具有异质信念和非流动性的资产定价

存在唯一的平衡价格函数v∈ C1,2b，由v（t，x）=Et，x[f（XT）]-（T- t） γAn其中，E[·]是概率Q的期望值，对于布朗运动W，在该期望值下，Xt=\'b（t，Xt）dt+\'（t，Xt）dWt，\'b=NPNi=1bi，\'σ=NPNi=1σIf。等价地，vis的唯一有界经典解tv+Tr‘∑xxv+(R)b十五-γaN=0，v（T，·）=f.（5.1）在平衡状态下，代理人i的dt×Qi-a.e.唯一最优投资组合为φi，0t=Liv（T，Xt）γ。（5.2）在本节剩余部分，我们用vλ表示定理4.1中的均衡价格，以强调对λ的依赖性。我们的目标是计算领先顺序偏差λ-1/2（vλ- v） 来自无摩擦平衡Rice-vof命题5.1。为简单起见，我们将重点放在具有平滑漂移和扩散系数的一维状态变量（d=1）的情况，以及终端条件：bi，σi，f∈ C∞B对于1≤ 我≤ N、 因此v，vi∈ C∞b备注4.3的强度。定理5.2。对于固定持有成本γ>0和小额交易成本λ→ 0，定理4.1中的均衡价格函数vλ具有展开式vλ（t，x）=v（t，x）+√λv*（t，x）+o(√λ） 在[0，T]×R.（5.3）上局部一致，对于以下参数，Cbis有效。

一定程度上削弱这些规律性假设是可能的，为了便于阐述，我们保留了给定的平滑性假设。这里，关于命题5.1和命题V中的无摩擦均衡价格*（t，x）=√γNNXi=1’Et，xZTtLi^φi，0（s，Xs）ds（5.4）式中，^φi，0（s，x）=Liv（s，x）/γ是决定代理人i无摩擦最优投资组合的反馈函数（5.2），期望值是在无摩擦代表代理人的概率度量“Q”下进行的，其中chdxt=”b（t，Xt）dt+”“（t，Xt）dWt，’b=NPNi=1bi，(R)σ=NPNi=1σi。奇异摄动展开式（5.3）表明，摩擦平衡价格vλ与其无摩擦对应物vλ的前导顺序偏差为平方根√交易成本的λ，如[32]中的风险分担均衡。考虑到本研究中考虑的异质性信念，比例常数（5.4）由药剂无摩擦平衡组合的综合漂移率Rttli^φi，0（s，Xs）ds确定，平均值为药剂和状态。因此，如果代理人平均预期未来会增加头寸，那么均衡价格相对于无摩擦价格会增加，反之亦然。其解释是，在非流动性市场中，代理人考虑其未来交易需求，以节省整个时间间隔内的累计交易成本。因此，对未来购买的预期已经导致早期职位增加，反之亦然。为了清理市场，均衡价格根据所有代理人的综合调整所产生的过剩需求或供应而增减。5.1定理5.2的证明证明定理5.2的第一步是证明定理4.1中的函数vλifrom不仅对每个λ有界，而且该界对λ实际上是一致的∈ (0, ∞).

