具有后向鞅约束的最优运输问题

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英文标题：
《An optimal transport problem with backward martingale constraints
  motivated by insider trading》
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作者：
Dmitry Kramkov and Yan Xu
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We study a single-period optimal transport problem on $\\mathbb{R}^2$ with a covariance-type cost function $c(x,y) = (x_1-y_1)(x_2-y_2)$ and a backward martingale constraint. We show that a transport plan $\\gamma$ is optimal if and only if there is a maximal monotone set $G$ that supports the $x$-marginal of $\\gamma$ and such that $c(x,y) = \\min_{z\\in G}c(z,y)$ for every $(x,y)$ in the support of $\\gamma$. We obtain sharp regularity conditions for the uniqueness of an optimal plan and for its representation in terms of a map. Our study is motivated by a variant of the classical Kyle model of insider trading from Rochet and Vila (1994).
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中文摘要：
我们研究了$\\ mathbb{R}^2$上的一个单周期最优运输问题，该问题具有协方差型成本函数$c（x，y）=（x\\u 1-y\\u 1）（x\\u 2-y\\u 2）$和后向鞅约束。我们证明了运输计划$\\ gamma$是最优的，当且仅当存在一个最大单调集$\\ gamma$支持$\\ gamma$的$\\ x$-边际，并且在$\\ gamma$的支持下，每$（x，y）$的$\\ c（z，y）$中$\\ c（x，y）=\\ min\\uz{in G}c（z，y）$。我们得到了最优规划唯一性及其在映射中表示的尖锐正则性条件。我们的研究是基于Rochet和Vila（1994）的经典Kyle内幕交易模型的一个变体。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
--> An_optimal_transport_problem_with_backward_martingale_constraints_motivated_by_i.pdf (396.04 KB)

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关键词：运输问题 Applications Differential Quantitative Presentation

基于内幕交易的后向鞅约束下的最优运输问题。德米特里·克拉姆科夫*Yan Xu+2019年6月11日摘要我们研究了Rwitha协方差型成本函数c（x，y）=（x）上的单周期最优运输问题- y） （十）- y） 反向鞅约束。我们证明了一个传输计划γ是等时的当且仅当存在一个极大单调集G，它支持γ的x-边际，并且使得c（x，y）=minz∈Gc（z，y）预测（x，y）∈ 补充γ。我们得到了最优规划的唯一性及其用amap表示的尖锐正则条件。我们的研究是基于Rochet和Vila（1994）的经典Kyle内幕交易模型的变体。关键词：鞅最优输运，凯尔均衡。AMS主题分类（2010）：60G42、91B24、91B52.1简介(Ohm, F、 P）是一个概率空间，Y=（Y，Y）是一个具有有限秒矩的二维随机变量：Y∈ L(Ohm, F、 P）。我们的目标是在X上最小化E（c（X，Y））∈ X（Y），（1）对于成本函数c（X，Y）=（X- y） （十）- y） ，x，y∈ R、 由Y可测随机变量X=（X，X）组成的域X（Y）*卡内基梅隆大学数学科学系，美国宾夕法尼亚州匹兹堡福布斯大道5000号，15213-3890。电子邮件：kramkov@cmu.edu+卡内基梅隆大学数学科学系，美国宾夕法尼亚州匹兹堡福布斯大道5000号，15213-3890。电子邮件：yanx1@andrew.cmu.edusuch（X，Y）处的th是一个鞅：E（Y | X）=X。X上Y可测性约束的放松导致了最优输运问题：minimizeZc（X，Y）dγoverγ∈ Γ（ν），（2）其中，ν=定律（Y）和Γ（ν）是R×rth上的概率测度γ=γ（dx，dy）的族，它们以ν作为其Y-边缘：γ（R，dy）=ν（dy），并从正则过程中得出一个鞅：γ（Y | x）=x。

