金融风险敞口网络中的最小系统性风险是什么？

hi（t）衡量迭代t时的痛苦程度；在t之前，由于其他银行违约而损失的权益份额ei。因此，hi（t）∈ [0，1]，其中hi（t）=1表示默认值。变量sj（t）∈ {U，D，I}采取三种状态之一：无压力、痛苦和不活跃。变量针对t=1进行初始化，hi（1）=δij，，其中j是初始默认的银行，si（1）=D，对于i=jand，si（1）=U，对于i，j。t的两个状态变量的动力学≥ 2由所有i的第一次同时更新hi（t）来定义，然后是所有i的si（t）更新。更新规则由hi（t）=min给出1，高（t- 1） +XjWjihj（t- 1), （2） 其中，j上的总和覆盖所有j，其中sj（t- 1） =D，和si（t）=D如果hi（t）>0；si（t- 1） ，II如果si（t- 1） =Dsi（t- 1） 否则。（3） 为简单起见，我们假设零恢复。请注意，这种假设在短时间尺度上并非完全不切实际，并且在文献中经常使用。从DebtRank的定义来看，很明显，只有当权重vi=0时，才会出现Ri=1。因此，在大多数情况下，R严格小于1。δij是克罗内克符号，如果i=j，δij=1，否则δij=0。迭代过程在T步之后结束，在T步中，所有节点要么未受应力，要么处于非活动状态。银行i的债务定义为RI=NXj=1hj（T）vj-NXj=1hj（1）vj=Xj，ihj（T）vj。（4） 最后一个等式成立，因为我们假设只有银行i最初违约，导致hi（1）=hi（T）=1。我们将整个市场的系统性风险定义为单个银行债务等级之和，即R=NXi=1Ri。（5） 关于这一定义的动机，另请参见Poledna和Thurner（2016）。为了进行比较，我们还对Bardocia等人（2015）提出的债务等级定义进行了修改。我们将此定义称为债务人2。有关更多详细信息，请参阅附录C。

DebtRank2被认为是网络中冲击传播的微观基础，直接来自银行资产负债表恒等式。Bardocia等人（2015年）承认，最初的DebtRank公式可能导致系统风险估计不足，因为冲击只在一次节点中传播，随后节点变为非活动状态。如果一家银行连续收到来自不同邻居的冲击，它只会传输第一次冲击，因为它在收到第一次冲击后变得不活跃。类似地，当接收到冲击的银行是环路的一部分，并且稍后将再次收到来自同一环路的冲击时，它将不会再次转发冲击。对于树网络和其他一些特殊结构，这两个债务等级是相同的。一般来说，DebtRank是DebtRank2的下限（Bardocia等人，2015）。然而，由于Debtrank2允许一个节点的多个冲击传输，因此（原则上）会导致包含回路的有限数量的冲击网络。实际上，当冲击小于预定值时，算法停止. 然而，在最初的DebtRank公式中，Battiston等人（2012c）指出，当存在循环时，冲击的有限循环可能并不可取。由于这个原因，并且由于在文献中，原始的债务等级被更广泛地使用，我们在论文的其余部分坚持使用原始的债务等级。Bardocia et al.（2016）研究了DebtRank的另一个有趣的推广，它推翻了冲击线性传播的假设。3、将系统性风险最小化作为优化问题本节提出了一个优化程序，该程序重新连接给定的银行间网络，以获得第二个（最优）网络，该网络接近当前经济环境的最优债务等级，即。

