具有后向鞅约束的最优运输问题

设Y=（Y，Y）为随机变量，E（Yi）=0，E易= σi>0，andE（Yi | Z）=E（YiZ）E（Z）Z，对于所有Z=aY+aY，aj∈ R、 如果Y的分布是高斯分布，或者更一般地说，是椭圆等高线分布，则后一个性质成立。我们确定λ=σ>0，并定义G=x个∈ R： x=λxandX=Y+2λY，X=λX=λY+Y。初等计算表明，E（Y | X）=X=（X，X），φG（Y）=infx∈Gc（x，Y）=infx∈R（Y- x） （Y）- λx）=c（x，Y）。作为递增线性函数的图，G∈ M、 设置ν=定律（Y），我们从定理3.2中推导出G和γ=定律（X，Y）分别是（18）和（5）的解。此外，由于X是G的唯一元素，因此φG（Y）=c（X，Y），特征性质（20）得出γ是唯一的最优方案。特别是，X是（21）的唯一最优映射。示例5.2（最佳地图可能不会产生最佳计划）。设Y为arandom变量，取Y中的值=(-1，1），y=（0，-1） ，y=（1，0）的概率。点szi=y+yi=(-1） 我,, i=1，2，属于集合G=x个∈ R： c（x，y）=-, x> y型, φG（yi）=minx∈Gc（yi，x）=c（yi，zi），i=1，2，概率测量γ=Xi=1δ（zi，yi）+δ（zi，y）属于Γ（ν），其中ν=定律（Y）。作为递增双曲线的图，G∈ M、 根据定理2.2，γ是（5）的最优方案。该问题的值为zc（x，y）dγ=Xi=1c（zi，yi）+c（zi，y）= -.另一方面，让X∈ X（Y），也就是说，X是Y-可测量的，X=E（Y | X）。我们写xi=X（yi），i=1，2，3。如果所有（xi）都是不同的，那么X=Y，c（X，Y）=0。

如果它们是同一点，则X=E（Y）=0andE（c（X，Y））=Xi=0c（0，yi）=Xi=0yiyiyi=-.最后，如果（xi）的两个元素正好重合：xk=xl6=xm，其中（k，l，m）是（0，1，2）的置换，那么xk=xl=（yk+yl），xm=ym，andE（c（X，Y））=c（yk，（yk+yl））+c（yl，（yk+yl））=c（yk，yl）。当c（y，y）=c（y，y）=-2且c（y，y）=1，最优映射问题（21）的值函数由下式给出：-, 严格小于-,最优计划问题的值（5）。示例5.3（最佳映射可能不存在）。设U和V是LW中的独立对称随机变量，其中U具有连续分布函数，V取值为{-1, 1}. 我们定义了一个二维随机变量=U（1- 2V），U（1+2V）{U<0}+U（1+2V），U（1- 2V）{U≥0}.分量Yan和Y具有连续分布函数，特别是ν=定律（Y）是无原子的。根据定理4.1，plan和MapProblem（5）和（21）具有相同的值。我们将证明存在一个唯一的最优计划，它不是由（Y-可测鞅）映射诱导的，因此，将证明最优映射不存在。为此，我们定义了一个二维随机变量x=（U，U）1{U<0}+（U，U）1{U≥0}.我们观察到，X取集合中的值={X=3x，X<0}∪x=x，x≥ 0由两条向上倾斜的线组成，因此属于M。直接计算表明，E（Y | X）=X，C（X，Y）=φG（Y），infx∈Gc（x，Y）。根据定理2.2，（X，Y）定律是一个最优规划，G是一个对偶最大化子。我们将继续证明这是唯一的最优计划，并且它不是由X（Y）的地图所指示的。从Y的构造出发，我们推导出集合的等式：{V=-1} ={Y=-Y} ={Y=(- |U |，| U |）}。它遵循e（X | Y）1{Y=-Y} =E（X | | U |）1{Y=-Y} =（| U |），- |U |）1{Y=-Y} =-Y 1{Y=-Y} 6=X1{Y=-Y} 。因此，X不是Y可测量的。Letγ∈ Γ（ν）为最佳lan，u为其x-边缘。

