跳扩散模型的确定性似然估计

首先，通过调节时间t的跳跃次数，我们可以用以下方式简化传递度：q（xt | xt-1，y1:t-1，nt=n）=qvt，λt，jyt，jvt及物动词-1，λt-1，jyt-1，jvt-1，y1:t-1，nt=n= q及物动词及物动词-1，jvtqλtλt-1.qjyt公司jvt，nt=nqjvt公司nt=n作为嵌套模型，SV、SVYJ和SVCJ模型也可以通过减少问题的维数用相同的方法进行估计。与vt一样，λt依赖于vt-1和λt-分别为1。然而，j（y）和j（v）tdo不依赖于潜态的先前值；事实上，返回和方差跳变大小是（iid）瞬时潜在状态。通过再次调节时间t的跳跃次数，观察密度由：r（yt | xt，xt）给出-1，y1:t-1，nt=n）=r年初至今vt，vt-1，λt，λt-1，jyt，jvt，nt=n.然后，根据第3节开头概述的基本原理，可以将方程（3）的时间t似然贡献改写为asf（yt | y1:t-1） =“Xr（yt | xt，xt-1，y1:t-1） q（xt | xt-1，y1:t-1） u（xt-1 | y1:t-1） dxtdxt-1=∞Xn=0“Xr（yt | xt，xt-1，y1:t-1，nt=n）q（xt | xt-1，y1:t-1，nt=n）u（xt-1 | y1:t-1） P（nt=n | xt，xt-1） dxtdxt-1=∞Xn=0Z···ZX×R+×R+P（nt=n |λt-1） r年初至今vt，vt-1，λt，λt-1，jyt，jvt，nt=nqjyt公司jvt，nt=nq及物动词及物动词-1，jvtqjvt公司nt=nqλtλt-1.u（vt-1，λt-1 | y1:t-1） dxtdvt-1dλt-1（5）因为“R+×Ru”及物动词-1，λt-1，jyt-1，jvt-1.y1:t-1.d jyt公司-1d jvt-1=u（vt-1，λt-1 | y1:t-1).对跳跃次数的条件化也允许我们进一步简化方程（5），使f（yt | y1:t-1)=∞Xn=0Z···ZR+P（nt |λt-1） r年初至今vt，vt-1，λt，λt-1，jvt，nt=nq及物动词及物动词-1，jvtqjvt公司nt=nqλtλt-1.u（vt-1，λt-1 | y1:t-1） dvtdλtd jvtdvt-1dλt-1、（6）asZRr年初至今vt，vt-1，λt，λt-1，jyt，jvt，nt=nqjyt公司nt=nd jyt=r年初至今vt，vt-1，λt，λt-1，jvt，nt=n,具有正常密度。

具体来说，我们有-1，λt，λt-1，jvt，nt=n~Nut，σt,其中ut=u-及物动词-1.- αλt-1.h+pvt-1小时ρvεvt+ρλελt+ αn+ρzjvt，σt=vt-1.1.-ρv-ρλh+nδ，εvt=vt- 及物动词-1.- κ(θ - 及物动词-1） h类- jvtσ√及物动词-1手动ελt=λt- λt-1.- χ(θ - λt-1） hξ√λt-1小时。我们可以得到方程（6）的闭式被积函数，因为λt-1.~ P（λt-1h），vt及物动词-1，jvt~ N及物动词-1+ κ(θ - 及物动词-1） h+jvt，σvt-1小时,jvt公司nt=n~ Γ（n，ν），λtλt-1.~ Nλt-1+ χ(ω - λt-1） h，ξλt-1小时相应的密度也以闭合形式已知。注意，P（m）是平均值为m的泊松分布，而Γ（n，ν）是平均值为nν的伽马分布。最后，可以通过计算以下积分u（xt | y1:t）=u（vt，λt | y1:t）=f（yt | y1:t），以类似的方式获得潜态的时间t后验密度-1)∞Xn=0美元R+P（nt |λt-1） r年初至今vt，vt-1，λt，λt-1，jvt，nt=nq及物动词及物动词-1，jvtqjvt公司nt=nqλtλt-1.u（vt-1，λt-1 | y1:t-1） d jvtdvt-1dλt-1.3.3数值实现为了能够数值计算上述积分，我们需要定义状态空间的离散化，即所谓的可能序列。用于离散方差因子v、跳跃强度因子λ和方差跳跃j的状态空间的区间边界在以下范围内选择：v=hv（1）··v（N）i，∧=hλ（1）··λ（M）i，j=hj（1）··j（K）i，v（1）=EV∞- δVNqVV∞, λ（1）=E∧∞- Δ∧MqV∧∞, j（1）=EJ∞- δJKqVJ∞,v（N）=EV∞+ δVNqVV∞, λ（M）=E∧∞+ Δ∧MqV∧∞, j（K）=EJ∞+ δJKqVJ∞,电动汽车∞= 限制→∞EP【vt | F】，E∧∞= 限制→∞EP[λt | F]，EJ∞= 限制→∞EP公司jvt公司F,VV型∞= 限制→∞VarP[vt | F]，V∧∞= 限制→∞VarP[λt | F]，VJ∞= 限制→∞VarPjvt公司F,其中EV∞和VV∞分别是方差因子平稳过程的长期期望值和方差。此外，E∧∞, V∧∞, EJ公司∞还有VJ∞分别对跳跃强度因子和方差跳跃进行类似定义。

