模型模糊下的最优停止：时间一致性均衡

这一点在下一个结果中得到了准确的阐述，该结果摘自Castaing和Valadier（1977）的命题III.25和Cohn（1993）的推论8.6.4。引理5.1。设（M，A）是一个分离的可数生成的可测空间。然后，存在一个{0，1}的子集K，该子集（M，a）同构于（K，B（K））。在引理5.1的基础上，对于两个可测空间分离并可数生成的特殊情况，可以很容易地建立一个广义可测投影定理。为了恰当地陈述结果，让我们引入额外的符号。给定一个可测空间（M，a），我们用au表示a通过u-空集的扩充，对于（M，a）上的任何有限度量u。设^A是A的普遍完成式，即^A：={Au：u是（M，A）}的有限度量。引理5.2。设（M，A）和（M，A）是两个可测空间，它们是分离且可数生成的。对于任何G∈ A. A、 其投影projM（G）属于^A.Proof。根据引理5.1，存在同构i：（M，A）→ （K，B（K））和i：（M，A）→ （K，B（K）），对于某些K，K {0，1}N。然后，我们得到了一个一对一的对应关系，该对应关系由映射iand i导出，在a中的元素之间 A和B（K）中的 B（K）。此外，根据Castaing和Valadier（1977）的引理III.26，iis不仅（A，B（K））-可测，而且（^A，G（K））-可测，其中G（K）表示由K的解析子集生成的σ-代数。现在，假设G′∈ B（K） B（K）对应于G∈ A. A、 那么，projM（G）=i-1.项目（G′）. 根据Bertsekas和Shreve（1978）的命题7.39，projK（G′）是K的分析子集-1.项目（G′）∈^A.扩展引理5.2以容纳任意两个可测空间需要以下技术结果。引理5.3。设（M，A）和（M，A）是两个可测空间。

对于任何G∈ A. A、 存在一个∈ a和一个集值函数Φ：a→ a得出（i）G是Φ的G图；（ii）对于任何y，z∈ A满足所有C的1C（y）=1C（z）∈ A、 我们有Φ（y）=Φ（z）。证据考虑集合Γ：={G∈ A. 答： A.∈ A和Φ：A→ a确认（i）和（ii）保持}。首先，观察到Γ包括形式为H=A×B的所有集合，其中A∈ A和B∈ A、 实际上，常数s集值函数Φ（y）：=B，对于所有y∈ A、 显然，H是它的图形，而满意度（ii）是以一种平凡的方式。现在，我们声称Γ是σ-代数。如上所述，M×M∈ Γ. 接下来，对于任何G∈ Γ，拿一个∈ A和Φ：A→ a检查（i）和（ii）是否正确。定义设定值函数ψ：M→ Abyψ（y）：=（（Φ（y））c，如果y∈ A.M、 如果y∈ Ac.定义的ψ与Φ满足（ii）一样。还可以检查ψ的图形是否为Gc。简化Gc∈ Γ. 最后，对于任何{Gn}n∈NinΓ，取{An}n∈Nin a和Φn：An→ Asuch thatGnisΦnandΦnsatis fies（ii）f或所有n的图形∈ N、 设A：=序号∈南安∈ A、 并定义集值函数|ψ：A→ Aby￠ψ（y）：=[n∈N、 y型∈AnΦn（y），y∈ A、 对于所有n，Φn满足（ii）∈ N、 §ψ的定义也满足（ii）。也可以检查|ψisSn的图形∈NGn。这意味着∈下一代网络∈ Γ. AsΓ是一个σ-代数，包含所有a的H=a×b∈ A和B∈ A、 我们必须有一个 A. Γ，这会产生所需的结果。现在，我们准备介绍本节的主要结果。定理5.1。设（M，A）和（M，A）是两个可测空间。对于任何G∈ A. A、 其投影projM（G）属于^A.Proof。修复G∈ A. A、 Con-siderCi：={Ci Ai:ci是一个可数生成的σ-代数}，i=1，2。首先，我们声称G∈ C C对于某些C∈ 坎德C∈ C、 注意a A=[{C C： C类∈ C、 C类∈ C} 。