根据定理4.1中的偏微分方程（4.1），λG（t）NG（t）ais对于所有λ>0和t一致有界∈ [0，T]根据G的定义，这是以下更一般结果的特例，这也将使我们能够得出下一节小规模持有成本的估计。请注意，虽然通过市场清算，实际的未来投资组合变化加起来为零，但对于异质代理在其主观概率度量下的预期变化，这不一定是真的，Li^φi，0。在v的公式中*, 这些预期变化在所有状态下的概率度量“Q”下平均，对应于无摩擦代表性代理。引理5.3。对于i=1，N和任意参数ε∈ E，考虑函数αi，βi，aεi，bεi，hi∈ C∞b（[0，T]×R）和writeLi=t+βixx+αix、 假设aεi，bε一致有界于ε∈ E，设ui=ui（ε，λ，γ），i=1，N表示系统的唯一经典有界解+GG+aεi用户界面-GGNNXj=1uj+bεi=0，ui（T，·）=hi，i=1，N、 然后，| ui（t，x）|≤ 对于常数M>0，与ε、λ、γ无关的M∈ (0, ∞)和（t，x）∈ [0，T]×R.证明。Ui的存在唯一性是[8，定理2.4]的特例。由于这些函数是有界的，因此[34，定理5.7.6]中的Feynman–Kac公式以及G/G=（log G）和G（T）=1给出了εidτui（T，x）=Eit，x“ZTt-G（s）G（t）NNXj=1eRsaεidτuj（s，Xs）ds+ZTteRsaεidτG（s）G（t）bεids+eRTaεidτG（t）hi（XT）#其中期望是在状态变量具有动力学dXt=αi（t，XT）dt+βi（t，XT）dWit的度量下得到的。选择统一边界MforeRsaεidτbεi和eRTaεidτhi, definek（t，λ，γ）=maxn | eRtaεi（τ，xτ）dτui（t，xt）| o<∞,最大值接管i∈ {1，…，N}，ε∈ E和（xτ）τ∈[0，t]∈C（[0，t]，R）。

使用此符号，| eRtaρidτui（t，x）|≤ZTt公司-G（s）G（t）K（s，λ，γ）ds+MZTtG（s）G（t）ds+MG（t），这依次导致toG（t）K（t，λ，γ）≤ZTt公司-G（s）G（s）G（s）K（s，λ，γ）ds+MZTtG（s）ds+M。我们可以将其理解为形式u（t）的不等式≤RTtB（s）u（s）ds+A（t），u（t）=G（t）K（t，λ，γ）。使用G/G=（log G）并且G正在减小，RTtG（r）dr≤ G（t）t和Gr"onwall引理yieldG（t）K（t，λ，γ）≤ M（G（t）t+1）- MG（t）ZTtZTsG（右）dr+1G（s）G（s）ds。（5.5）观察G满足G=λγ和G（T）=0和λγ（G）G≤ 1，以便-ZTt公司ZTsG（r）drG（s）G（s）ds=ZTtλγG（s）G（s）ds≤ T- t型≤ T、 连同-ZTtG（s）G（s）ds=1-G（t）≤ 1，由（5.5）和G（t）得出≥ 1表示K（t，λ，γ）≤ 2M（T+1）。由于aε在ε、t、x中一致有界，因此通过K（t、λ、γ）的定义，函数ui在ε、γ、λ、t、x中一致有界。推论5.4。存在M>0使得| vλi（t，x）|≤ M表示所有λ>0和（t，x）∈ [0，T]×R。接下来，我们根据定理5.2建立了函数vλ和vλ导数的类似一致界。引理5.5。修复k≥ 存在M>0，使得|kxvλi（t，x）||kxvλ（t，x）||t型kxvλ（t，x）|≤ M对于所有λ>0和（t，x）∈ [0，T]×R.证明。根据定理4.1和备注4.3，函数的x-导数vλi，i=1，定理4.1中的N满足通过对空间变量进行微分（4.1）得到的以下偏微分方程：t型xvλi+σixx号xvλi+（bi+σixσi）x个xvλi（5.6）+xbi+GGxvλi-GGNNXj=1xvλj=0，xvλi（T，·）=f。引理5.3因此得出|xvλi（t，x）|，且inturn也适用于xvλ（t，x）=NPNi=1xvλi（t，x）。高阶x-导数的相应边界随后迭代此参数。最后，时间导数的一致界kxvλ是偏微分方程（4.1）、（5.6）等的抛物线形式及其和的直接结果。引理5.6。

