一个新的自筹资金方程的应用

在继续之前，我们注意到，通过选择不同于（1.10）的订单形状函数的不同重新规范化，可以恢复ClassicalMgren-Chris价格影响模型以及标准比例交易成本模型。我们请感兴趣的读者参阅【10】第3节，详细讨论这一重要评论。2、价格影响和模型上述自我融资方程可视为对市场的基本描述。它们提供了会计师对市场的看法。给定交易者的库存和他或她交易的限额订单簿，账户可以很好地跟踪他或她的财富。假设的数量是最少的，以便在给出交易策略后获得完全跟踪财富的结果。然而，上述框架并没有说明哪些交易策略可以导致库存过程满足所推导的自我约束条件。显然，如果任何策略在某种合理的意义上是允许的，那么使用限价指令进行交易总是比使用市场指令进行交易更可取，因为显然更可取的做法是获取交易成本，而不是支付交易成本。但实际上，在使用限额和市场指令之间存在着一种权衡。这种贸易效应被诸如逆向选择、价格影响和市场反应功能等关键词所取代。这三个术语至少在非正式层面上是相关的，并且与不同社区（分别是经济学、数学金融和经济物理学社区）试图模拟下达限额指令的隐性成本的尝试相关。我们在前两节的框架内提出了自己的方法。

为了明确起见，我们使用价格影响这一术语，与mathematica金融界的其他成员保持一致。我们想强调的是，我们认为定义2.1是本节的主旨，也是我们对价格影响文献的主要贡献。这是由经验事实推动的，很有可能，Lp≥ 使用市场订单进行交易时为0，并且Lp≤ 使用限额订单交易时为0。简单地说，这些不平等表明，价格永远不会立即违背市场秩序。这是一种非常简单但稳健的价格影响模式。定义2.1。设p是一个价格过程，c是一个交易成本过程，L是一个库存过程，完全通过使用限额订单获得。我们说，如果[p，L]的样本路径严格减少A.s，则新的自筹资金方程7triplet（p，c，L）的应用是一致的。。我们经常会说，当交易成本过程c对应于订单簿时，这对（p，L）是一致的，在该订单簿上，限额指令可以从上下文中理解。接下来，我们将在一个引入的特定模型上说明这一定义的重要性，该模型旨在证明[3]和[20]等效应的合理性，以将价格影响建模为两个交易时间之间限制订单簿的平均值逆转。选择这样一个模型进行说明的好处是，我们处理的是财富方程，而不仅仅是不平等，这会导致更强大的结果，尽管假设力度不够。2.1. 更明确、更严格的价格影响模型。本节的目的是表明，具有实际价格恢复的限价订单融资率模型可以导致价格是交易量函数的Tomodel，反之亦然。这为高频市场的供需提供了一个模型，并结束了建模过程中的偏差。

虽然这种结构模式l比我们之前的简化模型更为严格，但我们认为它说明了一些重要的市场特征，并提供了我们从微观到宏观转变的另一个例子。所谓精确价格恢复，我们的意思是，在该模型中，可以计算当限价订单在限价订单簿上完成流动性时发生的精确价格移动，否则，假设价格恢复到之前价格和移动产生的新价格之间的确定值。2.1.1. 微观假设。让(Ohm, F、 P）是概率s速度，P和Lbe是两个离散时间过程，分别代表市场价格和流动性提供者的库存。设γ是一个C-函数值离散时间过程，表示提供者的形状函数和与其相关的交易成本过程。我们的基本假设是p=λc′(-五十） （2.1）或等效L=-γ′(λ-1.p） （2.2）式中λ∈ （0，1）是封装价格恢复的实数。λ越大，价格恢复越小。2.1.2工具。方程（2.1）允许流动性提供者从交易量和订单簿中得出价格，而方程（2.2）从价格和订单簿中得出交易量。在连续极限中，两者导致p、L和γ之间具有相同的一致性关系。我们的分析基于【17】中的一个结果，我们为完整性陈述了该结果。让(Ohm, F、 F，P）是支持一维fviener过程W的过滤概率空间，Y是形式为：Yt=Y+Ztbtdt+ZtσtdWt，t的一维It^o过程∈ [0, 1]. （2.3）假设2。2.（[17]中的（H）+（K）我们假设Bt和σtare进度是可测量的，Bt是局部有界的，σtis c\'adl\'ag。8勒内·卡莫纳和凯文·韦伯斯特诺让F：Ohm ×【0，1】×R→ R是一个随机的m，F适应函数，即Cin和Cin（t，y）。

