具有线性成本的最优多资产交易：平均场方法

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英文标题：
《Optimal multi-asset trading with linear costs: a mean-field approach》
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作者：
Matt Emschwiller, Benjamin Petit, Jean-Philippe Bouchaud
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  Optimal multi-asset trading with Markovian predictors is well understood in the case of quadratic transaction costs, but remains intractable when these costs are $L_1$. We present a mean-field approach that reduces the multi-asset problem to a single-asset problem, with an effective predictor that includes a risk averse component. We obtain a simple approximate solution in the case of Ornstein-Uhlenbeck predictors and maximum position constraints. The optimal strategy is of the \"bang-bang\" type similar to that obtained in [de Lataillade et al., 2012]. When the risk aversion parameter is small, we find that the trading threshold is an affine function of the instantaneous global position, with a slope coefficient that we compute exactly. We relate the risk aversion parameter to the desired target risk and provide numerical simulations that support our analytical results.
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中文摘要：
在二次交易成本的情况下，使用马尔可夫预测的最优多资产交易是很容易理解的，但当这些成本为1美元时，仍然难以解决。我们提出了一种均值场方法，该方法将多资产问题简化为单个资产问题，并具有一个包含风险规避成分的有效预测因子。在Ornstein-Uhlenbeck预测和最大位置约束的情况下，我们得到了一个简单的近似解。最佳策略为“bang-bang”类型，类似于【de Lataillade等人，2012年】中获得的策略。当风险厌恶参数很小时，我们发现交易阈值是瞬时全局位置的仿射函数，具有我们精确计算的斜率系数。我们将风险规避参数与期望的目标风险联系起来，并提供支持我们分析结果的数值模拟。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Optimal_multi-asset_trading_with_linear_costs:_a_mean-field_approach.pdf (294.7 KB)

2022-6-23 21:58:40 上传

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关键词：Quantitative Optimization Measurement Simulations performance

具有线性成本的最优多资产交易：平均场方法Matt Emschwiller1,3，Benjamin Petit2,3，Jean-Philippe Bouchaud4,5运营研究中心，麻省理工学院，Cambr idge，计算和数学工程主流，斯坦福大学，斯坦福大学，CAEcole polytechnique，Route de Saclay，91128 Palaiseau Ced ex，法国资本基金管理，2020年4月14日，英国伦敦SW7 2AZ帝国理工学院数学系，巴黎大学路23号，75007法国皇家量化金融研究所。在正交交易成本的情况下，使用马尔可夫预测的最优多资产交易是很好的选择，但当这些成本在交易量上呈线性时，仍然难以解决。我们提出了一种平均场方法，将多重资产问题简化为单一资产问题，并提供了一个包含风险规避成分的有效预测因子。在Ornstein-Uhlenbeck预报器和最大位置约束的情况下，我们得到了一个简单的近似解。最佳策略为“bang-bang”类型，类似于在dL DPB12中获得的策略。当风险规避参数很小时，我们发现交易阈值是瞬时全球头寸的一个明确函数，斜率系数可以精确计算。我们将风险规避参数与期望目标风险联系起来，并提供支持我们分析结果的数值模拟。1引言经典金融理论认为未来的价格变动是不可预测的。

事实上，已经发现了各种与有效市场假说相矛盾的反常现象：价格显示出一定程度的可预测性，资产管理者可以通过统计套利策略来利用这种可预测性。然而，交易成本（费用、价差和市场影响）使得这些策略在未正确利用潜在预测信号时无法实施。伴随着不断增长的学术文献[AC01、CJP15、Gu16、BBD18、LT17、LN19、BMKO18]，存在成本的最优交易已成为资产管理行业的焦点。一个著名的例子是G–rleanu-Pedersen解决方案，该解决方案在存在基本成本的情况下进行最优交易（即成本增长为交易速度的平方）。在这种情况下，解决方案主要是使用指数移动平均值和适当的摩擦力来调整和减缓预测值【GP13】。在线性成本（即交易费用或买卖价差）的情况下，这个问题在分析上要难处理得多。在这种情况下，交易变得不连续：当信号太小时，最好不要进行交易，例如[DN90、SS94、MS11、dLDPB12]。还考虑了更复杂的情况，包括线性和二次成本，或更一般的成本函数，例如[MMKS17、LMKW17、RBdL+15]。不幸的是，线性成本案例中的大多数结果都与单一资产问题有关。在多资产情况下，确定无交易区域的形状是一个非常有趣的问题，在一般情况下，甚至在Possamai、Soner a和Touzi（PST15）处理的小交易成本限制下，也不存在解析解。本论文的目的是扩展de Lataillade等人的形式主义。

