模型模糊下的最优停止：时间一致性均衡

尽管如此，当状态过程是一维差异时，下面的第3节显示（Θn（R））n∈Nis不减损，所以R*可以简单地定义为ASN∈NΘN（R）；见提案3.1。（ii）考虑到R*是很明确的，它确实是一种平衡吗（即Θ（R*) = R*)?下一节重点回答（i）和（ii）在一个具体的一维微分模型中的漂移和波动不确定性。3固定点迭代的收敛在本节中，在模型模糊性的强公式下，我们将证明当涉及的状态过程是一维扩散时，固定点迭代（2.20）实际上收敛到平衡。我们的分析主要依赖于一维扩散过程的“规则”特性（即下面的（3.7））。这一多维案例有待于进一步研究。在第2节的设置中取d=1。让P∈ P(Ohm) 表示维纳测度，在此测度下，b是标准布朗运动。让我=(l, r） ，对于s ome-∞ ≤ l < r≤ ∞, 是给定的间隔。对于任何x∈ 一、 考虑随机微分方程Xx，b，σt=x+Ztb（Xx，b，σs）ds+Ztσ（Xx，b，σs）dBs，0≤ t<ζ，P-a.s.，（3.1），其中ζ：=limn→∞Sn，其中Sn：=inf{t>0:Xx，b，σt/∈ (l + 1/n，右- 1/n）}对于所有n∈ N、 我们假设在ζ<∞. 对于任何y∈ I和A∈ U（I），引入命中时间Tx，b，σy：=inf{t>0:Xx，b，σt=y}和Tx，b，σA：=inf{t>0:Xx，b，σt∈ A} 。（3.2）为简单起见，我们通常会为Xx，b，σ，Tx，b，σy和Tx，b，σA编写X，Txy和txa。3.1模型模糊性的一个强大公式，我们引入了{（b，σ）：b，σ映射I到R}的子集，这有助于指定我们想要处理的不确定性范围。定义3.1。设L是函数b的集合，σ：I→ R是Lipschitz连续的，在I上线性增长最多，所有y的σ（y）>0∈ 我

此外，（i）设A是所有集值函数的集合∏：i→ 2L；（ii）让A∞是所有集值函数的集合∏：I→ 2满足以下条件：对于任何x∈ 一、 存在K>0，使得对于任何（b，σ）∈ ∏（x），| b（u）- b（v）|+|σ（u）- σ（v）|≤ K | u- v |和| b（u）|+|σ（u）|≤ K（1+| u |）），u、 五∈ 一、 对于多维差异过程，没有相应的“规则”概念。因此，本节中的分析无法自然扩展到多维情况。这里，每个∏：I→ 2根据当前状态x，确定代理面临的实际模糊性∈ 一、 即∏（x） L是（3.1）中的系数（b，σ）的集合，该系数在x处被代理认为是合理的∈ 一、 对于每个x∈ I和（b，σ）∈ 五十、 定义3.1中的L ipschitz和线性增长条件确保存在唯一的强解Xx，b，σto（3.1）。通过将Xx、b、σ视为Ohm 就其本身而言，我们定义了概率度量Pxb，σ∈ P(Ohm) byPxb，σ：=Po （Xx，b，σ）-1.（3.3）根据构造，对于任何 U型(Ohm ),Pxb，σ（A）=P{ω ∈ Ohm : Xx，b，σ（ω）∈ A}. （3.4）给定∏∈ A、 我们引入p（x）：={Pxb，σ：（b，σ）∈ π（x）}，x个∈ 一、 （3.5）备注3.1。Nutz和van Handel（2013）将这组先验值的“矩形性”定义为“条件下的封闭性”加上“稳定性滞后”（即其中的假设2.1（ii）和（iii））。虽然“矩形性”在模型歧义的文献中被广泛假设（回忆一下下面（2.7）的讨论），但我们不会将其强加给{P（x）}x∈一、 要看到这一点，请注意我们设置中的“条件下的接近度”等于以下值：给定x∈ I和（b，σ）∈ π（x），对于任何t>0，（Pxb，σ| Ft）（ω）∈ P（Xt（ω）），对于Pxb，σ-a.e.ω∈ Ohm, 其中Pxb，σ| Ft表示Pxb的条件概率，σ给定Ft。