（5.1）事实上，因为（5.1）的右侧是σ-代数，它包含形式为H=a×b的所有集合，其中a∈ A和B∈ A（这是因为H∈ C C、 对于任何C∈ 包含A和anyC的C∈ c包含B），我们得到“” （5.1）中的关系。因为“” 关系微不足道，（5.1）已建立。O因此，我们的索赔得到证实。定义Mas上的等效关系如下：对于任何y，z∈ M、 y型~ z当且仅当所有C的1C（y）=1C（z）∈ C、 （5.2）设置M′：=M/~, 由~, 定义：M→ M′byИ（y）=[y]：={z∈ M： z~ y} ，则，y∈ M、 （5.3）可以从（5.2）和（5.3）中推导出，对于任何C，C∈ C、 如果C6=烛光（C），则Д（C）6=Д（C）∩ ^1（C）= 如果是C∩ C=.让我们检查C′：=Д（C）是M′上的σ-代数。第一 = φ() ∈ C′。同样，对于任何{C′i}i∈在C′中，存在{Ci}i∈对于所有i，C′i=Д（Ci）∈ N、 因此，（i）Si∈NC′i=Si∈NД（Ci）=Д（Si∈NCi）∈ C′，其中第二个等式源自定义的Д；（ii）因为（C）∪Д（Cc）=M′和Д（C）∩^1（Cc）=, 我们有（C′）C=（Д（C））C=Д（Cc）∈ C′。因此，我们认为C′是σ-代数。因为：M→ M′是满射，Cis可数生成，C′=ν（C）是不可数生成的。同样，对于任何不同的[y]，[z]∈ M′，存在C∈ C如y所示∈ C丁字裤/∈ C即Д（C）∈ C′包含[y]，但不包含[z]。这表明C′分离了M′的点。因此，度量空间（m′，C′）被分离并可数生成。以类似的方式，我们可以在（5.2）中定义Mas的等效关系，用C代替。然后，ν：M→ M′可以如（5.3）中所述引入，其中Mand M′替换为MandM′：=M/~. 上述相同的参数意味着（M′，C′）与C′：=Д（C）分离并可数生成。回想一下G∈ C C、 根据引理5.3，存在C*∈ C和a集值函数Φ：C*→ C、 使得G是Φ的图，且Φ（y）=Φ（z），每当y~ z

请注意，Φ可以通过设置Φ（y）= 对于y/∈ C*. 定义ψ：M′→ Mas如下：对于任何[y]∈ 对于某些z，M′，letψ（[y]）：=z∈ M带z~ y、 然后，我们从（5.2）推导出，对于任何C∈ C、 ψ-1（C）=Д（C）∈ C′；也就是说，ψ是（C′，C）-可测的。定义ψ：M′→ 最小相同方式：f或任意[y]∈ 对于某些z，M′，letψ（[y]）：=z∈ M带z~ y、 类似地，ψ是（C′，C）-可测的。现在，通过将Д看作Cto C′的函数，我们将集值函数ψ从M′引入C′：ψ（[y]）：=Д（Φ（ψ（[y]））∈ C′，【y】∈ M′。设H表示ψ的图形。观察H={（[y]，[z]）∈ M′×M′：【z】∈ ψ（[y]）}={（[y]，[z]）∈ M′×M′：ψ（[z]）∈ Φ（ψ（[y]）}={（[y]，[z]）∈ M′×M′：（ψ（[y]），ψ（[z]））∈ G} =（ψ×ψ）-1（克）∈ C′ C′，其中第二个等式是从（5.2）推导出来的，由C代替。引理5.2，这意味着projm′（H）∈^C′。由于Castaing和Valadier（1977）的引理III.26，Д不仅是（C，C′）可测量的，而且是（^C，^C′）可测量的。因此，p rojM（G）=Д-1.projM′（H）∈^C^A.A引理3.3Fix x x的证明∈ 一、 考虑者P：=支持{y∈ R： y<x}和q：=inf{y∈ R： y>x}，其中取p=l （分别为q=r）如果r中没有y<x（分别为y>x）。类似地，定义：=sup{y∈ Rn：y<x}和qn：=inf{y∈ Rn:y>x}，n∈ N、 As R=序号∈NRnand{Rn}n∈Nis不减损，我们有pn↑ p和qn↓ q、 （3.11）的证明。关于集{ρ=∞}, ρn=ρ=∞ 适用于所有n∈ N、 因此（3.11）基本成立。关于集合{ρ<∞}, Bρ=p或q。我们假设Bρ=p而不丧失一般性。如果p∈ R、 然后∈ RN对于所有足够大的n。因此，对于足够大的所有n，ρn=ρ。如果p/∈ R、 然后BHA进入该区域(l, p） 紧接ρ之后。作为pn↑ p、 这意味着ρn↓ ρ. 因此，（3.11）成立。（3.12）的证明。固定ε>0。首先，注意如果n足够大，pn=p，qn=q，那么ρn=ρonOhm对于所有足够大的n，其中（3.12）跟在s后面。

