粗糙和非粗糙Heston模型之间的比较原则

除以Rpu，ψpt，uqq并积分（3.12）的两侧，得到ztBsψps，uqRpu，ψps，现在我们替换η“ψps，uq，dη”Bsψps，uqds，得到（3.14）ψpt，uqdηRpu，ηq”t，验证（3.13）。我们记住，对于满足u的情况（A），函数Rpu，¨q是正的，并且在r0，8q上递增。由于核κ是递减的，我们可以推导出以下不等式ψκpt，uq“tκpt'sqRpu，ψps，uqdsě380; tκpt'sqRpu，ψκps，uqqds“：vpt，Tq，（3.15）对于0dtdtatκpuq。很容易看出，上述定义的函数vpt，Tq具有边界值Vp0，Tq“0，vpt，Tq”ψκpt，uq，（3.16），并且由于wTh~nRpu，wq在r0，8q上增加，满足微分不等式（3.17）Btvpt，Tq“κpt'tqRpu，ψκpt，uqqěpt'tqRpu，vpt，Tqq。现在，我们可以使用微分方程的标准比较原理（参见第二章，【BW98】第9节）来获得（3.18）vpt、Tqěrpt、Tq、10 M.KELLER-Restel和A.MAJIDwith rpt、Tq是（3.19）Btrpt的解决方案，Tq“κpT'tqRpu，rpt，Tqq。请注意，该微分方程与（3.12）的区别仅在于因子κpT'Tq。因此，如果我们除以Rpu，rpt，Tqq，将两侧积分到T，并用η“rpt，Tq，dη”Btrpt，Tqdt代替（3.14）中的Heston情况的公式，我们得到（3.20）Qpu，rpt，Tqq“zrpt，TqdηRpu，Tqq“zTκTqdt”“zTκptqdt，TaTκpuq。应用Q'1pu，¨Q到（3.13）和（3.20），它认为ψpt，uq“Q'1pt，uq，rpt，tq“Q'1^u，zTκpsqds'，，（3.21），我们可以推断（3.22）rpt，tq“ψu，zTκpsqds'，T P”0，^Tκpuq'”。不等式（3.15）和（3.18）最终产生（3.23）ψκpt，uq“limtvpt，tqělimT'Otrpt，tq”ψu，zTκpsqds，T P“0，Tκpuq”。（b）如果美国的情况（B）令人满意，那么不平等（3.15）仍然成立。但是，我们不能像（3.17）中那样讨论，因为函数Rpu¨q在r0 wpuqq上减少。

为了克服这个障碍，我们使用（3.8）中的调整函数Rpu，wq，并得出不等式btvpt，Tq“κpT'tqRpu，ψκpT，uqqěκpT'tqRpu，ψκpT，uqqěκpT'tqRpu，vpt，Tqq，对于所有0dta^tκpuq。从这一点出发，我们可以按照（a）中的步骤进行，函数rpt，Tq是trpt的解，Tq“κpT'tqRpu，rpt，Tqq。（c）让u满足情况（c）并设置（3.24）rTκpuq：“inft P'”0，^tκpuq：ψκpT，uq“wpuq或ψκpT，uq”0（.由于函数Rpu的行为，情况（C）中为¨q，并且由于（3.1），我们可以得出（3.25）ψκpt，uqa0，@t P'0，rTκpuq'。这清楚地表明ψκp¨，uq对于t p'0，rTκpuq'是增加的，因此（3.24）中的上界总是在下界之前到达。现在我们可以继续类似于（a）：考虑到0dtdtdrTκpuq，可以看出不等式（3.15）是满足的。粗糙和非粗糙HESTON模型11In（3.17）之间的比较原则，但是，不等式符号必须颠倒，因为Rpu，¨q在r0，wpuqq上递减。因此，（3.19）的解决方案rpt，Tq满足（3.26）rpt，Tqěvpt，Tq，0dtdrTκpuq。利用（3.15），（3.16），（3.22）和（3.26），我们得到（3.27）ψ^u，ztκpsqds˙“limT'Otrpt，TqělimT'Otvpt，Tq”ψκpt，uq，对于所有t P r0，rTκpuqq。通过（3.21），（3.22）和引理3.3（c），这意味着（3.28）limT~nrTκpuqψpt，uqdu，rTκpuqκpsqds,wpuq.24），我们现在得到rTκpuq“^tκpuq，即界限（3.9）保持所有P r0，^Tκpuqq，我们有limt^Tκpuqqψκpt，uq P r0，wpuqs。如果^Tκpuqqa8，这与（3.11）相矛盾，我们得出结论，^Tκpuq“8。（d）情况（d）中的边界证明类似于（c），具有以下适应性：必须反转（3.15）中的不等式符号，因为函数rpu¨q在pwpuq，0s上为负数。因此，与（c）相比，（3.17）中的不等式符号仍然存在。

