模型模糊下的最优停止：时间一致性均衡

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Optimal Stopping under Model Ambiguity: a Time-Consistent Equilibrium
  Approach》
---
作者：
Yu-Jui Huang, Xiang Yu
---
最新提交年份：
2021
---
英文摘要：
  An unconventional approach for optimal stopping under model ambiguity is introduced. Besides ambiguity itself, we take into account how ambiguity-averse an agent is. This inclusion of ambiguity attitude, via an $\\alpha$-maxmin nonlinear expectation, renders the stopping problem time-inconsistent. We look for subgame perfect equilibrium stopping policies, formulated as fixed points of an operator. For a one-dimensional diffusion with drift and volatility uncertainty, we show that every equilibrium can be obtained through a fixed-point iteration. This allows us to capture much more diverse behavior, depending on an agent\'s ambiguity attitude, beyond the standard worst-case (or best-case) analysis. In a concrete example of real options valuation under volatility uncertainty, all equilibrium stopping policies, as well as the best one among them, are fully characterized. It demonstrates explicitly the effect of ambiguity attitude on decision making: the more ambiguity-averse, the more eager to stop -- so as to withdraw from the uncertain environment. The main result hinges on a delicate analysis of continuous sample paths in the canonical space and the capacity theory. To resolve measurability issues, a generalized measurable projection theorem, new to the literature, is also established.
---
中文摘要：
介绍了一种非常规的模型模糊下的最优停止方法。除了模糊性本身之外，我们还考虑了代理人对模糊性的厌恶程度。通过$\\ alpha$-maxmin非线性期望包含模糊态度，使得停止问题时间不一致。我们寻找子博弈完美均衡停止策略，将其表述为算子的不动点。对于具有漂移和波动不确定性的一维扩散问题，我们证明了每个平衡点都可以通过不动点迭代得到。这使我们能够捕捉到更多不同的行为，这取决于代理的模糊态度，超出了标准的最坏情况（或最佳情况）分析。在波动率不确定性下实物期权估值的一个具体例子中，充分描述了所有均衡停止策略，以及其中的最佳策略。它明确表明了模糊态度对决策的影响：越是厌恶模糊，就越渴望停止——从而从不确定的环境中退出。主要结果取决于正则空间中连续样本路径的精细分析和容量理论。为了解决可测性问题，还建立了一个新的广义可测投影定理。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
--
一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
--

---
PDF下载：
-->

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：一致性 Mathematical Quantitative Conventional Optimization

模型模糊下的最优停止：一种时间一致性均衡方法*项宇+2021年3月30日介绍了一种用于模型模糊度下最优停止的非常规方法。除了模糊性本身之外，我们还考虑了代理人对模糊性的厌恶程度。这种通过α-maxmin非线性期望包含模糊态度，使得停止问题时间不一致。我们寻找子博弈完美均衡停止策略，制定为算子的执行点。对于具有漂移和波动不确定性的一维差分，我们表明任何初始停止策略都将通过定点迭代收敛到均衡。这使我们能够捕获更多不同的行为，这取决于代理的模糊性，超出了标准的最坏情况（或最佳情况）分析。在模型模糊条件下实物期权估值的一个具体例子中，所有均衡停止策略，以及其中的最佳策略，都在适当的条件下得到了充分的刻画。它明确表明了模糊态度对决策的影响：越是厌恶模糊，就越渴望停止，以便从不确定的环境中退出。主要结果取决于正则空间中连续样本路径的简单分析和容量理论。