考虑到鞅约束，问题（2）允许一个等价的公式：maximizezz2dγoverγ∈ 因此，Γ（ν）与经典的Fr'echet-Hoeff-ding不等式和Wasserstein 2-距离有着天然的联系。问题（2）呈现出一种后向结构，即初始边缘u（dx）=γ（dx，R）是解的一部分。在这方面，它不同于Beiglb¨ock和Juillet（2016）、Beiglb¨ock等人（2017）、Henry Labord'ere an d Touzi（2016）和Ghoussou b等人（2019）中的“标准”单周期鞅运输问题，其中首字母和末端边缘都是固定的。我们指出，对于我们的成本函数C（x，y）=（x-y） （十）-y） ，标准问题很简单，因为每个鞅测度γ=γ（dx，dy），且给定的边缘u=u（dx）和ν=ν（dy）产生相同的平均成本：Zc（x，y）dγ=Zyydν-Zxxdu。我们的工作是由金融经济学的classicalKyle（1985）与Insider的均衡所推动的。更准确地说，我们考虑了Rochet和Vila（1994）的模型，其中内幕人士观察到风险y资产的终值V和噪音交易者的订单流量U；详见第6节。设Y=（U，V）我们在定理6.3中建立了（1）平衡点的存在与最优映射X的存在之间的等价性，使得γ=定律（X，Y）是（2）的最优规划。此外，X=（R，S）的组成部分自然被确定为均衡的总阶R和价格S。据我们所知，凯尔均衡和鞅最优运输之间的联系是新的。本文的主要结果是定理2.2和d 4.6。

在定理2.2中，我们证明了（2）的最优规划的存在性，并刻画了其支持度。我们证明γ∈ 当且在ly上，如果Rth中存在一个最大单调集G，该单调集G支持γ的x-边缘，并且C（x，y）=φG（y），infz∈Gc（z，y），（x，y）∈ 补充γ。（3） 几何上，γ的支撑具有双曲正切性质：它连接y 6∈ G到x∈ G、 被双曲线所触动=z∈ R： c（y，z）=φG（y）=z∈ R： z=y+φG（y）z- y;见图1。令人惊讶的是，作为（3）的结果，最优规划γ具有经典无约束问题s解的性质。根据推论2.3，γ的x-边缘是第一和第二坐标之间的Fr'echet-Hoe-ffing耦合，而根据推论2.5，γ是其x-和y-边缘之间的经典最优耦合。在定理3.2中，我们证明了（3）中的集G是对偶问题的解：G上的最大化zφGdν∈ M、 （4）其中M是R中所有M-极大单调集的族，且primaland对偶问题（2）和（4）具有相同的值。双重问题出现在（Rochet和Vila，1994年，公式（2.3）），其中G代表定价规则的图形。当ν=定律（Y）具有高斯分布或更普遍的椭圆等高分布时，G成为具有严格正斜率的线；参见示例5.1。在T heorem4.1中，我们证明了最优地图和规划问题（1）和（2）具有相同的值，前提是ν是无原子的。结果与Pratelli（2007）对经典u约束情况的结果相似。定理4.5在ν使严格递减Lipschitz函数的图的质量为零的条件下，得到了（1）的最优映射X的存在性，该映射可导出（2）的最优规划γ=定律（X，Y）。

该假设弱于Brenier定理的标准正则性条件，参见（Ambrosio和Gigli，2013，定理1.26），该定理要求ν为Lipschitz函数图的旋转指定零质量。我们的第二个主要结果，定理4.6，建立了（1）和（2）的解的唯一性，此外，如果Yand-Yarecontinuous的（一维）分布函数。例5.2和5.3表明定理4.1和4.5的条件是尖锐的。将定理4.5和4.6应用于Rochet和Vila（1994）的模型，得出了平衡存在和唯一的充分条件，如定理6.7所述。这些假设推广了thosein Rochet和Vila（1994），其中要求Y=（U，V）具有连续紧支撑密度。Rochet和Vila（1994）处理对偶问题（4），并依赖于Hausd或Off拓扑赋予的闭合图形对应空间的性质。最后，附录A包含了Wasserstein空间的密度结果，对此我们无法找到现成的参考，而Appen dixB从（3）收集了函数φgf的性质。2一个后向鞅最优运输问题我们用P（Rd）表示具有单位秒矩的Borel概率测度族，用B（Rd）表示Rd上的Borelσ-代数。对于Rd上的Borel概率测度eu，一个u-可积m维Borel函数f=（f，…，fm），一个n维Borel函数g=（g，…，gn），旋转u（f | g）表示给定g的条件期望的m维向量，在u下：u（f | g）=（u（f | g，…，gn），u（fm | g，…，gn））。类似地，Rfdu=（Rfdu，…，Rfmdu）。我们在R=R×Ras（x，y）中找到一个点，其中x=（x，x）和y=（y，y）属于R，并且认为tx和y是正则二维过程的初值和终值。设ν=ν（dy）∈ P（R）。