我们将把符号缩短为y 7→ 英尺（y）。假设2.3。（[17]中的（7.2.1），（10.3.2），（10.3.3），（10.3.4）和（10.3.7）），我们假设a.s.对于所有t，fti是奇数函数。此外，我们假设存在一个函数g:R→ R最多为多项式增长，且实数β>1/2，因此，对于所有ω∈ Ohm, （t，s）∈ [0，1]和y∈ R我们有：|英尺（y）|≤ g（y）| F′t（y）|≤ g（y）| Ft（y）- Fs（y）|≤ g（y）| t- s |β我们将利用[17]中的以下结果（10.3.2）：定理2.4。在假设2.2和2.3下，原始空间存在一个非常好的过滤延伸，因此我们有以下稳定的收敛定律，如N→ ∞:√NNt公司Xn=1Fn/N√N（Y（N+1）/N- Yn/N）→ 其中，ut=ZtbsΦσs（F′s）ds+ZtpΦσs（（Fs））dW′s（2.4），其中W′是一个d维维纳过程，使得[W′，W]t=ZtΦσsid FksσspΦσs（Fks）dsand id是恒等式函数。2.1.3. 连续时间设置。让(Ohm, F、 F，P）是支持F-Wiener过程W的过滤概率空间。我们将确定价格为p+Ztusds+ZtσsdWs（2.5）的It^o过程，或存货为L+Ztbsds+ZtlsdWs（2.6）。除了其中一个过程外，我们还确定了一个订单书形过程γ=（γt）t≥0并用c=（ct）t表示≥0关联的交易成本流程。假设L（分别为p）满足假设2.2，c′（分别为γ′）满足假设2.3。这些假设基本上表明，随机交易成本函数ct（·）是对称的，在空间上具有两次可微性，在时间上具有很强的光滑性。与之前一样，我们定义了离散化过程LNn=Ln/N（分别为pNn=pn/N）和cNn（·）=Ncn/N√N个·（分别为γNn（·）=NγN/N√N个·).新的自筹资金公式的应用92.1.4。主要结果。主要结果是定理2.4的简单应用。如果我们得到存货L和交易成本c，那么我们得到：推论2.5。

原始空间存在一个很好的滤波扩展，因此我们在pN定律中具有稳定的收敛性Nt公司→ ptwithdpt=-λbtΦlt（c′t）dt+λpΦlt（（c′t））dW′t（2.7），其中[W′，W]t=-ZtΦls（id c′s）lspΦls（（c′s））ds。（2.8）尤其是，d[p，L]t=-Φlt（id c′t）dt（2.9）如果我们从价格p和阿诺德书形函数γ开始，就会得到一个完全类似的结果：推论2.6。原始空间存在一个很好的滤波扩张，因此我们在律LN中有稳定的收敛性Nt公司→ LtwithdLt=-utΦσtγ′t（λ-1·)dt+pΦσt（（γ′t）（λ）-1·））dW′t（2.10），其中[p，L]t=-Φσsidγ′t（λ-1·)dt。(2.11)2.2. 特殊情况。虽然非常不现实，但由于其极易处理，fl-at订单簿模型已被反复使用。参见示例【2，20】。对于某些实值自适应过程m=（mt）t，它对应于满足γ′\'t=mt的形状函数≥0仅获取正值。因此，相关成本函数是必要的，这种二次交易成本模式l导致线性价格影响模型：（dpt=-λmtdLtdXt=Ltdpt+- λltmtdt。（2.12）请注意，有效交易成本的符号是- λ. 事实上，在自我融资的情况下，λ=，价格收益和价格影响相互抵消。如果λ>，则由于价格回收率不足，交易的价格影响大于集合价差。此外，由于订单的统一结构和零售价，供应商的库存与价格完全不相关。缺乏价格操纵策略。任何市场微观结构动态模型的一个主要关注点是价格操纵策略的可能存在。这些可以用多种方式定义，Schiedet等人在[3]中对其进行了广泛研究。