对于给定的股本水平、银行借贷和银行风险。由于其在公式（4）中的递归定义，DebtRank不能以闭合形式表示。这使得将其用作actualobjective函数不切实际。尽管在原则上可以对DebtRank进行优化，但计算成本很高，甚至不适用于大型网络。现在，我们提出了一种实用且易于实现的方法，该方法能够在经验网络中大幅降低系统性风险（DebtRank）。为此，我们使用分段线性凹函数之和来近似DebtRank，R，然后将其作为优化中的目标函数。定义2（直接影响）。银行i对其相邻银行的直接影响由II=NXj=1Wijvj=(R)LNXj=1min确定李杰，1aj。（6） 所有直接影响的总和为I=PNi=1Ii，这可以解释为Debtrank的一阶近似值。直接影响I可表示为闭合形式，即等式（6），其特殊结构允许我们使用混合整数线性规划（MILP）技术解决优化问题。优化过程重新布线网络中的链接。然而，为了经济合理性，应保持银行的总资产和负债以及总网络容量不变。这些要求由相应的约束条件保证，这些约束条件具有我们在第3.1节中讨论的经济意义。优化问题现在被表述为asminL∈{M:M∈RN×N+，Mii=0}NXi=1NXj=1min李杰，1aj受限于li=NXj=1Lij，iai=NXj=1Lji，我。（7） e、l、a、v和'l的值可以从资产负债表和银行间网络l中获得。目标函数不是线性的，而是分段线性的，并且由于最小算子的存在，是凹的；凹函数的和是凹的。在等式中。

（7） 我们省略了L，因为它只是一个正的乘法常数。优化的结果是最优资产负债矩阵L*. 由于目标函数的凹性和有界解空间（Lij），存在全局最优解∈ [0，min（ai，li，aj，lj）]ij）。然而，最优值不一定是唯一的。我们通过求解一个等价混合整数线性规划（MILP）来找到全局最优解，该规划由以下公式推导而来。优化问题包括N- N个自由变量（无自链接），这将即使是中等规模的银行间市场也变成了大规模优化问题。为了解决这个问题，我们将目标函数重新表示为混合整数线性规划（MILP），从而将其线性化。由于最小函数是分段线性的，因此可以应用数学规划的标准技术将等式（7）重写为MILP。我们使用特殊有序集（SOS）的概念，更具体地说，SOS2约束用于目标函数的线性化。这个概念可以追溯到Beale和Tomlin（1970年），并允许我们找到一个全局解决方案。我们首先提供了目标函数公式（7）行为的一些直觉，然后详细解释了公式。因为所有的aj都是非负的，所以我们可以将它们写在最小函数中，而等式（7）中目标函数中的一个项表示，minajejLij，aj. 附录中的图A.5显示了其行为。它会一直增加，直到Lij=ejby aj/ej，然后保持不变。下面我们展示如何将每个条目与一对变量（y2k）关联-1，y2k）。千年虫-1考虑Lij部分，其中目标仍在增加；y2ka计算目标函数为常数的区域（w.r.t.Lij）。

Lij=Ej过渡点的经济学解释是，i银行对j银行的负债与j银行的股权规模相同。如果i违约，j的全部股权将被销毁。然而，当Lij>ej时，y2k=min（0，Lij- ej）不再影响目标函数，因为超过100%的j股权无法被消费。注意，剩余的最小损耗（0，Lij- ej）由j的债权人所生，这些债权人不属于银行间体系。现在，我们更正式地展示了如何在变量y和一组dummyVariableδ的帮助下将目标函数转换为MILP。我们用矩阵术语描述了优化问题。在数值优化中，对向量进行优化更为常见。因此，我们重写L∈ RN×N+转化为向量x∈ RN+通过堆叠列L，x=vec（L）=（L，…，LN1，L…，LN2，L1N，…，LNN）>。（8） 注意，对于这种优化，只需要L的行和列之和，也就是说，它也可以在没有通常无法访问的精确网络的情况下执行。注意，为了便于记法和实现，我们保留了对角线项目Lii，i、 同样，我们定义了代表资产、负债和股权的长度系数，\'e=（e，…，e{z}N次，e，…，eN，…，eN{z}N次）>，（9）\'a=（a，…，a{z}N次，a，…，aN，…，aN{z}N次）>，（10）和'l=（l，…，l{z}N次）>。（11） 现在我们可以将目标函数写在等式（7）asminx中∈RN+PNj=1min\'aj\'ejxj，\'aj. （12） x中与L的对角线元素对应的元素必须为零，这可以通过附加约束或直接在优化软件中实施。

