具有异质信念和非流动性的资产定价

其次，我们假设所有投资者都会通过持仓的二次持有成本来惩罚库存。这导致了均衡价格的线性偏微分方程系统，与非线性偏微分方程系统不同，非线性偏微分方程系统出现在方差上保持成本[32]，即使具有同质信念。终端财富或中间消费的凹效用函数将引入每个代理的价值函数作为非线性PDE系统的附加组件，从而使分析更加复杂。第三，我们假设库存成本在各代理之间是同质的，以便挑出异质性信念的影响。[12，32]研究了具有同质信念的模型的异质持有成本。最后，我们没有在均衡状态下对“交易成本走向”进行建模：与大多数相关文献[13、38、48]一样，我们将交易成本视为所考虑金融市场的无谓损失。例如，对于交易税或交易所收取的费用来说，这似乎是合理的。3单主体优化作为均衡结果的准备，我们首先确定主体i，并解决面临外生价格过程的单个优化问题。类似的线性二次优化问题已被考虑，例如，在[5,6,12,15,25,26,36]中；为了方便读者，我们提供了一个自包含的推导。引理3.1。设γ>0，λ>0，g（t）=coshrγλ（T- t）, t型∈ [0，T]。（3.1）给定（2.3）中的价格过程S，dt×Qi-a.e.试剂i的唯一最优组合为φit=G（t）G（0）ai+ZtG（t）G（S）EisZTsG（u）G（s）uiuλduds。（3.2）特别是，最优交易率的特征是随机ODE˙φit=G（t）G（t）φit+EitZTtG（s）G（t）u为λds, φi=ai。

（3.3）与之前的文献一样，最优交易策略跟踪平均Eit【RTt-γG（s）λG（t）u是通过（2.4）漂移的逐点最大化获得的无交易成本组合uit/γ的贴现未来值的γds]。也就是说，流动性不足通过“瞄准移动目标前方”来解释【25】。跟踪速度-G（t）/G（t）和折扣kernelK（t，s）=-γG（s）/λG（t）由持有成本和交易成本的比值γ/λ确定，相对较低的交易成本导致更快的交易，并更强调资产的当前回报。引理3.1的证明。直接微分表明˙φiof（3.3）是φiin（3.2）的导数。此外，ui∈ L（Qi）和Doob不等式意味着φi∈ L（Qi），然后（3.3）得到φi∈ L（Qi）。注意，ji（φ）=EiZT公司φtuit-γφt-λ˙φtdt公司对于任何投资组合φ，该投资组合可以通过其交易利率进行参数化，因为初始配置是固定的和φ∈ L（Qi）表示φ∈L（Qi）。ji的严格凹性意味着任何优化器（a.e.）都是唯一的，并且当且仅当G˙teaux导数limε→0ε【Ji（˙φ+ε˙θ）- （2.4）的Ji（˙φ）]在所有方向上消失∈ L（Qi）；也就是说，0=EiZT公司uitZt˙θsds- γφitZt˙θsds- λ˙φit˙tdt公司= 工程安装ZT公司ZTt公司u为- γφisds公司- λ˙φit˙θtdt,˙θ ∈ L（Qi）。由于˙θ是任意的，这相当于˙φit=λEit[RTt（uis- γφis）ds]，依次等于|φit=Mit-λZt（uis- 对于某些Qi鞅Mi，γφis）ds，˙φiT=0。不同放置，˙φ∈ L（Qi）是最优的当且仅当它解线性正反向SDEdφt=˙φtdt，φ=ai，（3.4）d˙φt=γλφt-uitγdt+dMt，˙φT=0。

