粗糙和非粗糙Heston模型之间的比较原则

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英文标题：
《A comparison principle between rough and non-rough Heston models - with
  applications to the volatility surface》
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作者：
Martin Keller-Ressel and Assad Majid
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We present a number of related comparison results, which allow to compare moment explosion times, moment generating functions and critical moments between rough and non-rough Heston models of stochastic volatility. All results are based on a comparison principle for certain non-linear Volterra integral equations. Our upper bound for the moment explosion time is different from the bound introduced by Gerhold, Gerstenecker and Pinter (2018) and tighter for typical parameter values. The results can be directly transferred to a comparison principle for the asymptotic slope of implied volatility between rough and non-rough Heston models. This principle shows that the ratio of implied volatility slopes in the rough vs. the non-rough Heston model increases at least with power-law behavior for small maturities.
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中文摘要：
我们给出了一些相关的比较结果，可以比较随机波动率的粗糙和非粗糙Heston模型之间的矩爆炸时间、矩母函数和临界矩。所有结果均基于某些非线性Volterra积分方程的比较原理。我们的力矩爆炸时间上限不同于Gerhold、Gerstenecker和Pinter（2018）提出的上限，对于典型的参数值更为严格。结果可以直接转化为粗糙和非粗糙Heston模型之间隐含波动率渐近斜率的比较原则。这一原理表明，对于小到期日，粗糙与非粗糙Heston模型中隐含波动率斜率的比率至少随着幂律行为的增加而增加。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> A_comparison_principle_between_rough_and_non-rough_Heston_models_-_with_applicat.pdf (513.72 KB)

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关键词：sto Est Mathematical Applications Differential

粗糙和非粗糙赫斯顿模型之间的比较原则——应用于挥发性表面Martin KELLER-Restel和ASSAD MAJIDAbstract。我们给出了一些相关的比较结果，可以比较随机波动率的粗糙和非粗糙Heston模型之间的矩爆炸时间、矩母函数和临界矩。所有结果都基于某些非线性Volterra积分方程的比较原理。我们的力矩爆炸时间上限不同于Gerhold、Gerstenecker和Pinter（2018）引入的上限，更严格的典型参数值。结果可以直接转化为粗糙和非粗糙Heston模型之间隐含波动率渐近斜率的比较原理。这一原理表明，对于小到期日，粗糙赫斯顿模型与非粗糙赫斯顿模型的隐含波动率斜率之比至少以幂律行为增加。1、导言众所周知，经典的随机波动率模型不能准确地产生所观察到的隐含波动率面的所有特征。特别是对于短期到期，人们经常看到，马尔可夫扩散驱动模型，如赫斯顿模型[Hes93]，产生的微笑比观察到的市场数据的隐含微笑更为明显和不那么令人厌恶[BCC97]。虽然股票价格动态增加跳跃可以缓解其中一些不足（参见[Bat96，JKRM13]），但最近出现的一种替代方法是粗糙波动率模型[GJR18]。在此类模型中，波动性由非马尔可夫随机过程建模，该过程类似于具有低赫斯特指数（例如H<<0.1）的分数布朗运动。除了隐含波动率的更现实行为外，波动率时间序列的计量经济学分析也支持粗糙波动率方法【GJR18，FTW19】。

虽然粗糙模型中隐含波动率的行为主要通过数值计算进行研究，但在[FZ17、GJRS18、FGS19]（短期和/或长期渐进性）和[Fuk17、BFG\'19]（货币倾斜的短期渐进性）中获得了分析结果。在这里，我们关注的是[ER19]的粗糙赫斯顿模型中隐含挥发力的机翼渐近（小走向和大走向）（另见[ER18]），该模型因其可跟踪性及其与精细过程的联系而越来越流行（见[AJLP17，GKR19，KRLP18]）。从[Lee04]的结果开始（另见[BFL09]），人们已经很好地理解了隐含波动率的翼渐近与基础随机模型中的动量爆炸密切相关（另见[FKR10]）。因此，Gerhold、Gerstenecker和Pinter对粗糙Heston模型中的力矩爆炸进行了首次研究【GGP18】。作者推导了力矩爆炸时间的下界M.KELLER-Resel和a.MAJIDand上界及其数值近似方法（在一定参数范围内有效）。我们以[GGP18]的结果为基础，推导出了粗糙赫斯顿模型（Thm.4.1）中力矩爆炸时间的新上界。我们的新界通常比[GGP18]的上界更紧，更重要的是，通过对经典Heston爆炸时间的变换，可以直接比较粗糙和非粗糙Heston模型。结果基于非线性Volterra积分方程的比较原理，并得出了许多进一步的比较结果：对于粗糙和非粗糙赫斯顿模型的矩母函数（Thm.5.1），对于它们的临界矩（Thm.6.3），最后是对于微笑翅膀中隐含的波动率斜率。

