跳扩散模型的确定性似然估计

真实值（虚线）由SIR使用非常大的计算预算获得的平均值给出（该数字实际上与DNF方法获得的较大预算的平均值相同）。对于SV模型，DNF方法仅在100毫秒（ms）后生成的值非常接近真实的对数似然值。对于如此小的计算预算，SIR并没有产生足够的结果：它是有偏差的，并显示出重要的变化。对于1秒/似然估值的预算，SIR仍然给出了非常嘈杂的对数似然估计，即使该值是渐近一致的：胡须很长，但中值与计算时间一致。计算时间是通过在桌面计算机上运行Matlab程序获得的，该计算机有两个2.1 GHz IntelXeon E5-2620 v4和48 GB RAM。我们使用的NVIDIA QUADRO P6000具有3840个CUDA并行处理核心和24 GB的GPU内存。0 0.5 1 1.5 2462046254630463546404645 Log likelihoodSVTime（秒）SIR DNF0 1 2 346004605461046154620462546304635 Log likelihoodSVYJTime（秒）0 5 1546154625462546304635 Log likelihoodSVCJTime（秒）SIRDNFFigure 3：基于DNF的日志似然估计和基于SIR的日志似然估计随时间的分布。该图报告了基于DNF的对数似然估计（黑圈）和基于SIR的对数似然估计（灰盒图）的分布，同时使用了较小的计算预算。我们在五年内使用相同的标准普尔500指数日收益率系列。对于SIR，我们重复练习50次，以获得对数似然值的分布。预算的大小由计算时间代理，即运行一次对数似然性评估所需的秒数。我们考虑从最小值到最大值的箱线图，以及从下四分位到上四分位的箱线图。

带点的圆圈表示SIR分布的中值。真实值。DNF为SVYJ模型提供了类似的结果：600 ms后，确定性方法产生非常稳定的对数似然函数估计值，与使用大量计算预算获得的真实值一致。另一方面，基于SIR的对数可能性即使在预算为2秒的情况下仍然不稳定。SVCJ模型的结果告诉我们一个类似的故事：几秒钟后，DNF是精确和稳定的，并迅速收敛到真实值，而基于SIR的对数似然仍然显示出显著的采样变化，因为胡须仍然清晰可见。5.2.2速度和精度权衡——我们知道，与SIR相比，DNF方法表现得非常好，提供的准确结果比SIR快得多。在第二个测试中，如果我们的计算预算有限，我们想确定获得的精度（或成本），这取决于网格大小或计算时间。在本实验中，我们生成了100组参数，并评估了不同节点数下的似然函数。我们使用的方差节点数N范围为25到200，步长为5。方差跳跃节点的数量与上面解释的经验法则一致，即N/2.5。与跳跃关联的节点数R设置为2。我们仍然使用dailyS&P 500指数在5年内的回报率进行约1250次观察。然后，在使用大量计算预算时，将这些不同数量节点的似然值与SIR获得的似然值进行比较（见第4节）。

我们仍然使用APE作为比较的基础，并计算平均APE（MAPE）来评估对数似然值之间的平均差异：MAPE=100%Xi=1日志（LDNF（Θi））- log（LSIR（Θi））log（LSIR（Θi））.图4最左侧的面板报告了MAPE的平滑版本与此处的大小，由方差网格N中的节点数代理。对于所考虑的四个模型，50和60之间的大小将导致MAPE低于0.1%。这一结果事实上与Watanabe（1999）、Clements et al.（2004）、Clements et al.（2006a）和Langrock et al.（2012）中使用的尺寸一致。图4最右边的面板详细说明了MAPE和每似然值计算时间（以秒为单位）之间的关系。同样，如上所述，计算时间随着模型的复杂性而增加。对于SV、SVYJ和SVCJ模型，在大约0.1%的MAPE中，分别需要大约75 ms、200 ms和300 ms的时间。因此，使用传统的CPU，可以在不到一秒钟的时间内计算出似然函数，并使MAPE达到0.1%。5.3随机跳跃到达强度：SVCJSI模型我们现在分析SVCJSI模型的DNF性能。与确定性跳跃到达强度模型系列不同，SVCJSI模型由四个状态变量组成，为了加速计算，我们使用高端GPU实现了DNF。如第5.2节所述，我们首先试图比较SIR和DNF方法的精度和计算时间。图5与图3相同，但适用于SVCJSI模型。我们使用Matlab的拟合函数和幂模型，即y=axb，拟合MAPE曲线。

