粗糙和非粗糙Heston模型之间的比较原则

其他两个不等式类似地显示，但由于情况（B）适用，必须使用临界伪矩uptq而不是uptq。最后一项权利要求源自以下事实：tdtα{pαΓpαqq表示所有tdtα，以及up.q和up.q的单调性。7、隐含波动率的应用从Roger Lee的工作【Lee04】中可以看出，瞬间爆炸和临界时刻与隐含波动率微笑的形状密切相关，无论是资金深度期权还是资金外期权。在本节中，我们将Lee\'smomet公式应用于我们的结果，并比较粗糙和经典Heston模型中微笑的渐近陡度。20 M.KELLER-Restel和A.MAJIDFor到期日为T的欧式期权的任何给定罢工K，设x“log'KS”表示对数货币性。设σivpT，xq为相关的隐含Black-Scholesvality，并将渐近隐含波动率斜率定义为（7.1）AIV'pTq“lim supx~n8σivpT，xq{x'。注意上标'表示左侧（'）和右侧（`）微笑的翅膀。我们还注意到，在大多数具有实际意义的模型中，如theHeston模型，“lim sup”可以被真正的极限所取代，例如，通过应用规则变化函数理论；参见[BF09]。然而，对于粗略的Hestonmodel，目前还存在一个悬而未决的问题，即（7.1）中的lim sup是否可以被真正的限制所取代。临界力矩和渐近隐含波动率斜率之间的关系由Lee力矩公式给出：命题7.1（[Lee04]）。对于所有的Ta0，它认为AIVS'pTq“p'u'pTqqT和AIVS'pTq“pu'pTq'1qT，其中'pyq“2'4pay'y'yq和u'pTq是临界力矩。将临界力矩的比较结果应用于命题7.1，我们得到以下结果。定理7.2。设ρ0，并设AIVS'αpTq和AIVS'pTq是粗糙响应中的渐近隐含斜率。

成熟度Ta0的经典赫斯顿模型。所有TdTcrit的NAIVs'αpTqěTα'1αpαqAIVS'Tαpαq'，Tcritas在（6.9）中。备注7.3。这一结果表明，对于小型成熟度，粗糙Heston模型中的左翼隐含效用斜率比非粗糙Heston模型中的明显陡峭。这补充了已知的at-the-money skewin粗糙模型的小时间行为结果，该模型以相同的速度爆炸，参见【Fuk17】。证据由于TdTcrit，我们可以应用定理6.3中的（6.10a）来估计较低的临界力矩。由于函数在Rě0上严格递减，粗糙和非粗糙HESTON模型之间的aA比较原则21命题7.1 yieldsAIVS'αpTq“'u'αpTq'Tě'u'pTααpαqq'Tα'1αpαq'u'pTαpαqq'Tα'1α5pαqAIVS'Tαpαq'。定理7.2在T中是非渐近的，可以由另一个在T中是渐近的结果补充，但也包含右翼隐含波动率斜率的信息。这里和下面，我们使用符号f ptq“gptqd~nlimt~n0f ptqgptq”1，f ptq'Agptqd~nlimt~n0f ptqgptqě1，并在指示时将其应用于其他极限（如t~n8）。定理7.4。让ρ259; 0和setC“π'2 arctanρa1'ρ184;，D”π'2ρa1'。在经典的赫斯顿模型，AIVp0q限值：“limt'O0AIVptq存在，由（7.2）AIVp0q给出“ηa1'ρ2C。在粗略的Heston模型中，它认为AIV'αpTq'ATα'1αΓpαqAIVS'p0q pas T~n0q（7.3a）AIV'αpTq'AC'DTα'1αpαqAIVS'p0q pas T~n0q（7.3b）备注7.5。这一结果表明，当T~n0时，粗糙Heston模型的右翼渐近隐含波动率斜率以与左翼渐近隐含波动率斜率相同的幂律速率爆炸。我们注意到，考虑到ρa0.Proof，区分左右翼估计值的常数C `{D始终在p0，1q范围内。我们首先分析Tpuq和Tpuq的行为为| u | ni8。