（3.5）直接计算表明，（φi，˙φi）解此系统：（3.4）是平凡的，对于（3.5）我们注意到d˙φit=G（t）G（t）-G（t）G（t）φit+G（t）G（t）G（t）G（t）φit+EitZTtG（s）G（t）u为λds-G（t）G（t）EitZTtG（s）u为λds-uitλdt+G（t）dEitZTG（s）u为λds=γλφit-uitγdt+Dmt对于Qi鞅M=R·G（t）dEit[RTG（s）u是λds]，其中G（t）=γλG（t）。当G（T）=0时，也满足终端条件˙φiT=0。4均衡以下结果确定了均衡价格函数v的存在性和唯一性∈ C1,2b（[0，T]×Rd）及其通过线性抛物方程组的弱耦合刻画。回想一下，函数G在（3.1）中定义为G（t）=cosh（p（γ/λ）（t- t） ）。定理4.1。设γ>0，λ>0。抛物线系统tvi+Trσixxvi+bixvi+G（t）G（t）（vi）- v） =0，1≤ 我≤ N、 （4.1）v：=NNXi=1vi+λG（t）NG（t）a，（4.2）vi（t，·）=f，1≤ 我≤ N（4.3）有唯一的解决方案v，越南∈ C1,2b（[0，T]×Rd），通过（4.2）定义的函数Vd是均衡价格函数。它在任何均衡价格函数w的意义上都是唯一的∈ 多项式增长的C1,2（[0，T]×Rd）必须等于v。均衡投资组合由φit=G（T）G（0）ai+ZtG（T）G（s）Eis给出ZTsG（u）G（s）Liv（u，Xu）λduds。为了进行比较，让我们首先考虑一下这个结果如何简化同质信念。然后，所有漂移和波动系数，以及定理4.1中的转向函数Vi，都是一致的。加上函数G的定义，V（t，x）=Et，x[f（XT）]-γaN（T- t） ，其中期望值是在公共概率度量下进行的。这是在无摩擦模型中获得的相同均衡价格，其中交易成本λ为零；参见提案5.1。因此，在同质信念和持有成本下，均衡价格不仅取决于流动性；类似结果见[42、12、32]。

相反，相应的均衡交易速度取决于交易成本λ和持有成本λ的比率。对于同质信念，它是确定性的，对所有代理都是一样的1≤ 我≤ N、 ˙φit=rγλtanhrγλ（T- t）一- φit, φi=ai。也就是说，（相同的）代理只是逐渐调整其初始配置，直到风险资产的总供给在所有代理之间平均分配。回到一般情况，定理4.1的直接结果是，持有成本γ和交易成本λ具有双重作用。特别是，在零净供应a=0的情况下，均衡价格仅取决于比率γ/λ，因此小交易成本等于大持有成本。当a＞0时，定理表明平衡价格在（γ，λ，1/a）中为0-齐次。在推导出小成本的限制情况后，我们将在下文第6节对此进行更详细的讨论。如果所有代理人都有相同的信念，那么也可以考虑之前在具有同质信念的模型中研究的异质性持有成本γias【12,32】或外源性价格动态【7,16】。然而，正如在这些研究中一样，allagents的当前位置将作为附加状态变量出现，系统将变为半线性。（当前设置中的额外状态变量将取消，因为函数G（t）对于所有代理都是相同的。）因此，我们关注同质持有成本，以强调信仰异质性的影响。为了证明定理4.1，我们首先建立了抛物型方程组的分析性质。给定α∈ （0，1），H"olderspace C1+α/2,2+α（[0，T]×Rd）由函数w（T，x）组成，使得w，tw，xw，xxw存在，有界，与t中的指数α/2和x中的指数α一致H"older连续。命题4.2。系统（4.1–4.3）有一个独特的解决方案v，越南∈C1,2b（[0，T]×Rd）。事实上，v。

