一个新的自筹资金方程的应用

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英文标题：
《Applications of a New Self-Financing Equation》
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作者：
Rene Carmona and Kevin Webster
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  The goal of this note is to illustrate the impact of a self-financing condition recently introduced by the authors. We present the analyses of two specific applications usually considered in more traditional models in financial mathematics. They include hedging European options with limit orders and the optimal behavior of market makers.
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中文摘要：
本说明的目的是说明作者最近提出的自筹资金条件的影响。我们分析了金融数学中较传统模型中通常考虑的两个具体应用。它们包括用限价指令对冲欧洲期权和做市商的最佳行为。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
--> Applications_of_a_New_Self-Financing_Equation.pdf (236.49 KB)

2022-6-23 21:34:51 上传

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关键词：Applications Quantitative Application mathematics Traditional

一种新的自筹资金等式的应用Ren’E CARMONA和KEVIN WEBSTERAbstract。本说明的目的是说明作者最近提出的自我融资条件的影响。我们对金融数学中传统模型中通常考虑的两个具体应用进行了分析。它们包括用限价指令对冲欧洲期权和做市商的最佳行为。MSC 2010:91G99、91G80、91G20 J EL:C61。引言：自筹资金方程在定量金融中，标准自筹资金方程是无摩擦市场理论的一个重要基调。它在许多基本成果中发挥着至关重要的作用。从数学上讲，这是一个简单的方程式，它限制了投资者在某个子空间中生活的财富过程。因此，该子空间被视为可接受投资组合的空间。金融市场数学理论的新手经常抱怨自我融资的状况以及它与现实世界的关系。虽然它可以假设为一个数学定义，但也可以从交易时钟中交易微观结构的准确描述开始的限制程序中推导出来。这种方法是我们战略的核心，要实现它，我们必须克服从离散时间到连续时间的特殊性。“可悲的事实是，连续时间内的自我融资条件比离散时间内的情况要微妙得多。”在宏观层面上讨论市场模型时，我们假设中间价格p和库存L由It^o过程给出：（对于两个具有不特定依赖结构的维纳过程W和W\'，dpt=utdt+σtdWtdLt=btdt+ltdW′t（1.1））。

在最简单的情况下，我们还考虑了一个调整后的过程停顿，作为在标度大小的买卖价差度量d的连续时间限制内发生什么的代理。连续时间金融机构的标准自我融资条件可以称为约束条件：dXt=潜在权益的价格p、存货L和代理人的财富Xo之间的Ltdpt（1.2）。在大多数经典金融模型中，默顿的投资组合理论是一个案例日期：2019年5月13日。J、 迈克尔·斯蒂尔，《随机微积分和金融应用》，第14.5节“自我融资和自我怀疑”。2 REN’E CARMONA和KEVIN WEBSTERin点，价格p是显式给出的，存货L是代理人的输入，她的财富X显示为等式（1.2）的输出。本文的目的有两个。我们首先以数学的方式将订单正式化，并确定相关的交易成本和交易方程式。第二个目标是将自我融资组合条件（1.2）推广到高频市场的已知特性，包括交易成本、价格影响和价格恢复。除其他外，我们希望这一概括能够量化通过限价指令进行的交易与市场秩序之间的差异。最后，我们想提醒读者，本文中提出的公式只是必要的，量化限价指令的利率、优先级和价格恢复超出了本文的范围。1.1. 订单。我们首先介绍了价格网格上的一对正测量（b，a）的订单。在充分定义中间价格的假设下，引入了订单簿形状函数γ的等效定义。

形式上，γ′=a+b，其中γ′是函数γ在Schwartz分布意义下的二阶导数。交易成本由订单书形函数γ的勒让德变换c给出。这导致订单簿上所有机械交易的简化it公式，如瞬时价格影响、交易量等。特别是，与自融资投资组合相关的财富的离散时间方程将显示为：X=Lp±c(五十） +pL（1.3）式中，当使用限价指令进行交易时，±is+，以及- 使用市场订单进行交易时。1.2. 提出了选择融资方程。在连续时间内，相应的自筹方程的形式为：dXt=Ltdpt±ZRc（y）φσt（y）dydt+d[L，p]t（1.4），其中，与之前一样，在使用限制指令s和- 当以市场订单交易时，φσ是均值为0、方差为σ的高斯分布的密度函数。我们在第节中显示？？因此，当在交易时钟中测量时间时，公式（1.4）的离散时间模拟可以严格地从特定的限额订单特征中推导出来。它还与实际财富数据相匹配（见[9]和本文末尾的附录，以获取经验证据）。只要交易是以限价指令完成的，我们也会使用约束D[L，p]<0（1.5）。对这一约束的解释是价格影响。它也在[9]中的高频数据上进行了彻底的测试。另请参见pap er末尾的附录，以获取来自不同交易所的市场数据的证据。现在，我们解释我们的情况（1.4）和不良反应约束（1.5）与文献中最常见的情况的关系。稍后在第节中？？，后者将作为离散自融资方程在不同标度假设下的连续时间限制导出。新的自筹资金方程31.3的应用。