由于Xx，b，σ是一个时间齐次马尔可夫过程，我们有（Pxb，σ| Ft）（ω）=PXt（ω）b，σ，因此上述条件变成了PXt（ω）b，σ∈ P（Xt（ω）），对于Pxb，σ-a.e.ω∈ Ohm. （3.6）这很容易被{P（x）}x违反∈Iin（3.5）。具体来说，采取 I带Pxb，σ（Xt∈ A） >0。对于任何∏：I→ 2定义3.1，只要（b，σ）/∈ 所有y的∏（y）∈ A、 我们有Pyb，σ/∈ P（y）表示所有y∈ 因此，在集合{Xt上违反了A和（3.6）∈ A} 。定义3.1的两个重要结果，即Xx、b、σ的规律性和P（x）的相对紧度，在下面的L emmas 3.1和3.2中确定。引理3.1。对于任何x∈ I和（b，σ）∈ 五十、 Xx，b，σ是一个规则的差值，即对于任何x∈ 一、 P（Txy<∞) > 0, y∈ 一、 （3.7）证明。根据定义3.1，标度函数（z）：=Zzxexp-2Zuxb（ξ）σ（ξ）dξdu，z∈ 一、 定义明确，严格地说是不断增加的，并且是可以持续区分的。让q：（s）(l), s（r））→ 根据Karatzas和Shreve（1991）命题5.5.13中的参数，s的逆e函数，X是（3.1）的唯一强解，需要存在唯一的强解todYt=△σ（Yt）dBt，Y=0，P-a.s.，其中σ（Y）：=s′（q（Y））σ（q（Y））(l) < y<s（r）。根据Karatzas和Shreve（1991）中的定理5.5.4，以及I上的σ>0，σ是局部可积的。因此，速度测量值m（dy）：=2dyσ（y），s(l) < y<s（r），为任何[a，b]赋值（s）(l), s（r））。这很容易说明Y是一个有规律的扩散；见Rogers和Williams（2000）第277页的备注（ii），“The converse to theorem 47.1”。当X=s时-1（Y），X也是正则的。事实上，X是一个规则的差异（即，满足（3.7））意味着i=(l, r） 无法分解为X无法退出的较小间隔。此外，当从x开始时∈ 一、 X必须立即输入X上方和下方的区域，如下所述。备注3.2。对于任何x∈ I和（b，σ）∈ 五十、 德克萨斯州(l,x） =Tx（x，r）=Txx=0 P-a.s。

实际上，Rogers和Williams（2000）中的引理46.1（i）直接给出了Tx(l,x） =Tx（x，r）=0 P-a.s。；另请参见其中的讨论上述引理46.1。现在，对于P-a.e.ω∈ Ohm, 事实P（Tx(l,x） =0）=P（Tx（x，r）=0）=1表示任何n∈ N、 存在t，t′∈ [0，1/n]使得Xt（ω）>x且Xt′（ω）<x。H ence，Txx（ω）≤ 所有n为1/n∈ N、 i表示Txx（ω）=0。推论3.1。对于任何x∈ I和（b，σ）∈ 五十、 ρ(l,x） =ρ（x，r）=ρ{x}=0 Pxb，σ-a.s.证明。从（3.4）中观察Pxb，σ（ρ(l,x） =0）=Pxb，σ（inf{t>0:Bt∈ (l, x） }=0）=Pinf{t>0:Xx，b，σt∈ (l, x） }=0= P（Tx(l,x） =0）=1，其中最后一个等式来自备注3.2。相同的参数表明Pxb，σ（ρ（x，r）=0）=P（Tx（x，r）=0）=1，Pxb，σ（ρ{x}=0）=P（Txx=0）=1。以下观察结果将在第4节中有用。备注3.3。通过备注3.2（或推论3.1），我们可以遵循Hu ang和Zhou（2020）中引理4.1和4.2中的论点，以表明对于任何R∈ U（I），ρR=ρRPxb，σ-a.s。，x个∈ I和（b，σ）∈ 五十、 因此，SR=SR，IR=IR，CR=CR。因此，R∈ E当且仅当ifR∈ E、 然而，这并不意味着我们可以只关注R∈ B（I）在一维设置中。在下面的主要结果定理3.1中，Θ（R）和R需要具有相同的可测量性，以便于定点迭代。如第2.3.1节所述，R∈ B（I）不保证Θ（R）∈ B（I）：Borel可测性的损失源于引理2.2中的投影，在模型模糊度下（当d=1时为eve n）是必不可少的。至少，R的使用∈ U（I）是由模型模糊引起的，与状态空间的维数无关；另见备注2.6。聚焦于∏∈ A.∞得到P（x）的相对紧性。引理3.2。对于任何∏∈ A.∞, P（x）对于所有x是相对紧的∈ 一、 证明。修复x∈ 我

