一种新的股票市场估值方法

如果在过去几年中显著超过这一平均值，那么市场可能会被视为过热和定价过高。因此，泡沫衡量指标是过去所有年度隐含股息收益率的累计总和，减去实际长期平均数乘以过去的年数。这种趋势将被纳入回归分析。因此，我们将明年的隐含股息收益率回归到去年的去趋势泡沫指标上。总回报和收益增长之间的差异在其平均值附近表现为AR（1），约为4–5%。考虑一下停滞不前的经济（没有人口增长，没有科技进步，因此没有收入增长）。然后总回报率约为4–5%。托马斯·皮克蒂（ThomasPiketty）在他的经典著作中写道，参见[21，p.206]：。18世纪和19世纪，对于最常见和风险最低的资本形式（通常是土地和公共债务），从资本到租金的传统转换率通常为5%/年左右。在这些农业社会中，经济增长和收入增长几乎为0%。引用皮凯蒂的话【21，p.353】：在人类历史的大部分时间里，经济增长几乎为零：结合人口和经济增长，我们可以说从古代到17世纪的年增长率从未超过0.1–0.2%/年。尽管历史上存在许多不确定性，但毫无疑问，资本回报率总是远远大于此：长期观察到的中心值为4–5%/年。特别是，这是大多数传统农业社会的土地回归。因此，4-5%/年可被视为纯资本回报，而非增长。新的泡沫指标表明，纯回报率在4-5%水平附近稳定。新的估值指标股票挂钩年金7（a）CAPE（b）新的泡沫指标图3。

CAPE、classic和TR调整版；而新的泡泡指数（bubblemeasureOnly）的收益增长被视为外生的。其他两个组成部分：股息收益率和估值变化被解释为AR（1）。新的泡沫指标描述了总回报的三个组成部分中的两个。2.5. CAPE和气泡测量的比较。我们绘制了两个集中的估价指标：CAPE的对数和新的泡沫指标，如图4所示。正如我们所看到的，这两个指标在19世纪和20世纪非常接近，但在21世纪却有很大的分歧。CAPE显示（截至2022年1月），市场价格过高，但泡沫的衡量结果却恰恰相反。2.6. CAPE股息调整。在文章[9，15]中，我们得到了CAPE版本的修改，Shiller称之为总回报——周期调整的市盈率，或TR-CAPE；见图3。计算如下。1871年数据开始时投资1美元，再投资股息，计算每年的总财富。如图1所示，这些财富的增长速度远远快于指数。将该财富除以指数水平（调整后1871=1美元），得到修正系数，粗略地说，该系数衡量的是仅由股息而非资本收益产生的财富。我们将每年的收益乘以该修正系数。这给了我们调整后的收益。取过去5年的平均值，然后将财富除以这些后续5年修正收益。我们在分子中加入财富，而不是指数水平，以调整其股息（或相当于总回报）。与最初的希勒角比率一样，我们预计TR角将在长期平均值附近波动。如果CAPE或TR-CAPE超过长期平均值，我们预计未来回报会更低。回想一下我们将市场回报分为三个部分：两个基本面（盈利增长和股息收益率）和一个投机面（估值变化）。

在这里，我们将两个基本要素合并为一个要素（5年期跟踪总回报调整收益的增长）。因此，我们可以研究我们的特殊成分作为股票市场的估值指标。8 ANDREY Sarantsev图4。CAPE（1871年标准化为零）和Bubbleth的对数理论上，这一TR-CAPE度量似乎优于原始的Shiller CAPE。但是，在实践中，这些措施非常接近：见图3（A）。泡沫测量与希勒角有本质区别；TR-CAPE不是。因此，我们不研究这一修正措施，因为它并不是对经典的5年期CAPE的改进。3、统计分析3.1。数据和符号。我们在电子表格数据7中使用了1871年至2022年的年度数据。XLSx在我们的存储库中作为GitHub上的RANTSEV/IDY。您可以在本文件的readmesheet中找到数据详细信息。我们的基准指数是1957年创建的标准普尔500指数，以及今年之前的前身。我们采用1月份日均收盘价数据。下面，我们简单地引用此索引作为索引。罗伯特·希勒（RobertShiller）的数据还包括1月份消费者价格指数（CPI）水平，以及年度收益和每股股息。我们将t=1设为1871年以后，将t=151设为2022年。总年数为T=151。t年的开始是指t年的1月。我们用d（t）和e（t）表示t=1年的名义股息和收益，T，乘以s（T）T+1年1月指数的名义值（日均收盘价），T=0，T最后，用C（t）表示t+1年1月的CPI，t=0，T我们调整股息、收益和通货膨胀指数：D（t）=C（t）C（t）D（t），E（t）=C（t）C（t）E（t），S（t）=C（t）C（t）S（t）。我们将只处理实际（经通货膨胀调整的）收益、股息和指数。

