一个新的自筹资金方程的应用

她面临的交易，也是该模型的关键组成部分，如下所示：spread越小，交易的可能性越大，但她对每一笔交易的贡献越小。以类似于[7，23]的方式，我们通过报价价差的递减函数来模拟执行limitorder的可能性。这将首先在微观层面上完成，以便在宏观层面上为我们的库存流程l获得合理的模式l。与[7]的一个关键区别是，我们仍然施加价格影响约束，这进一步降低了做市商的优势，因为他们的选择不利。在这方面，我们的模型更接近于[11]中提出的模型，该模型还提出了一个市场使控制问题受制于逆向选择的问题。为了确保满足价格影响约束，我们在微观层面上使用了Almgren和Chriss模型的修正版本【5】，以将中间价格的变化与流动性提供者总库存的变化联系起来。我们很抱歉nL=-λn+1np（3.12），对于Fn+1可测正随机变量λn+1。这是一种不可预测的线性价格影响形式，即事后价格增量是交易量的线性函数。为了获得[7]的见解，我们对lλn+1进行建模，使E[λn+1 | Fn]=ρn（sn）Fn（sn）和E[λn+1Fn]=（Fn（sn））（3.13），其中sni是做市商选择的价差，ρnand Fn是连续的，正函数，Fn递减，ρn∈ [0 , 1]. 利差中fnisdecreasing的假设是从m[7]继承的，而ρn必须是Smallerthan 1的事实是由于Jensen的凸性不等式。我们假设λn+1独立于REN’E CARMONA和KEVIN WEBSTERofnp在Fn上有条件。

计算Lnyiels的可预测二次变化：n-1Xk=1fk（sk）Ekp公司Fk公司, （3.14）Ln和Pn的可预测二次协方差由以下公式得出：-n-1Xk=1ρk（sk）fk（sk）Ekp公司Fk公司. （3.15）这表明在连续介质极限中使用以下模型：（dpt=utdt+σtdWtdLt=-ρt（st）ft（st）utdt+ft（st）σtdW′t（3.16），d[W，W′]t=-某些自适应、连续和正函数ρt（·）和具有ρt的ft（·）的Rtρu（su）du≤ 1和Ft减小。注意，LTC的方程式也可以写成：dLt=-ρt（st）ft（st）dpt+ft（st）q1- ρt（st）σtdW⊥t（3.17），采用维纳过程W⊥t依赖于Wt。从现在起，我们将假设PTI适应Wt评级的过滤基因。应用我们的财富方程，我们得到：XT=LTpT-ZTptdLt公司+√2πZTσtstft（st）dt。（3.18）对于fta和ρt，一个自然的假设是，它们是由波动率重新标度的利差的时间独立函数：ft（s）=f（s/σt）；ρt（st）=ρ（st/σt）（3.19），对于某些C衰减函数f和C函数ρ。此外，如果g（x）=xf（x）是x的递减函数，那么g（x）→ 0澳大利亚证券交易所→ ∞, 对于所有x，f（x）>0≥ 风险中性做市商试图以最佳方式设定利差的问题是最大化：supsEXT。（3.20）这是一个经典的随机控制问题，我们使用Pontryaginmaximum原理来解决。让我们首先定义几个功能。引理3.7。对于所有a>0，定义函数FabyFa:x 7→x个√2πf（x）- aρ（x）f（x）（3.21），则函数m（a）=maxx∈[0,∞)Fa（x）（3.22）在a中定义良好、连续且呈下降趋势。此外，存在可测量的选择M（a）∈ argmaxx∈[0,∞)Fa（x）（3.23），我们得到m（a）>0。一个新的自筹资金方程15的应用证明。