[dLDPB12]对具有线性交易成本、每项资产的最大头寸约束和二次投资组合风险惩罚的多资产问题进行tre。我们提出了一种“平均场”方法来解决这个问题（在稍后明确的意义上），我们推测，如果常见风险因素的数量仍然不确定，那么在大投资组合的限制下，这个方法会变得精确。这种“平均场”方法已成功应用于其他问题，如多代理环境中的最优清算问题【CL18，FC16】。在我们的案例中，问题归结为【dLDPB12】中解决的单一资产问题，采用改进的线性成本最优多资产交易：平均场方法——2020年4月14日预测值，包括（平均场）风险贡献。修正预测值的统计数据取决于问题的解决方案，必须自洽确定。我们为每个组的独立Ornstein-Uhlenb-eck预测因子和单个常见风险因素的平均场问题提供了解决方案。在这种情况下，风险感知预测因子是两个独立的OrnsteinUhlenbeck过程的总和，对于这两个过程，一般情况下无法准确获得非贸易区的边界。近似解位于经验相关极限内，其中风险规避项与预测分量相比较小。我们发现，非贸易区的边界是风险的一个明确函数，具有我们计算的斜率系数。我们还提供了支持我们分析计算的数值模拟。结论中提出了我们工作的几个方面。2背景：单一资产最优交易2.1问题的表述[dLDPB12]，作者考虑了以下一个离散时间的资产最优交易问题。

当投资者收到预测下一次价格变化的信号时，他/她必须确定他/她的签名位置πtat（整数）时间t- pricet，具有以下约束条件：o信号是这样的：E【rt | pt】=pt（真实返回以预测信号为中心），并遵循离散的Ornstein-Uhlenbeck（又名AR（1））过程，即pt+1- pt=-pt+ψξt，其中ξtare iid，N（0，1）个随机变量风险控制是头寸绝对规模的上限：t、 |πt |≤ M、 o尺寸为Q=|πt+1的每个tr a nsaction- πt |产生一些线性成本=ΓQ。投资者希望通过在一段时间内选择最佳的头寸序列πt来实现其长期预期收益的最大化，其中→ +∞. 换句话说，我们对问题的遍历极限感兴趣。2.2两阈值解决方案乍一看，一种合理的方法是，每当预测信号| pt |超过交易成本Γ时，采取±M的位置。这种策略会产生一个积极的总收益，但没有理由认为它是最优的。事实上，该策略既不使用信号pt的自相关时间（其m e m y的长度），也不使用其相关性。我们可以观察到，现在做出的决定将影响未来交易和未来交易成本。通过在某个时间t（交易成本将高于预期回报pt）进行亏损交易，交易者可以指望预测信号p将在一段时间内保持在pt的水平，从而导致总体未来t+pt+1+。。。希望这将比初始成本Γ更高。具体而言，代理试图找到一个确定最小策略，该策略最大化以下递归定义的值函数：Vt（π，p）=max |πt+1|≤Mp·πt+1- Γ|πt+1- π|+ZP（pt+1=p′pt=p）Vt+1（π′，p′）dp′在现场水平极限（T→ +∞), De Latailade等人。