我们强调定理7.2，这涉及（负杠杆）粗糙赫斯顿模型中左翼隐含波动率（AIVS'αpTq）的渐近斜率，该斜率依赖于成熟度T和粗糙度参数α“H”。该斜率可以由非粗糙赫斯顿模型（AIVS'pTq）的时变和重标度斜率下界asAIVS'αpTqěTα'1αpαqAIVS'Tαpαq'对于小于特定阈值Tα的所有T。定理7.4.2给出了同样适用于右翼的稍微较弱的结果。预备工作2.1。粗略的赫斯顿模型。我们考虑了风险中性资产价格S的粗赫斯顿模型[ER19，ER18]，现货方差为V，由DST“StaVtdWt（2.1a）Vt”给出的V′tκαpt'sqλpθpsq'Vsqds′ηtκαpt'sqaVsdBs（2.1b），其中V，λ和η为正，θp LlocpRě0，Rě0q，pB，Wq为布朗运动，具有常数相关性ρp p'1，1q和κα为幂律核καptq“pαqtα'1，αp p，1s。如[ER19，p，1s]所示第2.1条]V与指数inr0α'q是H¨older连续的，因此α控制方差过程V的“粗糙度”。粗糙赫斯顿模型的其他重要属性，如货币隐含波动率斜率的衰减，也与参数α有关，参见【ER19，第5.2节】。在特定情况下，α“1，核变为常数，即κ”1和V可以用熟悉的SDE形式（2.2）dVt“λpθptq'Vtqdt'ηaVtdBt来表示。在这种情况下，Vq成为具有时变均值回归水平的扩展Heston模型，正如[B–uh06，Ex.3.4]在方差曲线模型的上下文中所考虑的那样。如果θ也是常数，则[Hes93]的Heston模型（“经典赫斯顿模型”）已恢复。粗糙和非粗糙HESTON模型之间的比较原则32.2。粗糙赫斯顿模型的矩母函数。

我们的比较原理基于X“log S的矩母函数，该函数已在[ER18]和[GGP18]中进行了研究。定义了α-粗糙赫斯顿模型（2.3）Tαpuq的矩爆炸时间：“sup！Tě0:E”euXti259; 8），u P和二次多项式（2.4）Rpu，wq：“upu'1q'wpρηu'λq'ηw，在[Hoh98]的意义上可以被视为赫斯顿模型的‘符号’。此外，用iαf ptq：“Γpαqztpt'sqα'1f psqds”和Dαf ptq：“ddtI1'αtf ptqt”表示黎曼-刘维尔左侧分数阶积分和导数算子粗糙赫斯顿模型的矩母函数由以下结果给出：定理2.1(【ER18，GGP18】）。在粗略的赫斯顿模型中，对数价格X“log Ssatis fies（2.5）E“euXti”exp^λztθpt'sqψαps，uqds'VI1'αtψαpt，uq'对于所有u P R，t P r0，tαpuqq和ψαP¨，uq求解分数Riccati方程（2.6）Dαψαpt，uq“Rpu，ψαpt，uqq，I1'αψαp0，uq”0。对于非粗糙Heston模型（i.E，α“1）算符I1'α消失，Dα变成普通导数，分数Riccati方程（2.6）变成熟悉的Riccati方程。此外，在经典Heston情况下，解ψ和力矩爆炸时间Tpuq是明确已知的（参见[AP07，KR11]）。上述定理由以下结果补充：定理2.2（[GGP18]）。分数Riccati方程（2.6）等价于RiccatiVolterra积分方程（2.7）ψαpt，uq“ztκαpt'sqRpu，ψαps，uqd和tαpuq”^tαpuq，其中（2.8）^tαpuq：“sup ttě0：ψαpt，uqa8u。关于（2.6）和（2.7）的等价性，另请参见[KST06，Thm.3.10]。定理的第二部分指出，函数tTh~nE“euXt‰”和tThαpt，uq同时爆破是的。

