具有后向鞅约束的最优运输问题

引理2.9给出了概率测度η（dx，dy）=（1）的不等式（12）- t） δ（x，y）（dx，dy）+tδ（x，y）（dx，dy），其中t∈ [0，1]，（xi，易）∈ suppγ和δ（xi，yi）是集中在（xi，yi）的狄拉克测度，i=0，1。s uchη（12）变为（7）的初等计算。定理2.2的断言（b）和（c）的等价性是引理2.12的一个特例，其p屋顶依赖于（7）的以下几何解释。图1显示了参数。引理2.11。设xind-yi，i=0，1，是r中y<y的点。然后（7）保持i f，并且仅当对于所有ai<c（xi，yi），i=0，1，双曲线的图形（s）=y+as- y、 s>y，h（s）=y+as- y、 s<y，不相交：h（s）<h（s），s∈ （y，y）。证据结果由恒等式得出：（h（s）- h（s））（s- y） （y）- s） =（y- y） （s）- y） （y）- （s）- a（y- （s）- a（s）- y） =（y- y）t（1- t） c（y，y）- (1 - t） a- 助教,其中s∈ （y，y）和t=（s- y） /（y- y） 。引理2.12。对于集合a R×R下列条件是等价的：（i）如果点（x，y）和（x，y）属于A，则（7）成立。（ii）有G∈ M使得c（x，y）≤ φG（y），（x，y）∈ A、 证明。我们首先观察到，在（i）或（ii）下，c（x，y）≤ 0，（x，y）∈ A、 事实上，在（i）下，这个不等式来自（7），而在（ii）下，它保持不变，因为φG≤ 0、我们定义了开放设置BI=∪（x，y）∈ABi（x，y），i=0，1，其中，对于（x，y）∈ A、 B（x，y）=z∈ R： c（z，y）<c（x，y），z>y=z∈ R： z<y+c（x，y）z- y、 z>y,B（x，y）=z∈ R： c（z，y）<c（x，y），z<y=z∈ R： z>y+c（x，y）z- y、 z<y.i=0，1的Bi的界分别是递增双曲线图的上包络和下包络，因此是最大单调集。根据引理2.11，当且仅当集合带不相交时，第（i）项成立：B∩ B=. （14） 另一方面，当且仅当闭合setC=∩（x，y）∈A.z∈ R： c（x，y）≤ c（z，y）包含一个极大单调集G。

AsC=R\\B∪ B,每个这样的集合G分离带B。因此，它的存在产生（14）和（i）。相反，如果集合带裸不相交，则它们的三元组属于C。由于边界是最大Monotone集合，我们得到（ii）。定理的其余断言来自引理2.14。不平等发挥了关键作用（15）。引理2.13。Letγ∈ Γ（ν）和u为其x-边缘。例如非常∈ 我们有γ（φG（y）- c（x，y）| x）≤ φG（x）≤ 0，γ-a.s.，然后是thatZφG（y）dν-Zc（x，y）dγ≤ZφG（x）du≤ 0.（15）证明。我们只需要用条件期望证明不等式。来自LemmaB。我们知道φG≤ 当x=γ（y | x）时，我们推导出∈ R： γ（c（y，R）- c（x，y）| x）=c（x，r），γ-a.s.，并在r的稠密可数集上获取inf∈ G获得结果。下面的引理完成了定理的证明。引理2.14。Letγ∈ Γ（ν），u为其x-边缘，G∈ M为zc（x，y）dγ≤ZφG（y）dν。（16） 然后在（16）中，我们实际上得到了等式，γ是（5）的最优方案，集合G包含suppu，c（x，y）=φG（y）=minr∈Gc（r，y），（x，y）∈ 补充γ。（17） 证明。我们将为φG写φ。从（15）和（16）我们推断γ是（5）的解，在（16）中我们有一个等式，zφ（x）du=0。引理B.1指出φ≤ 0和G=x个∈ R： φ（x）=0. u（G）=1。作为闭合集，G包含suppu。特别是，如果（x，y）∈ suppγ，然后x∈ G、 它遵循C（x，y）≥ infr公司∈Gc（r，y）=φ（y），（x，y）∈ 补充γ。考虑到（16），我们推导出c（x，y）=φ（y），γ-a.s。。因此，对于每个（x，y）∈ suppγ我们可以找到一个序列{（xn，yn）} suppγ收敛于（x，y），且c（xn，yn）=φ（yn），n≥ 1、函数φ是上半连续的，因为它是连续函数的逐点函数。