为了解决可测性问题，还建立了一个新的广义可测投影定理。理学硕士（2010）：60G40、91G80、28A05。关键词：时间不一致性、模型模糊性、模糊态度、广义可测投影定理、最优停止、实物期权估值、均衡停止策略。1简介模型模糊性（或不确定性）下的决策已被广泛研究，主要是在最坏或最好的情况下：找到了使最坏或最好的情况下的期望值最大化的策略。实际上，很少有人如此悲观（或乐观），以至于最不利（或最有利）的情况决定了他们的行为。本文介绍了一种处理模型模糊性的新框架：将agent的模糊态度作为核心成分，从而得到更真实的行为谱。*科罗拉多大学应用数学系，美国科罗拉多州博尔德80309-0526，电子邮箱：yujui。huang@colorado.edu.部分由美国国家科学基金会（DMS-1715439）和科罗拉多大学（11003573）的启动资助。+香港理工大学应用数学D系，香港九龙红磡，电子邮箱：xiang。yu@polyu.edu.hk.由香港理工大学资助，批准号15304317。我们专注于最佳停车。典型地，代理人选择一个停止时间τ来最大化其预期的折扣支付-rτg（Xτ）]。（1.1）面对模型的模糊性，不确定真实概率P的agent只能处理似是而非的概率度量集合P，或先验，它们表示agent感知的模糊性。这导致了两种类型的最优停止问题。

第一种被称为鲁棒最优停止的方法是最大化最坏情况下的期望值infp∈政治公众人物-rτg（Xτ）]（1.2），通过选择τ；参见Riedel（2009）、Bayraktar和Yao（2011a，b，2014）、Cheng和Riedel（2013）以及Nutz和Zhang（2015）等。另一方面，第二种类型最大化了最佳情况下的期望值supp∈政治公众人物-rτg（Xτ）]；（1.3）参见例如Bayraktar和Yao（2011a，b），Ekren等人（2014），Belomestny和Kr¨atschmer（2016），以及Bayraktar和Yao（2017）。上述文献中缺少的是代理人对歧义的态度。即使具有相同的感知歧义P，不同的代理可能具有不同程度的歧义厌恶，如Curley和Yates（1989）以及Heath和Tversky（1991）的经验所示。为了区分团队歧义态度和歧义本身，Ghirardato等人（2004年）开发了决策公理化基础，导致了第一组编码歧义态度的偏好模型。Klibano ff等人（2005年）、Chateauneuf等人（2007年）等相继提出了具有模糊态度的更一般模型。在本文中，我们将Ghirardato等人（2004）第6节中介绍的α-maxmin偏好纳入最佳停止框架：agentintends最大化αinfP∈政治公众人物-rτg（Xτ）]+（1- α） 支持∈政治公众人物-rτg（Xτ）]，（1.4），其中α∈ [0，1]是一个给定常数，反映了代理的模糊厌恶程度。这里，模糊度和模糊态度分别由P和α捕获。情况α=1符合s标准最坏情况分析，反映出对歧义的极端厌恶。另一个极端的α=0描述了一个纯粹喜欢模糊的代理，他只关心最佳案例值。请注意，只要满足六个基本公理，代理人的偏好完全由α-maxmin目标表征，如（1.4）；见Ghirardato等人（2004）第6节。

本文的目的是研究α-最大最小目标（1.4）下的停车行为。解决（1.4）的一个独特挑战是时间不一致性：我们今天发现的最优策略在未来可能不再是最优的。也就是说，我们未来的自我很可能会偏离我们今天制定的最佳战略。因此，在标准文献中找到最佳停车时间这一最终目标在这里没有意义。请注意，经典问题（1.1）以及最坏情况和最佳情况问题（1.2）和（1.3）都不能解决时间不一致的问题。事实上，（1.1）的时间一致性可以归结为条件期望的塔式属性。虽然在非线性预期下，时间一致性通常受到质疑，但Epstein和Schneider（2003）表明，对于特殊情况（1.2）和（1.3），如果先验集是矩形的，即在条件下闭合，在粘贴下稳定，则tower性质仍然成立。类似的条件在数学金融文献中独立发现，并在极大的普遍性下进一步定义；参见Nutz和van Handel（2013）、Bayraktar和Yao（2014）、Ekren等人（2014）和Nutz和Zhang（2015）。对于非线性期望（1.2）或（1.3），所有的发展都具有一定的塔特性，因此时间一致性随之而来。相比之下，α-最大最小目标，如（1.4），即使先验集合是矩形的，也不支持时间一致性。Schr¨oder（2011）第7节和Beissner等人（2016）第2节对此进行了说明。时间不一致是（1.4）真正的难题。正如Strotz（1955）所提出的，处理时间不一致性的一种明智的方法是一致的计划：知道自己的未来可能会推翻自己当前的计划，代理人会选择当前最好的行动，并将未来的不服从作为约束。