根据Stroock和Varadhan（2006）的定理1.3.1，P（x）是相对紧的当且仅当对于任何ε>0和T>0，limδ↓0supP∈P（x）Psup0≤s≤t型≤T、 T型-s<δ| Bt- Bs |>ε= 0。（3.8）由于Lipschitz和线性增长条件，在相同常数K>0的情况下，在定义3.1（ii）中，标准估计，参见Bouchard（2007）中的命题1.2.1，s如何存在常数β，γ>0，从而使任何（b，σ）∈ π（x），EP[| Xx，b，σt- Xx，b，σs |β]≤ CT | t- s | 1+γ，T>0和0≤ s、 t型≤ T、 （3.9）其中CT>0仅取决于x∈ 一、 T>0，K>0。根据eorem I.2.1 inRevuz和Yor（1999）的证明，（3.9）imp为任何η∈ [0，γ），存在Cη>0的such thatEPsup0≤s≤t型≤T | Xx，b，σT- Xx，b，σs |β| t- s |η≤ Cη，（b，σ）∈ ∏（x）。这与马尔可夫不等式一起表明，f或任何P∈ P（x），Psup0≤s≤t型≤T、 T型-s<δ| Bt- Bs |>ε≤ ε-βEPsup0≤s≤t型≤T、 T型-s<δ| Bt- Bs |β= ε-βEPsup0≤s≤t型≤T、 T型-s<δ| Xx，b，σt- Xx，b，σs |β≤ ε-βCηΔη，其直接产生（3.8）。3.2主要结果汇总表3.1促进了定点迭代（2.20）的收敛，如下一个结果所示。回想一下，对于任何∏∈ A、 P（x）的定义如（3.5）所示。提案3.1。固定∏∈ A使得{（x，P（x））：x∈ I} I×P(Ohm) 是普遍可测量的。然后，f或任何R∈ U（I），R Θ（R）。因此，R*在（2.20）中有很好的定义，并且*=[n∈NΘN（R）∈ U（I）。（3.10）备注3.4。假设{（x，P（x））：x的普适可测性∈ 一} 在I×P中(Ohm) 在相关文献方面没有限制。在更一般的路径依赖设置中，通常假设这样的集合是分析的（因此是普遍可测量的）；参见Neufeld和Nu tz（2013）、Nutz和van Handel（2013）以及Biagini等人（2017）。证据修复R∈ U（I）。对于任何x∈ R、 我们认为ρR=0 Pxb，σ-所有（b，σ）的a.s∈ ∏（x）。

有三种情况：（i）如果x是R的一个内点，则该断言一般成立；（ii）如果x是R的边界点，请注意ρ(l,x） =ρ（x，r）=0 Pxb，σ-a.s.（推论3.1）很容易暗示ρr=0 Pxb，σ-a.s.，对于所有（b，σ）∈ ∏（x）；（iii）如果x是R的孤立点，注意ρ{x}=0 Pxb，σ-a.s.（根据推论3.1）和事实x∈ R很容易表示ρR=0 Pxb，σ-a.s.，对于所有（b，σ）∈ ∏（x）。ρR=0 Pxb，σ-所有（b，σ）的a.s∈ π（x），我们有J（x，R）=g（x），即x∈ IR。因此，我们得出结论R IR，表示Θ（R）=SR∪ （IR∩ R） =SR∪ R R、 这与命题2.1一起表明{n（R）}n∈Nis是U（I）中的一个非减量集合序列，导致最后一个断言。剩下的问题是极限R*在定点迭代（2.20）中，确实存在非平衡现象。为了回答这个问题，我们需要以下技术结果，它要求∏∈ A.∞.引理3.3。对于任何非减量序列{Rn}n∈Nin U（I），se t R：=Sn∈NRnand让ρnandρ分别表示（2.9）中定义的命中时间ρRnandρR。那么，对于任何x∈ 一、 ρn（ω）↓ ρ(ω), ω ∈ Ohmx、 （3.11）此外，对于任何∏∈ A.∞ε>0，我们有limn→∞支持∈P（x）Pρn- ρ≥ ε= 0，（3.12）limn→∞支持∈P（x）PBρn- Bρ{ρn<∞}≥ ε= 0.（3.13）备注3.5。在（3.12）中，ρnandρ可以取∞. 特别是在{ρ=∞}, ρn=ρ=∞我们定义ρn-ρ=0，对于所有n∈ N、 这与（2.11）一致，其中我们不区分任何两个停车时间，当它们都取该值时∞.Lemm a 3.3的证明主要依赖于P（x）的相对紧性和Xx，b，σ的正则性，现在，我们准备给出本文的主要结果。定理3.1。固定∏∈ A.∞这样{（x，P（x））：x∈ I} I×P(Ohm) 是普遍可测量的。假设g:I→ R是连续且有限的→∞e-rtg（Xx，b，σt）=0 P-a.s。，x个∈ I和（b，σ）∈ ∏（x）。