[dLDPB12]求解该Hamilton-Jaco-bi-Bellman方程，证明了最优离散时间交易策略π*is：π*t型=π*t型-1如果| pt |<q*M如果pt≥ q*-M如果pt≤ -q*.（1） 最佳阈值q*满足某个方程，该方程可以用以下方式解释：从位置切换获得的预期利润-当预测值刚好低于q时，M到位置+M*并保持在[-q*, q*] 必须等于达到的概率的2Γ倍-q*没有接触过q*, 详见【dLDPB12】和第6节。事实上，我们下面的解决方案是Eqs。（37），（38），恢复了Latailade等人在风险规避为零（θ=0）时的解。当预测器遵循AR（1）过程时，可以导出q的精确公式*, 这揭示了三种状态——见图1：【dLDPB12】中考虑了更一般的马尔可夫预测，但我们将当前的论文限制在AR过程中。具有线性成本的最优多资产交易：平均场方法-2020年4月14日（A）弱可预测性ψ << Γ3/2: q*≈ Γ（注意ψ-3/2是总预测值的数量级）。（b） 中间可预测性Γ3/2<< ψ << Γ:q*=Γψ. （2） 该cor响应连续时间限制结果，这也是实践中最有趣的结果。阈值的1/3依赖性首次出现在【SS94】中，另见【MS11，LMKW17】。（c） 强可预测性[ψ&Γ]：q*≈ Γ. 例如，这是对应于白噪声预测器的区域（≈ 1） ，中间制度消失。

时间步长之间缺乏相关性意味着预测者必须击败线性成本才能进行交易。图1：阈值q*作为离散Ornstein-Uhlenbeck预测器可预测性ψ的一个函数（来自[dLDPB12]）。3多资产离散Ornstein-Uhlenbeck问题在本节中，我们将[dLDPB12]中描述的框架扩展到多资产设置。3.1我们现在考虑交易一系列金融资产，i=1，N，当N是一个很大的数字时（通常是一千个）。我们假设这些资产的收益由协方差矩阵Cij描述。在不缺乏一般性的情况下，我们假设这些资产的波动率都等于一（我们总是可以根据实际情况重新调整头寸π）。我们还假设每项资产的预测因子只涉及其演化的特质部分，因此实际上是独立的。它们的动力学由独立的离散Ornstein-Uhlen-beck过程给出：pit+1- 坑=-ipit+ψiξit，（3）可预测性ψi和相关时间1/i可能都不同。风险控制通过两类约束来实施：每项资产的最大头寸|πi |≤ 这限制了特殊风险，标准投资组合风险罚金R=PijπiCijπj/N（请注意，这是每项资产的风险）。我们的投资者希望最大化他/她的长期收益，考虑线性成本和风险，即（用自解释的符号）：G[0，T]=T-1Xt=0”~ pt·~πt-XiΓi |πit+1- πit |- λRt#，（4）具有线性成本的最优多资产交易：平均场方法-2020年4月14日，在|πi |约束下≤ 惯性矩，i、 其中λ是风险规避参数。

通过引入一个值函数Vt（~π，~ p），得到相应的HJB方程，该函数遵循以下递归方程：Vt（~π，~ p）=max |πit+1|≤Mi“~ p·~πt+1-XiΓi |πit+1- πi |-λN~πt+1C~πt+1+ZP（~ pt+1=~ p′）~ pt=~ p）Vt+1（~πt+1，~ p′）d~p′, （5） 例如，当t=t时，por tfolio为空的约束，即~πt=0。因为我们会对Limit感兴趣→ ∞, 事实上，精确的边界条件与下面的情况无关。请注意，一般问题归结为[dLDPB12]中考虑的问题，当N=1且λ=0.3.2为平均场界限时，为了取得进展，我们假设协方差矩阵源自一个简单的单因素模型，即Cii=σi+βi和Cij=βiβj（i 6=j），其中β是市场通常的“β”。（我们推测我们的方法适用于具有分层块结构的更复杂协方差m矩阵，前提是块的数量与N相比仍然很小）。请注意，一旦投资组合获得净头寸（Piβiπi=O（N）），每项资产的风险就变为N阶，风险惩罚λR在N中的阶数与λ=O（1）时价值函数中的收益和成本项的阶数相同。这是我们将在本文中研究的主题。对于这种特定的风险模型选择，可以将每项资产的风险改写为：Rt=NNXi=1Cii（πit）+NXi，j=1i6=jβiβjπitπjt, （6） 我们重写为asRt=NNXi=1Cii（πit）+√NNXi=1βiπitRit，（7）带Rit=√NXj6=iβjπjt。（8） 注意，当N较大时，市场风险（由式（7）中的第二项建模）远大于特质贡献（即。

