跳扩散模型的确定性似然估计

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英文标题：
《Likelihood Evaluation of Jump-Diffusion Models Using Deterministic
  Nonlinear Filters》
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作者：
Jean-Fran\\c{c}ois B\\\'egin and Mathieu Boudreault
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  In this study, we develop a deterministic nonlinear filtering algorithm based on a high-dimensional version of Kitagawa (1987) to evaluate the likelihood function of models that allow for stochastic volatility and jumps whose arrival intensity is also stochastic. We show numerically that the deterministic filtering method is precise and much faster than the particle filter, in addition to yielding a smooth function over the parameter space. We then find the maximum likelihood estimates of various models that include stochastic volatility, jumps in the returns and variance, and also stochastic jump arrival intensity with the S&P 500 daily returns. During the Great Recession, the jump arrival intensity increases significantly and contributes to the clustering of volatility and negative returns.
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中文摘要：
在本研究中，我们基于北川（1987）的高维版本开发了一种确定性非线性滤波算法，以评估允许随机波动和到达强度也是随机的跳跃的模型的似然函数。数值结果表明，除了在参数空间上生成光滑函数外，确定性滤波方法比粒子滤波方法精度高，速度快得多。然后，我们找到了各种模型的最大似然估计，包括随机波动率、收益率和方差的跳跃，以及标准普尔500指数日收益率的随机跳跃到达强度。在大衰退期间，跳跃到达强度显著增加，有助于波动性和负回报的聚集。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Computation        计算
分类描述：Algorithms, Simulation, Visualization
算法、模拟、可视化
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Methodology        方法论
分类描述：Design, Surveys, Model Selection, Multiple Testing, Multivariate Methods, Signal and Image Processing, Time Series, Smoothing, Spatial Statistics, Survival Analysis, Nonparametric and Semiparametric Methods
设计，调查，模型选择，多重检验，多元方法，信号和图像处理，时间序列，平滑，空间统计，生存分析，非参数和半参数方法
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PDF下载：
--> Likelihood_Evaluation_of_Jump-Diffusion_Models_Using_Deterministic_Nonlinear_Filters.pdf (1.12 MB)

2022-6-24 03:57:38 上传

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关键词：扩散模型 似然估计 确定性 Econophysics Multivariate

使用确定性非线性滤波器对跳跃扩散模型的似然评估*Jean-Francois Bégin+，1和Mathieu BoudreaultSimon Fraser University du Québecédu Montréalth版本：2019年7月2日初稿：2019年5月22日摘要本研究，我们基于Kitagawa（1987）的高维版本开发了一种确定性非线性滤波算法，以评估允许随机波动和到达强度也是随机的跳跃的模型的似然函数。我们在数值上表明，除了在参数空间上生成平滑函数外，确定性滤波方法精度高，速度快得多。然后，我们找到各种模型的最大似然估计，包括随机波动率、收益率和方差的跳跃，以及标准普尔500指数日收益率的随机跳跃到达强度。在大衰退期间，跳跃到达强度显著增加，并导致波动性和负回报的聚集。关键词：离散非线性滤波；颗粒过滤器；序列重要性重采样；随机波动率；最大似然估计。*作者感谢Maciej Augustyniak、Genevieve Gauthier、JonathanGrégoire、Frédéric Godin以及2019年Quantact金融数学研讨会和第23届国际保险大会：数学与经济研讨会的与会者发表了有益的评论。贝金感谢加拿大国家科学和工程研究委员会（NSERC）、西蒙·弗雷泽大学（SimonFraserUniversity）和NVIDIA公司的财政支持。

Boudreault感谢NSERC的财政支持。+通讯作者。1简介和动机在过去三十年中，跳跃差异模型（具有随机波动性）由于能够复制重要的程式化事实，如厚尾、收益无自动相关性、波动性聚类等，变得越来越流行（Cont，2007）。然而，这些模型的参数估计很麻烦，因为随机波动率和跳跃是潜在的或无法直接观察到。因此，研究该问题的第一批研究主要集中于使用（广义）矩法、准、模拟和近似最大似然法以及贝叶斯方法的随机波动率模型。跳跃扩散模型参数估计的最新进展是通过数值递归预测更新算法实现的，即顺序蒙特卡罗（SMC）方法和离散非线性滤波器（DNF）。这种方法以递归的方式提供最近状态变量的后验分布，条件是当前和过去的观测值。作为该方法的副产品，可以获得似然函数。一方面，Gordon et al.（1993）引入的顺序蒙特卡罗（SMC）方法，即所谓的粒子过滤器，已被用于计算和最大化似然函数（Johannes et al.，2009；Christo ffiersenet al.，2010；Pitt et al.，2014；Bégin et al.，2019；Bardgett et al.，2019）。尽管SMC方法非常灵活，但它是基于蒙特卡罗的，因此计算量很大。此外，对于一组有限的粒子，似然函数是随机且不平滑的，这对于基于频率的推理来说可能是一个重要问题。另一方面，可以用数值积分格式近似预测密度和似然函数；这是北川（1987）提出的框架。

