具有线性成本的最优多资产交易：平均场方法

ξi的分布取决于Rtis的某个值，由下式给出：P（ξi=-1 | Rt）=P（坑+dt<-q*i、 坑>-q*i |πit=Mi）P（πit=Mi | Rt），P（ξi=1 | Rt）=P（pit+dt>q*i、 坑<q*i |πit=-Mi）P（πit=-Mi | Rt），（14）其中右侧sid e中的第一项对应于Picross the thr eshold q的（统计）概率*在t和t+dt之间，我们将在下一节中称之为Jidt并显式计算。它对应于资产i的交易率。第二项是在其最大（分别为最小）位置±Mi处发现资产i的条件概率，对于agiven Rt值。在附录A中，我们给出了以下结果，对大N有效：P（πIt=±Mi | Rt）=1±RtβiMi∑√N, （15） 式中，∑：=PjβjMj/N。因此，我们得出[ξi | Rt]=-RtβiMi∑√NJidt+o（dt），V[ξi | Rt]=Jidt+o（dt）。（16） 因此，由于（ξi）i=1。。Nare自变量，Rt+dt-Rtis渐近高斯，具有以下矩：E[Rt+dt- Rt | Rt]=-2“JRtdtV[Rt+dt- Rt | Rt]=4∑Jdt，（17），其中dt→ 0和'J：=PiβiMiJiPiβiMiOPTIMAL线性成本多资产交易：平均场法-2020年4月14日是平均交易率，由最大头寸的平方和极限dt中的b e ta加权→ 因此，平均油田风险是一个Ornstein-Uhlenbeck过程，具有已知的p参数∑和'J:dRt=-2'JRtdt+2∑p'JdWt。（18） 根据该表达式，可以计算Rt的平稳方差，由v[Rt]=∑，（19）给出，当θ→ 注意，预测值Pi的方差由V给出矿井=ψi2i：=p*2i。（20） 因此，风险规避项θRtis的重要性顺序θ∑，与预测者的规模相比，p*i=ψi/√i.我们将考虑低于极限θ→ 0，实际上必须理解为λ<<p*iβi∑√N、 （21）对于所有i=1。。。，N，即。

与预测强度相比，portfo lio的风险贡献仍然很小。在本节的结论中，我们已经表明，如果每项资产都使用独立的OrnsteinUhlenbeck信号进行交易，并且没有交易区域，那么由此产生的平均场风险术语本身就是一个Ornstein-Uhlenbeck过程。这一结论也适用于更大类别的马尔可夫预测，也适用于完全自洽的问题，其中每个资产都看到一个包含风险项的修正预测，因为对于这个问题，最优解也具有“砰砰”的性质，没有交易区域。因此，等式（16）仍然有效，但只有当θ→ 0，我们现在转向它。5交易率理论在本节中，我们要计算每种资产i的交易率ji，假设交易由预测者pi决定（即θ→ 0). 为了符号的简单性，我们暂时删除了索引i。现在让我们引入以下条件概率q+（p，t）dp：=p（pt∈ [p，p+dp]|πt=M）。（22）由于我们假设Pt遵循一个连续时间的Ornstein-Uhlenbeck过程，因此稳态密度Q+，st.（p，t）满足一个改进的福克-普朗克方程（其中δ是狄拉克质量）：0=Q+，stt=（pQ+，st）p+ψQ+，stp+Jδ（p- q*), （23）具有基本条件Q+，st.（p=-q*, t） =0，说明当p触及下限阈值时-q*,位置从+M到-M、 在p=-q*:J：=ψQ+，stp | p=-q*. （24）E q中的最后一个术语。

（23）对应于逆过程：- 当预测器触到+q时，M个位置变为+M个位置*, 以相同的速率J（对称性）发生。该方程的解导致pQ+，st.+ψQ+，st。p=J-q*< p<q*pQ+，st.+ψQ+，st。p>q时，p=0*Q+，st(-q*) = 0，（25）也必须是R∞-q*Q+，st.（p）dp=1。引入a：=ψ-2=p*-2，我们最终得到：Q+，st.（p）=2Jψe-apZmin（p，q*)-q*eaxdx，（26）使用工具（如[Whi02]中开发的工具）将这种非正式的收敛论点变得严格，这是未来研究的一个有趣方向。具有线性成本的最优多资产交易：一种平均场方法——2020年4月14日，该方法要求J=ψ/2Q′+，st.（p=-q*). Q+，st的归一化导致：J=ψ“Zq*-q*e-ap公司Zp公司-q*eaxdx公司dp+Z+∞q*e-apdpZq*-q*eapdp#。（27）我们现在引入^q：=q*/p*作为非贸易区宽度与预测的典型规模之间的关系（忽略√2恒定）。方程（27）可在两种状态^q中近似求解<< 1（小频带）和^q>> 1（大频带），导致（详见附录B）：（J≈√π^q-1^q<< 1J≈√π^qe-^q^q>> 1.（28）注意q*<< p*<==> J>> ，反之为q*>> p*<==>  >> J： 交易时间J-1远小于（或大于）预测器的相关时间-1当非贸易区与预测值p的典型范围相比较小（或较大）时*, 与小（或大）线性成本相对应。回想一下，在这一点上，所有这些结果实际上都是依赖于i的，描述平均场RTI动态的参数“J”是作为JI的加权平均值获得的，权重为βiMi。