因此，（2.7）的解ψα包含了在粗糙Heston模型中分析力矩和力矩爆炸所需的所有相关信息。关于更一般的核κ和多变量推广（‘af fine Volterraprocesses’）的相关结果可在[AJLP17，GKR19]4 M.KELLER-Restel和A.MAJID2.3中找到。校准前向方差曲线。给定一个随机波动率模型和即期方差过程V，相关的前向方差曲线由（2.9）ξpTq给出：“ErVTs，并代表市场对未来方差的预期。我们很清楚，远期方差与方差掉期和其他依赖于波动性的产品的价格密切相关，对于这些产品，远期方差曲线与利率的远期曲线具有类似的作用。在拉夫赫斯顿模型（2.1）中，从[ER18，Prop.3.1]中可以看出这一点（另请参见[KRLP18]）前向方差曲线由（2.10）ξpTq“V1'Trα，λpsqds''TθpT'sqrα，λpsqds给出，其中rλ，α是λκα的所谓预解式，由（2.11）rλ，αpTq“#λTα'1Eα，αp'λTαq，αp p0，1qλe'λTα”1给出，其中eα，α表示Mittag Lef FLER函数，参见【HMS11】。给出一个具有适当规律性的方差曲线ξ，方程（2.10）可以对θ进行反演和求解，对于解（2.12）θptq“λDαpξptq'Vq'ξptq，另请参见[ER18，Rem.3.2]。我们将选择θp.q的模型称为校准到给定前向方差曲线的模型。对于校准模型，矩生成函数（2.5）可以用方差曲线ξp.q而不是θp.q表示，并写成（2.13）E“euXti”“exp^ztξpt'sqpRpu，ψαps，uqq'λψαps，uqqds'，对于所有u P R，t P r0，tpuqq，请参见[KRLP18]。

Riccati-Volterra方程的比较原则rough Heston模型中的力矩、力矩爆炸时间和隐含波动率的比较结果将全部来自Volterra-Riccati积分方程（2.7）的比较结果。事实上，本节中的比较结果是针对更一般的Volterra积分方程（3.1）ψκpt，uq公司“tκpt'sqRpu，ψκps，uqds，其中仅对核κ施加以下假设：假设3.1。核κ”为非负且递减，且对所有ta0都满足tκpsqdsa8。粗糙和非粗糙HESTON模型之间的比较原则5显然，该假设包括所有αP p0，1s的幂律核κα。我们对符号的滥用很轻引入的ve不应引起任何混淆：ψκ表示一般核κ的（3.1）解；ψα表示幂律核κα；和ψ表示普通Heston情况κ“1。解ψκ的性质，特别是其最大寿命，关键取决于Rpu，wq的性质。如【GGP18】所示，我们区分以下情况，如图1（A）Rpu、0qa0和BwRpu、0qě0、（B）Rpu、0qa0和BwRpu、0qa0和Rpu、¨q没有根、（C）Rpu、0qa0和BwRpu、0qa0和Rpu、¨q有正根、（D）Rpu、0qd0。wRpu、wqcase（A）wRpu、wqcase（B）wRpu、wqcase（C）wRpu、wqcase（D）图1。Rpu¨q的示意图，其中u P R满足情况（A）、（B）、（C）或（D）。这些情况可以通过将熟悉的二次方程理论应用于多项式Rpu，wq来分析。按照[GGP18]中的符号，我们将Rpu，wq重写为（3.2）Rpu，wq“cpuq`cpuqw`ηw，系数为“upu'1q，cpuq”ρηu'λ。wTh~nRpu，wq的判别式由（3.3）给出puq“'pρηu'λq'ηpu'uq'。6 M.KELLER-Resel和A.MAJIDIf，且仅当puq为正，Rpu，¨q有两个实根，位于ηp'cpuqapuqq。

在ρa0的情况下（这在应用中是典型的），这导致以下分类，如下图3所示：引理3.2。假设ρa0表示puq by（3.4）d：“η'2ρapη'2ρq'4λp1'ρq2ηp1'ρq。然后λρηd'0；1ad'和'u saties case（A）d~nudλρηηηη，u satis case（B）d~nu P Pλρη，d'，8q，'u satis case案例（C）d~nu P rd'，0qYp1，d'，案例（d）d~nu P r0，1s.证明。案例映射（A-d）相应的间隔基于以下观察：Rpu，0q“cpuq在r0、1s上为负，外部为严格正；BwRpu，0q”cpuq在udλρη上为正，其他地方为严格负。最后，判别式Wu的puq，wq在rd'内为正，在rd'外为负。还需要说明d的所述不等式。直接从（3.4）中可以看出，d'a0和d'ě2pη'2ρq2ηp1'ρqě1'ρ261; 1。最后，e^λρη˙“'4ρpλ'λρηqa0表明λρηd'。如果sκpsqds“8，则上述四种情况与ψκ的性质有以下联系：”“在情况（A）和（B）中，解ψκ在有限的时间内爆炸。”“在情况（C）和（D）中，解ψκ全局存在。在幂律情况κ”κα中，这已在[GGP18]中显示出来。”. 然而，我们的目标不仅仅是描述ψκ全局存在的域，而是在ψκ和非拉夫赫斯顿解ψ之间给出更明确的比较原则。此类比较结果已在非爆炸性案例（C）中的【GKR19，附录A】中给出，我们将把这些论点推广到所有情况（A-D）。为了得出这些结果，让WPUq：“\'cpuqη”\'ηpρηu'λqA粗糙和非粗糙HESTON模型7之间的比较原则表示wTh~nRpu、wq和wpuq的全局最小值的位置：“η'cpuq'2apuq？其第一根的位置，无论何时 puqě0。下一个引理与[GKR19，Lem]密切相关。

