最优拍卖期限：一种价格形成观点

它满足带布朗运动和σfa正常数的Ps=P+σfw。当为正数时，数量Sk（p）表示股票数量k-做市商愿意以p或以上的价格出售。负值对应于他愿意以p或更低的价格购买的股票。我们假设sk（p）=K（p-Pk），其中▄Pk=E[Pτcli | Fτcli-1+τi，mmk]+gk，其中pki是k对资产价格的看法-做市商发出指令时，K为正常数，（gk）K>0为i.i.d随机变量序列，方差σ表示做市商在推断有效价格时的估计噪声，与分配过程无关。Du和Zhu（2017）也考虑了线性供应函数；Fr icke和Gerig（2018年）。这相当于假设每个做市商发送高于价格▄Pk的统一限价卖出指令和低于▄Pk的统一限价买入指令。在这种情况下，我们得到▄Pk=Pτcli-1+τi，mmk+gk。实际上，有不同种类的做市商，我们可以假设每个做市商都有自己的噪音。尽管如此，市场上通常没有那么多做市商，而且由于他们基本上拥有相同的技术，因此有理由假设他们具有相同的噪声参数。还要注意的是，由于数据的匿名性，具有不同方差参数的模型很难校准。因此，做市商在LOB中注入信息，因为他们通过其供应功能揭示了他们对价格的了解。然而，拍卖持续的时间越长，造市商的观点就越不可靠，因为他们对清算时间内有效价格的估计来得越早。最后，为了获得再生市场，我们考虑在拍卖清算时间τclimarket结束后，制造商取消其不匹配的限价订单。

由于持续时间非常长的连续拍卖市场并不存在，因此很难知道做市商的行为会是什么。当然，清算后完全取消并不现实。然而，请注意，我们分析的关注时间是拍卖结束时间，其中模型非常合理。例如，当h=0时，对应于CLOB市场，在每次发送市场订单时，LOB已经填写，这要归功于下面的假设2。按设置i=τcli- τcli-1我们推断，在清理处有Ni，mmI LOB中的市场制造商。在i期间-市场阶段k的到达时间-th买入（或卖出）市场指令由τcli给出-1+τi，ak（分别为τi，bk），其中eτi，ak（分别为τi，bk）是k-计数过程的第次事件时间（Ni，as）s≥0（分别为Ni、bs）s≥0). 因此，i-拍卖价格为τopi=τcli-1+τi，a∧τi，b。我们支持每个市场接受者以恒定数量v发送市场订单。此外，我们假设（Ni，mm，Ni，a，Ni，b）与有效价格P无关。我们将IIA定义为市场接受者的累积失衡：Iit=vNi，在- vNi，bt.市场接受者在清算i时的总需求-第次拍卖由Ii给出i、 我们现在做出以下自然假设，即市场是再生的。假设1。市场动态满足：i）每次拍卖清算后，市场再生：过程（Ni、mm、Ni、a、Ni、b、Ii）i≥0独立且分布相同。ii）随机变量（τi，a∧ τi，b）i≥0是具有指数定律和参数ν的i.i.d。iii）随机变量N1，aτcland N1，bτclare平方可积。假设1的第i）点和第ii）点暗示市场秩序流动基本上是一个泊松过程，这是微观结构文献中使用的最标准动态，见Avellaned a和Stoikov（2008）；Gu’eant（2017）。

这一假设并不完全现实，尤其是它不能使我们重现市场秩序流的长记忆特性，例如Bouchaud et al.（2009）。放松这一假设的一种可能方法是考虑霍克斯型强度。然而，这将使模型在计算和校准方面更加复杂。第iii）点是一个经典的技术假设。注意，假设1的i）点和ii）点表示≥ 0，τopi+1-τcli遵循参数为ν的指数随机变量。我们还考虑了（Nmm、Na、Nb、I）一个随机变量，为了部分解决这个问题，我们扩展了我们的模型，允许做市商通过取消附录D中的订单来修改其头寸。请注意，一个可能的扩展是，考虑▄PK还取决于最近观察到的清算价格，请参见Fricke和Gerig（2018）。（N1，mm，N1，a，N1，b，I）定律。这将有助于减轻一些符号。实际上，如果LOB中没有流动性，并且LOB为空的情况非常不现实，那么市场接受者不太可能发出市场指令。适应非emp tyLOB假设设置的一种方法是考虑第一个做市商总是在拍卖清算发生之前到达。这意味着几乎可以肯定，对于任何i，我们都有τi，mm<（τi，a∧ τi，b）+h。因此，我们考虑以下假设假设2。让u>0。密度τ1，mm，（τ1，a∧ τ1，b）在点（s、t）∈ 0给出的Ris≤s≤t+hue-us1- e-u（t+h）dsνe-νtt≥0dt。最后，我们假设（N1，mms+τ1，mm-1)0≤s≤his是一个泊松过程，强度u与P和（N1，as，N1，bs）s无关≥τ1，mm。假设2表示（N1，mms）0≤s≤τop+hh是强度为u的泊松过程定律，条件是其第一个事件发生在时间τcl之前。