ForS（t-1） 投资于t年1月，我们可以购买1股该指数，这将在t+1年1月花费S（t），并为我们带来股息D（t）。因此S（t-1） 投资于1月的新估值指标权益挂钩年金9系数点估计p值[2.5%，97.5%]CIα0.0974 0.2%[0.035，0.160]β0.0072 0.1%[0.003，0.011]γ0.1573 0.1%[0.069，0.246]表1。回归结果（4）。到t+1年的1月，t年的1月转变为S（t）+D（t）。t年的总回报为：Q（t）=lnS（t）+D（t）S（t- 1).这里和下面，我们采用对数回报和增长。财富过程由（2）V（t）=exp（Q（1）+…+Q（t）），t=0，T、 这是1871年1月投资1美元的总财富（包括再投资股息）。通货膨胀调整后的标准普尔指数和财富过程如图1.3.2所示。主要线性回归。为了消除年度收益波动，考虑到平均5年的后续通货膨胀调整收益：F（t）=（E（t）+…+E（t- 4)).字母F代表基本面：与实际经济活动相关的股票估值指标，而非市场价格。年实际收益增长isG（t）=lnF（t）F（t- 1).隐含股息收益率等于总实际收益减去实际收益增长：（3）（t） =Q（t+5）- G（t+5），t=1，我们拟合线性回归（假设(1) + . . . + （t） =0表示t=0），见表1：（4）（t+1）=α+βt-γ((1) + . . . + （t） ）+ε（t），t=0，R=8%。3.3. 将回归重写为自回归。将（4）重写为经典AR（1）：（5）H（t+1）- h=b（h（t）- h） +ε（t），h（t）=(1) + . . . + （t）- 计算机断层扫描。系数b、c、h有待确定。我们可以使用（5）：（6）来表示（t+1）=H（t+1）- H（t）+c=（H（t+1）-h）-（H（t）- h） +c.使用（6）重写（5）并与（4）进行比较，我们得到：（t+1）=（b- 1） （H（t）- h） +c+ε（t）=（b- 1)((1) + . . .

+ （t）- 计算机断层扫描- h） +c+ε（t）。（7） 比较（4）和（7）中的系数，我们得到：b- 1 = -γ; -c（b- 1) = β; -h（b-1） +c=α；thusb=1- γ; c=βγ，h=α- cγ。（8） 10 ANDREY Sarantsev对α、β、γ的阻塞点估计从表1到（8），我们得到：（9）b=0.84，c=4.6%，h=0.33。（9）中的这些点估计值很重要。下面，我们将讨论这些参数中的每一个。3.4. 自回归系数的经济意义。参数b负责均值回归：自b起∈ （0，1），这种自回归确实是均值回复，而不是随机游走。如前所述，我们拒绝单位根假设，在本文中，单位根假设意味着b=±1。b越接近于零，平均反转越强。参数c是隐含股息收益率的长期平均值. 这可以看作是回报的第二个组成部分的长期价值。如前所述，这个数字与经济和收入零增长的传统社会的资本回报率相匹配。最后，h是气泡测量的长期平均值。将当前的泡沫测度与h进行比较，可以发现股市的定价是过高还是过低。H的当前（截至2022年1月）值等于H（146）=0.24<H。因此，当前股票市场的定价过低，并且考虑到过去151年相同的实际收益增长，未来的总实际回报更高。3.5. 实际收益增长的统计分析。我们注意到，对实际收益增长项G（t）的白噪声测试迫使我们拒绝这是白噪声的假设。Shapiro-Wilk和Jarque-Bera测试也表明，这些项不是高斯项。参见图5中真实收益增长时间序列的自相关和分位数-分位数（vs高斯分布）图。残差ε（t）与实际收益增长项G（t）相关。相关系数的值为：-28%（皮尔逊），-20%（斯皮尔曼）。