，vN∈ 所有α的C1+α/2,2+α（[0，T]×Rd）∈（0，1）和唯一性在更大的函数类w，西尼罗河∈C1,2（[0，T）×Rd）∩ C（[0，T]×Rd）满足| wi（T，x）|≤ 某些常数c、c的cexp（c | x |）≥ 0.证明。系统（4.1–4.3）是一个弱耦合、一致抛物线性系统；背景见【24，第9章】。所述类的唯一性是[9，定理1]的特例。此类线性系统的存在性结果包含在【24，定理3，第256页】中，但这并不能产生我们这里所要求的增长估计。我们的系统也包含在一篇关于反应扩散系统的文章中。具体而言，[8，定理2.4]是指（4.1–4.3）具有唯一解v，越南∈ C1,2（[0，T）×Rd）∩Cb（[0，T]×Rd）。主要的一点（我们在文献中没有发现）是证明一个关于导数的有用的增长估计，为此，关键要素是为vi.（i）提供一个H"older估计。在这一步中，我们证明了vi在x中是全局Lipschitz，在t中是一致的。写u=（u，…，uN），我们的系统的一般形式是liui（t，x）+hi（t，u（t，x））=0，ui（t，x）=fi fi（x），1≤ 我≤ N（4.4）满足以下条件，对于某些常数c>0：函数h=（h，…，hn）是Lipschitz与范数Lip（h）的联合≤ c（因此h（t，·）呈线性增长，在t中均匀分布）；Liare有界和Lipschitz的系数；每个fi有界且Lipschitz具有范数Lip（fi）。根据【8，定理2.4】，这样一个系统有一个（唯一）解v，越南∈ C1,2∩Cb。事实上，definefi（u）（t，x）：=Eifi（Xt，Xt）+ZTthi（s，u（s，Xt，xs））ds, 1.≤ 我≤ N、 [8，定理2.3和2.4]的证明表明，对于与一致范数等价的完备范数，F=（F，…，FN）是（Cb）N=Cb×·····×Cb上的收缩。

更准确地说，在适当地运行h之后，这一点仍然成立（以便截断不会影响有界解）。结果表明，如果我们从任何u开始∈ （Cb）与迭代F，序列un=（Fo ··· o F）（u）将一致收敛到一个解（v，…，vN）∈（C1,2∩ Cb）Nof（4.4）。我们尤其可以选择u∈ （Cb）Nsuch thatsup0≤s≤TLip（用户界面，·））<∞ 适用于所有1≤ 我≤ N作为我们盈利的起点。根据SDE的标准估计（例如，[46，定理2.4（i），第8页]），Ei | Xt，xs- Xt，ys |≤ K | x- y |，0≤ s≤ T对于常数K，仅取决于Liantsof和T系数的Lipschitz常数。确定一个长度为τ=t的小时间间隔[t，t]- t>0且letLu=L（t）u=max1≤我≤Nsupt公司≤r≤TLip（ui（r，·））。那么对于t≤ s≤ 我们有| Fi（u）（s，x）- Fi（u）（s，y）|≤ 工程安装Lip（fi）| Xs，xT- Xs，yT |+ZTsc maxiLip（ui（r，·））| Xs，xr- Xs年| dr≤ [K Lip（fi）+τcKLu]| x- y |。这适用于所有i。选择τ，使ε：=τcK<1，并设置Lf=max1≤我≤NK Lip（fi），然后Lip（F（u）（s，·））≤ Lf+εLu，t≤ s≤ T、 当然，表示法意味着每个成分Fi（u）满足该属性。迭代得到un=（Fo ··· o F）（u）满足几何timatelip（un（s，·））≤ Lfn公司-1Xk=0εk+εnlu，因此统一极限（v，…，vN）=lim unsatis fies Lip（vi（s，·））≤Lf（1- ε)-1对于t≤ s≤ T注意，上述参数中区间的大小τ不依赖于Lip（f）。因此，我们可以在区间[T]上重复这个论点-2τ，T-τ] ，替换终端条件fibyfi：=vi（T- τ, ·). 继续很多次，我们得出结论，sup0≤s≤TLip（vi（s，·））<∞.（ii）接下来，我们证明viis在t中全局为1/2-H"older，在x中一致。简单的SDE估计表明Ei | Xt，xs- Xt，xs |≤ K | t- t | 1/2，0≤ t型≤ t型≤ s≤ 这里K依赖于Lipschitz常数和biandσias的统一界以及T。（为了了解这一点，例如，可以通过[46，定理2.4（ii），p。