因此，（3.25）、（3.26）、（3.27）和（3.28）的不等式符号必须颠倒，证明是完整的。3.1. 第一个后果。我们陈述了定理3.5的两个直接推论。第一个将[GGP18，Thm.2.4]从幂律核推广到一大类其他核。推论3.7。设κ为满足假设3.1且具有sκpsqds”8的核。则^Tκpuq是有限的，当且仅当u满足情况（a）或（B），且当且仅当u满足情况（C）或（D）时，它是有限的。特别是，setu P R:^Tκpuqa8（独立于κ证明）。在情况（a）中，已知ψpt，uq在有限时间内爆炸，参见【AP07，KR11】。自351;κpsqds“8并且，根据定理3.5，ψ^ztκpsqds，u˙ψκpt，uqf对于所有的tě0，以及ψκpt，uq必须在有限的时间内爆炸。在（B）情况下，ψpt，uq必须使用，而不是ψpt，uq。通过直接计算可以看出，ψpt，uq也在有限的时间内爆炸，参见下面的引理4.2。在（C）和（D）情况下，定理3.5显示了ψκpt，uq的全局存在性，即，则不会发生实时爆炸。在许多感兴趣的情况下，时间变化TThsTκpsqds将smallT的时间缩短到时间Tκ；见图2。这允许在不改变时间的情况下重新表述定理3.5，代价是削弱不等式。12 M.KELLER-RESSEL和A.Majid推论3.8。假设κ严格下降，存在tP p0，8q与κptq“1。然后，有一个唯一的解决方案TκP p0，（3.29）T”TκpSqd的8q，并且以下情况成立：（a）如果u满足情况（a），它认为ψpt，uqdκpt，uq，@TdTκ。（b）如果u满足情况（b），它认为ψpt，uqdκpt，uq，@TdTκ。证明。在给定的假设下，函数TTh351; Tκpsqds开始于T“0，是递增的，严格凹的，在tP p0，8q处有导数。很明显，这意味着存在唯一的固定点tκP p0，8q，即（3.29）的唯一解。

此外，tdtκpsqdsmust适用于所有tdtκ。由于ψp¨，在情形（A-C）中，uq严格递增（见[Gat06]第2章），我们从定理3.5中得出ψpt，uqdψ^ztκpsqds，u˙ψαpt，uqfortdtκ，完成情形（A）。（b）的证明是类似的。1212ttααΓpαqα“1α”0.75α“0.6图2。不同α的时间变化图stκαpsqds”tαΓpαqf。在具有幂律核καptq“Γpαqtα'1的粗糙赫斯顿模型中，相关的时间变化可以轻松计算，并由stκαpsqds“tαΓpαq”给出。核κα也满足推论3.8的要求，并给出了（3.29）的解按tα“pαΓpαqq1{pα'1q。图2A给出了粗糙和非粗糙HESTON模型之间的比较原则134。力矩爆炸时间的比较在本节中，我们研究了粗糙HESTON模型（2.1）中价格过程中力矩的时间演化. 虽然在Black-Scholes模型中，所有到期日都存在所有订单的矩，但众所周知，随机波动率模型中的矩可以在特定时间内变得有限（参见[FKR10]）。回顾（2.3）力矩爆炸时间Tαpuq“supttě0:ErSutsa8u的定义，在指数为αP P，1s的粗略赫斯顿模型中，u阶力矩。在赫斯顿情况下，Tpuq明确已知，并由（4.1）Tpuq“$”&“%”%？”给出puq^π'arctan^cpuq？'puq˙˙˙，puqa0，（A）或（B）？puqlog^cpuq\'2？puqcpuq'2？puq˙，puqa0，cpuqa0，（A）8，puqě0、cpuqa0、（C）或（D），见【AP07，KR11】。相反，对于αa1，ψαpt，uq不明确已知，因此也无法导出Tαpuq的明确表达式。正如引言中所讨论的，Tαpuq的上界、下界和近似方法（在（a）情况下有效）已在[GGP18]中推导出来。在这里，我们根据Tpuq得到Tαpuq的替代上界，这是第3.5条定理4.1的直接结果。