由于p值小于5%（Pearson为0.05%，Spearman为1.7%），因此这两个值在统计学上都很重要。我们对稳健的斯皮尔曼相关性感兴趣，因为实际收益增长项sg（t）不是高斯分布。实际收益增长项的经验平均值为1.84%，经验标准差为8.10%。这远低于实际总回报的经验标准差17%。这意味着我们通过进行回归分析来减少方差。这使得它很有价值，尽管我们无法明确地建模实际收益增长时间序列。我们使用块引导法（block bootstrap）对实际收益增长进行了抽样（见本文后面的内容）。3.6. 测试白噪声和正态性的残差。对于滞后5，残差ε（t）原始值的Ljung-Box白噪声测试的p=9%，对于滞后10，p=10%；对于残差的绝对值|ε（t）|，对于滞后5，p=9%，对于滞后10，p=17%。对于这些测试中的每一项，我们都未能拒绝残差形成白噪声的假设（分类认知水平为5%）。残差ε（t）的高斯检验结果如下：Shapiro-Wilkand的p=39%，Jarque-Bera的p=28%。图6给出了这些残差与高斯分布的分位数-分位数图。因此，我们无法拒绝残差为高斯分布的假设，在经典显著水平上为5%。这些残差的经验标准偏差为σ=18%。基于上述情况，可以合理假设ε（t）~ N（0，σ）是i.i.d.高斯分布。新的估值指标股权挂钩年金11图5。实际收益增长：自相关和分位数-分位数图图6。分位数-分位数图：回归残差3.7。测试回归系数。因此，我们可以对每个系数α、β、γ使用Student t检验。表1给出了该试验的p值。

他们远远低于标准水平5%。因此，所有系数都与零显著不同。特别重要的是系数β，它负责均值回归。参数b介于0和1之间。这意味着自回归（5）是均值回复，即具有长期稳定性。我们可以对这个时间序列H（0），H（1）。然而，由于残差是i.i.d.高斯分布，我们可以使用前面提到的γ的Studentt检验作为单位根检验：使用学生分布计算的γ的95%置信区间完全位于（0，1）；因此，我们在95%显著性水平上拒绝了单位根假设。12安德烈·萨兰采夫4。模型陈述和理论结果在本节中，我们基于前一节中的统计分析创建了一个时间序列模型。我们在过滤概率空间上操作(Ohm, F、 （F，F，…），P） 。我们陈述了随机过程理论中的以下著名定义。定义1。一个实值离散随机过程X=（X，X，…）如果XT是可测量的，则称为与给定离散时间过滤相关的自适应。processX具有平稳分布πif Xt~ π对于所有t=0，1，2。收集（6）和（3）中的方程式，并介绍以下概念。定义2。取一个正适应随机过程F=（F（0），F（1），…）我们称之为基础。取另一个自适应白噪声序列ε（t）~ 对于t=1，2，…，N（0，σ）。这里，ε（t）与Ft无关-1、固定平均隐含股息收益率c>0、长期泡沫测度h和平均回归系数b∈ (0, 1). t年的实际总回报Q（t）定义为（10）Q（t）=H（t）- H（t- 1） +c+G（t），t=1，2。t年的基本增长G（t）定义为（11）G（t）=lnF（t）F（t- 1） ，t=1，2。

.对于基本过程F，平均隐含股息收益率c，泡沫测度H。后者由方程（5）控制。定义3。T年的平均年实际总回报定义为（12）Q（T）=TQ（1）+…+Q（T）.第T年的实际财富（从第0年的财富1开始）从（2）开始为（13）V（T）=exp（Q（1）+…+Q（T））=经验值（T Q（T））。我们不要求ε和G独立或不相关。定义2和定义3共同构成一个离散时间模型。这是本文的主要模型。在本节的其余部分，我们将分析此模型。对于我们的一些定理，我们强加了一个额外的假设：强混合。这一假设并没有具体说明真实收益增长的特定模型。假设1。过程G在强意义上是平稳的：（G（1），G（t））和（G（s+1），G（s+t））对于所有t都是相同的，s=1，2。接下来，E[G（t）]<∞. 最后，这个过程是强混合：存在一个序列（αn）n≥1收敛到0的正数，每n，t，m=1，2。，任何钻孔设置B R和B Rm，| PB∩ B- P（B）P（B）|≤ αn；B： ={（G（1），…，G（t））∈ B} ，B：={（G（n+t+1），…，G（n+m+t））∈ B} 。（14） 新的估值指标权益挂钩年金13条件（14）表明，第一个t年和从n+t开始的年份之间的依赖性（差距为n年）随着n→ ∞. 这一假设似乎是合理的：1881-1900年和2001-2021之间的收入增长似乎是独立的或几乎是独立的。这种强混合假设意味着强大的大数定律（SLLN），在这种情况下通常称为遍历性。然而，我们还要陈述中心极限定理（CLT）。对于这个结果来说，强烈的混合是不够的。我们需要强有力的条件。其中许多在[11]中提供。我们在下面选择了一个。假设2。定义VT：=Var（G（1）+。