根据定理3.2，补充u G和C（x，y）=φ（y），（x，y）∈ 补充γ。随机变量Y取F=F中的值∪ F、 其中F={y=-y、 y<0}，F=y=-9yor y=-y、 y型≥ 0.初步计算表明，对于x∈ G y的s集∈ F使得c（x，y）=φG（y）由两点G（x）和F（x）组成，使得F（x）=(-x、 9x）1{x<0}+（3x，-x） 1{x≥0}，g（x）=（3x，-3x）1{x<0}+(-x、 x）1{x≥0}.对于x 6=0，x∈ G、 点{G（x），x，f（x）}是不同的，x=（G（x）+f（x））。另一方面，通过γ的鞅性质和ν（{0}）=0的事实，我们得到了x=γ（y | x）=f（x）γ（y=f（x）| x）+g（x）γ（y=g（x）| x），γ-a.s，因此，条件概率γ（y=f（x）| x）=γ（y=g（x）| x）=，γ-a.s。。对于R×Rwe上的有界Borel函数h=h（x，y），则得到ZH（x，y）dγ=Z（h（x，g（x））1{y=g（x）}+h（x，f（x））1{y=f（x）}）dγ=Z（h（x，g（x））+h（x，f（x）））du。因此，γ是唯一的当且仅当u是唯一的。现在我们观察到mapf:G→ 金融机构一对一。因此，对于Borel集B∈ R、 u（B）=Z{x∈B} {y=f（x）}dγ=Z{y∈f（B）}dγ=ν（f（B）），u的唯一性如下。6与内部人的均衡我们考虑一个单一时期的金融市场。有一个零利率的银行账户和一支股票。到期时的股票价值T=1由一个随机变量V表示。初始时间t=0时的股票价格s是噪音交易者、内幕人士和做市商之间相互作用的结果，其中1。噪音交易者订购U股；U是一个随机变量。内幕人士知道U和V的价值，并下了Q股的订单。交易策略Q是一个（U，V）-可测量的随机变量。做市商s只观察总订单R=Q+U。他们根据定价规则f=f（R）报价s=f（R），这是一个Borel函数f:R→R，R∪ {-∞} ∪ {∞}.定义6.1。均衡（Q，f）由交易策略qa和定价规则f=f（r）定义，即1。

给定总订单R=Q+U，价格S=f（R）在S=e（V | R）的意义上是有效的。2、根据定价规则f=f（r），订单Q最大化了内部人员的利润：Q（V- f（Q+U））=最大值∈Rq（V- f（q+U）），约定为0×∞ = 0、备注6.2。在最小的技术差异之前，我们的平衡概念与Rochet和Vila（1994）的平衡概念一致。它与Kyle（1985）的经典均衡论不同，内部人能够观察噪音领导者的指令流U。在Kyle（1985）的模型中，内部人最大化了（Q（V- f（Q+U）| V）在所有V-可测r和dom变量Q上。以下结果将平衡m的存在与（21）的最优映射的存在联系起来，该最优映射可导出（5）的最优计划。定理6.3。设Y=（U，V）∈ Land表示ν=定律（Y）。当且仅当（21）存在最优映射X，从而（X，Y）定律是（5）的最优规划时，才存在等式（Q，f）。内幕人士的利益是唯一的，由Q（V）提供- f（Q+U））=-c（X，Y）=-φG（U，V），其中G∈ M是（18）的最大值。此外，存在均衡（Q，f）和最优映射X=（R，S），因此定价规则f:R→ R是一个增函数，总阶数Q+U=R，价格f（Q+U）=S。我们将定理的证明分为引理。引理6.4。设Y=（U，V）∈ 五十、 ν=定律（Y），X=（R，S）是（21）的非最优映射，使得S是R-可测的，（X，Y）定律是（5）的最优规划。然后有一个递增函数f:R→ rS=f（R）和（Q，f）是Q=R的平衡- U证据通过构造，S=E（V | R）。因此，我们只需要验证订单Q=R的利润最大化条件- U、 理论2.2 yieldsG∈ M使得（R，S）∈ G和（U- R） （五）- S） =最小值（r，S）∈G（U- r） （五）- s） =φG（U，V）。设Pbe为G在第一坐标或r坐标上的投影。很明显，Pis是一个间歇期。