8] 并使用该参考文献的估算式（2.5）中的统一界限，以避免在Ei | Xt，xs的最终估算中依赖于x- Xt，ys |）如上所述，（4.4）中的相关函数h在u中被截断，因此khk∞< ∞. 这将产生（粗略但简单的）估计值ztt | h（s，Xt，xs，u（s，Xt，xs））| ds≤ khk公司∞|t型- t |≤ c | t- 对于某些常数c，t | 1/2（4.5），因为| t- t |≤ T如果你∈ （Cb）Nis-Lipschitz在x中，常数lu在t中均匀分布，我们得到，与（i）中类似，但使用also（4.5），| Fi（u）（t，x）- Fi（u）（t，x）|≤ 工程安装Lip（fi）| Xt，Xt- Xt，Xt |+c | t- t | 1/2+ZTtcLu | Xt，xs- Xt，xs | ds≤ [K Lip（fi）+c+T cLuK]| T- t | 1/2。同样，我们迭代映射F以生成un=（Fo···oF）（u）。通过（i）我们得到了∞. 因此，上面显示| uni（t，x）-uni（t，x）|≤c | t-t | 1/2对于均匀常数c，则对于极限（v，…，vN）=lim un，同样适用。（iii）我们在上文中已经证明，v在x和1/2-H"olderin t中是全局Lipschitz；特别是vj∈ Cα/2，α代表所有α∈ (0, 1). （有关霍尔德空间的详细定义，请参见[37，第117页]。）对于固定i，我们可以看到包含（vj）jas系数的标量PDE的解：ν=Vi是￠LД（t，x）+g（t，x）=0，Д（t，·）=f[0，t]×rd的解，终值为f∈ C2+α，抛物线算子Lu：=Liu-U和非均匀项g∈ Cα/2，α定义为G=vi+G（t）G（t）vi-NNXi=1vi+λG（t）NG（t）a！使用固定函数（vj）1≤j≤N、 我们现在可以应用Schauder估计值的合适版本得出结论，即vi=Д∈ C1+α/2,2+α（[0，T]×Rd）；参见[37，定理9.2.3，第140页]。备注4.3。假设bi，σi，f∈ C∞B对于1≤ 我≤ N、 那么我们也有vi∈ C∞b、 证明。如果bi，σi∈ C∞（[0，T）×Rd），[24，定理11，p.265]中描述的抛物型方程组的内部正则性立即得出命题4.2的解在C中∞（[0，T）×Rd）。

我们需要证明任何阶的偏导数都是有界的。修复1≤ 我≤ N和1≤ k≤ d并考虑函数Д=xkvi。我们可以区分系统（4.1）中关于x的部分，并重新排列这些项，以发现ν是标量抛物方程的解lД（t，x）+g（t，x）=0，Д（t，·）=xkfon[0，T]×Rd带终值xkf公司∈ C∞b C2+α。在这里，不均匀性g包含了由微分方程产生的所有其他项：它是一个线性组合，系数为C∞（[0，T）×Rd），函数vj，1≤ j≤ N以及它们的一阶和二阶空间导数。作为vj∈ C1+α/2,2+α通过命题4.2，我们特别看到∈ Cα/2，α。因此，我们可以从[37，定理9.2.3，第140页]得出结论：xkvi=Д∈ C1+α/2,2+α（[0，T]×Rd）。特别地，viare的三阶空间导数是有界的且一致H"older连续的。此外，通过上述方程的抛物线形式，以下同样适用于t型xkvi=t^1。这个参数可以迭代到高阶导数。定理4.1的证明。均衡投资组合的公式是命题5.1的直接结果，因此我们关注价格。（i） 让v，越南∈ C1,2bbe是命题4.2和定义vby（4.2）的解；我们证明了v是一个均衡价格函数。其公式表明，St=v（t，Xt）是（2.3）中定义的价格过程；系数ui和νi甚至有界。根据（4.2），函数wi（t，x）：=G（t）vi（t，x）满足liwi=GLivi+Gvi=gv，wi（t，x）=G（t）vi（t，x）=f（x）。因此，它的公式和xvi意味着在Qiwe下，Feynman–Kac代表wi（t，x）=Eit，x【f（XT）】-ZTtG（u）Eit，x[v（u，Xu）]du。因此，vi（t，x）=Eit，x[f（XT）]G（t）-ZTtG（u）G（t）Eit，x[v（u，Xu）]du（4.6）表示所有（t，x）∈ [0，T]×Rd。