+G（T））并假设VT→ ∞ 作为T→ ∞.存在常数δ，C>0，使得eG（1）+…+G（T）2(1+δ)≤ CV1+δT，T=1，2。接下来，我们陈述了一个马尔可夫假设：时间t的实际收益增长项G（t）并不依赖于整个历史G（1），G（t-1） 和ε（1），ε（t），但仅为onG（t- 1） 和ε（t）。在不损失一般性的情况下，我们假设G（0）也存在，并且是anF可测的随机变量。假设3。存在一个跃迁密度p:R→ (0, ∞): 一种在（x，y）中连续的函数，使得对于每个 R、 我们有：P（G（t）∈ A | G（t- 1） =x，ε（t）=y）=ZAp（x，y，z）dz。最后，我们对G和H给出了一个矩有界假设，假设G不在其平稳版本中。假设4。支持≥0E[总成（t）]<∞ E[H（0）| p<∞ 对于某些p>1。以下是主要结果。证据见附录。首先，一个技术引理。引理1。T年的平均年实际总回报由（15）Q（T）=c+H（T）给出- H（0）T+G（T），T时的财富由（16）V（T）=exp给出cT+H（T）- H（0）F（T）F（0）。我们的下一个结果是总实际收益的强大数定律（SLLN）。它源于实际收益增长的SLLN假设，以及自回归过程的均值回归。定理1。在假设1下，我们得到了以下渐近结果：→ ∞,T型((1) + . . . + （T））→ c几乎可以肯定。（17） 平均总实际收益满足收敛性陈述：（18）Q（T）→ c+g几乎可以肯定为T→ ∞.14 ANDREY SARANTSEV（a）ε（t）（b）|ε（t）|图7。对于残差ε（t）的原始值和绝对值，我们进一步说明过程（G，H）的遍历性（长期稳定性）结果。

对于R上的概率度量P和Q，确定总变化距离：（19）dTV（P，Q）=supAR | P（A）- Q（A）|，和p阶的Wasserstein距离≥ 1： （20）Wp（P，Q）=infX~P、 Y型~QE | X- Y | p在（20）中，inf接管所有耦合：随机变量对（X，Y），使得X~ Pand Y公司~ Q、 这两个函数实际上都是距离：（19）在R上所有概率测度的集合P上，（20）在所有P的集合上∈ P具有有限的pth力矩。离散时间马尔可夫过程X=（X（0），X（1），…）当X（0）时，状态空间Rhas为平稳分布∏（R上的概率测度）~ π表示X（1）~ π（因此X（t）~ 所有t的∏）。定理2。在假设3下，过程（G，H）是时间齐次的马尔可夫过程。定理3。在假设3和4下，（a）过程（G，H）在R上具有唯一的平稳分布∏，在R上具有正的Lebesguedensity，具有有限的pth矩，并且H具有高斯边缘：∏H=N（H，σ∏），其中σ∏=σ/（1- b） ；（b） 无论初始分布如何，（G（t），H（t））的分布收敛于∏ast→ ∞ 最后，我们陈述了总实际收益的CLT：从长远来看，财富是一个对数正态随机变量。这源于实际收益增长序列的CLT假设。定理4。在假设1，2下，我们有弱收敛Q（1）+…+Q（T）- （c+g）T√及物动词→ N（0，1），T→ ∞.新的估值指标股票挂钩年金155。股票挂钩年金和提取率5.1。可持续的退出过程。首先，我们考虑规则（b），对于改变（可能是随机的）比例退出率的情况进行推广。定义4。提取过程W=（W（0），W（1），…）是一个离散时间随机过程，其值在（0，1）中。其相应的财富过程定义为V（t）=V（t- 1） eG（t）+（t） （1）- W（t）），t=1，2。