该假设允许在h=0.2.3清算规则的限制下获得非退化CLOB。我们现在解释如何在拍卖结束时结算清算价格。在时间τcli=τopi+h时，设置一个连续的PRICE Pclτcli，以最大化交换量。这种结算规则在大多数电子市场中用于开盘和结算拍卖。这也是学术文献中考虑的规则（例如，参见Du an d Z hu（2017））。我们用F表示-（p） （resp.F+（p））买方（resp.sellers）愿意以p价购买（resp.seller）的股份总数。函数F-（分别为F+）正在减少（尤其是增加）。假设th的结算价格为Pclisset。交换的总体积为F-（Pcl）∧ F+（Pcl）。现在假设th在F处-且F+在Pclind F点连续-（Pcl）<F+（Pcl）。如果账簿的投标方仍有剩余流动性（如果F-不受F约束-（Pcl）），交换量不是最优的，因为可以通过降低价格来改善。换言之，假设F-（Pcl）>F+（Pcl），如果ask端有流动性（正式地说，如果F+不是由F+（Pcl）绑定），那么交换量不是最优的，因为它可能会通过提高价格来改善。因此，当这种平等是可能的，以便在清算时最大化交易量时，最优清算价格必须满足F-（Pcl）- F+（Pcl）=0。（1） 注意F值处的th-(+∞) （分别为F+(-∞)) 是指以任何价格购买（或出售）的股份数量。导致非常不同方法的另一个想法是将做市商的市场行为内化，参见Du和Zhu（2017）功能F--F+是所有市场参与者（做市商和做市商）的代数供需函数。因此，我们得出清算价格为代理人总供求的零。

因此，在我们的框架内，i- 第次拍卖，定义为（1）的解，可通过求解以下方程找到：Ni，mmiXk=1Sk（p）- 二i=0。i-然后由PCLτcli=Ni，mm给出结算价格iNi，毫米iXk=1？Pk+KIiiNi，毫米i、 （2）最后，在不考虑拍卖清算中的市场订单的情况下，我们将LOB的中间价格Pmid定义为获得的清算价格：Pmidτcli=Ni，mmiNi，毫米iXk=1？Pk。（3） 2.4价格形成过程质量的衡量标准金融市场的主要作用之一是准确揭示基础资产的价格，保证市场参与者的公平交易价格。在我们的fr-amework中，这相当于结算价格接近有效价格。因此，比较差异持续时间的一个自然标准是，就拍卖持续时间而言，评估当日有效价格和结算价格之间的累积误差。为此，我们考虑以下时间加权二次误差：Zht=Nclt-1Xi=1i+1（Pτcli- Pclτcli）+（t- τclNclt）（PτclNclt- PclτclNclt），（4）其中ncltd表示时间t之前清算的拍卖数量。因此，对于每次拍卖，我们考虑清算价格和有效价格之间的二次偏差，并按等待新价格设定的时间对该偏差进行加权。注意，（4）可重写ZHT=Zt（Pcls-Ps）ds，其中processespcl和psa分别是时间s之前最后一次拍卖清算时间的清算和有效价格，即（Pcls，Ps）=（Pclτcli，Pτcli），其中i=sup{j≥ 1，s.tτclj≤ s} 。我们确定了拍卖持续时间h*几乎可以肯定的是，Zh是最佳的*对于任何h，它渐近小于zhts≥ 0、使用以下事实：（Pcls- Ps）s≥0是我们获得的再生过程，参见附录E，以下是我们渐近计算的重要结果。引理2.1。