中间点由以下方程式确定：v（i）=√v（1）+i- 1N- 1.√v（N）-√五（1）!, i=2。。。，N- 1，λ（l）=√λ（1）+l- 1米- 1.√λ（M）-√λ(1)!, l=2。。。，M- 1，j（j）=j（1）+j- 1米- 1.j（K）- j（1）, j=2。。。，K-1，使方差（跳跃强度）可能序列均匀分布在波动率（跳跃强度的平方根）域中。函数δVN、δ∧和δjk确保DNF收敛，因此应考虑两组条件：limN→∞δVN=∞, limM公司→∞Δ∧M=∞, 利姆→∞δJK=∞,画→∞δVNN=0，limM→∞Δ∧MM=0，limK→∞δJKK=0。第一组条件确保随着节点数量的增加，我们覆盖域。另一方面，第二组条件可确保分区更紧密，并且随着节点数量的增加而增加。显然，存在着无数这样的功能。在本研究中，我们使用δVN=3+log（N）、δ∧M=3+log（M）和δJK=3+log（K），但也可以使用其他函数（只要它们满足这两组条件）。此外，根据Langrock et al.（2012）的精神，本研究将使用一个特殊的积分规则：广义上讲，如果gand gare有两个函数，那么zbag（x）g（x）dx≈ g（c）Zbag（x）dx，（7），其中c是[a，b]中的代表点（例如，中点）。考虑到我们正在积分概率密度函数（PDF）的乘积，该积分规则将允许我们将方程（7）的积分重写为g（c）（g（b）-G（a）），其中Gis是pdf G的相应累积分布函数。然后，为了计算数值积分，通常更方便地确定区间。

因此，letV（i）=“v（i-1） +v（i），v（i）+v（i+1）！，i=1。。。，N、 ∧（l）=“λ（l-1） +λ（l），λ（l）+λ（l+1）！，l=1。。。，M、 J（J）=“J（J-1） +j（j），j（j）+j（j+1）！，j=1。。。，K、 是三组不同的间隔，涵盖[0，∞), 其中v（0）=-v（1），λ（0）=-λ（1），j（0）=-j（1），v（N+1）=∞, λ（M+1）=∞, 和j（K+1）=∞.最后，时间t似然贡献由bf（yt | y1：t）近似-1)≈RXn=0NXit=1NXit-1=1KXjt=1MXlt=1MXlt-1=1r年初至今v（it），v（it-1） ，λ（lt），λ（lt-1） ，j（jt），nt=nPnt=nλ（lt-1)q及物动词∈ V（it）v（it-1） ，j（jt）qjvt公司∈ J（jt）nt=nqλt∈ ∧（lt）λ（lt-1)uv（it-1） ，λ（lt-1)y1:t-1., （8） 其中，R是泊松随机变量的截断水平。文献中提出了time-t后验密度其他求积。例如，Fridman和Harris（1998）使用GaussLegendre求积。Bartolucci和De Luca（2001）以及Clements等人（2006a）使用基于中点c的简单数值积分格式，即Zbaf（x）g（x）dx≈ （b）- a） g（c）g（c）。u（vt，λt | y1:t）也以类似的方式估算：buv（it），λ（lt）y1:t≈bf（yt | y1:t-1） RXn=0NXit-1=1KXjt=1MXlt-1=1r年初至今v（it），v（it-1） ，λ（lt），λ（lt-1） ，j（jt），nt=nPnt=nλ（lt-1)q及物动词∈ V（it）v（it-1） ，j（jt）qjvt公司∈ J（jt）nt=nqλt∈ ∧（lt）λ（lt-1)uv（it-1） ，λ（lt-1)y1:t-1..4准确性和可靠性我们现在的目标是评估DNF的准确性和可靠性。具体而言，我们首先通过将获得的对数似然值与假设有大量计算预算的SIR的对数似然值进行比较，验证其收敛到正确的似然值。这个实验将告诉我们DNF在最佳情况下的表现。正如Malik和Pitt（2011）所述，基于SIR的似然函数是无偏的（有关SIR方法的更多详细信息，请参见补充材料A节）。