仍需处理以下情况：（i）PNI严格增加，或（ii）qnis严格减少。对于任意n∈ N、 定义An：={ω∈ Ohmx： |ρn- ρ| ≥ ε}. 根据（3.11），（An）n∈Nis非递增andTn∈NAn=. 对于（i）和（ii）都成立的情况，请注意 Fn，其中Fn：={ω∈ Ohmx： ρ<∞, 英国电信∈ 【pn，qn】t型∈ (ρ, ρ+ ε),s∈ （ρ，ρ+ε）s.t.Bs=pnor qn}，n∈ N、 根据Fn的定义，我们有pxb，σ（Fn）=P（Xx，b，σt）t≥0∈ Fn公司= 0, （b，σ）∈ ∏（x）。（A.1）实际上，作为{（Xx，b，σt）t≥0∈ Fn}由样本路径组成，这样Tpn(l,pn）>0或Tqn（qn，r）>0，根据备注3.2，它必须是P-null集。此外，Fn∩ Fm= 对于所有n<m的情况，Pn严格增加，qnis严格减少。如下所示\\n∈南安\\n∈N（An）∪ Fn）=\\n∈NAn=. （A.2）Denis et al.（2011）中的引理7，因为P（x）相对紧凑（引理3.2），对于闭集Cn的每个序列↓  我们有supP∈P（x）P（Cn）↓ 因此，通过（A.1）和（A.2），补充∈P（x）P（An）=供应∈P（x）P（An）↓ 0，（A.3），正好是（3.12）。现在，对于（i）和（ii）中只有一个成立的情况，我们假设（i）成立，但不丧失一般性。设Ap，qndente表示前一种情况下（i）和（ii）均成立的集合，而apn表示当前情况下仅（i）成立的集合。请注意，Ap，qn=Ap，q，1n∪ Ap，q，2n，其中p，q，1n：={ω∈ Ohmx： Bρ0=p，|ρn- ρ| ≥ ε} ，Ap，q，2n：={ω∈ Ohmx： Bρ0=q，|ρn- ρ| ≥ ε}.观察Apn=Ap，q，1n，我们在当前情况下得到∈P（x）P（|ρn- ρ| ≥ ε） =支持∈P（x）P（Ap，q，1n）≤ 支持∈P（x）P（Ap，qn）↓ 0，其中（A.3）中确定了收敛。也就是说，（3.12）r emains有效。（3.13）的证明。固定0<ε<q- p、 首先，注意如果n足够大，pn=p，qn=q，那么ρn=ρonOhm当ce（3.13）跟在后面时，对于足够大的所有n。对于（i）PNI严格增加，或（ii）qnis严格减少的情况，仍有待解决。对于任意n∈ N、 定义An：={ω∈ Ohmx： | Bρn- Bρ0 | 1{ρn<∞}≥ ε}.

根据（3.11），（An）n∈n足够大且tn∈NAn=. 我们首先处理（i）和（ii）都成立的情况。对于足够大的n，使得m ax{| pn- p |，| qn- q |}<ε，观察 Fn：=Fn∪ Fn，其中Fn：={ω∈ Ohmx： Bρ=q，Bt≤ qn公司t型∈ （ρ，ρ{pn}）， s∈ （ρ，ρ{pn}）s.t.Bs=qn}，Fn：={ω∈ Ohmx： Bρ=p，Bt≥ pn编号t型∈ （ρ，ρ{qn}）， s∈ （ρ，ρ{qn}）s.t.Bs=pn}。请注意，（A.1）在当前上下文中适用，其参数与下面的（A.1）相同。此外，根据Fn和Fn的定义，Fn∩ Fm= 对于所有n<m的情况，Pn严格增加，qnis严格减少。因此，通过再次使用Denis et al.（2011）中的引理7，我们得到了（A.3），即（3.13）。对于（i）和（ii）中只有一个成立的情况，我们可以遵循（3.12）证明的最后部分中的相同论点，得出（3.13）仍然有效的结论。参考Savellaneda，M.、Levy，A.和Par'as，A.（1995），“波动不确定市场中的衍生证券”，应用数学金融2，73–88。Barberis，N.（201 2），“赌场赌博模式”，《管理科学》58（1），35–51。Bass，R.F.（2010），“命中时间的可测量性”，概率电子通信15，99–105。Bayraktar，E.、Karatzas，I.和Ya o，S.（2010），“动态凸风险度量的最优停止”，IllinoisJournal of Mathematics 54（3），1025–1067。Bayraktar，E.和Yao，S.（2011a），“非线性期望的最优停止-第一部分”，随机过程及其应用121，185–211。Bayraktar，E.和Yao，S.（2011b），“非线性期望的最优停止第二部分”，对随机过程及其应用121，212–264。Bayraktar，E.和Yao，S.（2014），“关于鲁棒最优停车问题”，暹罗控制与优化杂志523135–3175。Bayraktar，E.和Yao，S。

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