因为S是R-可测的，所以在S=f（R）和（R，f（R））上有一个递增函数f=f（R）∈ G代表r∈ P、 按结构（U）- R） （五）- S） =最小值∈P（U- r） （五）- f（r））。现在，我们通过将f的值设置为-∞ 在左侧和至+∞ 在P的右侧，如φG（U，V）>-∞,引理B.2 y，在P的闭包中，U取值的域。在承受约定的情况下：0×∞ = 0，我们得到φG（U，V）=（U）时的th- R） （五）- S） =最小值∈R（U- r） （五）- f（r））。因此，（Q，f）是Q=R的平衡- U、 引理6.5。让f：R→ R是一个Borel函数，φ（y）=inf∈R（y- r） （y）- f（r））∈ [-∞, 0]，y∈ R、 使用约定：0×∞ = 0。然后是G∈ M使得φ≤ φG.证明。给定y，y∈ 兰特t∈ [0，1]，我们表示r=y+t（y- y） 并推断出（1- t） φ（y）+tφ（y）≤ (1 - t） 最小值（（y- r） （y）- f（r）），0）+t最小值（（y- r） （y）- f（r）），0）≤ t（1- t） （y）- y） （y）- y） ，在中间，我们使用了负的部分来说明| f（r）|=∞. 现在的结果来自Lemma3.1。引理6.6。设Y=（U，V）∈ 五十、 ν=定律（Y），（Q，f）是总阶数R=Q+U，价格S=f（R）的平衡。然后X=（eR，S）witheR=E（U | R）是（21）的最优映射，（X，Y）定律是（5）和Q（f（Q+U）的最优规划- V）=（R）- U） （S）- V）=（eR- U）（S）- V）。（30）证明。根据平衡的定义，我们得出φ（U，V）=Q（f（Q+U）- V）=（R）- U） （S）- V），其中φ（u，V）=infr∈R（u- r） （五）- f（r）），（u，v）∈ R、 我们声称E（φ（U，V））=E（U）-eR）（五）- S）. （31）由于R的可积性性质未知，我们使用本地化参数。

对于n≥ 1从鞅性质E（V | R）=S和E（U | R）=eR我们推导出φ（U，V）1{| R|≤n}= E（U）- R） （五）- S） 1{| R|≤n}= EU（V- S） 1{| R|≤n}= E（U）-eR）（五）- S） 1{| R|≤n}.取极限为n→ ∞, 利用支配收敛定理得到（31）。引理6.5产量G∈ M使得φ≤ φG.引理2.13导出thatE（φ（U，V））≤ E（φG（U，V））=ZφGdν≤Zc（x，y）dγ，γ∈ Γ(ν).鉴于（31）和d，由于eγ=定律（eR，S，U，V）属于Γ（ν），我们得到（U）-eR）（五）- S）= E（φ（U，V））=E（φG（U，V））=Zc（x，y）deγ。因此，eγ是一个最优计划，（eR，S）是一个最优映射，φ（U，V）=φG（U，V）。最后，定理3.2得出φG（U，V）=c（X，Y）=（eR- U）（S）- V），我们得到（30）。定理6.3的证明。如果X=（R，S）是一个最优映射，那么ex=（R，eS）with eS=E（V | R）=E（S | R）是一个最优映射，andeS也是R可度量的。根据定理3.2，对于每个最大化子G，c（X，Y）=c（eX，Y）=φG（Y）=φG（U，V）∈ M至（18）。特别是，对于每个最优映射X，c（X，Y）是相同的变量。在这些观察之后，从引理6.4和6.6中得出了防范。我们现在陈述了平衡存在和唯一的充分条件。定理6.7推广了Rochet和Vila（1994）的一个结果，其中（U，V）的分布具有紧支集和连续密度。定理6.7。设Y=（U，V）∈ 假设Y定律是正则的。然后存在一个平衡（Q，f）。此外，如果U和V的定律是无原子的，那么内部人的订单Q、总订单R=Q+U和价格s=f（R）是唯一的。此外，X=（R，S）是（21）的唯一最优映射，γ=律（X，Y）是（5）的唯一最优规划。为了证明这一点，我们需要一个引理。引理6.8。让f：R→ R是一个Borel函数，φ（u，v）=inf∈R（u- r） （五）- f（r））∈ [-∞, 0]，（u，v）∈ R、 使用约定：0×∞ = 0