假设每个未来的自我意志都以同样的方式进行推理，由此产生的策略是一个（子博弈完美）均衡，未来的自我没有动机偏离这个均衡。如何准确制定和获得此类战略一直是一个长期存在的问题。对此，Huang和Nguyen Huu（2018）开发了一种迭代方法，以发现时间不一致停止问题的平衡。它已被应用于非指数贴现下的停止（Huang and Nguyen Huu（2018），Huang an d Zhou（2019，2020））和概率失真（Huang，Nguyen Huu and Zhou（2020））。在本文中，我们扩展了Huang和Zhou（2020）的框架来解释α-maxminobjective（1.4）。均衡停止策略的特征是操作员Θ的固定点，定义见下文（2.12）。核心问题是是否可以通过定点迭代找到平衡。我们采用了模型模糊性的强公式，其中一维微分离子X的漂移和挥发系数仅假设满足某些Lipschitz和lineargrowth条件，其他情况未知。如引理3.2和3.1所示，先验P的求积集合相对紧凑，X是任何P下的正则微分∈ P、 X的正则性立即产生任意X点迭代的收敛性；见提案3.1。为了证明定点迭代的极限确实是一个平衡，适当收敛的停止时间和停止时的值，在P∈ P、 是必需的。在引理3.3中仔细地建立了这种非形式收敛，主要依赖于P的相对紧性和X的正则性。所有这些都导致了定理3.1，这篇文章的主要结果：通过定点迭代可以找到所有平衡点。特别是我们的fr-amework，为实物期权估值提供了新的思路。

实物期权估价的本质是使用财务定价技术来评估承担某些资本投资项目的权利，而不是义务。自然，实物期权估价可能比为典型的金融期权定价更能缓解模型的模糊性：由于区域期权的基础资产大多既不可交易也不完全可观察，因此确定其动态很大程度上依赖于代理人的估计。这通常会导致实物期权的合理价值区间。通过合并α-maxmin偏好，多个合理值变为单个值，即最小值和最佳值的凸组合，如（1.4）所示。这有助于做出决策：将此单一值与立即停止的值进行比较，以决定是否应推迟或启动项目。虽然所涉及的停止问题现在是时间不一致的，但我们开发的方法开始发挥作用，以确定（时间一致的）均衡策略。特别是，在Avellaneda et al.（1995）和Lyons（1995）引入的不确定波动率模型中，当实物期权的支付函数为看跌期权类型时，我们不仅提供了所有均衡策略的完整特征，而且还提供了其中最好的均衡策略、不适当条件的完整特征；见命题4.1和定理4.1。它清楚地表明了模糊态度的作用：越是厌恶模糊，就越渴望停止，以便从不确定的环境中退出。总之，本文的主要贡献如下：（i）据我们所知，这是第一篇解决α-maxmin偏好下时间不一致停止问题的论文。

这使我们能够超越模型模糊性下的标准最坏情况（或最佳情况）分析，并捕获更现实的行为谱。我们强调，我们收集的先验P仅被假定为可测量的；文献中提出的“矩形”条件不是必需的；详见备注3.1。（ii）虽然时间不一致停止行为已被广泛研究，但它主要归因于非指数贴现、概率扭曲、对初始数据的依赖性或预期回报的非线性；例如，参见格林纳迪和王（2007）、巴贝里斯（2012）、徐和周（2013）、埃伯特和斯特拉克（2015）、克里斯滕森和林登斯（2018、2020）。本文通过关注歧义厌恶，丰富了对时间不一致停止的研究，歧义厌恶是导致时间不一致的一个原因，但在文献中很少讨论。（iii）我们的框架为实物期权估价提供了一种新方法。考虑到模糊度态度，通过α-maxmin偏好，有助于在模型模糊度下做出决策（如上所述），但也会导致停止问题时间不一致。我们开发的方法专门解决了这一次不一致的问题，使我们能够充分利用在决策中包含模糊态度的优势。（iv）将fr om Huang和Nguyen Huu（2018）的迭代方法扩展到我们的多重先验设置是非常重要的。它要求通过对样本路径的详细分析和仔细使用容量理论，得到与停止时间、所有先验一致性相关的各种收敛结果；参见附录A中的引理3.3及其优点。此外，我们强调了在下面的定理5.1中建立的新的度量投影定理，它可能在本文之外的随机分析中有许多潜在的应用。