对于λ>0，考虑C类的α、β、aλ、h∞带写=t+βxx+αx、 假设wλ∈ C∞b系数wλ（T，·）=h和twλ，xwλ，xxwλ，aλ在λ中一致有界。然后，得到了luλ+aλ（t，x）+G（t）G（t）（uλ）的唯一有界经典解uλ- wλ）=0，uλ（T，·）=hsatis | uλ（T，x）- wλ（t，x）|√λ≤ M对于某些M>0，与λ>0和（t，x）无关∈ [0，T]×R.证明。按照与（4.8）推导相同的步骤，得出uλ（t，x）=wλ（t，x）+Et，xZTtG（u）G（t）aλ+Lwλ（u，Xu）杜（5.7）其中，在状态变量具有动力学dXt=α（t，Xt）dt+β（t，Xt）dWt的度量下取期望值。对于λ+Lwλ的统一界限M，所需界限为| uλ（t，x）- wλ（t，x）|√λ≤M√λZTtG（u）G（t）du=-M√λγG（t）G（t）≤M√γ，其中我们在第二步中再次使用了G（u）=λγG（u）和G（T）=1，并在最后一个不等式中定义了G。推论5.7。修复k≥ 存在M>0，使得|kxvλi（t，x）- kxvλ（t，x）|√λ≤ M对于所有λ>0和（t，x）∈ [0，T]×R和i∈ {1，…，N}。证据根据定理4.1中的偏微分方程（4.1）和引理5.5中的一致边界，引理5.6得出λ-1/2 | vλi- vλ|≤ 对于某些常数M。这证明了k=0的断言。导数的类似界限如下：将相同的参数应用于通过微分（4.1）获得的相应PDE，如引理5.5中的证明。我们现在可以估计vλ与无摩擦均衡价格vof命题5.1之间的差异。提案5.8。修复k≥ 存在M>0，使得|kxvλ（t，x）- kxv（t，x）|√λ,|t型kxvλ（t，x）- t型kxv（t，x）|√λ≤ M对于所有λ>0和（t，x）∈ [0，T]×R.证明。使用（4.2）和（4.1）计算v，减去v的PDE（5.1），再次使用G（u）=λγG（u），我们得到t（vλ- v） +(R)σxx（vλ- v） +(R)bx（vλ- v） （5.8）+NNXi=1σi(xxvλi- xxvλ）+NNXi=1bi(xvλi- xvλ）=0，带（vλ-v） （T，·）=0。这里的“b”、“σ”如命题5.1所定义。

λ的期望一致界-1/2 | vλ-v |现在是费曼-科航公式和推论5.7的结果。λ的类似结果-1/2|kxvλ-kxv |遵循相同的论点，因为备注4.3表明，这些衍生物满足通过微分获得的类似偏微分方程（5.8）。时间导数的相应边界依次是方程抛物线形式的结果。对于函数g（t）=cosh（qγλ（t），我们有以下版本的“拉普拉斯方法”- t） ）为λ→ 引理5.9。给定t∈ [0，T）和[T，T]上的连续函数F，rγλZTt-G（u）G（t）ZutF（s）ds杜邦→ F（t）为λ→ 0.（5.9）证明。（5.9）的左侧可分解为asrγλZTt-G（u）G（t）ZutF（s）- F（t）dsdu+rγλZTt-G（u）G（t）ZutF（t）dsdu。利用F在[t，t]上的一致连续性观察qγλ-G（·）G（t）在（t，t）上局部一致收敛到0，证明λ的第一项消失→ 0、分段积分，G=λγGshow the secondary term收敛于F（t）。引理5.9与命题5.8的一致界一起，允许我们计算vλi的前导阶展开式-vλ及其导数。引理5.10。对于k=0、1、2和（t、x）∈ [0，T）×R，我们有limλ→0kxvλi（t，x）- kxvλ（t，x）√λ=kxLiv（t，x）√γ. （5.10）证明。对于k=0，1，2，证明类似；我们只在计算量最大的casek=2中详细说明。根据定理4.1和andRemark 4.3，函数vλi，i=1，…，的二阶x导数，Nfrom定理4.1通过对空间变量进行两次微分（4.1），满足以下偏微分方程：t型xxvλi+σixx号xxvλi+（bi+2σixσi）x个xxvλi+ci+GGxxvλi+xxbi公司xvλi-GGNNXj=1xxvλj=0，xxvλi（T，·）=f，其中ci=2xbi+(xσi）+σixxσi。