下面是c（x，y）=limn→∞c（xn，yn）=limn→∞φ（yn）≤ φ（y），得到（17）。3对偶问题从定理2.2和引理2.13来看，（5）istomaximizeZφGdνover G的一个自然对偶问题∈ M、 （18）Rochet和Vila（1994）在与insider研究Kyle型Equilibrium时出现了此类问题；参见第6节。他们使用基于闭图对应空间性质的directmethod，并假设ν具有紧支撑密度。我们记得G=x个∈ R： φG（x）=0, G∈ M、 因此，Ris中所有最大单调集的族M与函数族Φ，{φG:G一一对应∈ M} 。因此，（18）等价于问题，wher e wemaximizeZφdνoverφ∈ Φ.集合Φ的一个技术不便是缺少凸性。结果表明，由Φ元素支配的函数集不仅是一个凸集，而且允许与2.2中的（b）项相关的自包含描述。引理3.1。Letφ：R→ [- ∞ , 0]是一个Borel函数。然后φ≤ φG部分G∈ M当且仅当（1- t） φ（y）+tφ（y）≤ t（1- t） c（y，y），y，y∈ R、 t型∈ [0, 1]. （19） 这类函数的集合φ是凸的。证据结果直接来自Lemma2.12=（x，y）∈ R×R:c（x，y）=φ（y）.显然，满足（19）的函数族φ是凸的。定理3.2。Letν∈ P（R）。我们有最小γ∈Γ（ν）Zc（x，y）dγ=最大值∈MZφGdν，其中上界和下界分别在（5）和（18）的解处获得。概率测度γ∈ 当且仅当ifc（x，y）=φG（y），（x，y）时，Γ（ν）和一个极大单调集就有这样的解∈ 补充γ。（20） 在这种情况下，G包含γ的x-边缘的支撑。此外，φG和G在suppν上唯一定义，即φG（y）=φeG（y），y∈ 支持，G∩ SUPν=eG∩ 补充ν，适用于（18）的任何其他溶液。特别地，φ和G是唯一的ifsuppν=R.Proof。

除了唯一性部分之外，所有其他断言都直接来自于theorem2.2、引理2.13和d2.14。设γ是（5）的解，G和G是（18）的解，并表示φ=φ和φ=φeG。从（20）中，我们推导出函数φ和φ在Py上与suppγ在y坐标上的投影重合。自每年起∈ suppν是序列的极限ce（yn） Py，LemmaB。3得出φ（y）=limn→∞φ（yn）=limn→∞eφ（yn）=eφ（y）。我们证明了φGon suppν的唯一性。G onsuppν的唯一性保持为G=x个∈ R： φG（x）=0.4最佳映射为了简化符号，我们稍微修改了s设置。我们从二维随机变量Y=（Y，Y）开始，有一个有限的二阶矩：Y∈ L=L(Ohm, F、 P）。像往常一样，我们识别随机变量，这些随机变量与一组度量值零不同。我们的目标是在X上最小化E（c（X，Y））∈ X（Y）（21）对于相同的成本函数c（X，Y）=（X- y） （十）- y） 和域X（y），X=（X，X）∈ 五十： X是Y-可测量的，E（Y | X）=X.我们表示ν=定律（Y），并观察该定律（X，Y）∈ Γ（ν）每X∈X（Y）。因此，最优规划问题（5）可视为最优地图问题（21）的Kantorovich型松弛。通常，最小γ∈Γ（ν）Zc（x，y）dγ≤ infX公司∈X（Y）E（c（X，Y）），（22）和不等式可能是严格的，并且在示例5.2和5.3中可能不存在最优映射。本节的主要结果是定理4.1、4.5和4.6。定理4.1给出（22）中的等式，前提是ν=定律（Y）是无原子的。定理4.5表明，如果ν在定义4.4的意义上是D正则的，则存在一个最优映射。定理4.6建立了最优规划和地图的唯一性，前提是每个组成部分都有一个连续分布函数。最后两个定理在第6节的平衡研究中起着关键作用。我们将使用附录B中与函数φ=φG相关的符号，其中G∈ M