在当前背景下，我们通过以下方式定义价格操纵：定义2。7（价格操纵）。设c为交易成本函数，λ为价格恢复参数，以及一组在定义2.1意义上一致（相对于c）的过程（p，L）。如果存在A（p，L），我们说这个集合A受到价格操纵∈ A使得L=LandE[X]>E[X]。（2.13）10 REN’E CARMONA和KEVIN WEBSTERIn words，我们想排除往返统计套利，因为流动性提供商不控制传入的市场订单。飞行订单簿的可跟踪性使我们能够排除许多情况下的价格操纵策略。2号提案。考虑一个具有价格恢复参数λ的市场。恒定流量订货簿γ′t≡ 如果λ≥ 1、另一方面，当λ<1时，价格操纵策略确实存在。证据使用（2.12）的两个方程，我们得到：dXt=-λ2mtd（L）t+1- λ2mtltdtso，t=0和t=1之间的积分，如果L=L：X=X+1- λZlsmsds（2.14），很容易得出结论。建议关系的应用取决于库存和价格过程L和p的模型。在后半部分中，当我们提出优化问题时，我们假设库存可以是任何It^o过程。这是一种信仰行为，因为要做到这一点，通常需要良好的执行算法和限制顺序。在任何情况下，为了与上述[10]的结果一致，我们要求这些过程在使用极限指令和d[p，L]t时满足d[p，L]t<0≥ 0表示市场订单。3.1. 期权Hedgi n g。在本节中，我们推导了本地波动模型中欧洲期权的定价PDE，交易成本和价格影响由我们自融资条件下的逆向选择项给出。

我们只强调使用市场指令进行交易的顺序，而不是使用有限指令进行交易。这与gammaconstraint下期权对冲的文献直接相关。我们恢复了与[22]和[13]中相同的PDE结构和gammapenalization作为流动性成本的解释，尽管路径不同。这些论文没有强调逆向选择，也没有对Orderbook进行讨论。第一篇论文从gamma惩罚部分微分方程（PDE）开始，而另一篇论文将其作为PDE模型的一个极限。这两篇论文都没有从微观结构模型推导出偏微分方程中的非线性惩罚。他们更关注惩罚条款的含义。除了提出一种基于微观结构的方法来解决这个问题外，我们的解决方案还回答了一个非常务实的问题：一个delta对冲应该使用限额指令还是市场指令？我们认为答案取决于期权的伽马符号。在下文中，我们首先在完全非线性的情况下展示了与[13]和[22]的强平行性。线性case如下所示为一个推论y。显然，它作为Black和Scholes框架的一个易于处理的扩展更具有实际意义。新自筹资金方程式113.1.1的应用。数学设置。让(Ohm, F、 F，P）是一个过滤的概率空间，Wbe是一个生成过滤F的F-布朗运动。我们假设中间价格PTI是外生的，满足随机微分方程（SDE）：dpt=u（pt）dt+σ（pt）dWt，（3.1），其中u和σ是两个全局Lipschitz函数。我们还假设订单形状函数过程γ=（γt）t≥0是连续且随机的，仅通过价格水平p，即γt（α）=γ（pt，α），对于确定性函数（p，α）→ γ（p，α）。

我们挑选了一名交易员，并定义了一个投资流程，因为anF将其调整为o流程lt=L+Ztbudu+ZtludWu（3.2），其中（bt）t≥0和（lt）t≥0是F适应的c\'adl\'ag流程。注意，在此公式中，LTI已签名。由于我们将限额或市场指令交易确定为d[p，L]t的符号，因此当我们对限额指令交易建模时，我们将施加约束lt<0，并且lt≥ 使用市场订单进行交易时为0。用c（p，·）表示γ（p，·）的勒让德变换m。我们将使用函数g（p，l）=符号（l）Φl（c（p，·））（3.3）给定一个实数Kre表示交易者的初始现金捐赠，根据我们的自我融资条件，她的财富由：Xt=Lp+K+ZtLudpu+Zt（σ（pu）lu给出- g（pu，lu））du。（3.4）这源自命题？？？中证明的自我融资方程？？。让f∈ Cbe到期的欧洲期权的支付功能。我们制定了如下完美的复制策略。定义3.1。初始现金捐赠和库存过程L=（Lt）t≥据说，0完全复制了到期时的欧洲支付f（pT）T ifXT=f（pT）（3.5），相应的复制价格定义为X=K+pL.3.1.2。结果。定理3.2。让f∈ Cand T>0。假设v∈ C1,3解决PDE：vt（t，p）+gp、 σ（p）vp（t，p）-σ（p）vp（t，p）=0（3.6），终端条件v（t，p）=f（p）。然后Lt=vp（t，pt），K=v（0，p）-vp（0，p）p形成一个完美的复制策略，用于在到期时支付（pT）。此外，复制库存的波动率由t=σ（pt）给出vp（t，pt），（3.7），该选项的复制价格为X=v（0，p）。12勒内·卡莫纳和凯文·韦伯斯特鲁夫。选择Lt=vp（t，pt）引线tolt=σ（pt）vp（t，pt）（3.8）和BT=vt型p（t，pt）+u（pt）vp（t，pt）+σ（pt）vp（t，pt）。（3.9）作为v∈ C1,3，因此，选择LTI是一个良好的库存过程。