由于此处出现的所有函数都受到假设或备注4.3的限制，费曼-卡茨公式和G/G=（log G）产生了随机表示xxvλi（t，x）=Et，x“ZTt-G（u）G（t）eRutcidτxxvλ（u，Xu）du+eRTtcidτf（XT）G（t）+ZTtG（u）G（t）eRutcidτxxbi公司xvλi（u，Xu）du#其中，期望E[·]是在状态变量具有动力学dXt=（bi+2σi）的度量qf下获得的xσi）（t，Xt）dt+σi（t，Xt）dWit。与RTT一起-G（u）G（t）du=1-G（t），这意味着xxvλi- xxvλ√λ=Et，x“ZTt-G（u）√λG（t）eRutcidτxxvλ（u，Xu）- xxvλ（t，x）du+eRTtcidτf（XT）- xxvλ（t，x）√λG（t）（5.11）+ZTtG（u）√λG（t）eRutcidτxxbi公司xvλi（u，Xu）du#。回顾ci，fand（引理5.5）也xxvλ有界（uniformlyinλ），支配收敛和G的定义表明（5.11）右侧第二项的期望收敛到零λ→ 0、鉴于limλ→0克（吨）√λG（t）=0，支配收敛和分段积分表明，第三项的期望收敛et，xlimλ→0ZTt-G（u）√λG（t）ZuteRstcidτxxbi公司xvλi（s，Xs）ds杜邦= xxbi公司xv（t，x）。（5.12）这里我们使用推论5.7和命题5.8，引理5.9来表示等式。最后，通过将It^o的公式应用于eRutcidτ，可以重写（5.11）右侧第一项的期望值xxvλ（u，Xu），插入X的Q-动力学，并考虑到相应的局部鞅部分具有期望零，因为所有涉及的函数都是有界的。支配收敛以及命题5.8和引理5.9则表明λ的相应极限→ 0 isEt，xlimλ→0ZTt-G（u）√λG（t）ZuteRstcidτLixxvλ（s，Xs）dsdu= 锂xxv（t，x），（5.13），其中Li=t+σixx+（bi+2σixσi）x+ciId。k=2now的断言来自（5.11–5.13），通过观察Lixx号+xxbi公司x=xxLi。我们现在可以证明小交易成本下均衡价格的扩张。定理5.2的证明。

我们首先观察到vλ的PDE（5.8）-vadmitsthe Feynman–Kac表示（vλ- v） （t，x）=NNXi=1’Et，xZTt公司σi(xxvλi- xxvλ）+bi(xvλi- xvλ）（s，Xs）ds.主导收敛和引理5.10中计算的极限，然后是yieldlimλ→0vλ- v√λ（t，x）=rγNNXi=1’Et，xZTt公司σixx+bix个Liv（s，Xs）ds=rγNNXi=1’Et，xZTt公司锂- t型γ^φi，0（s，Xs）ds（5.14）式中，φi，0=Liv/γ是代理i的无摩擦均衡投资组合函数；参见（5.2）。当这些策略清理市场时，时间衍生品的总和为零，逐点限制（5.14）简化为（5.4）。族{λ-1/2（vλ-v） }λ>0由命题5.8有界且等连续；因此，收敛实际上是局部一致的，这是ArzeláAscoli定理的结果。6小持有成本的渐近下一步，我们从定理4.1研究小持有成本γ的均衡价格的渐近性→ 0（固定交易成本λ>0）。为了强调对γ的依赖性，我们在本节中用vγ表示价格v。我们再次关注一维状态变量（d=1）具有平滑漂移和扩散系数以及终端条件的情况；见备注4.3。为了得出结果，我们首先注意到，我们模型的风险中性版本γ=0是适定的，基本上是作为第4.1条的一个简单特例涵盖的（使用相同的证明，阅读约定G（u）/G（s）=1和G（u）/G（s）=0）。相应的均衡价格是所有代理人条件期望的平均值，v（t，x）=NNXi=1vi（t，x）=NNXi=1Eit，x[f（XT）]，（6.1），相应的投资组合是φi，0t=ai+ZtEisZTsLiv（u，Xu）λduds。（6.2）（上述γ=0的表示法不应与上一节中λ=0的表示法混淆。）引理3.1表明，当γ>0且λ>0时，最优投资组合决策考虑了未来预期收益，这些收益由γ/λ决定的核贴现。