为了将目标函数转换为线性形式c>y，每个变量XI被分成两部分，y2i-1和y2i，其中xi=y2i-1+y2i和y2i-1=最小值（xi，’ei），（13）y2i=最小值（xi- \'ei，0）。（14） 第一部分，y2i-1，表示xi的范围，其中XIlead通过以下方式增加objectivefunctionxi（\'ai/\'ei）。在xi=(R)ei时，目标函数不再随xi增加。XI的这一范围由y2i来解释。为了用新变量y重新表示目标函数，我们需要引入一个二进制变量δ的向量∈ {0，1}2按以下方式δj=（如果yj>00，则为1，如果yj=0。使用δ，我们可以为成对（y2i）制定以下约束-1，y2i），对于所有i，δ2i-1.≥ δ2i（15）y2i-1.≥ δ2i'ei（16）y2i-1.≤ δ2i-1’ei（17）y2i≤ δ2最大值0，最小值\'ai，\'li- (R)ei. （18） 约束条件（15）-（18）确保等式（20）中重新表述的问题与等式（7）中原始问题的等价性。特别是，等式（15）强制规定，如果y2i-1大于零。约束条件（16）和（17）强制执行y2i-1必须小于“ei”，如果y2i大于零，则y2i-1必须等于“ei”。最后，等式（18）确保xi=y2i-1+y2i小于责任矩阵中相应条目的相应行和列之和。我们最终确定了长度为4N的向量c，它确定了y中各个条目增加的斜率cj=“ai”eiif j=2i- 1和我≤ 如果j=2i，且i≤ 如果2N<j，则为N0≤ 4N。（19） 因此，c2ii中的每一个第二项都等于零，因为偶数分量y2并不增加目标函数。它们对应于xi部分，其中目标函数被限制为“ai”。奇装异服，c2i-1，表示坡度。最后2个零确保二进制变量δ不会影响目标函数的值。

目标函数现在可以写成c>z，其中z=（y，δ）∈ R4n。δ和y的约束，等式。（15） –（18），紧凑地重新表示为Az=0，其中A∈R4n×4N，0表示长度为4N的零向量。在初始问题中，公式（7）中对可靠性矩阵行和列和的约束可以用标准矩阵形式写成Az=a，andAz=l。Aa和Aare N×4Ndimensional矩阵由0和1组成。附录A中概述了约束矩阵A、A和Ais的精确结构。最后，EQ的优化问题。（7） 作为MILP readsminz∈R4N+c>z（20），以Az为准≤ 0（21）Az=a（22）Az=l。（23）该方法是通用的，通常适用于所有直接金融风险网络，其中系统风险由DebtRank量化。如果考虑不同类型的金融网络，负债矩阵必须替换为相应的风险矩阵。根据金融网络类型，可以考虑各种进一步的约束，以确保个别银行的某些经济属性（取决于网络，但应保持不变）在优化后确实保持不变。我们继续更详细地讨论这些限制。3.1. 实施上述经济约束，式（7）中的约束不仅确保银行在优化后保持其规模，而且还具有重要的经济解释。行和列总和表示每家银行的银行间负债和银行间资产。保持这些常数意味着每家银行在优化后保留其银行间市场的流动性。