特别是，Dc=（Dc，Dc）表示与成本函数c=c（x，y）相关的微分器：Dcφ（y）=y-φy（y），Dcφ（y）=y-φy（y），y∈ domφ、 其中domφ是φ可微分的点集。我们用EG=EG表示∪ G的垂直和水平线段的并集：EGi（t）={x=（x，x）∈ G：xi=t}，t∈ R、 TGi公司=t型∈ R:EGi（t）有多个点,EGi=∪t型∈TGiEGi（t），i=1，2。（23）很明显，集合（TGi）是可数的。最后，我们定义gg（y）=arg minx∈Gc（x，y）={x∈ G：φG（y）=c（x，y）}，dom ArgG=y∈ R： ArgG（y）6=.以下结果类似于针对经典无约束最优运输问题获得的Atelli（2007）的结果。定理4.1。设Y=（Y，Y）∈ 假设ν=定律（Y）是无原子的。然后，规划和映射问题（5）和（21）的值相同：minγ∈Γ（ν）Zc（x，y）dγ=in fX∈X（Y）E（c（X，Y））。定理的证明依赖于一些引理。引理4.2。Letν∈ P（R），γ∈ Γ（ν）是（5）和g的最优方案∈ M是（18）的最大值。如果ν（G）>0，则概率测度η（dx，dy）=ν（G）{y∈G} γ（dx，dy）具有鞅性质：η（y | x）=x。我们为φG写φ。我们将显示η（y | x）=x，即zf（x）（y- x） dη=ν（G）Zf（x）（y- x） 1{y∈G} dγ=0，（24）对于R上的每个有界Borel函数f，第二坐标的鞅性质有类似的证明。设E=EG=∪t型∈TE（t）是g的水平线段的积分。If（x，y）∈ suppγ，那么Th eorem3.2产生x∈ G和c（x，y）=φ（y）。此外，如果y∈ G\\E，然后c（x，y）=φ（y）=0，然后x=y。因此，（24）保持ifZf（x）（y- x） 1{y∈E（t）}dγ=0，t∈ T、 （25）此后，我们将∈ T、 Let（x，y）∈ sup pγ。如果y∈ E（t），然后c（x，y）=φ（y）=0，因此，x∈ E（t）。相反，如果x∈ Rie（t），E（t）的相关内部，然后是LemmaB。4在y处产生th∈ 然后，当c（x，y）=φ（y）=0时，y∈ E（t）。

因此，{y∈E（t）}=1{x，y∈E（t）}=1{x∈Rie（t）}+1{x=a（t），y∈E（t）}+1{x=b（t），y∈E（t）}，其中a（t）和b（t）是E（t）的边界点，使得a（t）<b（t）。考虑γ的鞅性质，我们得到了zf（x）（y- x） 1{x∈Rie（t）}dγ=0。让y∈ Rbe使得φ（y）=c（b（t），y）。如果y 6∈ G、 然后是LemmaB。4得出b（t）>y。如果y∈ G\\E（t），然后c（b（t），y）=φ（y）=0，因此，b（t）=y。最后，如果y∈ E（t），然后b（t）≥ y、 下面是z | x- y | 1{x=b（t），y∈E（t）}dγ≤Z（x- y） 1{x=b（t）}dγ=0，在最后一步中，我们使用了γ的m artin gale性质。左边界a（t）的情况类似。我们已经证明了（25）。引理4.3。让G∈ M和X=（X，X）和Y=（Y，Y）是随机变量，因此X取G，X1{Y中的值∈G}=Y 1{Y∈G}，andc（X，Y）=φG（Y）。如果Y的定律是无原子的，那么每>0，就会有一个随机变量Z=Z（），这样L aw（Z）=定律（Y），Z- Y |≤ ，andX是Z-可测的。证据我们f>0，表示φ=φG，Arg=ArgG，d=dom Arg \\（domφ ∪ G） 。理论SB。6和B.12表明D=∪nDn，其中dn是一个点或严格递减函数的图。当然，我们可以选择这些集合（Dn），使其直径Dn，supx，y∈Dn | x- y |≤ ，n≥ 1、每n≥ 1我们将构造一个二维随机变量Zn=（Zn，Zn）和一个Borel函数fn:Dn→ G这样的定律（Zn{Y∈Dn}）=定律（Y 1{Y∈Dn}），X1{Y∈Dn}=fn（Zn）1{Y∈Dn}。（26）给定这些对的顺序（Zn，fn），n≥ 1，我们定义为Y 1{Y∈domφ∪G} +XnZn{Y∈Fn}，f（y）=y1{y∈G} +直流φ（y）1{y∈domφ\\G}+Xnfn（y）1{y∈Fn}。其中Fn=Dn \\∪k<nDk。我们有定律（Z）=定律（Y）=ν和| Z- Y |≤ . 此外，鉴于TheoremB。6，X=f（Z）。因此，（26）是我们需要获得的全部。使用事件{Y的条件概率∈ Dn}，我们可以将一般情况简化为∈ D={（t，h（t））：t∈ [t，t]}，对于一些严格递减函数h=h（t）。