我们现在可以得出无贸易门槛q*我在存在（小）风险期限的情况下进行了修改。6双Ornstein-Uhlenbeck预测器的最佳阈值6.1一般设置我们因此面临一个有效的单资产问题，修改的预测器是两个独立的Ornstein-Uhlenbeck过程的总和，一个来自信号，另一个来自风险。这个新的预测值可以从二维随机过程Xt=（pt，Rt），以及PTA和Rtindepen dent（由于平均场近似）来构建。其动态写入（在以下所有部分中，我们再次跳过索引i）：dXt=- 00 -2英寸Xtdt公司+ψ 00 2Σ√\'\'JdWt=-AXtdt+BdWt，（29），其中Wt∈ Ris是一个具有独立成分的布朗运动，a=00 2英寸和B=ψ 00 2Σ√\'\'J.对于我们的问题，只有组合st=pt- θrta出现在优化问题中，等式（10）。根据[dLDPB12]的论点，我们预计最佳交易策略再次是在+和-M，但p上的阈值是Rt当前值的函数，即：o当pt时，切换到最大允许位置+M≥ q+（Rt）。o切换到允许的最小位置-pt时为M≤ q-（Rt）。o否则，保持前一个位置。按照[dLDPB12]的步骤，可以通过一些定义为约束路径积分的函数P±（P，r）和L（P，r）：L（P，r）=Z[P（T），来表示预期风险调整收益和预期交易成本之间的平衡≥q+（r）]∨[p（T）≤q-（r） ]X=（p，r），-q-（r） <p（t）<q+（r），t型∈]0，T[“ZTwXtdt#P（X | X）DX，（30）带w= (1, -θ);P+（P，r）=Zp（T）≥q+（r）X=（p，r），-q-（r） <p（t）<q+（r），t型∈]0，T[P（X | X）DX；（31）和P-（p，r）=Zp（T）≤q-（r） X=（p，r），-q-（r） <p（t）<q+（r），t型∈]0，T[P（X | X）DX，（32），其中是其中一个边界q±（r）的第一次击中时间。

注意，通过构造，P-（p，r）+p+（p，r）=1。使用这些定义，确定最佳无边界的条件如下（见【dL D PB12】）：L（p，r）=2Γp-（p，r）当p→ q+（r）L（p，r）=-2ΓP+（P，r）当P→ q-（r） 。（33）具有线性成本的最优多资产交易：平均场方法——2020年4月14日，等效地，使用Xt的二维布朗动力学，这些函数是以下后向Kolmogorov方程的解：(-pLp- 2英寸JrLr+ψLp+2∑JLr=-p+θr-pP±p- 2英寸JrP±r+ψP±p+2∑JP±在边界条件下，r=0（34）：L（q±（r），r）=0P-（q）-（r） ，r）=P+（q+（r），r）=1P-（q+（r），r）=P+（q-（r） ，r）=0。（35）这些方程很难完全通用地求解。在下文中，我们获得了特殊对称点=2'J（当平均场Rt和预测因子Pt具有相同的自相关时间）的精确解，即小θ极限下的近似解，其中风险贡献是对预测因子的小修正。6.2对称情况：精确解让我们研究一个特殊情况=2'J，其精确解可用。在这种情况下，修改后的预测值=pt- θrti是一维O-rnstein-Uhlenbeck过程，即：dst=-stdt+|ψdWt，（36），其中|ψ：=pψ+2∑θ。至此，我们又回到了[dLDPB12]中考虑的问题。在有趣的连续时间区域3/2<Дψ<Γ中，我们因此获得了一个阈值：*=Γ~ψ1/3. （37）或，转化为pt的thre sholds：q+（r）=q*+ θrq-（r） =-q*+ θr.（38）这些表达式有一个简单的解释：在λ>0的情况下，当净头寸为正（Rt>0）时，任何买入的积极信号必须超过增加的阈值q*→ q*+ θRt用于承担一些额外风险，反之亦然，当交易导致| Rt |出现时。6.3一般情况：近似解在某些情况下，我们可以找到式（34）的近似解。