我们用Γ（ν）表示概率测度族γ=γ（dx，dy）∈ 具有ν的P（R×R）作为其y-边缘，并使正则过程成为m-artin gale：Γ（ν），γ ∈ P（R×R）：γ（R，dy）=ν（dy）和γ（y | x）=x.我们的目标是在γ上tominimizeZc（x，y）dγ∈ Γ（ν）（5）对于协方差型成本函数c（x，y）=（x- y） （十）- y） ，x，y∈ 问题（5）属于一类具有后向鞅约束的最优运输问题，从这个意义上说，初始x-边际是解的一部分。正如我们将在第6节中看到的那样，在研究内部人的凯尔型均衡时，自然会出现这样的问题。备注2.1。问题（5）包含几个等效公式。例如，它的解与其中的解相同，其中wemaximizexxdγ大于γ∈ Γ(ν). （6） 该调整来自标识YZc（x，y）dγ=Z（x- y） （十）- y） dγ=Z（yy- xx）dγ=Zyydν-Zxxdγ，其中第二个等式由γ的鞅性质决定∈ Γ(ν).对于Rdwe上的Borel概率测度γ，由suppγ定义其支撑，即具有完全测度的最小闭集。我们记得，一组G Ris单调ifc（r，s）=（r- s） （r）- （s）≥ 0，r，s∈ G、 如果单调集G不是amonotone集的适当子集（或str-ict），则它是最大的。我们用M表示r中的极大单调集族。众所周知，G∈ M当且仅当G是R上真闭凸函数的次微分图。对于G∈ 我们定义了一个函数φG（y），infx∈Gc（x，y）=infx∈G（x- y） （十）- y） ，y∈ R、 这些函数φgw将在我们的研究中发挥关键作用。附录B中收集了它们的特性。特别地，引理B.1指出φgtakesvalue在[-∞, 0]和G=x个∈ R： φG（x）=0.本文的主要结果是定理2.2和4.6。定理2.2证明了（5）的最优规划γ的存在性，并给出了它的支撑结构。定理4.6包含唯一性结果。定理2.2。Letν∈ P（R）。

存在（5）的最佳计划。概率度量γ∈ Γ（ν）以下条件是等效的：（a）γ是（5）的最优方案。（b） 如果点（x，y）和（x，y）属于s uppγ，则（1- t） c（x，y）+tc（x，y）≤ t（1- t） c（y，y），t∈ [0, 1]. （7） XYXYHHG图1：最优平面支撑的双曲不相交和相切性质。（c） 有G∈ M使得c（x，y）≤ φG（y），（x，y）∈ 补充γ。（8） 此外，如果G是满足（8）的最大单调集，且u是γ的x边，则G包含suppu和c（x，y）=φG（y）=minz∈Gc（z，y），（x，y）∈ 补充γ。图1说明了定理2.2中所述的最优计划γ的支持性质。设（x，y）和（x，y）属于suppγ，并且分别严格高于和严格低于（c）项中的最大单调集G，使得x6=x和点yand ylie。引理2.11显示，（b）项表示双曲线=z∈ R： c（z，y）=c（x，y），z>y,H类=z∈ R： c（z，y）=c（x，y），z<y,不要交叉。（c）项的几何解释是，这些双曲线与G相切。在进行定理2.2的证明之前，我们在（5）的最优鞅计划与经典无约束最优运输问题的解之间建立了更为密切的联系。如果u和ν是Rd上的Borel概率测度，那么∏（u，ν）表示u和ν的所有耦合族，即Borel概率测度πonRd×Rd族=（x，y）：x，y∈ 研发部具有x-边缘u和y-边缘ν。对于u，ν∈ P（Rd），Wasserstein 2-度量由w（u，ν），infπ给出∈∏（u，ν）sZ | x- y | dπ。（9） 推论2.3。Letν∈ P（R），u是（5）的最优计划γ的x-边际，uibe是u的xi边际，i=1，2。然后u是最佳传输问题的解决方案：最大化zxxdπ除以π∈ π（u，u），（10）或等效W（u，u）=sZ | x- x | du。证据