（3.14）然后，f或任何R∈ U（I），R*定义为i（3.10）比E长。因此，E=nlimn→∞Θn（R）：R∈ U（I）o.（3.15）证明。修复R∈ U（I），考虑R*定义见（2.20）。回想命题3.1，Rn：=Θn（R），n∈ N∪ {0}，在U（I）和R中形成一个非减量序列*=序号∈尼泊尔卢比。我们将用ρ和ρ表示*命中次数ρRnandρR*, 分别在（2.9）中定义。显示R*∈ E、 即Θ（R*) = R*, 我们首先注意到，必须证明SR* R*. 这是因为Θ（R*) = SR公司*∪ R*, 多亏了命题3.1的证明。为此，foy any x/∈ R*,我们的目标是证明x/∈ SR公司*. 作为R*=序号∈NRn，我们有x/∈ Rn=Θn（R），对于所有n∈ N、 从（2.12）和（2.13）来看，这意味着j（x，Rn-1） =J（x，Θn-1（R））≥ g（x），n∈ N、 （3.16）如果我们能证明j（x，R*) ≥ lim信息→∞J（x，Rn），（3.17）我们立即得到J（x，R*) ≥ g（x）来自（3.16），因此x/∈ SR公司*, 根据需要。本文的其余部分侧重于推导（3.17）。首先，让我们考虑p：=sup{y∈ R*: y<x}和q：=inf{y∈ R*: y>x}，其中取p=l （分别为q=r）如果r.S中没有y<x（分别为y>x），则wede finepn：=sup{y∈ Rn：y<x}和qn：=inf{y∈ Rn:y>x}，n∈ N、 作为R*=序号∈NRnand{Rn}n∈Nis不减损，我们有pn↑ p和qn↓ q、 对于n足够大时pn=p和qn=q的情况，ρn=ρonOhmx、 因此J（x，Rn）=J（x，R*), 尽管如此。也就是说，（3.17）很小。因此，在其余的证明中，我们假设pnis严格递增，或qnis严格递减。取η>0，然后选择n*∈ N s uch该max{| pn- p |，| qn- q |}<η，对于所有n≥ n*. 请注意，存在M>0这样的E-rρn | g（Bρn）|<M，n≥ n*, P-a.s.，适用于所有P∈ P（x）。（3.18）事实上，对于任何n≥ n*, 如果ρn=∞, e-rρng（Bρn）=0 P-a.s.，由于（3.14）；适用于所有n≥ n*ρn<∞, 当Bρ取值时（[p- η、 p]∪ [q，q+η]）∩ 一、 g的连续性产生期望有界性。

因此，根据支配收敛定理和（3.11），limn→∞EP[e-rρng（Bρn）]=EP[e-rρ*g（Bρ*)], P∈ P（x）。（3.19）另一方面，根据（2.10）中J的定义，（3.16）意味着∈ P（x），αEP[e-rρng（Bρn）]+（1- α） 支持∈P（x）EP【e】-rρng（Bρn）]≥ J（x，Rn）≥ g（x），n∈ N、 作为N→ ∞ , 我们推断fr om（3.19）αinfP∈P（x）EP【e】-rρ*g（Bρ*)] + (1 - α） lim信息→∞支持∈P（x）EP【e】-rρng（Bρn）]≥ g（x）。因此，为了证明（3.17），还需要证明∈P（x）EP【e】-rρ*g（Bρ*)] ≥ lim信息→∞支持∈P（x）EP【e】-rρng（Bρn）]。（3.20）感谢（3.14），对于任何n≥ n*,e-rρng（Bρn）- e-rρ*g（Bρ*)=e-rρng（Bρn）- e-rρ*g（Bρ*){ρ*<∞}≤e-rρn | g（Bρn）- g（Bρ*)| 1{ρn<∞}+ |g（Bρ*)||e-rρ*- e-rρn|{ρ*<∞}≤ κ|Bρn- Bρ*|1{ρn<∞}+ C（ρn- ρ*),式中κ：R+→ R+是域上g的连续模（[p- η、 p]∪ [q，q+η]）∩ 一、 由于g（Bρ）的有界性，C>0是一个与n无关的常数*) x 7的Lipschitz连续性→ e-rxon[0，∞). 固定ε>0。取δ>0，使得k（z）<ε/2表示z<δ。那么，Pe-rρng（Bρn）- e-rρ*g（Bρ*)≥ ε≤ Pκ|Bρn- Bρ*|1{ρn<∞}+ C（ρn- ρ*) ≥ ε≤ P|Bρn- Bρ*|1{ρn<∞}≥ δ+ Pρn- ρ*≥ε2C, P∈ P（x）。根据（3.12）和（3.13），这意味着LIMN→∞支持∈P（x）Pe-rρng（Bρn）- e-rρ*g（Bρ*)≥ ε= 0。（3.21）即e-rρng（Bρn）收敛于e-rρ*g（Bρ*) 从Cohen et al.（2011）定义3.4的意义上看，在能力方面。现在，根据Cohen et al.（2011），（3.21）和（3.18）中的定理3.2，将→∞支持∈P（x）EP【e】-rρng（Bρn）]=supP∈P（x）EP【e】-rρ*g（Bρ*)].然后，验证（3.17），从而完成证明。4实物期权估价的应用由迈尔斯（1977）提出，麦克唐纳（McDonald）和西格尔（Siegel）（1986）推广，实物期权估价是指将金融期权定价技术应用于公司投资决策。