Almgren-Chris模型。阿尔姆格伦和克里斯的开创性工作解决了一个密切相关的问题。这些作者提出了流动性接受者决策后价格影响和财富变化的宏观模型。该模型产生了一个非常易于处理的框架，过去和现在都在许多优化执行研究中使用（例如，参见[2，20]）。该框架可由系统总结：dpt=f（lt）dt+σtdWtdLt=ltdtdXt=Ltdpt- c（lt）dt（1.6），其中f和c是正函数。该模型的主要优点是价格影响以一种可处理的方式出现。事实上，它是通过价格过程的漂移f（lt）来实现的，它在交易量和价格之间建立了正相关关系。然而，它被限制为时间的不同函数，因此，模型参数不能直接校准到市场数据，这使得模型难以进行测试。根据[9]中对纳斯达克数据的实证分析，有大量证据支持不可区分存货（另请参见本文末尾的附录）。此外，某些交易策略，如delta对冲、延迟套利和统计ar比特率，自然会导致在有限的变化范围内建立库存模型。最后，AlmgrenChriss方法不包括限额指令的使用。1.4. 交易成本文献。与本文相关的经典al Mathematic Financialst分支是交易成本下的投资组合选择（[12、19、21]或最近的评论[18]）。这些工作大多是从流动性接受者的财富方程开始的，该方程将经典的自我融资方程推广到交易成本设置。

然而，总的来说，这些论文并不强调模型的推导，而是强调对其后果的研究。我们希望通过为自我融资投资组合提供更准确的方程式，同时保持合理的可操作性，从而解决与流动性提供相关的问题，如做市，以此吸引社区的这一部分。此类应用程序的一个有趣的特性是代理不直接控制她的投资组合，这增加了一个额外的建模挑战。对于记录，我们注意到本文献分支中使用的标准方程为：dXt=Ltdpt-st | dL | t（1.7），其中STI为买卖价差，再次假设库存过程有有限的变化，即Rt | dL | s<∞ 对于所有有限公司而言，该模型的优势在于其含蓄性、相对易处理性以及对市场的直接校准。然而，我们看到一个缺点，即过程L只能有有限的变量。此外，模型中没有价格影响、限价订单和其他微观结构因素。应将c s理解为交易成本函数。由于这个原因，通常假设它是凸的。有关这一问题的原因，请参见[9]和附录。4勒内·卡莫纳和凯文·韦伯斯特1.5。方法论我们的目标是从更基本的角度推导自我融资方程，而不是直接在连续极限下定义自我融资投资组合。为了获得我们的结果，我们因此提出了以下新策略：（1）确定市场的盘式实时表示，其中所有相关的主要数量（如价格）都是在逐笔交易的基础上确定的。这就是我们所说的“微观”现象。（2） 推导或定义衍生数量（例如财富）和交易约束（例如。

通过限价指令进行交易）。（3） 假设主要感兴趣的数量是来自连续时间扩散过程的样本，其采样频率达到单位。因此，每个微观模型都嵌入到一系列近似连续时间模型的微观模型中。我们称连续时间极限为模型的“宏观”极限。（4） 利用适当的极限定理，推导出导出的数量和交易约束的连续时间类比。我们感兴趣的主要数量，即自我融资投资组合的财富，并不需要随机模型，而是需要对限额订单上交易规则的精确描述。这些规则创造了结构关系，我们试图在微观尺度上，将财富作为一个非线性函数，表达在我们的基本量路径上。然后，一个大数函数定律控制了用于推导自我融资投资组合方程连续时间等价物的限制参数。上述四步方法可用于各种金融市场。事实上，应该可以推导出市场微观结构形式的自我融资方程。控制输入变量的连续时间限制可以得到一个易于处理的总结方程。虽然高频市场可以支撑其他市场，但它所采取的特别简单的形式，以及它可以很容易地在经验数据上进行测试，使高频市场成为我们理论的理想测试平台。