众所周知，问题（9）和（10）具有相同的解，并且∏（u，u）元素是这样的解，当且仅当其支撑属于循环单调集时。根据定理2.2，存在一个包含u支持的单调集G。由于Ris中的每个单调集也是循环单调的，因此结果如下。备注2.4。设G是定理2.2中的最大单调集，Pbe是其在x坐标上的投影。如果u是无原子的，则递增函数f（x）=inf{x∈ R：（x，x）∈ G} ，x∈ P、 在R中取值∪ {-∞}, 定义（10）：u（B）=u{t的最佳映射解∈ R：（t，f（t））∈ B} ，B∈ B（R）。函数f是第6节研究的Kyle均衡与内部人的定价规则。推论2.5。Letν∈ P（R），γ是（5）的最优方案，u是γ的x边缘。那么γ是最优输运问题的一个解：minimizeZc（x，y）dπoverπ∈ Π(u, ν). （11） 证明。根据定理2.2，有G∈ M使得zφdν=Zc（x，y）dγ，其中φ=φG。LemmaB。1证明了c-共轭函数φc（x），inf∈R（c（x，y）- φ（y）），x∈ R、 在中获取值[-∞, 0]和G=x个∈ R： φc（x）=0. 根据定理2.2，补充u 因此，Zφcdu=0。因为φc（x）+φ（y）≤ c（x，y），我们推导出zc（x，y）dγ=Zφdν+Zφcdu≤Zc（x，y）dπ，π∈ π（u，ν），γ对于（11）的最优性如下。备注2.6。我们指出，推论的断言不足以证明γ的最优性∈ Γ(ν). 实际上，设γ是最简单的鞅测度，其x-边际u是集中在平均dν上的狄拉克测度∈ R、 在这种情况下，族∏（u，u）和∏（u，ν）是单子，因此，u和γ是（10）和（11）的平凡解。（8）的基本分析表明，当且仅当ν的支撑属于具有负斜率或有限斜率的线时，该γ对于（5）是最佳的。本节的其余部分致力于定理2.2的证明，我们将其分为引理。