因此，当使用较大的计算预算时，基于SIR的似然估计应非常接近其真实值，且采样误差非常小。因此，它可以作为评估DNF准确性和可靠性的可靠基准。对于SIR方法，我们使用越来越多的粒子数作为模型复杂性的函数。具体而言，SV模型使用100000个粒子，SVYJ模型使用250000个粒子，SVJ和SVJSI模型使用1000000个粒子。然后，对于SV、SVYJ和SVCJ模型，我们将方差（方差跳跃）网格中的节点数设置为N=200（K=100）。对于SVCJSI模型，由于内存大小限制，我们将N=M=50，K=25。4.1随机序列在第一次测试中，我们使用随机生成的参数，比较随机抽取的1000个一年每日序列的可能性。该测试的目的是确定DNF在各种可能路径和参数集下的准确性。因此，我们使用以下边界生成参数集：-0.20≤ u ≤ 0.200.00 ≤ κ ≤ 10.000.00 ≤ θ ≤ 0.100.10 ≤ σ ≤ 1-0.95≤ ρv≤ 0.950.00 ≤ χ ≤ 50.000.00 ≤ ω ≤ 25.000.10 ≤ ξ ≤ 10-最大值0.95，1- ρvi≤ ρλ≤ 最大值0.95，1- ρvi-0.05≤ α ≤ 0.050.00 ≤ δ ≤ 0.10根据我们的结果，可靠的经验法则是将方差跳跃网格的节点数K设置为方差点数的两倍到三倍。我们使用图形处理单元（GPU）计算带有DNF的SVCJSI模型的似然函数；见第5.1节。-5≤ ρz≤ 5.000.00 ≤ ν ≤ 0.03.这些值是参数的合理界限；它们跨越了多种潜在和现实情况。然后，基于模拟参数，我们生成一年路径，并使用这两种方法计算对数似然。

具体而言，我们使用绝对百分比误差（APE）比较两种估计值：APE=100%日志（LDNF（Θ））- log（LSIR（Θ））log（LSIR（Θ））. （9） 表1报告了所考虑的四种模型的APE分布的七个分位数。广泛峰值，四种型号的中间值徘徊在0.01%到0.05%之间，这是非常小的。APE分布的右尾也很薄，99.5分位数介于0.40%和0.85%之间。表1：对数似然绝对百分比误差分布：随机序列。αSV SVYJ SVCJSI0.250 0.0039 0.0048 0.0133 0.01590.500 0.0088 0.0123 0.0512 0.03670.750 0.0168 0.0263 0.1619 0.08430.900 0.0318 0.0530 0.3608 0.19310.950 0.0545 0.0781 0.5016 0.37730.990.1986 0.2108 0.6838 0.75360.995 0.4318 0.5068 0.7235 0.8247此表报告了分位数本研究中考虑的四个模型的绝对百分比误差分布。这些分布是通过使用随机选择的参数生成1000个一年序列，并通过计算每个路径的APE获得的，如等式（9）所示。SV表示随机波动率，SVYJ表示具有收益跳跃的随机波动率，SVCJ表示具有相关和同时的收益和方差跳跃的随机波动率，SVCJSI表示具有随机跳跃强度的SVCJ。图1通过报告基于SIR和DNF的对数可能性散点图补充了表1。其中大多数都是对角线对齐的，这意味着当使用大量计算预算时，这两种方法都会产生非常大的alikeestimates。

根据第一次测试，我们可以得出结论，DNF非常准确，至少在上述参数范围内，并且计算预算较大。400 600 800 1000DNF400600800SIRSV400 600 800 1000DNF400000800SIRSVYJ400 600 800 1000DNF4000008001000SIRSVJ400 600 800 1000DNF4000008001000SIRSVJSIFIGURE 1：SIR-基于DNF的对数似然估计：随机序列。该图报告了大型计算预算和本研究考虑的四种模型的基于SIR和DNF的对数似然估计。这些散点图是通过使用随机选择的参数生成1000个一年序列，并通过使用DNF和SIR方法计算每条路径的对数似然来获得的。4.2标准普尔500指数不是使用随机生成的序列，这些序列可能与实证金融中使用的序列不同，我们现在关注的是标准普尔500指数的回报，因为这些回报将代表典型的资产回报。具体而言，我们使用从彭博终端获得的1990年1月至2018年9月的标准普尔500指数每日回报（不包括股息）。对于这个特定的时间序列，我们随机生成一组参数，并使用SIR和DNF方法计算结果的可能性。表2模拟了表1的结果，只是这一次我们考虑了过去三十年的标准普尔500指数回报率。结果与随机序列的结果相似：事实上，主题猿相当小，介于0.02%到0.10%之间。同样，即使是最坏的情况也仍然很不错，四种模型的99.5分位数都低于1%。