我特别感兴趣的是θ→ 0，也就是说，当交易主要由预测因素而不是风险约束驱动时。在这种情况下，我们还可以从第5节了解如何精确计算“J”。我们将再次假设，对于所有资产，我们都处于中间、连续时间状态Γ3/2<ψ<Γ（见等式（2））。我们介绍q*=Γψ作为没有风险约束的阈值，wh ic h是这样的q*<< p*:= ψ/√因此，从公式（28）中<<J.在这种情况下，预测因子对成本的预测具有一定的可能性（见[dLDPB12]），但比风险成分慢得多。我们现在准备陈述我们的主要结果。假设θ∑<< p*和<<那么，忽略订单条款（q*/p*), 最佳thr e Shold由以下公式得出：q+（r）≈ q+Sθrq-（r）≈ -q+Sθr，（39），其中：q：=q*1.-q*2p级*2.; S：=1.-q*2p级*2.1+’Jq*2p级*2.-1.（40）参见附录C以获取证明。观察到当2’J=时，我们发现S=1+O（aq*4） ，我们精确地恢复了上一节中导出的对称度量情况的结果。更一般地，风险修正项Sθrts的斜率S向0减小为1/’J。随着‘J’的增加，平均场过程的记忆缩短。在风险对修正预测值的贡献成为一个高风险过程的限度内，它在确定最佳交易策略时确实变得无关紧要→ 0).具有线性成本的最优多资产交易：平均场方法-2007年4月14日确定风险规避参数我们现在回到平均场形式中的已实现风险问题。我们记得，在固定极限下，每项资产的预期风险R为：R=NE[~πC~π]=NE“NXi=1Cii（πi）+√NNXi=1βiπiR#。（41）现在，由于无贸易区阈值移动了一个数量SθR，因此位置πi和平均场R之间存在一些相关关系。

UsingE[πiR]=MiERP[πi=Mi | R]- P[πi=-Mi | R], （42）并展开到θ的一阶，一个结果是：E[πiR]≈ -2MiSiθiρiE[R]，（43），其中ρiis为未受干扰阈值q下预测值的概率密度*i、 现在，为了使结果在整个区域Nλ=O（1）中有效，我们必须自洽地估计E[r]。WritingE[R]=E“NXiβiMi+√NXiβiπiR#，（44）一个得到：E[R]=∑- λΞE【R】==> E[R]=∑1+λΞ，（45），其中∑：=PiMiβi/N和Ξ：=2PiMiβiSiρi/N是密集量。因此，根据sset计算的风险为R=R-λ∑Ξ1+λΞ，R：=nxicimi，（46），其中Ris是完全解耦问题中每项资产的预期风险，λ=0。等式（46）表明，缩放λ=O（1）确实允许我们调整实现d风险。注意，为了实现大于R的风险，必须选择一个负性风险规避参数。注意，写Rmin=PiσiMi/N是最小可实现风险（在ca seβi=0i） ，一个参数：R=Rmin+∑1+λΞ，（47），这证实了R→ Rmin当风险规避λ变为+∞（只要λ=o，这是一个有效的区域(√N） ）。8数值模拟8.1平均场的动力学如果预测值经常超过其阈值（q*<< p*). 我们模拟了N=10 0的情况，预测值具有相同的动力学（ψ==10-3） ，相同的交易成本Γ，以及所有股票共有的有效最大头寸βimi，设置为unity。我们在给定阈值的情况下对这些预测值执行“砰砰”策略，并通过最大似然估计计算平均位置的动态。结果如图2所示。我们比较了三种恢复'J的方法：通过Rt模拟，通过当^q时有效的近似<< 1（公式（28）），或通过使用积分公式公式进行直接计算。