第一学期），我们将忽略这一点。统计力学中平均场的中心思想是，对于大N，可以将Rit视为一个独立的随机变量，其动态是自洽确定的，假设N资产问题可以分解为N（准）独立的单资产问题，仅通过“平均场”Rt的值耦合：=Pjβjπjt/√N、 它表示投资组合的总贝塔加权净头寸：Vt（~πt，~ pt，R）=NXi=1Vit（πit，pit，R），（9）带有修改的“风险感知”预测值和价值函数Vit（π，p，R），遵循以下递归关系：Vit（π，p，R）=max |πt+1|≤惯性矩（p- θE【Rt+1 | R】）πt+1- Γi |πt+1- π|+ZP（pt+1=p′，Rt+1=R′；pt=p，Rt=R）Vit+1（πt+1，p′，R′）dp′dR′, （10） 式中θ：=λβ/√N、 微妙的一点是，RTHA的统计数据是由单一资产问题的解决方案自洽确定的，其中每一个问题原则上都可以使用de La tailladeet al.的形式来解决。然而，这项任务仍然令人望而生畏，因为修改后的预测因子p- θE[Rt+1 | R]一般不能被表征。具有线性成本的最优多资产交易：平均场方法——2020年4月14日我们的目标是在lim itθ中解决这个问题→ 事实上，我们将在下文第7节中看到，为了确定平均已实现风险，风险规避参数λ的阶数必须为1。这是净头寸Rtalso保持为O（1）的制度，这是在具有抵消多头/空头头寸的投资组合背景下金融应用的有趣限制。在这种情况下，θ确实变得非常小，下面的计算完全正确。事实上，只要λ=o，我们将证明我们的方法是有效的(√N） ，见等式。

（21）以下。在下一节中，我们首先表明，在连续时间限制内，当N→ +∞, R本身是一个具有可计算参数的OrnsteinUhlenbeck过程。4平均场策略的渐近连续时间动力学是将R的动力学限制在极限N内→ + ∞, 当每个单一资产问题正式归结为在[dLDPB12]中解决的问题时，θ→ 0.为简单起见，我们将从现在起限制为连续时间制度（对应于我们上述分类中的中间可预测性制度（b））。在这种情况下，时间步长“1”b是一个极小的量dt，预测值可以视为Ornstein-Uhlenbeck过程，即edpit=-ipitdt+ψidWit（11），其中W西尼罗河是独立的维纳过程。对于每种资产，[dLDPB12]中的单一资产优化策略的特点是最优thr eshold q*i> 0，并且是πit∈ {±Mi}对于所有i，t（可能在我们在下面忽略的一个短时间之后）。根据预测词的对称性，我们得到：P（πit=Mi）=P（πit=-Mi）=。（12） 因此，位置是伯努利随机变量。对于给定的t，（πit）i=1。。。与鼻孔无关，因为π仅是（pis）s的功能∈[0，t]（假设独立）。利用中心极限定理，我们得到了所有t的th，Rt=Piβiπit/√N是渐近的（N→ +∞) 高斯分布。事实上，在下面的内容中，我们将证明当N→ +∞.现在让我们写出RtasRt+dt的微小变化- Rt公司=√NNXi=1βiMiξi，（13），其中ξi=1，如果位置i从-t和t+dt之间的Mito+MIB，-1如果位置i开关fr om+Mito-Mi和0其他rwise。