因此，整合问题的维度随着状态变量的数量而增加，这解释了为什么许多作者只关注随机波动率模型（Fridman和Harris，1998；Watanabe，1999；Bartolucci和De Luca，2001；Clements等人，2006a；Langrock等人，2012），而忽略了跳跃。在本文中，我们提出了一种基于DNF的方法来评估随机波动率模型的可能性，该模型包括收益跳跃、方差跳跃以及随机跳跃到达密度。其中包括著名的模型，如随机波动率（SV）模型、带收益跳跃的随机波动率（SVYJ）模型和带收益和方差相关跳跃的随机波动率（SVCJ）模型，它们是一般模型的嵌套情况。然后，我们评估所提出方法的准确性，并将其与Gordon等人（1993）最常用的SMC方法序列重要性重采样（SIR）进行比较。最后，我们将该方法应用于一个典型的金融时间序列：标准普尔500指数。我们的主要贡献和发现如下。我们首先开发了一种预测更新算法。Taylor（1986）基于矩量法对随机波动率模型的参数估计进行了首次研究。Melino和Turnbull（1990）、Andersen和Sorensen（1996）、Pan（2002）提出了矩量法的推广。Nelson（1988）和Harvey等人（1994）提出了准最大似然方法；Danielsson（1994）和Brandt and Santa Clara（2002）使用模拟最大似然，而A"it-Sahalia（2002）、Bates（2006）和A"itSahalia and Kimmel（2007）引入了近似最大似然。最后，本文使用了另一系列基于贝叶斯范式的方法，即Shephard（1993）、Jacquier等人（1994）、Johannes等人。

（1999）和Eraker（2001）。预测更新算法的一个经典示例是Kalman（1960）滤波器，它在高斯和线性框架中提供状态变量的精确后验分布。Malik和Pitt（2011）引入了一种重采样算法，该算法平滑了似然函数，但根据Creal（2012），这仅在状态维度为1时有效，这通常是仅包括随机波动性而不包括跳跃的情况。SVCJSI模型及其嵌套模型的rithm。与Kitagawa（1987）的简单应用相比，所提出的方法降低了所得积分的维数。因此，提出的DNF方法比SIR方法既准确又快速。由于DNFyields在参数空间中是一个光滑的似然函数，因此它是数值最大化的理想选择。因此，我们利用标准普尔500指数日收益率计算SV、SVYJ、SVCJ和SVCJSIModels的最大似然估计。我们发现，在大衰退期间，跳跃到达强度显著增加，并有助于聚集波动性和负回报。本文的结构如下。第2节介绍了计量经济学框架。第3节解释了DNFI。第4节讨论了DNF方法的准确性和可靠性。第5节对速度精度权衡进行了评估。第6节给出了一个经验应用。最后，第7.2节框架中提供了一些结论。本节介绍了连续时间和离散时间框架。然后，我们具体介绍了本文中使用的四种模型，即SV、SVYJ、SVCJ和具有随机跳跃到达强度的完整模型，称为SVCJSI。2.1连续时间框架我们定义了一个过滤的概率空间(Ohm, F、 F，P）和过滤F={Ft:t≥ 0}满足常规条件。