作为一个限制性案例，我们已经看到λ=0的无交易成本组合（5.2）只考虑了当前（主观）漂移率；这对应于最终折扣。在相反的极端情况下，无持有成本投资组合（6.2）在不折现的情况下汇总了未来的预期回报。因此，我们预计小额持有成本将发挥与大额交易成本类似的作用。事实上，定理4.1表明，当供给完成时，均衡价格只取决于γ/λ的比率，即决定最优执行轨迹的“紧急参数”[3]，更一般地说，决定各种情况下具有交易成本的最优交易策略；参见，例如，【39】及其参考文献。当a>0时，定理4.1表明均衡价格在（γ，λ，1/a）中为0-齐次。这意味着，如果以与交易和持有成本相同的方式重新调整供给的倒数，则资产价格保持不变：更大资产头寸的更大交易和持有成本是由摩擦系数的降低决定的。本节的主要结果是小持有成本γ的以下规则摄动展开→ 0、定理6.1。对于固定交易成本λ>0和小额持有成本γ→ 0，定理4.1中的均衡价格函数具有展开式vγ（t，x）=v（t，x）+γv*（t，x）+o（γ）在[0，t]×R.（6.3）上一致，这里是γ=0和v的平衡价格（6.1）*（t，x）=-NNXi=1Eit，xZTtφi，0sds其中φi，0是agent i的最优策略（6.2），γ=0，期望值在agent i的信念Qi下取值。扩展的参考点（6.3）是风险中性价格vof（6.1）。在这种有限的情况下，代理只考虑未来的预期回报。在其他条件相同的情况下，当引入持有成本时，代理会减少其头寸的大小。

v的上述表达式*反映每个人对其未来平均头寸的预期Eit，x【RTtφi，0sds】。增加持有成本会减少平均预期多头的经纪人的需求，反之则会减少空头。因此，价格修正的最终迹象将取决于市场的总体预期。实际上，v的公式*表明在第一阶，所有代理的预期平均头寸的算术平均值为修正值的负值。定理6.1的证明。第1步。与定理5.2类似，证明该展开式的第一步是确定定理4.1中的函数vγi在γ中一致有界。实际上，请注意函数λG（t）NG（t）ais在γ中局部一致有界。因此，引理5.3与定理4.1中的偏微分方程（4.1–4.2）一起应用，得到给定0<\'γ<∞, 存在M>0使得| vγi（t，x）|≤ M表示所有γ∈ [0, γ]. （6.4）步骤2。接下来，我们将其表示为γ→ 0，| vγi（t，x）- vi（t，x）|→ 0在[0，T]×R.（6.5）上一致，（4.1–4.2）表明t（vγi- vi）+σixx（vγi- vi）+bix（vγi- vi）+G（t）G（t）vγi-NNXj=1vγj-λG（t）NG（t）a= 0，（vγi- vi）（T，·）=0。因此，Feynman–Kac公式得出（vγi- vi）（t，x）=Eit，xZTtG（s）G（s）vγi（s，Xs）-NNXj=1vγj（s，Xs）-λG（s）NG（s）ads公司（6.6）如果预期是根据代理人i的主观概率测量Qi进行的。注意G（t）→ 0和G（t）→ 1为γ→ 0，在[0，T]上一致。根据（6.4），我们得出结论（6.5）。第3步。现在我们可以证明定理6.1的展开式。通过（6.6），（vγi- vi）（t，x）γ=Eit，xZTtG（s）γG（s）vγi（s，Xs）-NNXj=1vγj（s，Xs）-λG（s）NG（s）ads公司.使用G和Dini定理的定义，limγ→0G（t）G（t）=0和limγ→0G（t）γG（t）=-T- tλ，一致在[0，t]上。（6.7）与（6.4）一起，占主导地位的收敛，（6.5）和（6.1），这个产量很小γ→0vγi（t，x）- vi（t，x）γ=Eit，xZTtT公司- sλv（s，Xs）- 六（s、Xs）ds公司在[0，T]×R上均匀分布。