有一个可数集合a 如果u，v/∈ A和φ（u，v）=0，thenf-1（v），{r∈ R:f（R）=v}={u}。证据如果φ（u，v）=infr∈R（u- r） （五）- f（r））=0，theng（u），supr<uf（r）≤ v≤ infr>uf（r），h（u）。显然，infr≥uf（r）≤ f（u）≤ supr公司≤uf（r）。因此，如果递增函数g和h在u处连续且严格递增，则f-1（v）={u}。为了总结证明，我们只观察到，当递增函数是连续的时，这些参数集是连续的，而不是严格递增的值集是可数的。定理6.7的证明。如果ν=定律（Y）是D-正则的，则定理4.5 yieldsan最优映射X使得（X，Y）定律是最优规划。根据定理6.3，存在一个平衡（Q，f）。如果U=Yand V=Yare的定律是无原子的，那么，根据定理4.6，最优映射X=（X，X）是唯一的。引理6.6表示S=存在唯一均衡价格：S=f（R），其中R=Q+U。设φ为引理6.8和G中定义的函数∈ M是（18）的最大值。根据平衡的定义和定理6.3，我们推断（U- R） （五）- f（R））=（U- R） （五）- S） =φ（U，V）=φG（U，V）。如果φ（U，V）<0，那么总阶数R显然是唯一的。如果φ（U，V）=0，则通过引理6.8和U和V分布的连续性，R=U。因此，总订单R和内部订单Q=R- U是唯一的。根据定理6.3，R和S的唯一性意味着（R，S）是最优图。因此X=R。Wp（Rd）Let p中有界密度概率测度的闭包≥ 1、我们用Wp（Rd）表示Borel概率测度的空间Rd，其中p阶矩为有限矩，配备了Wasserstein度量：Wp（u，ν）=infγ∈∏（u，ν）Z | x- y | pdγ1/p，其中∏（u，ν）是Rd×Rd上Borel概率测度γ的f族=（x，y）：x，y∈ 研发部具有x-边缘u和y-边缘ν。

我们记得wp（Rd）是一个完全可分的度量空间，并且un→ uin Wp（Rd）当且仅当ifRf（x）dun→Rf（x）duf或具有多项式p-th增长th的每个连续函数f：| f（x）|≤ K（1+| x | p），x∈ Rd.Letν∈ Wp（Rd）和Q∞（ν） 是关于ν：Q有界密度的Borel概率测度族∞(ν) ,u << ν：dudν∈ L∞（Rd）.很明显，Q∞(ν)  Wp（Rd）。下面的结果，在证明我们的主要定理2.2时，描述了Q的闭包∞（ν） 在Wp下。定理A.1。让p≥ 1和ν∈ Wp（Rd）。然后Q的闭包∞（ν） inWp（Rd）的形式为：Sp（ν）=nu∈ Wp（Rd）：suppu 补充证明。如果un→ uin Wp（Rd），然后un→ u弱，因此为u（C）≥ lim支持→∞un（C），对于每个闭合集C。特别是，如果（un） Sp（ν），然后u（suppν）≥ lim支持→∞un（suppν）=1，因此，u∈ Sp（ν）。因此，Sp（ν）在Wp（Rd）中闭合。显然，Sp（ν）是凸的。如果s uppν是紧的，则限制在Sp（ν）下，wpi下的收敛相当于弱收敛，因此，具有有限支撑的Sp（ν）中的概率测度族是稠密的。作为一个闭凸集，Sp（ν）是Q的闭包∞（ν） 在Wp（Rd）中，当且仅当每个Diracmeasureδy=δy（dx）集中在y∈ suppν是序列的弱极限（un） Q∞(ν). dundν（x）=ν（B1/n（y））{x的序列（un）∈B1/n（y）}，n≥ 1，其中Br（y）是以y为中心的半径r>0的球，具有所需的属性。如果suppν不是紧致的，则我们近似于u∈ Sp（ν）按给定的顺序（un）乘以dundu（x）=u（Bn（y））{x∈Bn（y）}，n≥ 1，对于某些y∈ 补充u。我们有（un） Sp（ν）和un→ u低于Wp。根据我们已经证明的，每个un都是Q的闭包∞（νn）inWp（Rd），其中dνndν（x）=ν（Bn（y））{x∈Bn（y）}，n≥ 1、按Q∞（νn） Q∞（ν） ，n≥ 1，我们推断序列（un）属于Q的闭包∞（ν） 在Wp（Rd）中。