如果我们假设银行从银行间市场所需的流动性来源于其运营业务，那么这一活动不应被优化程序所扭曲，这一点很重要。另一种重要的经济约束与经济风险有关。在直接风险敞口网络中，在做出贷款决策时，多方信用风险扮演着重要角色。在间接风险敞口网络的情况下，如投资组合风险重叠，金融机构帮助的金融资产相关风险在做出投资决策时起着至关重要的作用。最重要的类型是信贷风险、市场风险和利率风险。为了使经验观察到的参考网络和优化后的网络具有可比性，需要有约束条件，以确保各个机构在优化前后的风险保持可比性。对于银行间网络，优化后，任何贷款银行都不应最终面临更高的交易对手信用风险。为了实现这一点，我们引入了另一个线性约束，以确保所有银行间贷款组合中的信贷风险大致保持不变。这一制约因素解释了银行的个别经济状况，这些状况受到网络结构的影响。我们旨在通过对每家银行的银行间贷款组合的主要信用风险加权敞口进行筛选，对这一特征进行建模。假设银行i的考虑信用风险指标为κi。对于给定的负债矩阵L，银行j的风险加权银行间贷款风险敞口，即银行间网络L所隐含的风险加权银行间贷款风险敞口，然后由rj=PNi=1Lijκi或矩阵表示法r=L>κ给出。为了将该约束包含在等式（20）的MILP中，我们需要将r转换为z=L>κ。

（24）注意，这组线性约束中至少有一个冗余方程，因为N列和N- 1行和表示第n行和。由于我们只处理单个负债矩阵L，因此在优化过程中，我们隐含地假设所有负债都具有相同的到期日，这当然是不现实的。如果矩阵族L，Lt，描述各种到期日（或到期日）的银行间负债1，t可用，优化程序分别应用于每个到期日，则原始到期日结构不受影响。网络的债务排名，RQ1 Q3 Q5 Q7 Q93 6 9 12 15（a）个别银行的经验优化排名，Ri（b）Q1 Q3 Q5 Q7 Q90.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0相对于Q1Q1 Q3 Q7 Q91.0 1.5 2.0 2.5（c）IB交易量，Lequity，EFigure 1：（a）2006年至2008年10个季度奥地利经验银行间网络的总债务排名，R（平方）。对于优化后的网络，DebtRank大幅减少（三角形）。优化将系统性风险（在DebtRank中衡量）降低约3.5倍。（b） 70家银行各自季度的经验和优化网络的个人债务排名（Ri）。在这里，符号大小与银行的银行间负债成比例。我们看到，大型银行通常具有较高的Ri，但请注意，小型银行也有许多例外，具有相当大的系统风险。（c） 过去十个季度的银行间市场总交易量（L）和权益（E=PNi=1ei）。虽然在前八个月有所下降，但在第九季度和第十季度，“L/”E比率大幅上升。附录A中给出了矩阵Aare的详细信息。我们在附录E中解释说，等式（24）的等式表示为相等且较小或相等，从而得出等式中问题的相同最优值。

（20） ，假定行和列总和约束已就位。此外，这种约束还使优化前后银行间贷款组合的收益保持相似，因为银行间贷款的利率应强烈反映借款人的信用风险水平。此外，对银行间贷款组合征收的监管资本仍具有可比性，因为资本要求取决于各银行的风险加权资产。由于风险加权银行间贷款敞口在优化过程中保持不变，因此风险加权资产也应保持其规模。对于优化间接暴露网络的情况，可以实施类似的风险约束。例如，Pichler等人（2018年）考虑了Markowitz均值方差条件，以优化普通资产持有产生的金融风险，并讨论了进一步的可能约束。金融资产网络的其他有意义的约束是信用风险约束，例如债券组合的平均信用风险保持可比性。为了在优化过程中保持固定收益投资组合的利率风险相似，另一个线性约束可以解释资产的到期日或持续时间。总的来说，不同的金融网络将需要不同的经济约束。4、经验奥地利银行间网络的优化MILP的解决方案产生的网络具有最小的直接影响，I，但不一定具有最小的系统风险（就债务等级而言），R。然而，我们的计算表明，这种近似方法在大幅度降低总体系统风险方面非常有效。我们将优化应用于一个数据集，该数据集由2006年至2008年10个季度的10个奥地利银行间网络快照组成。例如，Bosset等人（2004a）、Elsinger等人曾对奥地利银行间网络进行过研究。