在本尾注中，从（3.3）可以看出puqa0表示| u |足够大，且thatlimu8cpuqa'puq“ρa1'ρ22 M.KELLER-RESSEL和A.MAJIDInserting进入（4.1），我们得到puq'u''1C'ηa1'ρpas u8q，并从（4.4）中得到puq'u'1Dηa1'ρpas u728q。临界（伪-）矩是矩爆炸时间和henceuptq't'1C'ηa1'ρpas t ni0qu'ptq't'1Dηa1'ρpas t ni0q的分段反函数。为了获得渐近隐含波动率斜率的小时间行为，需要将这些关系插入Lee矩公式中。第一注意Limε~n0p1{εqε”。因此，在关注右翼的情况下，我们得出结论，对于经典的Heston模型（7.4）limT~n0AIVS ` pTq“limT~n0pu ` pTq'1qT“ηa1'ρ2C”，在左翼也是如此。对于粗糙的Heston模型，我们使用定理6.3（同样在右翼）估计limT~n0αΓpαqTα'1AIVS'αpTq“limT~n0αΓpαqTαpu `αpTq'1qělimT~n0αΓpαqTαu'u'TαΓpαq'1'1'ηa1'ρ2D与（7.4）的比较（7.3b）。左翼的计算使用“u”代替“u”1，并给出Slimt~n0αΓpαqTα'1AIVS'αpTqěηa1'ρ2C'，完成证明。粗糙和非粗糙赫斯顿模型之间的比较原则238。数值说明在本节中，我们以图形方式说明并比较了矩爆炸（Thm.4.1）和渐近隐含波动率斜率（Thms.7.2和7.4）的界限，以具体选择粗糙赫斯顿模型的参数。我们设置ρ“'0.8，λ”2，η“0.2，和α”0.6，这对应于H“0.1的赫斯特参数，这接近于[GJR18]的基于挥发度的估计值。8.1。力矩爆炸时间。为了提供更好的可读性，我们使用以下符号：\'T\'KMpuq“$&%`αΓpαqTpuq1{αu sat.情况（a）\'pαqTpuq1{αu sat。

案例（B）表示定理4.1中引入的Tαpuq的组合上界，“TGGPpuq和TGGPpuq表示[GGP18]中定理4.1和4.2中引入的Tαpuq的上界和下界，”“Tα，aprxpuq表示爆炸时间Tαpuq的近似值，由[GGP18]中的算法7.5计算，在案例（A）中对u有效。图4显示了给定设置下力矩爆炸边界与近似值Tα，aprxpuq的比较。可以看出，在u“0”的两侧，边界T ` KMpuq比T ` GGPpuq更紧。数值实验证实，除了非常接近边界情况α外，这种关系在很大的参数范围内都存在“0.5.8.2隐含波动率渐近。在图5和图6中，我们说明了定理7.2和7.4中隐含波动率渐近斜率的边界。图中显示的边界如下所示：首先，我们使用Tpuq作为函数，通过数值根查找计算经典赫斯顿模型的临界矩uptq。然后，我们使用Lee矩公式确定AIVSpTq，经典Heston模型中的渐进隐含波动率斜率。然后，根据AIV计算定理7.2和7.4中粗略赫斯顿隐含波动率斜率AIVα的边界。在微笑的左翼（其中案例（A）适用于小T），我们通过对近似爆炸时间Tα，aprxpuq应用相同的程序，另外计算了AIV'αpTq的近似值。参考文献[AJLP17]EduardoAbiJaber、MartinLarsson和SergioPulido。Af fine Volterra过程。arXiv:1708.087961017.24 M.KELLER-RESSEL和A.MAJID0\'10\'2012案例（A）案例（B）案例（C）`（D）50100 150案例（B）<<图4。u P r'20、150s和α“0.6的粗糙Heston模型中力矩爆炸时间的界限。

灰色虚线曲线：我们的组合上界T\'KMpuq，绿色虚线曲线：T\'GGPpuq和T\'GGPpuq，来自[GGP18]，红色实心曲线：近似值Tα，实际爆炸时间的近似值，适用于udλρη“'12.5.0 0.25 0.5 0.750.10.20.30.40.50.6TAIVS'αpTqFigure 5。经典赫斯顿模型（蓝点）中的左翼渐进隐含波动率斜率（AIV'），粗糙赫斯顿模型（灰色虚线）的定理7.2的下界为α“0.6，以及AIV'αpTq的近似值，源自Tα，aprxpuq（红色实心），在（A）情况下有效，即，直到Tα，aprxpλ{pρηqq<<0.81。[AP07]Leif B.G.Andersen和Vladimir V.Piterberg。随机波动模型中的矩爆炸。金融与随机，11（1）：29–502007年1月。[Bat96]David S.Bates。跳跃与随机波动：汇率过程隐式指数期权。金融研究综述，9（1）:69–107, 1996.粗糙和非粗糙HESTON模型之间的比较原则250 0.25 0.5 0.750.020.040.060.08TAIVS `αpTqFigure 6。经典Heston模型（蓝点）中的右翼渐近隐含波动率斜率（AIVS `），以及α“0.6”的粗糙Heston模型（greydashed）的定理7.4中的渐近lowerbound（7.3b）。[BCC97]Gurdip Bakshi，Charles Cao和Zhiwu Chen。替代期权定价模型的实证表现。金融杂志，52（5）：2003-491997。[BF09]Shalom Benaim和Peter Friz。规则变化和微笑渐近。MathematicalFinance：国际数学、统计和金融经济学杂志，19（1）：1-12009。克里斯蒂安·拜尔、彼得·弗里兹、阿切尔·古利萨什维利、布兰卡·霍瓦思和本杰明·斯坦珀。粗略分数波动率模型中的短期近货币倾斜。QuantitativeFinance，19（5）：779–79812019年。Shalom Benaim、Peter Friz和Roger Lee。布莱克-斯科尔斯指数暗示了极端罢工时的波动性。

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