“plUjk`apa，δq2σpVjk`1`Vjk`1q`2δ'cjl'sgnpaq'cjl“sgnpaq”，根据PF、Spk、l的定义（3.14），我们得到，wk，l，aδwjk，l，a`，δwjk，l，aδwjk，l，wjptj`1、¨qqdhapa、δqσupVj`1k'Vjk`1q'hσapa、δqUjk`2θapa、δqσδUjk`2hLplp1'plqpVjk`'Ujk'q'hL'apa、δq'2σpVjk`1'Vjk'1q'710cjl'cptj\'1，papplqq\'uha`，δcjl'^σh'θδ˙aδcjl˙` hL|aδcjl |。由于| apa、δq | maxt | a |、a P Kudn、V和U在h、δ中一致有界（见附录中的位置6.3），因此存在常数Kn、θ、M、La0，使得hapa、δqσupVj ` 1k'Vjk'1q'hσapa、δqUjk'2θapa、δqσUjk'2hLplp1'plqpVjk'hL；apa，δq | 2σpVjk ` 1 ` Vjk'1qdhKn，θ，M，L.当 “1，除第一行外，最后三行的项均消失，cjl'cptj'1，pl'uapa，δqσhq”Kh。因此，我们得到：Spk，l，wk，l，aδwk，l，a`，δwk，l，aδwk，l，wptj\'1，¨qqdhp\'K\'Kn，θ，M，Lq。因此，选择Klarge就足够了。我们现在处理这个案子 “ 0.

通过泰勒展开式c围绕ptj，plq，我们得到：Spk，l，wk，l，aδwjk，l，a`，δwjk，l，aδwjk，l，wjptj`1，¨qqdhKn，θ，M，L`hL | apa，δq |σ| Bpcptj，plq | ` hBtcptj、plq\'hapa、δqBppcptj，plq`hεph；Kq，limh~n0εph；Kq“0。定义为c、 我们得到，对于稍后要固定的ha0和h P r0，hs:Spk，l，wk，l，aδwjk，l，a`，δwjk，l，aδwjk，l，wjptj`1、¨qqdh"Kn，θ，M，L'KL'apa，δq'σe'Kpl'KLapa，δqσe'Kp1'plq'Kapa，δqe'Kpl'Kapa，δqe'Kp1'plq'εph；Kq公司|dh"maxhPr0，hs |εph；Kq | ` Kn，θ，M，L ` K | apa，δq | pe'Kpl'e'Kp1'plqq'Lσ'apa，δq'K''.综上所述，我们可以选择足够大的Klarge，使Kn、θ、M、L\'K | apa、δq | pe'Kpl'e'Kp1'plqqpLσ''apa、δqKq''η'0，然后考虑ha0足够小，使εph；Kq |dη，对于h P r0，hs。lProposition 3.5（单调性）。设π为满足（3.22）–（3.24）的r0、ts和δa0的网格。设y P R，0dkdκ，j P Z和P P r0，1s，并设U，V：π^δZ^r0，1s~nR是两个有界函数，使得UdV。然后：pSpπ，δ，k，j，P，y，U qěpSpπ，δ，k，j，P，y，Vq。（3.49）证明。k“κ的结果是明确的。如果kaκ，则足以表明：IaδpSaδptk`1，tk，Uptk`1，¨qqqdIaδpSaδptk`1，tk，Vptk`1，¨qq，对于所有a P k，回忆（3.4）. 这是命题3.2中比较结果和线性插值器单调性的结果。我们现在证明了该方案的稳定性。这里，与引理2.1相反，我们无法证明该格式的解在p中是递增的。然而，由于终端条件的有界性，我们获得了vn，π，δ的一致界。提案3.6（稳定性）。对于所有π和δa0，存在唯一的解vn，π，δto（3.4），满足：0dvn，π，δd| g | onπ^δZ^r0，1s。（3.50）证明。

我们用反向归纳法证明了这个命题。首先，因为vn，π，δ是（3.4），vn，π，δpT，x的解，pq“pgpxq关于δZ^r0，1s，we有0dvn，π，δpT，x，pqd| g |对于所有px，pq PδZ^r0，1s。设0djdκ'1，并假设vn，π，δptk，¨q是唯一确定kaj的，并且在0dvn，π，δptj'1，¨qd| g |。由于vn，π，δptk'1是（3.4）的解，我们有vn，π，δptj，x，pq“minaPKIaδpSaδptj`1，tj，vn，π，δptj`1，¨qq，对于每个a P K，Saδptj`1，tj，vn，π，δptj`1，¨qq由命题3.1唯一确定，因此vn，π，δptj，¨q是唯一确定的。接下来，我们证明，对于所有K P Z和0dldNa：0dSaδptj`1，tj，vn，π，δptj`1，¨qqd| g”；.那么很容易得出结论，0dvn，π，δptj，¨qdeLT | g |在R^r0，1s上，通过极化和最小化。首先，很简单，由ˇuk定义的ˇu，l“0表示所有k P Z，0lNasatisˇu”Saδptj`1，tj，0q。比较定理给出了0dSaδptj`1，tj，vn，π，δptj`1，¨qq，因为0dvn，π，δptj`1，¨q。为了获得上界，我们注意到由ˇuk定义的ˇu，l：“g表示所有k P Z和0dldNasatis fiesspk，l，^uk，l，aΔ^uk，l，a`，Δ^uk，l，aΔ^uk，l，^uq“'hfptj，xk，^u，0qě'hfptj，xk，0，0qě0。因此，命题3.2中的比较结果得出Saδptj`1，tj，vn，π，δptj`1，¨qqd| g |。我们现在证明了一致性。证明需要几个引理。首先，我们表明，由控制变化引起的扰动消失为δИ0。引理3.1。对于所有的a P K，a和apa，δq具有相同的符号，并且：0d| a |'| apa，δq | nσδ. （3.51）此外，存在ca0，因此对于所有P K和δa0，| apa，δq | ca0。证据