职业是评估承担某些商业计划的权利，而不是义务，例如启动、放弃、扩大或承包资本投资项目。相应地，可以建立一个最优停止问题，其解决定了投资支出的最优时间或调度。根据开创性的专著Dixit和Pindyck（1994），实物期权估价分为两类：（i）物理测度下的动态规划，以及（ii）风险中性测度下的偶然目标分析。正如Dixit和Pindyck（1994）深入解释的那样，这两种方法有各自的优势和局限性，并且在不同的市场条件下理论上是合理的。关于实物期权的大量文献密切遵循这两种方法，包括（但不限于）方法（i）下的McDonald and Siegel（1986）、Trigeorgis（1991）和Brandao et al.（2005），以及方法（ii）下的Smith and Nau（1995）、Hugonnier and Morellec（2007）和Schwartz（2013）。从本质上讲，实物期权估值可能比为典型的金融期权定价更严重地影响模型的模糊性：因为实物期权的隐藏资产可能不可交易或不完全可观察，所以决定其动态性主要取决于代理人的估计和信念。这通常会导致实物期权合理价值的区间。文献中不清楚如何处理这些多重值。标准投资模型假设代理人完全厌恶模糊性，只考虑最坏的情况，即实物期权的最小价值；例如，见西村和小崎（2007）、特洛伊诺夫斯卡和科特（2010）以及苗和王（2011）。

另一方面，许多实证研究，包括Heath和Tversky（1991）和d Bhid'e（1999），表明投资者对相同投资机会的异质模糊态度，其中一些人可能非常喜欢模糊。在本节中，我们将α-maxmin偏好纳入实物期权估值。这产生了直接的好处：α∈ [0，1]测量代理人的模糊厌恶，将实物期权的多个值转换为一个值，即最小值和最佳值的凸组合，由α和1加权- α、 分别为。然而，它也有一个缺点：决策问题现在变得与时间不一致。请注意，在S chroder（2011）中，引入了α-maxmin偏好下的相关停止问题，但没有解决，正是因为所涉及的时间不一致性。相比之下，我们将在第2节和第3节的发展基础上，解决α-最大最小偏好下的实际实物期权估价问题：所有均衡，以及其中最好的均衡，将在适当的条件下充分表征。具体而言，我们将标的资产X视为几何布朗运动，即Xx，b，σt=X+ZtbXx，b，σsds+ZtσXx，b，σsdBs，t型≥ 0，P-a.s.，（4.1）对于某些b∈ R和σ>0，但投资者不确定b和σ的真实值。按照Avellanda et al.（1995）和Lyons（1995）的不确定波动率模型，我们假设σ≤ σ ≤ σ对于某些已知常数0<σ<σ。我们还考虑了不确定漂移，假设b≤ b≤ b对于一些已知常数b<b。这产生了一系列似是而非的概率度量：类似于（3.3），每个σ∈ [σ，σ]和b∈ [b，b]对应于Pxσ，b：=Po （Xx，b，σ）-1、在本节中，我们重点讨论支付函数g（x）：=（K- x） 实物期权的+，f或给定K>0的某个。