设St为证券的time-t价格，Vt为time-t瞬时方差，∧t为time-t跳跃强度。在目标测度P下，它们的动力学由以下方程给出：dStSt-=(u -α∧t）dt+pVt-dWSt+dNtXn=1eZSn公司- 1.,dVt=κ（θ- 及物动词-)dt+σpVt-dWVt+dNtXn=1ZVn,d∧t=χ（ω- ∧t）dt+ξp∧tdW∧t，其中WS，WVand W∧是三个布朗运动，使得dhWS，WVit=ρvdt，dhWS，W∧it=ρλdt和dhWV，W∧it=0 dt。此外，{Nt}{t≥0}是一个Cox过程（双随机泊松过程），其跳跃到达强度∧，跳跃大小有待进一步讨论。注意，仅观察到Stisobserved，而Vtand∧皮重未观察到或潜在。第一个随机微分方程（SDE）类似于默顿（1976）提出的方程，因为它既包含跳跃过程，也包含离散成分。然而，与默顿相反，我们的独立成分允许第二次SDE建模的随机波动性。随机方差SDE由平方根过程给出，类似于Heston（1993）所使用的过程，其中添加了方差跳跃。参数κ表示均值回复的速度，θ是无条件均值方差，σ是方差参数的所谓方差。最后，lastSDE对随机跳跃到达强度进行建模；参数χ与均值回复速度有关，ω是随机跳跃强度的长期水平，ξ是强度参数的方差。我们假设每个返回跳跃{ZSn}{n∈N} 正态分布，平均值为α+ρzzvn，标准偏差为δ，即ZSn~ N（α+ρzZVn，δ），方差跳跃{ZVn}{N∈N} 均数为ν的指数分布，即ZVn~ Exp（ν）。Bates（1996）、Bakshi et al.（1997）、Du ffe et al.（2000）、Pan（2002）、Eraker et al.（2003）和Johannes et al.（2003）使用了具有随机跳跃到达强度创新的类似返回跳跃Svcj。

（2009）在连续时间模型中，而Maheu和McCurdy（2004）、Christo Offersen等人（2012）和Ornthanalai（2014）（等）在离散时间模型中引入了正态分布跳跃。许多作者，即Bates（2000）、Du ffeet al.（2000）、Pan（2002）、Eraker et al.（2003）和Todorov and Tauchen（2011），都发现了方差过程中存在正泵的证据。最后，术语∧tα是跳跃补偿器，确保EP[ST | Ft]=Steu（t-t） ，其中u是我们设定的股票年预期回报率。因此，我们有α=expα +δ/(1 - ρzν）- 1.2.2离散时间框架由于我们通常只在离散时间内观察大多数连续时间过程，因此我们需要离散我们的连续时间动力学。将h设置为时间间隔的长度（例如，一个月、一周或一个日历/交易日），然后让yt≡ 记录（某物）-1） h）是证券的time-t（连续复合除息）回报。因此，计量经济学家可用的信息集G={Gt:t∈ N} 比模型粗糙，即Gt FtsinceGt=σ{ys}ts=1. 同样，我们分别定义了时间离散化方差和跳跃强度过程的vt和λtas。同样，在模型的连续时间版本中，vt和λt相关。Euler-Maruyama离散化方案应用于连续时间版本的modelyieldsyt=u-及物动词-1.- αλt-1.h+pvt-1hεyt+ntXi=1zyt，i，vt=vt-1+ κ(θ - 及物动词-1） h+σpvt-1hεvt+ntXi=1zvt，i，λt=λt-1+ χ(ω - λt-1） h+ξpλt-1hελt，其中nt=Nth-N（t）-1） his由参数为λt的泊松随机变量给出-1小时。此外，标准化创新是正态分布的，即εit~ N（0，1）表示i∈ {⊥, v、 λ}，εyt=q1- ρv- ρλε⊥t+ρvεvt+ρλελt由Cholesky分解得到。最后，返回跳跃也是正态分布的，即。

zyt，i~ Nα+ρzvt，i，δ, 而方差跳跃的分布仍然是指数分布，即zvt，i~ Exp（ν）。2.3嵌套模型该一般规范嵌入了许多随机波动率类型模型。本研究中考虑的四个具体模型如下：–SV：无跳跃的随机波动率模型，通过χ=ω=ξ=0获得。它与赫斯顿（1993）提出的模型相似，因为它包含了杠杆效应。Melino和Turnbull（1990年）、Danielssonand Richard（1993年）、Shephard（1993年）和Jacquier等人（1994年）也对类似的规格进行了调查SVYJ：只有收益跳跃的随机波动率模型，通过χ=1和ξ=ν=0获得。它类似于贝茨（1996）的模型。在计量经济学中，Pitt et al.（2014）提出在回报动态中使用跳跃SVCJ：收益和方差同时跳变且相关的随机波动率，通过χ=1和ξ=0获得。杜菲等人（2000年）首次使用该规范SVCJSI：随机波动率，收益和方差同时跳变和相关跳变，以及随机跳变到达强度。这是本研究中使用的最复杂和最通用的规范。3离散非线性滤波器由于波动率、跳跃和跳跃强度因子是模型中的潜在变量，很难直接评估似然函数L。因此，我们在本节中提出了一种确定性DNF方案，该方案使用了北川精神（1987）中的递归预测更新算法。该方法基于状态空间连续潜在变量的离散化，类似于Fridman和Harris（1998）、Bartolucci和de Luca（2001）、Clements等人（2006b）和Langrock等人（2012）提出的方法。