由于ν是无原子的，所以每个成分Yi都有一个连续分布函数ai（t）=P（Yi≤ t） ，i=1，2。结果表明，U=a（Y）在[0，1]andY=a上具有均匀分布-1（U），其中a-1是a的伪inver se函数：a-1（t）=inf{s∈ 【t，t】：a（s）≥ t} ，t∈ [0, 1].特别地，Y=（Y，h（Y））是U-可测量的。LemmaB。16产生Borel函数gi:D→ G、 i=1，2，这样X=G（Y）或X=G（Y）。函数sbi（t）=P（U≤ t、 X=gi（Y）），t∈ [0，1]，i=1，2，是连续且递增的，随机变量v=b（U）1{X=g（Y）}+（b（1）+b（U））1{X=g（Y）}在[0，1]上具有均匀分布。显然，U和指标（1{X=gi（Y）}）是V-可测量的。因此，Y和X也是V可测的。S设置Z=a-1（V），Z=h（Z），我们得到Z=（Z，Z）与Y有相同的定律，V=a（Z），X是Z-可测的。定理4.1的证明。设γ为（5）的最优方案。如果有必要，通过扩展g下的概率空间，我们可以假设γ=某个随机变量X的定律（X，Y）。当γ（Y | X）=X时，我们得到了X=E（Y | X）。理论2.2收益率G∈ M使得X∈ G和c（X，Y）=φG（Y）。我们表示ex=X1{Y 6∈G}+Y 1{Y∈G} 观察eγ=定律（eX，Y）是另一个最优方案。实际上，通过引理4.2，E（Y）- 十） 1{Y∈G}十、= 因此，对于R，E上的有界Borel函数g=g（x）（Y）-eX）g（eX）= E（Y）- 十） g（X）1{Y 6∈G}= E（（Y- 十） g（X））=0。因此，EY | eX=因此，eγ∈ Γ(ν). 通过X的构造，我们得到c（X，Y）=c（eX，Y），eγ的最优性如下。这个事实允许我们从一开始就假设X1{Y∈G}=Y 1{Y∈G}。Th en，x和Y满足引理4.3的假设。设>0，Z=Z（）为引理4.3产生的随机变量。当X是Z-可测时，条件期望V，E（Z | X）也是Z-可测的。因此，存在一个Borel函数f:R→ Rsuch thatV=f（Z）。

由于Y和Z具有相同的定律，U，f（Y）=E（Y | U）。As | Vi- Xi |=| E（Zi- Yi | X）|≤ E（| Z- Y | | X）≤ ，i=1，2，我们推导出E（c（U，Y））=E（c（V，Z））=E（ZZ）- E（VV）≤ E（YY）- E（XX）+E（| X |+| V |）≤ E（c（X，Y））+E（| Y |+| Y |）。结果如下，因为是任何正数。设D是在R的闭区间上定义的严格递减函数f=f（t）的图族，使得f及其逆f-1areLipschitz函数：K（t- （s）≤ f（s）- f（t）≤ K（t- s） ，s<t，对于某些常数K=K（f）>0。为了缩短语句，我们允许f的域只是一个点的退化情况。因此，R D、 定义4.4。Ris D-正则上的Borel概率测度u，如果u（D）=0，D∈ D、 下面的定理证明了诱导最优计划的最优映射的存在性。定理4.5。设Y=（Y，Y）∈ 假设ν=定律（Y）是正则的。让G∈ M是（18）的最大化子，表示φ=φGandE=EG。然后x=Y 1{Y∈E} +直流φ（Y）1{Y 6∈E} 是（21）的最优映射f，γ=律（X，Y）是（5）的最优规划，X的律是D正则的。此外，ifeX是最优映射，eγ是非最优规划，thenX1{Y 6∈E} =eX1{Y 6∈E} ，（27）{y6∈E} γ（dx，dy）=1{y6∈E} Eγ（dx，dy）。（28）证明。设eγ∈ Γ（ν）是最佳计划。根据定理3.2，我们推导出if（x，y）∈ 补充eγ，然后是y∈ dom Arg=dom ArgG。特别是，ν（dom Arg）=1。根据定理B.12，异常集dom Arg\\domφ属于D中一个可数集族的E=EGand的并集。由于ν=Law（Y）是D-正则的，我们得到了ν（domφ\\E）=ν（dom Arg \\E）=1- ν（E）。（29）由此得出，随机变量X=（X，X）定义良好。TheoremB。6表示如果y∈ domφE，那么Dcφ（y）是Arg（y）的唯一值。下面是X∈ G和φ（Y）=c（X，Y）。