S-ame性质对其Wp极限u成立，结果遵循函数φGLet G的S.B性质为最大单调集：G∈ M、 在本附录中，我们收集了函数φ=φG（y），infx的性质∈Gc（x，y）=infx∈G（x- y） （十）- y） ，y∈ R、 在整个论文中使用。引理B.1。函数φ=φ及其c-共轭φc（x）=infy∈R（c（x，y）- φ（y）），x∈ R、 接受值[-∞, 0]，φc≤ φ、 andG公司=y∈ R： φ（y）=0=x个∈ R： φc（x）=0.证据让y∈ G、 作为G∈ M、 我们有c（x，y）≥ 0，x∈ G、 因此，φ（y）=0。相反，如果y 6∈ G、 然后，最大单调集G穿过左上角或右下角四元蚂蚁相对玩具的内部。如果z∈ G属于该交点，则φ（y）≤ c（z，y）=（z- y） （z）- y） <0。我们已经证明了R上的φ<0，G上的φ=0。因此φc（x）≤ infy公司∈G（c（x，y）- φ（y））=infy∈Gc（x，y）=φ（x）≤ 如果φc（x）=0，那么φ（x）=0，因此，x∈ G、 相反，如果x∈ G、 thenc（x，y）- φ（y）≥ 0，y∈ R、 因此，φc（x）=0。我们将φ与闭凸函数ψ（y）=ψG（y）=yy联系起来- φ（y）=supx∈G（xy+xy- xx），y∈ R、 显然，φ和ψ具有相同的域：domφ=y∈ R： φ（y）>-∞=y∈ R： ψ（y）<∞= domψ。对于凸集a Rdwe表示为cl A、int A、ri A和 A=cl A \\r表示各自的闭合、内部、相对内部和相对边界。引理B.2。φ的域是凸的。如果G是另一条水平或垂直线，则domφ=G。否则，domφ有一个非空的内部：int domφ=int P×int P，（32），其中Pi是G在xi坐标上的投影，i=1，2。如果y∈  domφ∩domφ，然后是 包含y的domφ也属于domφ。证据作为凸函数，函数ψ=ψGhas为凸域。当domφ=domψ时，φ的域也是凸的。我们观察到π要么是一个点，要么是一个区间。如果P={a}，那么G是一条垂直线：G=x个∈ R： x=a.

对于y 6∈ G我们有| y- a |>0且φ（y）=infx∈R（y- a） （y）- x） =-∞.因此，domφ=G。Pis是一个点，因此G是一条水平线的情况是相同的。现在我们假设int Pi=（ai，bi），其中-∞ ≤ ai<bi≤ ∞. Ify=（y，y）∈ （a，b）×（a，b），然后是集合C，{x∈ G:c（x，y）≤ 0}是有界的，因此φ（y）=infx∈Gc（x，y）=infx∈Cc（x，y）>- ∞ .相反，假设y不属于P×P的闭包，sayy＜a；其他案件也有类似情况。然后a=-∞ 因此，φ（y）=infx∈Gc（x，y）≤ （a）- y） （a）- y） =-∞.我们已经证明了（32）。对于引理的最后一个断言，我们假设a>-∞ takey=（a，y）和z=（a，z），z<b。假设φ（y）>-∞ , 我们必须证明φ（z）>- ∞ . 实际上，否则就有一个序列（xn） Gsuch thatlimn公司→∞（a）- xn）（z- xn）=-∞.由于z<b，序列（xn）有界且xn→ a=-∞. 因此φ（y）≤ lim支持→∞（a）- xn）（y- z） +limn→∞（a）- xn）（z- xn）=-∞,我们得到了一个矛盾。闭凸函数ψ=ψGis下半连续在其域内部的Randis连续。下面的结果表明，φ和ψ相对于其全域是连续的。引理B.3。If（yn） domψ=domφ和yn→ y、 然后ψ（yn）→ ψ（y）和φ（yn）→ φ（y）。证据有必要考虑函数ψ的情况，并取y∈ domψ。如果ψ（y）=∞ , 下半连续性的结果成立：lim infn→∞ψ（yn）≥ ψ（y）=∞.因此，我们假设ψ（y）<∞ 或者，等效地，y∈  domψ∩ domψ。由LemmaB提供。2、建筑水平和垂直部分的相对内部 含有y的domψ属于domψ。因此，存在一个包含（yn）n的闭合三角形indomψ≥n、 对于足够大的n。