结果是可靠的牙齿规格。40 60 80 100 120 140尺寸00.20.40.60.81MAPESV40 60 80 100 120 140尺寸00.20.40.60.81MAPESVYJ40 60 80 100 120 140尺寸00.20.40.60.81MAPESVCJ0.05 0.1 0.15时间（秒）00.20.40.60.81MAPESV0.1 0.2 0.3 0.4 0.5时间（秒）00.20.40.60.81MAPESVYJ0.5 1 1 1 1.5时间（秒）00.20.40.60.81MAPESVCJ图4相对于方差节点数和计算时间的平均绝对百分比误差。此图根据最左侧面板上的方差节点数量和最右侧面板上的计算时间（以秒为单位），报告每个模型的平滑贴图。我们使用标准普尔500指数5年内的每日收益率，生成100组参数，并评估不同节点数的似然函数。我们使用的方差节点数N范围为25到200，步长为5。方差跳跃节点的数量与上述经验法则一致，即N/2.5。在我们的所有测试中，与跳跃相关的节点数R设置为2。对于非常小的计算预算（几秒钟），SIR生成的似然值范围非常广。当我们添加粒子并因此增加所需的计算时间时，碎片的宽度会如预期的那样减小。然而，即使计算预算很大（2或3分钟/似然估值），获得的似然值仍存在很大的不确定性。但如果我们配备了一个功能强大的GPU，就可以在一分钟内用DNF获得非常精确的似然值。图5还说明了精确评估VCJSI模型的似然函数的难度（2019年大多数用户都可以使用该技术）。

如果计算预算为25 50 75 100 125 150 17546154620462563046304635 Log likelihoodsvcjsititime（seconds）sirdnfigure 5：基于DNF的对数似然估计和基于SIR的对数似然估计随时间的分布，请继续。有关更多详细信息，请参见图3的描述。如果可用时间很小（例如，几秒钟），则应使用在CPU上实现的SIR，但产生的可能性值将是有偏差的和随机的。如果GPU可用，则计算预算必须足够大，以克服额外的开销：至少需要30到60秒，才能达到SIR在计算预算有限的情况下无法达到的精度水平。30 40 50 60 70 80 90 100尺寸00.20.40.60.81MAPESVCJSI50 100 150 200时间（秒）00.20.40.60.81MAPESVCJS图6：方差节点数和计算时间的平均绝对百分比误差，续。此图根据最左侧面板上的方差节点数量和最右侧面板上的计算时间（以秒为单位），报告每个模型的平滑贴图。我们使用标准普尔500指数5年内的每日收益率，生成100组参数，并评估不同节点数的似然函数。对于SVCJSI模型，方差和跳跃强度节点的数量范围为25到50，步长为1，N=M。方差跳跃的数量设置为dN/2.5e，跳跃节点的数量设置为2。我们还将MAPE作为网格大小或计算时间的函数进行分析。方差和跳跃强度节点的数量从25到50不等，步长为1，N=M。此外，50个节点的数量是GPU在撰写本文时处理的物理大小限制。方差跳跃的数量设置为dN/2.5e，跳跃节点的数量设置为2个。SVCJSI模型的结果如图6所示。

同样，我们观察到，大约50-60的网格大小可实现0.1%的MAPE（与SV、SVYJ和SVCJ模型一样），但使用GPU计算实现这种MAPE所需的计算时间约为160秒。6经验应用在以前的应用中，我们已经展示了DNF在评估似然函数时的精度。对于基于频率的推理，如最大似然，似然函数必须足够平滑，以便优化器在参数空间中找到全局最大值。因此，DNF比SIR有一个关键优势，因为它的构造导致了平滑的似然函数。因此，在最后一节中，我们介绍了DNF方法的一个重要应用：我们计算本文研究的四个模型的最大似然估计（MLE）。本节无疑是文献中为数不多的计算此类复杂金融模型的最大似然估计的尝试之一。我们使用1990年至2018年的标准普尔500指数回报率系列（不包括股息）（见图7）。这个时间框架包含一些衰退和动荡时代：1990年代早期的衰退（1990年油价冲击之后）、2000年代早期的衰退（部分由投机网络泡沫和9·11袭击事件的崩溃造成）和大衰退（美国房地产泡沫崩溃的副产品，随后是全球金融危机）。