(27).8.2阈值对风险的依赖为了检查我们的主要分析结果（公式（40））的正确性，我们进行了模拟，以确定对原始阈值q的最佳校正*当存在风险修正时，对于不同的“J”值，结果如图3所示。我们的参数集是：βM=1；ψ = 10-3. = 1 0-3.Γ = 1; θ = 5 × 10-3.（48）具有线性成本的最优多资产交易：平均场方法-2020年4月14日图2：模拟的“J”（蓝色），近似值（橙色）和“J”（绿色）的精确公式。对于这组参数，我们有：（q*/p*)~ 0.1<< 1.（θM/p*)~ 0.025<< 1.ψ/Γ3/2~ 30>> 1.（49）前两种制度符合我们的假设。需要第三种机制（参见[dLDPB12]）来获得q*≈Γψ.为固定值“J”找到最佳校正的算法与[dLDPB12]中使用的算法类似：o我们选择一组值S。。。，sk分布在包含理论最优S的范围内。我们生成两条长随机路径（pt）t∈[0，T]具有式（3）和（Rt）T的动力学∈[0，T]具有式（18）的动力学。我们选择T=250万对于Sn的每个值，我们模拟相应策略的行为（使用q±（r）=±q+Sθr），并在考虑r isk校正增益（pt- θRt）π和成本Γ|πt- πt-1|.o 我们选择总损益最大的值SJ，然后选择新值S′。。。，S′用于可能的时间校正，均匀分布在Sj周围，并重新启动相同的过程。图3：模拟（蓝色）与分析（橙色）的最佳S作为“J/”的函数，我们在图3中重复此循环三次。重申协议并不完美，因为制度q±（r）<< p*未完全填满（q±（r）~ 0.3p*此处）。此外，当“J”趋向于/2时，我们看到S=1+O（（q*/p*)),所以修正并不重要。

因此，从图的左侧可以看出，模拟与分析结果更接近。具有线性成本的最优多资产交易：平均场方法-20209年4月14日结论在本文中，我们在具有二次风险约束的多资产环境中对[dLDPB12]进行了扩展。风险约束导致的资产之间的耦合使得这个问题在一般情况下很难解决。然而，在大量资产的限制下，平均场应用程序roach允许我们将问题重写为N个单一资产问题，其中每个单独的预测值是原始预测值和所有资产瞬时全球位置的线性组合。全球位置的动态显示为Ornstein Uhlenbeck。当风险控制很小时，我们证明了最优策略类似于单一资产情况下的策略，只是阈值取决于瞬时的全球位置。我们通过数值模拟定量和定性地描述了这种影响。在这种具有移动阈值的情况下，我们还能够将风险规避参数与目标风险联系起来，从而可以轻松地预测已实现的风险。这个结果可以以任何方式扩展，例如考虑更一般的相关矩阵的情况。我们相信，将我们的单因素风险模型扩展到k因素风险模型（对应于分块层次ALCOVANCE矩阵）仍然可以使用相同的思想进行分析求解，其中k个独立的平均场风险项各有其自身的Ornstein-Uhlenbeck动力学。另一个方向是超越风险厌恶参数θ的一阶。这首先需要获得零阶以上平均场的动力学。

从数学上证明我们的平均场近似值精确到N是很有趣的→ ∞, 对于θ中的所有阶，最优策略仍然是bang-bang型。最后，我们相信，我们的平均场方法自然会扩展到其他更一般形式的成本，我们可以为单个资产问题（例如，在存在线性成本和小二次成本的情况下[RBdL+15]）得出最佳解决方案。计量领域的动态可能会有所不同，但我们用于处理多资产公式的方法应该仍然有效。感谢F.Altarelli、J.de Lataillade、A.Maillard和J.Muhle Ka rbe就这一主题进行的深入讨论。我们特别感谢J.Muh le-Karbe仔细阅读了我们的手稿并提出了许多改进建议，一位不知名的裁判坚持要求我们澄清风险规避参数的比例。参考文献[AC01]R.Almgren和N.Chriss。对账单事务的最佳执行。《风险杂志》，第e 5–4 02001页。【BBD18】J.P.Bouchaud、J.Bonart、J.Donier和M.Gould。交易、报价和公关：显微镜下的金融市场。剑桥大学出版社，2018年。[LT17]P.Lintilhac和A.Tourin。基于模型的比特币市场配对交易。《定量金融》17.5703-7162017。[LN19]C.-A.Lehalle and d E.Neumann。将信号纳入最佳交易。《金融与随机》23.2275-3112019。[BMKO18]C.Belak、J.Muhle Karbe和K.Ou。目标区域模型中具有一般信号和清算的最优交易。可从SSRN 3224674、2 018获得。【CJP15】'A。Cartea，S.Jaim ungal，a和J.Penalva。算法和高频交易。剑桥大学出版社，2015年。[dLDPB12]J.de Lata illade，C.Deremble，M.Potters，and d J.-P.Bouch a ud。线性成本最优交易。《投资战略杂志》，1（3）：91–1152012年。[DN90]H.A。