经典的可测投影定理都要求所涉及的空间之一是具有Borelσ-代数的Borel空间。相反，定理5.1允许任何一般的可测空间。在我们的多重先验设置中，为了更好地定义定点算子，Huang et al.（2020）和Huang and Zhou（2020）的单一先验框架中使用的Borel可测性不再足够，需要更普遍的通用可测性；详细说明见第2.3.1节。证明目标函数（1.4）是普遍可测的，则需要定理5.1，它不需要特定的Borel结构；参见引理2.2和马克2.5。论文的其余部分组织如下。第2节介绍了一般设置，包括模型模糊下时间不一致停止问题的公式和相应的定点算子。在第3节中，在一维差异的漂移和波动不确定性下，我们证明了每个均衡停止策略都是一个执行点迭代的极限。第四节研究了一个具体的实物期权估价问题；所有均衡停止策略，以及其中最好的策略，都是在适当的条件下明确刻画的。第5节致力于推导一个新的、广义的可测投影定理，这是第2节所要求的。附录A给出了引理3.3.2的技术证明。对于任何波兰空间M，我们用B（M）表示M的Borelσ-代数，用U（M）表示M中所有普适可测集的σ-代数。设P（M）是所有概率测度的集合。这是一个相关的停止问题，仅具有漂移不确定性，在Schr¨oder（2011）和αmaxmin偏好中介绍。

然而，由于所涉及的时间不一致性，除了极端情况α=1和α=0（即通常的最坏情况和最佳情况）外，stoppin g问题没有在其中得到解决。on（M，B（M））。每个P∈ P（M）可以唯一扩展到U（M），我们不区分P和这样的扩展。在本文中，我们特别将M看作是连续路径的正则空间，即：。，Ohm 和Ohmt如下所述。考虑正则空间Ohm := C（[0，∞); Rd）。对于每个t>0，我们定义Ohmt： =C（[0，t]；Rd）。让B注意规范过程Bt（ω）：=ωtfor allω∈ Ohm, 设FB=（FBt）t≥0是B产生的自然过滤。回想一下FBT=B(Ohmt） ，则，t型≥ 0和FB∞= B类(Ohm). （2.1）对于每个P∈ P(Ohm), 设FP=（FPt）t≥0be是FB的P-增广。然后，我们定义了通用过滤F=（Ft）t≥0byFt：=\\P∈P(Ohm)FPt，t型≥ 注意，由于FP对所有P的右连续性，F是右连续的∈ P(Ohm). 此外，Ft=U(Ohmt） ，则，t型≥ 0和F∞= U型(Ohm). （2.2）我们用T表示所有F-停止时间的集合。让我们介绍一个通用的，尽管时间上是一致的，模型歧义的表述。对于anyx∈ Rd，考虑Ohmx： ={ω∈ Ohm : ω=x}，和letP（x） {P∈ P(Ohm) : P(Ohmx） =1且B是强马尔可夫，P}（2.3）表示代理在状态x的先验集合∈ 也就是说，每个P∈ agent认为P（x）可能是过程B如何发展的真实描述，因为其当前值为x∈ Rd.注意，P（x）不一定由某些参考概率P支配*关于所有P∈ P（x）是ab溶质连续的。换言之，P（x）中的某些元素可能是相互单一的，这尤其涵盖了B的diffusionmodel中波动率不确定性的情况；有关详细示例，请参见第4节。2.1α-最大最小目标和时间不一致性考虑了支付函数g:Rd→ R