通过Naδ的定义，pNaδ'1q'a'σδ'1“Naδ'apa，δq'σδ'Naδ'a'σδ，因此'a'a'Naδ'apa，δq'a'。此外，我们观察到'a'Naδ'a'rσ'a's'| a |σ| a |δ“a∑∑∑∑∑∑n∑∑δ，它总结了（3.51）的证明。通过（3.10），我们得到：Na△σ| a |δ\'1dσamδ\'1dσcδ，其中am“mint | a |：a P Ku和ca0独立于a，δ。现在，通过（3.11），我们得到：| apa，δq |“σNa |Δ283; c∑△cΔσ“c.lLast，我们给出了满足适当条件的显式上解和下解。设0dtasdt，δa0和P K为固定值。对于 a0，我们开始pt，x，y，νq：“pfpt，¨，¨，¨，¨qρqpt，y，νq：“zR^R^Rfpt，x'u，y'z，ν'ηqρpu，z，ηq du dz dη，其中是卷积算子，对于 a 0, ρpxq:“\'3ρpx{q与ρ：R~nRis a molli fier，即R'1上支持的光滑函数，1满足Rρ“1。我们设置pt，x，y，q，Aq“σ'u'q'σA'fpt，x，y，σqq。备注3.5。因为f对于最后三个变量是L-Lipschitz连续的，所以我们有| f\'f | L.附录中给出了插入引理的冗长证明。引理3.2。设0dtasdt，ДP CbpR^R，Rq，a P K。设h：“s’t.Let a0以便 И0和δ尼0为h尼0，观察（3.24）。然后存在有界函数Sa，δps，t，Дq:formSa的δZ^r0，1s~nR，δ，ps、t、Дqpx、pq“Дpx、pappqq（3.52）'hFpt、x、Дpx、pappqq、，apa，δqДpx，pappqq，apa，δqДpx，PappqqCД，nph，q、 其中，PAI在（3.18）中有定义，其中，C^1，nph，qa0满意度，nph，qhИ0为hИ0，因此w：“pSa，δ，ps，t，Дqpxk，plqqkPZ，0dldNaδP\'pGaδqq满意度pk，l，w\'k，l，aδw\'k，l，a`，δw`k，l，aδw\'k，lqě0，（3.53）Spk，l，w\'k，l，aδw'k，l，a`，δw'k，l，对于所有k P Z和0alaNaδ，aδw'k，lqd0，（3.54）。此外，对于所有x PδZ，Sa，δ，ps、t、Дqpx、¨q P Cpr0、1s、Rq和| BppSa、δ，ps，t，Дq |dCДphq对于某些常数CДphqa0，独立于.引理3.3。设0dtasdt，δa0，a P K，νP CbpR^Rq为固定值。

设h“s't，k P Z，xkPδZ，P P 0，1q，并假设h足够小，因此P P rp，pNaδ'1s，观察（3.24）。设 a0以便 И0和δИ0为hИ0。那么我们有：Sa，'δ，ps，t，Дqpxk，pq'IaδpSaδps，t，Дqpxk，pqdCД，nph，q、 （3.55）IaδpSaδps，t，Дqppxk，pq'Sa，`δ，ps、t、Дqpxk、pqdCД、nph、，q、 （3.56）式中，CД，nph，qa0满意度，nph，qhИ0，作为hИ0，其中函数Sa，δ，引理3.2中引入了ps，t，Дqare。证据我们证明了第一个恒等式，第二个恒等式是相似的。设置w：“Saδps，t，Дq和w'：”Sa，'δ，ps、t、Дq。通过定义w和（3.54），一个可以应用的命题3.3。对于所有k P Z和0alaNaδ：w'k，l'wk，ldBe'4apa，δqσCph，δqlpNaδ'lqdBe'4apa，δqσCph，δqpNaδ'1q，（3.57）对于B“| pw'¨，0'w¨，0q `''''''''''''pw¨，Naδq''''和Cph，δq在（3.39）中定义。根据EMMA 3.1，存在一个常数ca0，使得'apa，δq''c。此外，使用（3.40），我们得到：Bhe'4Cph，δqapa，δqσpNaδ1q''Bhe''''4c ppu\'LqM\'2θMqh `σh'M2σ,“BecM2σe'4cσppu\'LqM\'2θMqh'σhh尼0，作为h尼0。现在，让p p rp，pNaδ'1q和k p Z。通过Iaδ的定义，一个有：IaδpSaδps，t，νqpxk，pq”λwk，l\'p1'λqwk，l\'1，（3.58），其中p rpl，pl\'1q与0aNaδ'1和λ”pl\'1'ppl因此：Sa，'δ，ps，t，Дqpxk，pq'Iaδpwqpxk，pq“Sa，'δ，ps，t，Дqpxk，pq'Iaδpw'qpxk，pq'Iaδpw'qpxk，pq'Iaδpwqpxk，pq（3.59）“Sa，'δ，ps，t，Дqpxk，pq'Iaδpw'qpxk，pq'λpw'k，l'wk，lq'p1'λqpw'k，l'1'wk，l'1q。最后两项由（3.57）控制，并由函数pTh~nSa的线性插值性质'δ，pt`，t'，Дqpxk，pq P Cpr0，1s，Rq，带| BppSa，'δ，pt`，t'，Дq | Cdphq（回想前面的引理）第一项为δ阶“因为（3.24）是有效的，δ~N 0. lLemma 3.4。