值得注意的是，这种方法尚未应用于SVYJ、SVCJ和SVCJSImodels的可能性评估，这是本文的一个关键贡献。让xt∈ X是时间t的潜在状态变量，其中X是标量或向量。此外，让我们用yt来定义，t=1，2，T时间T观察值，即本研究中的返回值。一系列最新的因素和观察结果用x0:t表示≡ {xs}ts=0和y1:t≡ {ys}ts=1。对于参数集Θ，ΘisL（Θ）=f（y1:T）=f（y）TYt=2f（yt | y1:T-1） =ZXT+1f（x0:T，y1:T）dx0:T，（1），这涉及多维积分问题。3.1一般方法学潜在状态分布的一步预测（以过去收益为条件）由f给出（xt | y1:t-1） =ZXq（xt | xt-1，y1:t-1） u（xt-1 | y1:t-1） dxt公司-1，其中q是给定xt的转移概率分布-1和过去的回报。一旦有了新的回报，在时间t时状态变量的后验分布，以Gt为条件，现在可以得到asu（xt | y1:t）=r（yt | xt，y1:t-1） f（xt | y1:t-1） f（yt | y1:t-1） ，（2）式中，r是测量概率密度或给定状态空间变量xt的条件time-t返回密度。这也称为算法的更新步骤。公式（2）的分母是回报率yt的时间t似然贡献，条件是过去的回报率，即f（yt | y1:t-1） =ZXr（yt | xt，y1:t-1） f（xt | y1:t-1） dxt。根据第2节的模型公式，xt取决于xt-因此，time-t可能性贡献可以重写为asf（yt | y1:t-1） =“Xr（yt | xt，xt-1，y1:t-1） f（xt，xt-1 | y1:t-1） dxtdxt-1=“Xr（yt | xt，xt-1，y1:t-1） q（xt | xt-1，y1:t-1） u（xt-1 | y1:t-1） dxtdxt-1，（3）其中u（xt-1 | y1:t-1） 与方程式（2）相似。

然后，方程（2）的后验密度也可以使用相同的思想递归获得：u（xt | y1：t）=RXr（yt | xt，xt-1，y1:t-1） f（xt，xt-1 | y1:t-1） dxt公司-1f（yt | y1:t-1） =RXr（yt | xt，xt-1，y1:t-1） q（xt | xt-1，y1:t-1） u（xt-1 | y1:t-1） dxt公司-1f（yt | y1:t-1). （4） 因此，要获得方程（1）的似然函数，需要始终找出潜态的后验分布和似然贡献。算法1总结了一般DNF的各个步骤。算法1离散非线性滤波器1：设置u（x）=p（x），其中p是初始状态密度2：对于每个t∈ {1，…，T}do3：得到似然贡献f（yt | y1:T-1） 使用数值积分4：使用数值积分获得后验分布u（xt | y1：t）5：结束6：通过取似然贡献的乘积计算似然函数L（Θ）。3.2 SVCJSI模型的似然函数我们试图使用DNF方法推导SVCJSI模型的似然函数。具体而言，对于第2节的框架，我们有xt=vtλtjytjvt, 其中，jyt=ntXi=1zyt，i和jvt=ntXi=1zvt，i，因为知道一天中的每个跳转大小都是徒劳的，只有聚合跳转在离散化中很重要。因此，对于SVCJSI模型，X=R+×R+×R×R+，潜在状态向量为四维。考虑到状态变量的高维性，天真地计算方程（3）和（4）可能会很麻烦。幸运的是，一些简化可以用来减少问题的规模。