基于LPPLS置信度的中国股市泡沫检测

当订单获胜时，代理将模仿其近邻，导致模仿在整个网络中传播，最终导致崩溃。发生碰撞时， 将接近临界值, 所有代理都将具有相同的状态，+1或-1。正如布兰查德（Blanchard）[24]所指出的，崩盘概率越高，崩盘发生前的价格增长越快，以满足鞅条件，因此投资者被诱导持有崩盘风险增加的资产时，应获得更高回报的机会。在这一点上，Johansen、Ledoit和Sornette【4】假设接近临界点的变量行为可以用幂律来描述，并且临界系统的敏感度限定了受到外部扰动的系统的敏感度，表示为  哪里 为正常数（=二维伊辛模型为7/4），且 是磁化率的正临界指数。敏感性 描述了考虑到网络中存在的外部影响，大量代理突然达成协议的可能性。在二维伊辛模型中，投资者之间的相互联系仅以统一的方式考虑。然而，在真正的现代金融市场中，投资者组成了一个整体，其规模从个人到大型专业基金都有很大差异，相互作用的投资者被组织在一个等级网络中，在这个网络中，他们在不同的层面上局部地相互影响。

为了恰当地代表当前的金融市场结构，Johansen、Ledoit和Sornette【4】提出了一种层次钻石晶格（HDL）来模拟投资者的理性模仿。HDL的结构是从一对链接的交易者开始创建的，然后用一个具有四个链接和两个对角的新节点的新菱形替换每个链接。重复此操作，直到满足停止标准。之后 迭代，将有   贸易商和 它们之间的链接。HDL与基于二维网络的rational仿真模型具有相似的基本性质。唯一关键的区别是磁化率的临界指数 在HDL中可以是复数。Derrida、De Seze和Itzykson【25】解决了HDL的一个版本，一般解决方案如下：                                           哪里 是实数 表示复数的实部。这些振荡纠正了纯pow定律的奇异性，解释了金融价格动态的潜在近似离散尺度不变性【26】。这些振荡被称为“对数周期”，因为它们是变量对数的周期  角度对数频率为. 当振荡达到临界时间时，其频率爆炸，导致加速振荡。考虑到这一机制，假设碰撞危险率的行为方式与临界点附近的敏感性相似。

因此，危险率的形式如下：      7其中, , , ,  和 是参数。这种风险率的表达式表明，在崩盘发生之前，当投资者之间的互动增加时，单位时间内崩盘的风险急剧增加。将方程（6）中的风险率代入方程（3）中资产价格的条件期望解，我们得到了崩溃前资产价格的演变，即LPPLS公式：         哪里 是 在关键时刻,  对于正气泡，是指 时间单位，如果 在坠机前接近于零，  是幂律奇异增长周围振荡的比例大小， 是幂律增长的指数， 是气泡期间振荡的角度对数频率，以及 是一个相位参数。方程（7）是LPPLS公式的基本方程，描述了崩盘发生前资产价格的演变，在多篇论文中以不同的形式提出，例如Sornette【27】和Lin、Ren和Sornette【17】。发达和新兴股市都充分证明了最具投机性泡沫的两个共同显著特征，即：（1）股市的增长速度超过指数（或超指数），在泡沫状态发生变化时结束；（2）在接近泡沫临界时间时加速振荡【3、5、28】。方程（7）中的LPPLS模型可以很好地捕捉到这两个重要特征。

泡沫的超指数增长特征可用幂律奇异分量描述   , 这体现了泡沫发展的正反馈机制。为确保超指数增长，要求. 条件 确保价格在关键时刻保持有限, 虽然 表示存在奇点。资产价格上升时的正泡沫的特征是, 而价格下跌时的负泡沫的特点是.  确保资产价格为正。反泡沫的资产价格动态可以通过替换  通过 . 气泡加速振荡的特性由组件捕捉   ,  这代表了价值投资者和噪声交易者之间的紧张和竞争，导致市场价格围绕超指数增长以周期性振荡的形式偏离. 术语  描述了加速振荡的振幅在临界时间降至零的事实. 术语   表示对数周期振荡的局部频率在临界时间加速到无穷大.  参数 与振荡的特征时间单位有关。应该注意的是，关键时刻 是资产价格增长率发生变化时制度发生变化的最可能时间。政权更迭往往是但不一定是泡沫破灭的时候。区域变化是指随着加速振荡的结束，从超指数增长到指数或更低增长的变化。

2.2 LPPLS校准方程式（7）中的原始LPPLS公式由3个线性参数组成(, , )  和4个非线性参数(). LPPLS模型的常用校准方法是8个普通最小二乘法。3个线性参数(, , )  在拟合算法中被奴役，以简化校准，然后根据4个非线性参数的解进行估计(). 然而，通过最小化非线性多元最小二乘函数来校准LPPLS模型是一项非常艰巨的任务，因为该模型的参数数量相对较多，非线性结构较强，且多个局部极小值导致局部优化算法陷入困境。使用禁忌搜索（Cvijovic&Klinowski，1995）或遗传算法等元启发式方法可能无法获得全局最小值的解。为了减少非线性参数的数量，减少角对数频率之间的相互依赖性 以及阶段, Filimonov和Sornette【15】建议将LPPLS公式进行转换，以将非线性参数的数量从4个减少到3个，同时将线性参数的数量从3个增加到4个，如下所示：         在这里 和. 阶段 包含于. 最小二乘法中的代价函数可以描述为：1 2 1122（，，，，）[ln（）（）（）cos（ln（））（）sin（ln（））]Nmmc i c i c i c iimc i c iF t m A B c p A B t c t c t c t c t t t c t t t       == - - - - - -- - -（9） 在哪里=  和= .