让u P R，这样情况（A）成立。然后爆破时间Tαpuq满足（4.2）TαpuqdpαΓpαqTpuqqq1{α。此外，如果TpuqdTα，其中Tα“pαΓpαqqqq1{pα'1q（如推论3.8），那么（4.3）TαpuqdTTpuq。当Tpuq被Tpuq替换为T时，这两个不等式在（B）情况下也成立。在（C）情况下，puq成立“8.证明。根据定理3.5，我们知道ψ^tκαpsqds，u˙ψαpt，uqfor all t P r0，^tαpuqq。很明显，右手侧必须在左手侧之前爆破，因此ψPstκαpsqds的爆破时间，uq代表了ψtαpuq的上限。由于ψpt的爆破时间tpuq已知，我们可以通过求解方程来确定tαpuq。380; t′αpuqκαpsqds“Tpuq，这导致我们得出`αpuq“pαΓpαqTpuq1{α.14 M.KELLER-RESSEL和A.MAJIDBy定理2.2 Tαpuq”Tαpuq，它证明了（4.2）。在推论3.8的证明中使用相同的论点，我们得出T `αpuqdT `αpuqκαpsqds“Tpuq，只要Tα，和（4.3）如下所示。案例（B）的证明是类似的。（4.1）给出了Tpuq的明确形式。也可以显式计算与B相关的界限Tpuq：引理4.2。对于情况（B）中的u，ψpt的爆炸时间Tpuq，uq由（4.4）Tpuq“a”给出puq▄π'cpuqa'puq,。备注4.3。（4.1）和（4.4）的直接比较表明，Tpuq和Tpuq之间的差异可以减少到零附近弧切的线性化arctanpxq"x。该观察结果可用于表明，对于ρ0，分段定义的函数rtpuq：“#Tpuq，udλρηTpuq，u P Pλ{Pρηq，d'qYpd\'，8qis在切割点uλ{Pρηq连续可微，即Tpuq在情况（A）和（B）之间的边界平滑过渡到Tλpuq。有关说明，请参见图3。Tcritρηd'd`<<情况（A）（B）（C）（d）（C）（B）图3。

负杠杆情况ρa0（见引理3.2）、经典赫斯顿爆炸时间Tpuq（蓝色固体）和辅助爆炸时间Tpuq（灰色虚线）中情况（A-D）之间边界的图示。还指示了（6.7）中介绍的时间Tcriti。粗糙和非粗糙赫斯顿模型之间的比较原则15证明。从初始条件ψp0，uq“0”的微分方程bbtψpt，uq“Rpu，ψpt，uqq，我们推导出t”ψpt，uqdηRpu，ηqSending t~ntpuq，并考虑到Rpu，wq in（3.8）yieldsTpuq“dηRpu，ηq”wpuqdηRpu，wpuqq“wpuqdηRpu，wpuqq”wpuqdηRpu，ηq.A原语Th~n1{Rpu，ηq由fpwq给出：“A'”puqarctan？ηw\'cpuqa'puq,。请注意，Fpwpuqq“0和wpuq{Rpu，wpuqq”cpuq{p2puqq。因此，Tpuq“cpuq2puq\'Fp8q'Fpwpuqq“a'”puq▄π'cpuqa'puq,如所述。5、力矩比较为了比较力矩，我们确定了粗糙和非粗糙Heston模型的参数ρ、λ和η，但不确定θp.q。相反，我们假设θp.qi是通过将每个模型校准为固定的前向方差曲线确定的；见第2.3节。我们写Φαpt，对于依赖于α和pt，uq的矩母函数，uq“E rSuts，S是α-粗糙集。此外，我们设置了αptq：“ztκαpsqds”tα{pαΓpαqqqlα，λptq“λtrα，λpsqds”1Eα，αp'λSαqds，（5.1），其中rα，λ是（2.11）中的λ-预解核。请注意，两者都是连续、正、严格递增的函数（“时间变化”）对于有限导数att“0”。然而，Kαptq~n8表示t~n8，而Lα，λptqλ。对于这两种时间变化，Kαptq“t的p0，8q和Lα，λptq”t中存在唯一解，我们分别用tα和tα，λ表示；另请参见Cor.3.8，其中这些时间是针对通用核κ引入的。很容易计算出tα“pαΓpαqqq1{pα'1q，而Tα，λ不能以显式形式给出。定理5.1。