以下趋同几乎可以肯定：limt→+∞Zhtt=E[（Pclτcl- Pτcl）]。根据引理2.1，持续时间h*如果它是函数E的一个极小值，则为最优值，给定byE（h）=E[（Pclτcl- Pτcl）]。我们还考虑了（3）中定义的中间价格的效率，用Emid表示：Emid（h）=e[（Pmidτop+h- Pτop+h）]。现在我们给出我们的主要定理。它为函数E提供了一个半显式表达式。其证明见附录a定理2.1。价格形成过程质量度量满足度：E（h）=Emid（h）+E[Iτcl]K（1- e-uhνν+u）-1eνhZ+∞hνe-νte-utZutsZseu- 1DUDSD t，Emid（h）由（1）给出- e-uhνν+u）-1eνhZ+∞hνe-νt（σft+σ）e-utZutes- 1sds+σft（1- e-ut）dt。（5） 备注2.1。注意，我们可以通过使用所谓的E指数积分函数E:R来简化二重积分*+-→ R+定义为E（x）=R+∞xe公司-uudu。因此，我们得到E（h）=Emid（h）+E[Iτcl]K（1- e-uhνν+u）-1eνhZ+∞他-uu-1uν+uE（ν+u）u杜+哲-uu-1uνν+u日志（hu）e-（ν+u）h+E（（ν+u）h）杜邦,其中Emidis由（5）给出。我们从定理2.1中注意到，对于给定的h>0，E（h）>Emid（h）。这很直观：市场订单的存在会导致结算价格的额外偏差，而这些偏差不是由信息直接驱动的，而是由供需不平衡引起的。当然，当u=0时，我们得到E（h）=Emid（h）。我们还看到，价格形成过程质量更高，但规模更大。在这种情况下，大量流动性已经接近有效价格，从而导致更好的交易价格。最后请注意，当我们允许做市商取消订单时，可以得到与定理2.1中的表达式类似的表达式，见附录D。如果我们可以获得数量e【Iτop+h】，这取决于做市商的行为，定理2.1使我们能够计算函数e，从而通过最小化e来确定最佳行动持续时间。

例如，我们可以考虑标准假设，即Na和Nb是独立的泊松过程，在拍卖过程中强度为ν/2（这与假设1一致）。在这种情况下，我们得到[Iτop+h]=v（νh+1），见附录B。因此，函数h→ 定理2.1的E（h）变得完全明确，我们可以从数值上获得最佳持续时间。我们参考第4节了解数值细节、经验结果和统计方法，以估计E（h）表达式中出现的参数。市场订单流量的泊松假设非常经典，计算简单，结果简单。然而，在拍卖环境中，市场订单起着关键作用，人们还应该考虑拍卖环境，调查战略性配售的可能性。我们将在下一节中处理这种情况。3战略性市场接受者在实践中，通过优化交易时间的算法发送市场订单。因此，在本节中，我们认为市场接受者的目标是通过调整他们的交易强度以适应市场状态来最小化他们的交易成本。我们将其正式化为买卖市场接受者之间的竞争游戏。我们证明了这个博弈是纳什均衡的。此外，当市场接受者遵循与该纳什均衡对应的策略时，我们可以计算e（h）表达式中出现的关键量e[Iτop+h]。请注意，考虑到做市商也在战略性地改变其行为，以应对拍卖持续时间的变化，这当然是有意思的，参见Budish et al.（2015）；杜、朱（2017）。然而，我们将此案例留作进一步研究，并从市场接受者的角度将重点放在拍卖市场的特定特征上。3.1市场接受者的交易成本我们对总购买群体（分别为。