Fir st，请注意，对于所有a>0，Fa（0）=-aρ（0）f（0）≤ 0，Fa（a+1）≥ f（a+1）>0下一步，如果g在间隔[x]上减小，∞), 然后我们可以将函数β（a）定义为g-1.o f（a+1）如果f（a+1）在g[x]中，∞), 以及其他方面。β（a）连续且满足f（a+1）≥ g（x）表示所有x∈ （β（a），∞).这证明了fa的最大值在紧致区间[a+1，β（a）]上。M的连续性由Berge的极大值定理所证明。它是由Fa的定义递减的。可测量的选择结果遵循[4]中的定理m 18.19。3.8的提案。控制问题的任何解的形式为σt=m（αt）（3.24），其中αt=E[pT- pt | Ft]utσt+Ztσt，（3.25）Zt是pTProof鞅表示的波动率。我们应用随机Pontryagin极大值原理的必要部分。广义哈密顿量等于：Ht（s，L，Y，Z，Z⊥) = -ρ（s/σt）f（s/σt）[（Yt- pt）ut+σtZ]+σt√2πsf（s/σt）+σtf（s/σt）p1- ρ（s/σt）Z⊥a djo int方程通过yt=E[pT | Ft]（3.26）来求解，这尤其意味着Z⊥t=0。zt可以通过Wt生成的布朗滤波上的鞅表示定理来计算。因此，最大化的哈密顿量变成σtFαtsσt（3.27）和前一引理。除了最优控制之外，人们可能会对做市商预期收益的σ和αtof的依赖性以及其库存的波动性感兴趣。请注意，库存的低波动性意味着做市商基本上已经退出市场。推论3.9。做市商的预期收益率“ZTM（αt）σtdt#（3.28），其中α由（3.25）给出，函数M由（3.22）定义。她的库存波动率为σtf（M（αt））（3.29）证明。可通过沿最佳路径积分哈密顿量来计算预期收益率。其余部分遵循之前的命题。

16 Rene CARMONA和KEVIN WEBSTERRecall认为M是一个递减函数。货币政策的结果是，做市商的预期收益是α的递减函数，而αt固定时，则是波动率的递增函数。如果一个搜索可执行公式，则需要解决两个iss ue。首先，必须给出一个可计算鞅表示Termzt的Pt的明确模型。其次，我们必须提出一个函数g，对于该函数，F c的最大参数m可以很容易地描述为αt的函数。我们在一些特定情况下对其进行了讨论。3.2.1. 鞅情形。注意，当假定PTI为鞅时，后一个问题很容易解决。事实上，如果我们将dpt=σtdWt（3.30）用于自适应、连续和正过程σt，那么αt=1，我们将简化havest=m（1）σt（3.31），从而避免了显式函数ρ和f的需要。这一结果为[24]中的经验主张提供了理论基础，即利差是波动率的线性函数。将该最优价差重新纳入目标函数，做市商的预期利润和损失（损益）由：M（1）E“ZTσtdt#.（3.32）给出，因为做市商的库存动态为：dLt=-ρt（st）ft（st）dpt+ft（st）q1- ρt（st）σtdW⊥t、 （3.33）我们得出结论，inve-ntory也是一个鞅。在期权定价方面，-ρt（st）ft（st）是做市商的伽马敞口：它衡量价格变化引起的库存变化。这是负面的。然而，预期收益和损失表现出积极的织女星效应，因为它是波动性的一个增加函数。3.2.2. 明确案例。可以显式计算αtca的其他情况有：oBlack-Scholes模型dpt=uptdt+σptdWt（3.34），在这种情况下，我们得到：E【pT | Ft】=pteu（T-t） ；Zt=σpteu（T-t） ，（3.35），因此αt=μσeu（T-t）- 1.+ eu（T-t） 。

（3.36）o均值回复（Ornstein-Uhlenbeck）价格过程的情况dpt=ρ（p- pt）dt+σdWt（3.37），在这种情况下：E[pt | Ft]=p+E-ρ（T-t） （pt- p） ；Zt=σe-ρ（T-t） ，（3.38），因此αt=-ρσ（pt- p）e-ρ（T-t）- 1.+ e-ρ（T-t） 。（3.39）新的自筹资金方程17的应用与鞅情形不同，在不指定ρ和f的函数形式的情况下，很难获得任何易于处理的公式。在ρ（x）=1/（1+x）和f（x）=1/（1+x）的情况下，最佳利差为σt√1+3αt（3.40）注意，m是αt的递增函数。为了与鞅情形进行比较，当eαt=1时，我们因此想要比较αtto 1的比率，以便研究模型假设对做市商利润和投资波动性的影响对于Black-Scholes模型，当u>0时，α大于1。对于u<0，则存在一个临界值，取决于T和σ，该比值为其所示在Ornstein-Uhlenbeck过程中，α小于1 f（pt- p） <∑ρ（3.41）即，如果当前价格ptisn与长期平均p相差不大。根据直觉，做市商在“动量”Black-Scholes模型中引用了更大的利差，预计了ss利润，并且与鞅情况相比，在“动量”Black-Scholes模型中捕获的交易量更少。这是因为价差是αt的递增函数，预期收益是α的递减函数，做市商存货的波动性是sprea d的递减函数，因此是αt的递减函数。在均值回复市场中，除非价格明显偏离其由不平等性（3.41）衡量的长期趋势，否则做市商报价的spread较小，与其他两种市场模式相比，预计会有更多的利润，并获得更多的销量。参考文献【1】Y.Ait Sahalia和J.Jacod。高频金融计量经济学。普林斯顿大学出版社，2014年。[2] A.Alfonsi、A.Fruth和A.Schied。