引理3.1表明，给定价格St=v（t，Xt），投资组合φit=ZtG（t）G（s）Eis，XshZTsG（u）G（s）λLiv（u，Xu）duids+G（t）aiG（0）（4.7）对于代理i来说是最优的。仍需证明这些投资组合清除了市场。回顾G（T）=1，对partsformulaRTsG（u）dSu=G（T）ST的集成进行期望-G（s）Ss-RTsG（u）Sudu和applying（4.6）yieldEis，xZTsG（u）G（s）λLiv（u，Xu）du=λG（s）Eis，x【f（XT）】- G（s）v（s，x）-ZTsG（u）Eis，x[v（u，Xu）]du=λ[vi（s，x）- v（s，x）]。（4.8）根据（4.2），我们推导出nxi=1Eis，xZTsG（u）G（s）λLiv（u，Xu）du= -G（s）G（s）a.在（4.7）中使用此项并积分-G（s）G（s）=sG（s）-1，我们得出结论Nxi=1φit=-aZtG（t）G（s）G（s）G（s）ds+G（t）aG（0）=所需的原子吸收光谱。（ii）设St=w（t，Xt）为某函数w的均衡价格过程∈ 多项式增长的C1,2（[0，T]×Rd）（或更一般地，w∈多项式增长的C1,2（[0，T）×Rd），且在[0，T]×Rd）上局部H"older连续。通过备注2.1，我们得到了w（T，·）=f。回想一下，系数uit=Liw（t，Xt）和νit=xw（t，Xt）>σitof（2.3）是我们对价格过程定义的一部分。我们用w而不是v来定义费曼公式（4.6）。鉴于对bian和σi的假设，函数wi具有类似w的多项式增长。此外，通过仔细应用标准PDE结果，wi∈ C1、2和Wii是关联线性偏微分方程（4.1）的解。具体而言，我们可以在w上规定的条件下使用有界域的近似值，如【30，定理1，条件（A3’）、引理2及其上面的注释】所述。它仍有待于显示（4.2）。根据引理3.1，代理人的均衡投资组合φ由（4.7）给出。因为这些投资组合使市场变得明朗，所以Piφ=a，因此sPiφisG（s）=asG（s）-1.

通过部分（4.8）逆转积分，我们得出结论，Nxi=1G（s）λ[wi（s，x）- w（s，x）]=NXi=1G（s）Eis，xZTsG（u）G（s）λLiw（u，Xu）du= sNXi=1φisG（s）=asG（s）-1= -aG（s）G（s），相当于（4.2）。因此，我们确定w，西尼罗河∈ C1,2是（4.1）的多项式增长解。现在，这一主张后面是命题4.2中所述的解决方案的唯一性。备注4.4。定理4.1中对马尔可夫均衡的限制（意味着价格是t和x的函数）与我们通过偏微分方程参数而非基本参数选择预防有关。例如，如果所有代理的波动率σi相同，则可以使用反向SDE进行类似的论证（例如，[35]）。在该框架中，我们将在一类可能的非马尔可夫均衡中获得唯一性，并且我们还可以覆盖这样的信念，即（2.1）被可能依赖于小交易成本X.5渐近路径的系数所取代。在本节中，我们通过描述小交易成本λ的渐近，从定理4.1中直观地得出均衡价格→ 0、为了以后的比较，我们首先考虑不含交易成本的模型；i、 e.，λ=0。在这种情况下，我们放弃了对可接受投资组合定义的绝对连续性要求，也不强制执行初始持股ai（在任何情况下，代理人可以在t=0后立即调整其头寸，而不会产生成本）。以下结果是【41，定理2.1和备注3.5】的一个特例，表明相应的均衡对应于代表性代理的价格，由平均漂移和波动系数确定。提案5.1。设λ=0，γ>0。