设αP P，1q，ρa0和Φpt，uq和Φαpt，uq是非粗糙和粗糙Heston模型的矩母函数，它们被校准为相同的前向方差曲线ξ。然后Φpt，uqdΦαpt，uq16 M.KELLER-Restel和A.MAJIDholds（A）适用于所有udλ{pρηq和tdtα，以及（b）适用于所有u p pλ{pρηq，0s和tdtα，λ。该定理允许在足够小的时间t和负u的情况下，直接比较粗糙和非粗糙Heston模型的矩母函数。为了将结果推广到所有t，我们必须对正向方差曲线作单调性假设，并使用（5.1）中引入的时间变化.推论5.2。让定理5.1的假设成立。此外，假设正向方差曲线呈直线或增加。然后（a）对于所有udλ{pρηq，它认为Φ't^Kαptq，u'Φαpt，uq（b）对于所有u pλ{pρηq，0s，它认为Φ't^Lα，λptq，u'Φαpt，uq，具有Kα和Lα，λ，如（5.1）所示。定理5.1的证明。我们的起点是a（粗糙或非粗糙）中动量母函数的表示（2.13）Heston模型校准为正向方差曲线ξ。从这一表述中，很明显，（5.2）Φpt，uqdΦαpt，uqf对于某些t，tP Rě0等于（5.3）ztξpt'sqRpu，ψps，uqdsdtξpt'sqRpu，ψαps，uqds，其中我们设置（5.4）Rpu，wq“Rpu，wq `λw“pu'uq'ρηuw'ηw。从推论3.8a中，我们得到了所有sdTα和udλ{pρηq的ψps，uq，uq。由于wTh~nRpu，wq对于正变元是递增的，（5.3）遵循T，并显示了定理的（a）部分。对于u pλ{pηq，ρ0s，我们处于情形（B）或（C）的域中。而不是使用推论3.8b（不允许与非拉夫赫斯顿模型进行直接比较）我们使用（2.11）中的预解核rα，λ变换Volterra-Riccati积分方程（2.7）。

使用卷积表示法f媫g“stf pt'sqgpsqds，预解核的特征是性质λκα'rα，λ”λrα，λ媫κα，参见例如[GLS90，第2章]。将ψα与rα，λ进行卷积（并抑制其对u的依赖），我们得到rα，λ媫ψα“rα，λ媫κα媫Rpu，ψαq“καèRpu，ψαq'λrα，λèRpu，ψαq.17粗糙和非粗糙HESTON模型之间的比较原则从Volterra积分方程ψα中减去它”καèRpu，ψαq我们得到（5.5）ψαpt，uq“λztrα，λpt'sqRpu，ψαps，uqds，ψα的另一个Volterra积分方程，现在涉及核λrλ，α。该核满足假设3.1和推论3.8的应用，得出ψps，uqdψαps，uq用于所有sdTα，λ。注意，情况（A）的域必须相对于Rpu，wq来确定，wq现在包括所有ud0。第（b）部分的剩余证明然后重复（a）部分的参数。推论5.2的证明。假设udλ{pρηq，并观察到t^Kαptq“#t，tatαKαptq tětα。因此，对于tatα，定理5.1已经涵盖了推论的主张，并且仍然需要处理情况tětα。从Kα的凹度来看，可以得出（5.6）Kαptq'Kαprqdκαprqpt'rqdt'rf用于所有tαrdt；注意，对于任何这样的r，καprqd1。此外，从定理3.5我们知道ψpKαptq，uqdψαpt，uq对于所有tě0。因此，zKαptqTαξpKαptq'sqRpu，ψps，uqds“tTαξpKαptq'KαpsqqRpu，ψpKαpsq，uqqκαpsqdsdtTαξpt'sqRpu，ψαps，uqqdsw我们使用了（5.6）和ξ在最后一个不等式中增加的假设。将此估计与zTαξpKαptq'sqRpu，ψps，uqqdTαξpt'sqRpu，ψps，uqqqpart（a）相结合。第（b）部分的证明类似，将Kα替换为Lα，λ，并使用（5.5）如定理5.1的证明。粗糙Heston模型S的临界动量与核κα，αP p1{2，1s，较低的核κα，αP p1{2，1s，1s的临界动量的比较。