我们的演讲受到高频市场的影响有三个原因：1）它们是电子市场中最相关的；2） 我们可以在经验数据上说明和测试许多特定特征；3）我们认为，我们的价格影响约束是电子市场的一个特别强大的特征。我们的研究通过建模价格影响，为通过限价订单进行交易和通过市场订单进行交易之间的差异提供了新的线索。这可以直接在连续时间限制内完成，或通过与自我融资方程相同的策略完成。在这种情况下，在微观尺度上提出了每笔交易后的价格变动模型，并使用泛函中心极限定理推导了相应的连续时间方程。我们相信我们的建模方法的潜力，并希望通过这种从微观到宏观的方法，将金融市场的其他特质融入到连续时间模型中。采用类似微观方法的著名论文有【7、11、23】和【15、16】。前三个pap研究微观结构以得出最优买卖价差政策。限制订单簿的后两个命题透视模型。最后，[14]推导出其中一个微观订单模型的扩散极限。新的自筹资金方程式51.6的应用。[10]的基本结果。本文的第一部分正式确定了limitorder账簿上的交易，并提供了交易的微观描述。引入了与交易成本的二元关系，并将自我融资条件导出为单个交易的主要会计关系我们从一个极限订单书模型开始，该模型由两个具有非重叠支持的正（有限）度量给出。

y代表限额买卖订单的分配由此，我们得出了风险中性流动性决策者的最佳行为：通常他应该按照未来价格的预期值下订单然后，我们认为，在贸易时钟给定的离散时间内，三个基本量的变化应通过基本会计关系联系起来X=Lp+c(-五十） +pL（1.8），我们将其理解为单一贸易自筹方程。这里，p代表报价，通常是平均最低价和最低价的中间价，L是库存（股票数量），K是交易者持有的现金量，X是财富（标记为报价p），由X=pL+K定义。通常我们使用符号 交易发生后数量的变化。然后，导出了自融资方程的连续时间版本，作为不同标度制度下离散自融资方程的极限。我们回顾了这些限制程序的各个步骤，并确定其中一个限制模型比文献中当前使用的模型更相关。来回法从一个连续时间模型开始，在该模型中，报价pta和库存lta都是It^o过程。见下文（1.9）。由于现有金融数学文献中没有广泛使用库存过程具有非平凡二次变量分量的假设，[10]在两个附录中提供了基于纳斯达克和TSX高频交易数据分析的经验证据。单笔交易自我融资条件的连续时间版本通过以下方式获得。

我们从过滤概率空间开始(Ohm, F、 F，P）支持两个F-Wiener过程W和W′，具有不特定的相关结构，在固定的时间间隔内，例如[0，1]，我们为流动性提供者的价格和库存提供了两个F-adapted过程：（pt=P+Rtuudu+RtσudWuLt=L+Rtbudu+RtludW′u（1.9），其中Pandlare平方可积F-可测随机变量，以及u，σ，波段l是F适应和c\'adl\'ag过程。我们认为，时间上的订单是由凸形函数γt给出的，凸形函数γt是一个连续的F适应过程，满足度γt（0）=0，我们用ctits Lege-ndre变换表示，给出了与订单时间t上的交易相关的交易成本。【10】的主要观点是证明如果在整数N给出的尺度上≥ 1我们假设中间价格根据连续时间pt的圆盘重定时pNn=pn/n=0，1，···，n演变（与库存LNn=Ln/n类似，如果订单boo k的6 REN’E CARMONA和KEVIN WEBSTERshape在标度n下给出：γNn（x）=nγn/n√Nx公司. （1.10）如果单笔交易自我融资条件保持在规模N，则流动性提供者财富X、存货L、价格p和交易成本函数c之间的连续时间关系为：dXt=Ltdpt+Φlt（ct）dt+d[L，p]t（1.11），其中Xt=limN→∞XN公司Nt公司u、 c.p.在此公式中，Φσ是均值为0且方差σ为的高斯分布的累积分布函数。本说明的目的是介绍一些文献中已经吹捧过的应用程序，但这些应用程序在新的自我融资条件下获得了新生。备注1.1。