因此，对于非典型金融时间序列和大型计算预算，DNF非常准确。表2：对数似然绝对百分比误差分布：标准普尔500指数。αSV SVYJ SVCJSI0.250 0.0118 0.0161 0.0122 0.04030.500 0.0245 0.0358 0.0311 0.10200.750 0.0513 0.0712 0.0659 0.23050.900 0.1049 0.1155 0.1152 0.42430.950 0.1793 0.2025 0.1477 0.59710.990 0.3123 0.5546 0.2991 0.76960.995 0.3503 0.6336 0.4236 0.7812此表报告了本研究中考虑的四个模型的绝对百分比误差分布。这些分布是通过生成1000组参数，并使用标准普尔500指数时间序列计算方程（9）中所示的每组参数的APE来获得的。5精度和计算时间如前一节所示，当计算预算较大时，DNF能够提供非常准确的日志可能性估计。尽管如此，当考虑较小的预算时，对其性能进行评估也是非常有意义的，因为大多数推理方法，无论是频数法还是贝叶斯法，都需要大量的似然函数评估。本节的总体目标是分析DNF的精度，并与达到该精度所需的计算时间进行比较。我们首先讨论如何使用中央处理器（CPU）和图形处理单元（GPU）解决当前的问题。然后，我们比较了DNF和SIR的计算时间和精度。最后，我们通过确定网格大小或达到给定精度所需的计算时间（反之亦然），分析DNF的速度和精度权衡。5.1 CPU和GPU计算的动机本研究中涉及的计算时间受到所考虑的状态变量数量的极大影响，这对方程（8）之和的维数有影响。

实际上，方程（8）分别涉及SV、SVYJ、SVCJ和SVCJSI模型的两个、三个、四个或六个维度的和。显然，当N、M、K、R和T较大时，这种计算会变得很麻烦。很容易理解为什么GPU非常有用。例如，如果N=50，M=50，K=25，R=2，则包含所有元素的六维矩阵的大小需要为0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2矩阵大小10400.511.522.5时间（秒）cpugpu图2：根据矩阵大小计算时间：GPU与CPU。该图报告了计算n×n矩阵所有条目之和所需的时间，其中n是矩阵大小，作为矩阵大小的函数。中央处理器用CPU表示，图形处理单元用GPU表示。总计为50×50×50×50×25×2×8字节=2500000000字节=2.5GB。此外，获得一个似然贡献所需的运算数量相当大，并且呈指数增长，例如，对于上述示例，5×50×50×50×50×25×2=156500000次乘法，50×50×50×25×2=312500000次加法。CUDA支持的GPU在计算总和时非常高效。事实上，对于非常大的矩阵，当使用GPU而不是CPU时，计算和所需的时间要少得多。图2显示了在使用GPU（黑色）或CPU（灰色）时，对n×n矩阵的所有条目求和的计算时间。例如，对于大小为20000×20000的矩阵，基于GPU的计算速度快了八倍，这是一个显著的下降。但要让GPU计算缩短总体计算时间，重要的是要考虑在CPU和GPU之间移动数据所需的额外时间，即开销。

对于涉及确定性跳跃到达强度模型的数组大小，我们的实验表明，传统CPU总体上仍然更快。因此，除非另有说明，否则SIR和DNF方法已在Matlab2018b中使用典型CPU在单线程上进行编码。然而，应用于SVCJSImodel的DNF方法已使用NVIDIA QUADRO P6000 GPU实现，也使用Matlab 2018b。5.2确定性跳跃到达强度：已经实现了具有确定性和随机跳跃到达强度的SV、SVYJ和SVCJ模型。我们分别分析了这两类模型的计算时间和精度。5.2.1计算时间：DNF和SIR之间的比较第一次测试的目的是分析不同固定和精确计算预算的SIR和DNF的准确性。对于SIR方法，计算预算由粒子数决定，而对于DNF方法，网格大小参数N和K决定计算预算。对于所有计算，我们使用5年内相同的标准普尔500指数日收益率序列（约1250个观测值），用第4.2节中产生最大似然的参数作为最大似然参数的代理进行评估。然后，对于给定的计算预算，我们计算似然值并记录计算时间。此外，对于SIR，我们重复练习50次，以近似对数似然值的分布。然后，针对几个计算预算重新运行整个练习。图3报告了这种比较。我们展示了基于SIR的对数似然值分布的箱线图（灰色），并将其与使用DNF方法获得的值（黑圈）进行比较。