最高临界力矩由u'αptq定义：“inftua0：ErSutsa8u，ta0，（6.1a）u'αptq：“suptua1：ErSutsa8u，ta0。（6.1b）众所周知，这些临界力矩为S的边缘分布的尾部行为编码了重要信息。此外，临界18 M.KELLER-RESSEL和A.MAJIDmoments可以用力矩爆炸时间asu'αptq写成：“inftua0：tatαpuqu，ta0，（6.2a）u'αptq：“suptua1：tatαpuqu，ta0。（6.2b）这表明，在uTh~ntαpuq的适当条件下，映射tThu'αpTqu是其分段逆映射函数。在α的情况下“1这确实是这样的情况，在下面的引理中变得精确，可以通过元素演算从Tpuq的表示（4.1）中得出：引理6.1。让ρ0和d定义为（3.4）. 函数uTh~nTpuqis是从p′8，d′q到p0，8q的严格递增连续函数，以及从pd′，8q到p0，8q的严格递减连续函数。其逆函数由相应域上的tTh~nu'ptq和tTh~nu'ptq给出，因此，（6.3）Tpuptqq“T，@Ta0。我们注意到，d正是所有u P rd'，d's的情况（B）和（C）与Tpuq“8之间的边界。在粗略的赫斯顿模型（αa1）中，目前只知道（从[GGP18]），uThTαpuq是单调函数（不一定严格意义上）在与Tpuq相同的域上。然而，就我们的目的而言，以下性质已经足够好了：直接从（6.2）可以看出，uau'αptq表示tatαpuq，uau'α表示tatαpuq。通过对比，我们得到了（6.4）tětαpuqù~nudu'αptq if uad'uěu'αptq if uad`。在案例（B）中，定理4.1，力矩爆炸时间Tαpuq的关键比较原则是基于Tpuq，而不是基于Tpuq。

因此我们还定义了ptq：“suptua1：tatpuqu，ta0，（6.5）u'ptq：”inftua0：tatpuqu，ta0。（6.6）注意，不存在uptq表示临界力矩的随机模型，因此我们将其称为临界伪力矩。在与表6.1的类比中，以下可以通过初等微积分从（4.4）引理6.2得出。设ρ0，设ρ0 d定义如下（3.4）并设置（6.7）Tcrit：“Tλρη˙”|ρ|πaλpλ'ρηq。函数uTh~nTpuq是从pλ{pρηq，d'qo到pTcrit，8q的严格递增连续函数，是从pd\'，8q到p0，8q的严格递减连续函数。其逆函数由各自的域，以及henceTpu'ptqq“T，@TaTcrit，Tpu'ptqq“t，@ta0。（6.8）我们现在准备陈述关于临界力矩的主要比较结果。粗糙和非粗糙HESTON模型之间的比较原则19定理6.3。让ρa0和集（6.9）Tcrit：“pαΓpαqTcritq1{α”Γpαq |ρ|πAλpλ'ρηq'1{α。然后粗糙HESTON模型的临界力矩满足'αptqěu^tααΓpαq˙@t p p0，Tcrits（6.10a）u'αptqěu'tαpαq˙@t p pTcrit，8q（6.10b）u'αptqdu'tαpαq˙@t p p0，8q。（6.10c）对于任何tdtα，不等式也仍然有效，tααΓpαq替换为t.Proof。第一观察到u'ptα{pαΓpαqqq在情形（A）的域中，当且仅当iftαΓpαqdTλρη˙“Tcrit，它很容易转化为TdTcrit”(R)αΓpαq |ρ|πAλpλ'ρηq,1{α。对于任何这样的T，使用定理4.1和（6.3），我们得到Tu^TααΓpαq˙Thm.4.1αΓpαqTu^TαΓpαq˙1{α（6.3）“αΓpαqTααpαq˙1{α”T.By（6.4），这意味着udu'αptq，显示了（6.10）的第一个不等式。