销售）市场接受者作为一个单独的参与者，称为a层（分别为b层）。在拍卖过程中，玩家a（分别为b）控制到达过程Na（分别为Nb）的强度λa（分别为λb），希望获得最低成本。在实践中，市场订单通常会在指定的时间间隔内执行大型元订单。因此，无论市场设计如何，市场接受者通常都需要在特定时期内购买或出售一定数量的商品。为了证明市场接受者的强度既不能太高也不能太低，我们假设λa和λbare由上下两个正常数λ+和λ-.买入者在t时的总交易成本，用Cat表示，满意度=NcltXi=1Ni，ai（Pclτcli-Pτcli）。根据Asmussen（2008）第六章的定理3.1以及市场是可再生的这一事实，我们得到了关于交易成本渐近行为的以下引理。引理3.1。我们有以下几乎可以肯定的收敛：limt→+∞Catt=E[钠τcl（Pclτcl-Pτcl）]ν1+νh。因此，从长远来看，购买市场参与者的平均交易成本是e[Naτcl（Pclτcl）的倍数- Pτcl）]=vKE【Nmmi] E【Naτcl（Naτcl- Nbτcl）]。现在写入Naτcl=Naτop+h- Naτop+Naτopand使用Naτopis等于一或零的事实，解决参与者a的问题等价于能够最小化[Nah（Nah- Nbh）]当（Na，Nb）=（1，0）和当（Na，Nb）=（0，1）时。因此，f或任何（α，β）∈ N、 我们考虑了玩家a最小化的更一般的问题[Nah（Nah- Nbh）|（Na，Nb）=（α，β）]。同样，玩家b最小化E[Nbh（Nbh- Nah）|（Na，Nb）=（α，β）]。每个玩家的目标是获得自己的交易强度，从而使自己的交易成本尽可能小。请注意，在我们的设置中，假设1意味着市场接受者在每次拍卖开始时重置其策略。

我们本可以考虑这样一种情况，即市场接受者整天都在优化他们的行为。然而，由于我们对静态环境下拍卖持续时间的影响感兴趣，我们的框架仍然合理。3.2纳什均衡我们现在给出了在这场相互竞争的市场参与者博弈中存在纳什均衡的结果。我们认为市场接受者控制他们的交易强度。可容许控制集用U表示，定义为F集- 具有[λ]值的可预测过程-, λ+]对于固定的0<λ-≤ λ+. 任意一对策略（λa，λb）∈ Uof Player a和b导致一个概率度量Pλa，λb如thatNa·-Z·λasds和Nb·-在Pλa，λb下的Z·∧bsdsare鞅。为了最小化其代价，玩家a求解λa∈UVa，α，βh（λa，λb），（6）与Va，α，βh（λa，λb）=EPλa，λb[Nah（Nah- Nbh）|（Na，Nb）=（α，β）]，对于由卖方市场接受者参与者b确定的λb，参与者b对称求解λb∈UVb，α，βh（λa，λb），（7）与Vb，α，βh（λa，λb）=EPλa，λb[Nbh（Nbh- Nah）|（Na，Nb）=（α，β）]对于买方市场接受者a的固定λachosen。如果两个优化问题（6）和（7）可以同时解决，则获得纳什均衡。请注意，对于市场接受者可观察到的信息，该框架是现实的。Indeed我们只假设市场接受者观察到市场订单不平衡。例如，该信息可在泛欧交易所开盘和收盘拍卖平台以及BATS Cboe拍卖市场上获得。我们证明了该博弈确实存在一个（不一定唯一的）纳什均衡，并具有相应的最优控制（λa、 λb） 。更准确地说，使用这些符号，我们得到以下结果。定理3.1。

由一些马尔可夫控制（λ）给出的同时优化问题（6）-（7）存在一个纳什均衡a、 λb） 满足infλa∈UVa，α，βh（λa，λb） =EPλa、 λb[不适用（不适用- Nbh）|（Na，Nb）=（α，β）]和infλb∈UVb，α，βh（λa、 λb）=EPλa、 λb[Nbh（Nbh- Nah）|（Na，Nb）=（α，β）]。附录C提供了定理3.1的证明。与优化问题相关的HJB方程在某种程度上退化了。这使我们无法使用经典参数来获得解决方案。为了给出关于它的直觉，我们在这里给出了一个简短的证明草图。步骤0。我们首先考虑与我们的问题相关的HJ B方程的光滑版本。因此，定理3.1的证明归结为HJB方程（光滑）系统解的存在性和收敛性（见定理C.1）。第1步。我们考虑与光滑HJB方程相关的反向随机微分方程（简称BSDE）。然后，纳什均衡的存在性与此（Lipschitz）BSDE的解的存在性有关。必须从（Carmona和Delarue，2018，定义2.10）步骤2的意义上理解马尔可夫控制的概念。我们证明了BSDE序列在适当的空间中收敛于一个生成BSDE的解。第3步。我们的结论是，我们在极限处得到的解对应于市场接受者之间竞争的纳什均衡。注意，我们没有得到纳什均衡的唯一性，只有存在性。由于与此问题相关的BSDE生成器具有不连续性，因此几乎不可能通过经典方法找到唯一性结果。