A、 3）。引理3.3。设u P R和Qpu，由（3.5）Qpu定义，wq：“zwdζRpu，ζq，w P R。此外，我们定义了nevpuq：“a'”puq▄π'arctan▄cpuqa'puq,,，vpuq：“apuqlog▄cpuq▄2apuqcpuq'2apuq,。（a） 如果满足情况（a）和 puqa0，函数Qpu¨q映射r0，8q到r0，vpuqq，严格递增，并且有一个逆q'1pu¨q，它映射r0，vpuqqo到r0，8q。如果puqa0，vpuq必须替换为vpuq。（b） 如果u满足情况（b），则与（a）中相同的断言成立（限制条件是只需要vpuq）。（c） 如果满足情况（c），则认为wpuqa0和函数Qpu¨q mapsr0，wpuqq到r0，8q严格递增，并且具有反向q'1pu¨q，将r0，8q映射到r0，wpuqq。（d） 如果满足情况（d），则认为wpuqa0和函数Qpu¨q mapspwpuq，0s到r0，8q是严格递减的，并且具有反向q'1pu¨q，将r0，8q映射到pwpuq，0s。备注3.4。虽然引理主要是关于函数Qpu，wq，从Tpuq可以写成asTpuq“limw~n8Qpu，wq”zdζRpu，ζqin情况（A）和（B），参见[KR11，第6.1节]这一事实，可以明显看出与赫斯顿模型中力矩爆炸的联系。证据。（A）由于被积函数1{Rpu，ζq在r0上为正，如果usatis情况（A）为8q，我们可以得出结论，Qpu，¨q严格地在增加。它只是表明积分达到极限vpuq resp。vpuq。如果puqa0，我们得到limw~n8Qpu，wq“dζRpu，ζq”a'puqarctan？ηw\'cpuqa'puq,“vpuq，8 M.KELLER-RESSEL和A.MAJIDand ifpuqa0，我们得到了zdζRpu，ζq“apuqlog^ηw\'c\'2apuqηw\'c\'2apuq˙ˇˇˇˇ“vpuq.（b）限制为puqa0，案例（B）的证明类似于（a）。（c） 在案例（c）中，我们可以提出类似的论点，因为被积函数1{Rpu，ζq在r0，wpuqq上为正。

如果我们将上述积分的上限替换为wpuq，则断言如下。（d） 案例（d）的证明类似于（c），只需考虑Rpu的不同符号¨q onpwpuq，0s。现在，我们准备将[GKR19，附录A]的结果调整到我们的框架中。定理3.5。设u P R.（a）如果u满足情形（a），则ψκP¨，uq满足（3.6）0dψ^ztκpsqds，u˙ψκpt，uq，tě0。（b） 如果u满足情况（b），则ψκp¨，uq满足（3.7）0dψ^tκpsqds，u˙ψκpt，uq，tě0，其中ψ是ψpt的解，uq“ztR\'u，ψps，uqds，tě0，R由（3.8）Rpu，wq给出：“#Rpu，wpuqq wdwpuqru，wq wawpuq。（c）如果u满足情况（c），则ψκp¨，uq全局存在，且满足（3.9）0dψκpt，uq^tκpsqds，u˙wdpuq，tě0。（d）如果u满足情况（d），则ψκp¨，uq在全球存在且满足（3.10）wpuqaψ^ztκpsqds，u˙ψκpt，uqa0，tě0。备注3.6。（3.8）中引入的函数wTh~nRpu，wq应解释为增加wTh~nRpu，wq的下包络，即从下方将其包围的最大增加函数。粗糙和非粗糙赫斯顿模型之间的比较原则9Proof。根据[GLS90，Thm.12.11]，方程（3.1）在一些非空时间间隔r0，Tκpuqq上有一个连续的局部解ψκp¨，uqo。此外，ψκp¨，uq可以延续到（但不能超过）存在的最大区间r0，^Tκpuqq，该区间向右开放，对于^Tκpuqa8，它认为（3.11）lim supt^Tκpuqψκpt，尤其是，这意味着^Tκpuq可以写成^Tκpuq“suptta0：ψκpt，uqa8u，与（2.8）一致。（a）让u满足情况（a）。回想一下非粗糙Hestonmodel中的Riccati方程：（3.12）Btψpt，uq”Rpu，ψpt，uqq。我们声称其解满足（3.13）Qpu，ψpt，uqq”T，@T P r0，^Tpuqq，其中Q由（3.5）给出。