具有一般形状函数的极限订货书的最优执行策略。《定量金融》，10（2）：143–157，2010年。[3] A.阿方西、A.希德和A.斯林科。订单弹性、价格操纵和积极的投资组合问题。《暹罗金融数学杂志》，3（1）：511-5332012【4】C.A liprantis和K.Border。有限维分析。Springer，2006年。[5] R.Almgren和N.Chris。投资组合交易的最佳执行。《风险杂志》，3（2）：5–392000年。[6] T.An\'e和H.Geman。订单流量、交易时钟和资产回报的正常性。《金融杂志》，55（5）：2259-22842000。[7] M.Avellanda和S.Stoikov。Limit订单中的高频交易。QuantitativeFinance，8（3）：217–2242007年。[8] J。Bouchaud、Y.Gefen、M.Potters和M.Wyart。金融市场的波动和反应：“随机”价格变化的微妙性质。定量金融，4（2）：176–1902004。[9] R.Carmona和K.Webster。高频市场中的交易摩擦。普林斯顿大学技术代表，2014年。arxiv，http://arxiv.org/abs/1709.02015[10] R.Carmona和K.Webster。限价订单市场中的自筹资金方程。《金融与随机》，2019年（即将出版）。arxiv，http://arxiv.org/abs/??????[11] A.Cartea和S.Jaimungal。风险指标和高频交易策略的微调。《数学金融》，25（3）：576-6112015。[12] T.Chellathurai和T.Draviam。具有非线性交易成本的动态投资组合选择。皇家学会会刊A：数学、物理和工程科学，461（2062）：3183-32122005。[13] U.Cetin、H.Mete Soner和N.Touzi。流动性成本下小投资者的期权对冲。《金融随机学》，14（3）：317-3412010.18勒内·卡莫纳和凯文·韦伯斯特【14】R.康特和A.德拉拉德。液体市场中的订单簿动力学：极限定理和扩散近似。

工作文件，2011年。[15] R.Cont和A.de Larrard。马尔可夫限价订单市场的价格动态。《金融数学杂志》，4（1）：1-252013。[16] R.Cont、S.Stoikov和R.Talreja。订单动态的随机模型。运营研究，58（3）：549–56320010。[17] J.Jacod和P.Protter。Proce sse s.Springer的离散化，2011年。[18] R.Liu和J.Muhle Karbe。随机投资机会的投资组合选择：用户指南。过程。2013年，第一所普林斯顿数学金融暑期学校。http://arxiv.org/abs/1311.1715[19] M.Magill和G.Constantinides。具有交易成本的投资组合选择。《经济理论杂志》，13（2）：245–2631976年。[20] A.Obizhaeva和J.Wang。最优交易策略和供需动态。《金融市场杂志》，2013年16:1–32。【21】S.E.Shreve和H.M.Soner。具有交易成本的最优投资和消费。应用概率年鉴，4（3）：609–6921994。【22】H.M.Soner和N.Touzi。在Gamma约束下通过最优停止和面部提升进行套期保值。《数学金融》，17（1）：59–792007年。【23】S.Stoikov和M.Saglam。存货风险下的期权做市。衍生工具研究综述，12（1）：55–792009。[24]M.Wyart，J。Bouchaud、J.Ko ckelkoren、M.Potters和M.Vettorazzo。订单驱动市场中买卖价差、影响和波动性之间的关系。《定量金融》，8（1）：41–572008年。奥尔夫，普林斯顿大学本德海姆金融中心