从属4个线性参数对于3个非线性参数, 非线性优化问题是：   在这里 . 线性参数可通过以下公式求解：22122^ln^ln^ln^i i i i i i i i i i i i i i i i i i i an f g h pBf f g h f pg f g h g g g pCh f g h h h pC         =                           （10） 在哪里 ,     ,  和  .  变换LPPLS模型的代价函数具有良好的光滑性，极大地降低了拟合过程的复杂度，极大地提高了拟合过程的稳定性，从而不再需要元启发式方法，拟合效率显著提高。在本研究中，采用协方差矩阵自适应进化策略（CMA-ES）来搜索三个非线性参数的最佳估计()  通过最小化拟合的LPPLS模型和观测价格时间序列之间的残差（差值的平方和）。9【30】提出的CMA-ES是实值单目标优化中最成功的进化算法之一，通常应用于连续域和搜索空间维度介于3到100之间的困难非线性非凸黑盒优化问题。采用并行计算加速拟合过程，显著减少计算时间。

2.3 LPPLS信心指数LPPLS信心指数由Sornette、Demos、Zhang、Cauwels、Filimonov和Zhang【11】引入，也是苏黎世ETH金融危机观察站（FCO）的关键指标之一。LPPLS置信度指标定义为LPPLS校准满足指定过滤条件的拟合窗口分数。它用于测量观测到的气泡模式对拟合窗口中结束时间和开始时间之间的时间间隔的灵敏度( ). LPPLS置信度指标值越大，表明LPPLS模式越可靠。由于LPPLS模式出现在几个拟合窗口中，因此指示器的较小值表示可能存在脆弱性。指定数据点的LPPLS置信指标 （对应于一个虚构的“present”）可以通过以下五个步骤获得：（1）通过收缩以下项创建拟合时间窗口： 向固定端点移动 步骤为,  （2） 确定校准程序中的搜索空间，（3）校准每个拟合时间窗口的LPPLS模型，（4）指定过滤条件并总结满足指定过滤条件的拟合窗口数，（5）通过将满足指定过滤条件的时间窗口数除以拟合窗口总数，计算LPPLS置信指标。在本研究中，收缩时间窗口的长度  采用从750个交易日减少到50个交易日，分5个交易日进行。因此，每个获得141个装配窗口.

为了尽量减少拟合问题并解决模型的倾斜性，我们采用以下搜索空间：   条件  确保预测的关键时间 应在端点之后,  不应该离得太远因为预测能力大大降低 [10]. 阻尼参数满足 在碰撞危险率 定义为非负[31]。校准LPPLS模型后，应按照更严格的条件过滤溶液：   10   过滤条件来源于先前气泡调查中收集的经验证据【10，11】，是LPPLS模型的程式化特征。对数周期分量振荡次数（半周期）的条件 用于区分真实的对数周期信号和可能由噪声产生的信号【32】。最大相对误差条件  确保资产的安装价格 应该离实际资产价格不太远.  条件 通过对去趋势残差序列应用Lomb谱分析，确保在将价格对数拟合到LPPLS模型时出现对数周期振荡      [33].  最大峰值偶然出现的概率 小于指定的有效级别, 表明拟合的LPPLS模型中存在对数周期振荡。

这个  当泡沫状态下的对数价格归因于确定性LPPLS分量时，该条件确保LPPLS拟合残差可以通过平均反转Ornstein-Uhlenbeck（O-U）过程建模。由于LPPLS拟合残差的O-U特性检验可以转化为相应残差的AR（1）检验，因此使用Phillips-Perron单位根检验和Dickey-Fuller单位根检验来检查LPPLS拟合残差的O-U特性。本研究采用10%显著性水平进行测试。只有满足方程式（12）中给出的过滤条件的标定才被视为有效，其余的则被丢弃。3、实证分析在以下两个小节中，我们使用第2节所述的LPPLS置信度指标对中国股市泡沫进行检测分析，然后对这些泡沫进行事后分析。3.1 LPPLS泡沫识别在本研究中，我们收集了2002年1月4日至2018年4月2日沪深沪深300指数的每日数据，共3939次观察。这些数据来自彭博财经数据库。我们采用了收缩时间窗口的长度  从750个交易日减少到50个交易日，步骤为5个交易日和终点 从2005年3月1日到2018年4月2日，分5个交易日逐步生成638.  因为每个都有141个安装窗口,  本研究共生成89958个拟合窗口。给定时间的LPPLS置信指标值 是因果关系，因为它仅基于该时间之前的数据进行估计。

一系列变量的LPPLS置信指标 为气泡信号的时间发展提供有用的见解。本研究对中国股市的正泡沫和负泡沫进行了检测。正泡沫与价格上升加速相关，并容易受到崩溃或波动性横向高原形式的制度变化的影响，而11负泡沫与价格下降下降加速相关，并且容易受到政权变动的影响，比如集会或动荡的横向高原。图2-4显示了2005年1月3日至2018年2月4日期间，LPPLS信心指数为红色，CSI 300指数为蓝色。图5-7显示了2005年1月3日至2018年2月4日期间，负泡沫的LPPLS信心指数为红色，CSI 300指数为蓝色。这些数字表明了观察到的LPPLS气泡模式的置信水平。LPPLS置信度指示器通过测量气泡模式对选定开始时间的灵敏度来标记气泡。在给定的“当前”时间内，当LPPLS气泡模式存在于更多的时间窗口中时，LPPLS置信指标具有更高的值。如果气泡模式存在于大多数分析的时间窗口中，并且对时间窗口的选择几乎不敏感，则LPPLS置信指标的值可以达到1。当仅在几个时间窗口内观察到气泡模式时，LPPLS置信指标的值可能接近零，这表明存在过度拟合风险，需要仔细考虑结果。