减记财富动态导致：dXt=（σ（pt）lt- g（pt，lt））dt+Ltdpt=-g（pt，σ（pt））vp（t，pt））+σ（pt）vp（t，pt）dt公司+vp（t，pt）dpt=σ（pt）vp（t，pt）+vt（t，pt）dt公司+vp（t，pt）dpt=d（v（t，pt））。由于初始值s相匹配，我们始终得到Xt=v（t，pt）。到此结束。当v对于所有t和p，p（t，p）>0。负伽马选项是vp（t，p）<0表示所有t和p。推论3.3。当仅使用一种类型的指令（如限额或市场指令）时，正伽马期权只能与市场指令对冲（在其支付可以重复的意义上）。负gamma期权只能通过限额指令进行对冲。证据标识符t=σ（pt）vp（t，pt）（3.10）意味着Lt和o选项gamma必须具有相同的符号。备注3.4。我们通过评论一个简单的practicalexample来说明上述结果。如果一个人购买了一个看涨期权并对其进行了delta对冲，那么必须通过动态交易策略创建一个综合的负加马头寸。因为看涨期权的delta随着价格的上涨而增加，交易者必须在价格上涨时卖出，在价格下跌时买入。鉴于限价订单往往在价格上涨时买入，在价格下跌时卖出，因为价格影响，它们用于降低delta对冲的成本是有意义的。备注3.5。上述结果为ELTA对冲负伽马头寸提供了直观的实施策略。通过计算期权的伽玛值，可以计算出如果价格下跌，需要购买多少，如果价格上涨，需要购买多少。通过将限价订单放在队列的最后，如果我们不执行对冲，价格就不可能变动。

由于模型只有一个随机冲击源（维纳过程W=（Wt）t≥0），它预计将在完美复制的情况下完成。在实际情况中，市场的不完备性和价格可能向后移动的事实引入了一些对冲风险。然而，与限额指令交易产生的负相关降低了三角洲对冲的成本。新自筹资金方程13的应用在v的二阶导数中，PDE（3.6）是非线性的。然而，当所有订单都可以在交易前的最佳出价或最佳卖价下完成时，PDE（3.6）是线性的，在这种情况下，我们恢复了Black-Scholes型公式。推论3.6。假设所有订单都可以按交易前的最佳出价或最佳要价完成，并用st=s（pt）表示买卖价差。然后定价PDE（3.6）变为vt（t，p）+σ（p）s（p）√2π-σ（p）vp（t，p）=0。（3.11）证明。在买卖价差情况下，c（p，l）=s（p）| l |，因此g（p，l）=s（p）√2πl。特别是，我们恢复了标准的无摩擦局部波动模型whens（p）=√2πσ（p）。这是因为在我们的自我融资条件下，代表交易成本和逆向选择（即价格影响）的术语正好相互抵消，无摩擦的自我融资方程成立。除了计算交易成本和即时逆向选择下的价格和增量对冲比率外，该理论还通过指定何时应使用限额或市场指令对冲期权，提出了执行策略。3.2. 做市商。对于我们的第二个应用程序，我们根据[7]中提出的模型的关键细节调整了我们的框架。其目的是解决代表性做市商控制价差和最大化利润的优化问题。