根据定理3.2，γ，如果定律（X，Y）具有鞅性质：γ（Y | X）=X，则它是一个最优方案∈ 供应γ和γ∈ domφE，则定理3.2和B.6表示x=Dcφ（y）。由于γ和eγh具有共同的y-边缘ν满足（29），因此它们在R×e之外重合，即（28）保持不变。设f=f（x）是R.As（Y）上的有界Borel函数-十） 1{Y∈G}=0，我们推导出z（y- x） f（x）dγ=Z（y- x） f（x）1{y6∈G} dγ=Z（y- x） f（x）1{y6∈G} deγ=-Z（y- x） f（x）1{y∈G} deγ=0，其中最后两个等式分别来自eγ和Lemma4.2的鞅性质。因此，γ（y | x）=x。我们证明了γ是非最优规划，尤其是x是最优映射。最优地图的不唯一性（27）直接遵循最优计划的相应属性（28）。只能证明u，定律（X）是D正则的。As suppuG和G与D的任意集的交点是一个点，u是D-正则的，仅当它是无原子的。相反，对于一些∈ G并定义Borel概率测度η（dy）=u（{r}）γ（{r}，dy）。由于是D-正则的，测度ν是无原子的。因此，u（{r}）η（G）=γ（{r}×G）=P（X=r，Y∈ G） =P（Y=r）=ν（{r}）=0。从γ的周期性，我们推导出suppη D（r），y∈ R： φ（y）=c（R，y）然后η（D（r）\\G）=1>0。γyieldsthatRydη=r的鞅性质。η的最后两个性质以及φ<0超出G意味着y，y的存在∈ D（r）\\G使得y<r<y，y<r<y。5，D（r）属于严格递减线性函数的图，因此属于D。由于ν是D-正则的，我们得出一个矛盾：u（{r}）=γ（{r}×D（r））≤ ν（D（r））=0。现在，我们陈述了论文的主要唯一性结果，这可以看作是经典Brenier定理对我们的设置的一种改编。

我们指出，我们对ν的正则性假设弱于Brenier定理的标准条件，该条件要求ν指定Lipschitz函数图的零质量扭转。定理4.6。设Y=（Y，Y）∈ 假设ν=定律（Y）是正则的，而（一维）定律是无原子的。出租汽车∈ M是（18）的最大化子，表示φ=φG。然后X=Dcφ（Y），或者更详细地说，X=Dcφ（Y）=Y-φy（y），X=直流φ（y）=y-φy（y）是（21）的唯一最优映射，（X，y）定律是（5）的唯一最优规划。此外，X定律是D正则的，X和Xare定律是无原子的。证据我们在与其垂直和水平线段相关的符号（23）中省略了G。由于yi定律是无原子的，集合ti是可数的，我们推导出ν（E）=P（Y∈ E）≤Xi=1P（Y∈ Ei）=Xi=1P（Yi∈ Ti）=0。除了X和X的分布函数的连续性之外，所有其他断言都直接遵循定理4.5。我们将证明Xis定律是无原子的。如果t 6∈ T、 那么集合E（T）是一个单态：E（T）={z}。根据定理4.5，X定律是D-正则的，尤其是无原子的。因此，P（X=t）=P（X=z）=0。让t∈ T、 引理B.4表明如果x∈ Rie（t）和φ（y）=c（x，y），然后c（x，y）=0，然后，y∈ E（t）。作为X∈ G、 φ（Y）=c（X，Y），并且X的定律是无原子的，我们得到P（X=t）=P（X∈ E（t））=P（X∈ ri E（t））≤ P（Y∈ E（t））=P（Y=t）=0，其中最后一步通过Y.5定律的连续性保持不变示例示例5.1（线性最优映射）。