因此，该样本应包含随时间变化的波动性、收益跳跃、方差跳跃，以及潜在的变化跳跃强度。用于计算似然函数的网格大小为N=M=50、K=20和R=2，这与我们的结果一致。表3报告了每个模型的最大似然误差及其括号内的标准误差。这些估计值与其他研究中发现的值具有可比性，并使用了不同的统计方法（例如，Andersen et al.，2002；Eraker et al.，2003；Christo ff ersen et al.，2010；Hurn et al.，2015）。图8显示了过滤后的年化波动率（即。，√Vt/252），跳跃强度，返回稳健标准误差（括号内）由最佳参数值处梯度的外积计算得出。有关此方法的更多详细信息，请参阅Rémillard（2013）的附录B.5。1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2006 2008 2010 2012 2014 2016 2018-0.15-0.1-0.0500.050.10.15图7：标准普尔500指数回报率（1990-2018）。该图报告了从1990年1月至2018年9月从彭博终端获得的标准普尔500指数每日回报（不包括股息）。表3：标准普尔500指数的估计参数。SV SVYJ SVCJ SVCJSIu0.041 0.035 0.038 0.035（0.017）（0.016）（0.020）（0.024）κ5.923 6.357 3.689 4.316（0.405）（0.311）（0.201）θ0.031 0.027 0.032 0.034（0.002）（0.002）σ0.514 0.488 0.446 0.452（0.017）（0.010）（0.018（0.001）ρv-0.692-0.708-0.745-0.666(0.024) (0.024) (0.024) (0.031)χ – – – 2.706– – – (2.618)ω – 2.487 5.125 3.232– (1.487) (3.021) (3.111)ξ – – – 6.947– – – (5.778)ρλ– – – -0.411– – – (0.102)α – -0.014-0.007-0.014–（0.007）（0.005）（0.016）δ–0.008 0.003 0.005–（0.003）（0.005）（0.013）ν–0.004 0.011–（0.001）（0.006）ρz–-1.809-1.381–（0.671）（0.706）此表报告了本研究中考虑的四种模型的最大似然估计。

从1990年到2018年，我们使用标准普尔500指数回归系列。稳健标准误差（括号内）由梯度在最佳参数值下的外积计算得出。跳跃和方差跳跃。一般来说，不同模型之间的波动率非常相似，唯一的区别是SVCJ和SVCJSI模型允许由于波动率跳跃而急剧增加。例如，在上一次金融危机期间，允许方差跳跃的模型的波动性更高。对于具有恒定跳跃强度的模型，每年的跳跃次数很小，平均约为三到五次。该图与其他研究一致，如Eraker et al.（2003）和andHurn et al.（2015）。SVYJ和SVCJ模型的过滤收益跳跃非常相似。另一方面，SVCJSI模型允许跳跃聚类，因为跳跃强度随时间变化，跳跃过程与SVYJ和SVCJmodels获得的跳跃过程略有不同。具体而言，过滤跳跃的数量在平静时期减少，在危机期间增加。7结论性意见在本文中，我们基于北川（1987）的NF方法开发了一种新的跳跃扩散模型估计方法。我们介绍的方法允许对模型进行可能性评估，包括随机波动率、收益跳跃、方差跳跃以及随机跳跃强度。然后，我们比较了DNF和SIR的性能。我们发现，提出的DNF方法比SIR方法稳定、准确、快速。我们发现，一个有50到60个节点的网格，标准普尔500指数的平均MAPE为0.1%，这是一个合理的阈值。作为该方法的应用，我们还发现了SVCJSI模型及其嵌套模型在标准普尔500指数日收益率下的最大似然估计。

得到的参数与文献中估计的参数一致。最后，该方法不仅有助于最大似然估计，而且也有助于贝叶斯参考，因为似然函数是计算后验分布的重要组成部分。例如，将DNF与马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法相结合会很有趣；这是留给未来研究的。1990 1995 2000 2005 2010 201500.20.40.6SV波动性1990 1995 2000 2005 2010 201500.20.40.6SVYJ1990 1995 2000 2005 2010 201500.20.40.6SVCJ1990 1995 2005 2005 2010 201500.20.40.6SVCJSI1990 1995 2005 2005 2010 2010 20150510152025跳跃强度1990 1995 2005 2005 2010 2015051015251990 1995 2005 2005 2010 2015051015251990 1995 2005 2005 2005 2015051015251990 2005 2005 2005 2005 2015051015251990 2005 2005 2005 2005 2005 2005 2005 2005 20052015-0.06-0.04-0.020返回跳数1990 1995 2000 2005 2015-0.06-0.04-0.0201990 1995 2000 2005 2015-0.06-0.04-0.0201990 1995 2000 2005 2015-0.06-0.04-0.0201990 1995 2000 2005 2010 2015-0.06-0.04-0.0201990 1995 2005 2010 2010 2010 2010.010.020.030.04差异跳数1990 1995 2005 2005 2005 2005 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 020.030.041990 1995 2005 2005 2005 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010"it-Sahalia，Y.2002年。离散采样差异的最大似然估计：一种封闭形式近似方法。计量经济学70:223–262。A"it-Sahalia，Y.和R.Kimmel。随机波动模型的最大似然估计。《金融经济学杂志》83:413–452。Andersen、T.G.、L.Benzoni和J.Lund。连续时间股票收益模型的实证研究。《金融杂志》57:1239–1284。Andersen，T.G.和B.E.Sorensen。随机波动率模型的GMM估计：AMonte Carlo研究。商业与经济统计杂志14:328–352。Bakshi，G.、C.Cao和Z.Chen。1997年，另类期权定价模型的实证表现。

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