我们从存在部分开始，回顾关于瓦瑟斯坦距离W的一些基本事实；参见（Ambrosio和Gigli，2013，定理2.7和命题2.4）。如果（un）和u在P（Rd）中，则为w（un，u）→ 0如果且仅当ifRf（x）dun→Rd上每个连续函数f=f（x）的Rf（x）du，二次增长：| f（x）|≤ K（1+| x |），x∈ Rd，其中K=K（f）>0是一个常数。A组A P（Rd）为预压缩Underif，且仅为ifsupu∈AZ | x|≥K | x | du→ 0，K→ ∞.引理2.7。在Wasserstein度量W证明下，族Γ（ν）是P（R×R）上的凸紧集。γ的鞅性质γ（y | x）=x∈ Γ（ν）等于其身份zf（x）（y- x） 对于R上的每个有界连续f函数f=f（x），dγ=0。环下Γ（ν）的凸性和闭性如下。只需说明Γ（ν）在Wor下是预紧的，等价地，thatsupγ∈Γ（ν）Z（| x |+| y |）1{| x |+| y|≥K} dγ→ 0，K→ ∞.对于γ∈ Γ（ν）我们有thatZ（| x |+| y |）1{| x |+| y|≥2K}dγ≤Z|x |{| x|≥K} +| y |{| y|≥K}dγ=Z |γ（y | x）{| x|≥K} dγ+Z | y |{| y|≥K} dν≤Z | y |{| x|≥K} dγ+Z | y |{| y|≥K} dν，然后是z | y |{| x|≥K} dγ≤Z | y |{| x|≥K> | y |}dγ+Z | y |{| y|≥K} dν≤ Kγ（| x |≥ K） +Z | y |{| y|≥√K} dν。最后，我们得到了thatKγ（| x |≥ K）≤KZ | x | dγ=KZ |γ（y | x）| dγ≤KZ | y | dν，结果遵循s.引理2.8。存在（5）的最优计划γ。证据设（γn）是Γ（ν）中的一个序列，使得limn→∞Zc（x，y）dγn=infζ∈Γ（ν）Zc（x，y）dζ。根据引理2.7，Γ（ν）在W下是紧的。因此，有一个子序列（γnk） （γn）收敛到γ∈ Γ（ν）und er W.由于成本函数c=c（x，y）是连续的且具有二次增长，我们推导出zc（x，y）dγ=limk→∞Zc（x，y）dγnk=infζ∈ΓZc（x，y）dζ。因此，γ是最优的p-lan。含义（a）==> （b） 定理2.2的定义在引理2.10中得到证明，并依赖于以下一阶最优性条件。引理2.9。设γ为（5）的最优方案。ThenZc（x，y）dη≤Zyydη-ZydηZydη，（12）对于每个η∈ P（R×R）使得sup Pη 补充γ。证据

我们首先在R×Rth上建立一个Borel概率测度η的（12），该测度具有关于γ的有界密度：V（x，y）=dηdγ∈ L∞（R×R）。我们选择一个非原子q∈ Rofu（dx）=γ（dx，R），并定义概率测度ζ（dx，dy）=δq（dx）η（R，dy），其中δqis是集中在q处的狄拉克测度。对于非常小的ε>0，概率测度γ=γ+ε（ζ- η） 定义良好，y边缘ν与γ相同。我们定义了条件期望eX（x）=eγ（y | x），并观察到eγ下的（eX，y）定律属于Γ（ν）。γ对于（5）或（6）的最优性等价地意味着zexexdeγ≤Zxxdγ。（13） 基于贝叶斯公式的标准计算表明，ex（x）=1{x6=q}x- εR（x）1- εU（x）+1{x=q}m，其中U（x）=γ（V | x），R（x）=γ（V y | x），m=Rydη。Sin ce | V |≤ 对于某些常数K>0，我们推断| U |≤ K和| R |≤ Kγ（| y | x）。因此，zexexdeγ=Z（x- εR）（x- εR）（1- εU）（1- εV）dγ+εmm=Z（x- εR）（x- εR）1- εUdγ+εmm=Zxxdγ+ε毫米+Z（xxU- xR公司- xR）dγ+ O（ε）。鉴于（13），一阶项为负。可以写为0≥ 毫米+Z（xxU- xR公司- xR）dγ=ZydηZydη+Z（xx- xy型- xy）V dγ=ZydηZydη+Z（xx- xy型- xy）dη=ZydηZydη+Z（c（x，y）- yy）dη，结果遵循s。在一般情况下，其中η∈ P（R×R）和suppη 补充γ，我们使用附录A中的近似结果。根据定理A.1，R×Rth上有Borel概率测度（ηn），其相对于γ有界且在W下收敛到η。根据我们已经改进的，Zc（x，y）dηn≤Zyydηn-ZydηnZydηn，n≥ 由于被积函数是具有二次增长的连续函数，因此我们可以传递到极限n→ ∞ 和（12）。引理2.10。设γ为（5）的最优方案。则前2.2条的条件（b）成立。证据